Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản A. đặt vấn đề I/. Cơ sở lí luận Bớc vào thế kỹ 21, nớc ta đang trong công cuộc đổi mới giáo dục - đào tạo nhằm đáp ứng yêu cầu cao của xã hội. Vấn đề nâng cao chất lợng dạy học ở các cấp học, bậc học đợc đặt ra hết sức cấp bách. Chính vì vậy trong mấy năm gần đây ngành giáo dục - đào tạo rất coi trọng việc đổi mới phơng pháp dạy học với định hớng "Tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tích cực để sáng tạo. Để làm đợc điều đó thì Toán học đóng một vai trò hết sức quan trong, nó là chìa khoá mở cữa cho các ngành khoa học khác. Chính vì vậy, hơn ai hết giáo viên dạy toán là ngời phải suy nghĩ: Làm thế nào để "Tích cực hoá hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học" nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề , rèn luyện kĩ năng vận dụng vào thực tiển, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh. II/. Cơ sở thực tiển Qua thực tiển dạy môn tự chọn toán 9 - chủ đề nâng cao và bồi dỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh rất có ý thức học tập đặc biệt là các học sinh khá giỏi, rất hay tìm tòi học hỏi những kiến thức không có trong chơng trình học. Trong những kiến thức đó tôi nhận thấy phơng pháp giải bài toán quỷ tích đợc áp dụng rất nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cũng nh thi vào các trờng chuyên chọn. Trong khi đó thì đa số học sinh ở đây khi giải một bài toán Quỹ tích thì thờng gặp khó khăn, một số em làm đợc thì thiếu bớc giải hoặc không giới hạn đợc quỹ tích cần tìm. Do đó tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài Một số bài toán quỹ tích cơ bản B. Giải quyết vấn đề Với định hớng giúp học sinh hoạt động tích cực, độc lập, sánh tạo và khơi dậy trong học sinh khả năng tự học. Tôi đã trăn trở suy nghĩ làm thế nào để học sinh biết cách giải các dạng bài toán cơ bản và một trong những dạng toán đó là bài toán Quỹ tích Cho nên tôi đã hớng dẫn cho học sinh cách giải. Sau đây là cách làm của tôi. I/. Đôi nét về bài toán tập hợp điểm. 1. Định nghĩa tập hợp điểm . Một hình H đợc gọi là tập hợp điểm (Quỹ tích) của những điểm M thoả mãn tính chất T khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất T. 2. Phơng pháp giải toán tập hợp điểm . Để tìm tập hợp điểm các điểm M có tính chất T ta làm theo các bớc sau: B ớc 1 . Tìm cách giải. - Xác định các yếu tố cố định và không đổi. - Xác định các điều kiện của điểm M 1 M H K O y z x O t' t z' z y' y x' x Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản - Dự đoán tập hợp điểm (vẽ một số trờng hợp để biết quỷ tích đó là đờng thẳng, đoạn thẳng, đờng tròn hay cung tròn) B ớc 2 . Trình bày cách giải. - Phần thuận. Chứng minh các điểm M có tính chất T đều thuộc hình H. - Giới hạn. Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ M chỉ thuộc một phần B của hình H (nếu đợc). - Phần đảo. Chứng minh mọi điểm M bất kỳ thuộc hình B đều có tính chất T II/. Các tập hợp điểm cơ bản. 1. Tập hợp điểm là trung trực. Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A và B cố định là đờng trung trực của đoạn thẳng AB. Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là đ ờng trung trực . 2. Tập hợp điểm là tia phân giác. Định lí: Tập hợp các điểm M nằm trong góc xoy khác góc bẹt và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc xoy. Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là tia phân giác . Hệ quả: Tập hợp các điểm M cách đều hai đờng thẳng xx và yoy là bốn tia phân giác của bốn góc tạo thành. Bốn tia này tạo thành hai đờng thẳng vuông góc với nhau. 3. Tập hợp điểm là hai đờng thẳng song song. Định lí: Tập hợp các điểm M cách đờng thẳng d một khoảng cho trớc một khoảng bằng a (a > 0) cho trớc là hai đờng thẳng song song với đờng thẳng đã cho và cách đờng thẳng đó một khoảng bằng a Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là hai đờng thẳng song song . 2 M A B d x y a a M O' O M' M B A B M 1 z M A O x y Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản 4. Tập hợp điểm là một đờng thẳng song song. Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai đờng thẳng song song cho trớc là một đờng thẳng song song và nằm cách đều hai đờng thẳng đó. Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là một đờng thẳng song song . 5. Tập hợp điểm là đờng tròn. Định lí: Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trớc một khoảng cách không đổi (R > 0) là đờng tròn tâm O bán kính R. Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là đ ờng tròn . 6. Tập hợp điểm là cung chứa góc. Định lí: Tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trớc một góc AMB có số đo không đổi (0 < < 180 0 ) là hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là cung chứa góc . Hệ quả: Tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trớcdới một góc 90 0 là đờng tròn đờng kính AB. III/. Một số bài toán quỷ tích cơ bản. 1. Các bài toán quỹ tích là đoạn thẳng, tia, đờng thẳng. Ví dụ 1. Cho góc vuông xOy cố định. A là điểm cố định trên tia Ox, B là điểm chuyển động trên Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB. Giải a) Phần thuận. Góc xOy là góc vuông nên ABO vuông tại O M là trung điểm của AB nên OM là trung tuyến Do đó OM = MA= MB Suy ra MO = MA Mà O và A cố định nên M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OA 3 O M R a d d M 2 h 2 h h x y z K C 1 C B A H O Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản b) Giới hạn. Khi B O thì M M 1 ( M 1 là trung điểm của đoạn OA) Khi B chạy xa vô tận trên Oy thì M chạy xa vô tận trên tia M 1 z thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OA. Vậy điểm M chuyển động trên tia M 1 z của đờng trung trực của đoạn thẳng OA và nằm trong góc xOy. c) Phần đảo. Giả sử M là một điểm bất kì thuộc tia M 1 z. Đờng thẳng AM cắt tia Oy tại B Vì M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OA nên MO = MA MAO = MOA (1) Mặt khác OAB vuông tại O nên OBM + OAM = 90 o (2) và BOM + MOA =90 o (3) Từ (1),(2) và (3) suy ra OBM = BOM MB = MO MO = MA và MB = MO MB = MA Do đó M là trung điểm của AB d) Kết luận Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB là tia M 1 z thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OA và thuộc miền trong của góc xOy. Ví dụ 2. Cho góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C Giải a) Phần thuận. Vẽ CH Ox ( H Ox) CK Oy ( K Oy) Xét hai tam giác vuông HAC và KBC có: CA = CB (ABC vuông cân tại C) ACH = BCK ( hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc) Do đó HAC = KBC ( cạnh huyền , góc nhọn) CH = CK Mà góc xOy cố định nên C thuộc đờng phân giác của góc xOy b) Giới hạn. Khi B O thì C C 1 (C 1 thuộc OZ và OA C 1 vuông cân tại C 1 ) Khi B chạy xa vô tận trên Oy thì C chạy xa vô tận trên tia C 1 z thuộc phân giác của góc vuông xOy Vậy điểm C chuyển động trên tia C 1 z thuộc phân giác của góc vuông xOy. c) Phần đảo. 4 Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản Giả sữ C bất kì thuộc tia C 1 z. Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với CA và cắt tia Oy tại B. Gọi H và K lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ C xuống tia Ox và Oy . Ta có CH = CK và HCK = 90 o Xét hai tam giác vuông HAC và KBC có: CH = CK ACH = BCK ( hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc) Do đó HAC = KBC ( cạnh góc vuông , góc nhọn) CA = CB Do đó tam giác ABC vuông cân tại C. d) Kết luận Vậy tập hợp các điểm C là tia C 1 z thuộc phân giác của góc vuông xOy. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 3 cm, BC = 5 cm. Tìm tập hợp các M sao cho diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC. Giải a) Phần thuận. Tam giác ABC có: AB 2 + AC 2 = 3 2 + 4 2 = 25 = BC 2 nên ABC vuông tại A Do đó S ABC = 2 1 AB.AC = 2 1 3.4 = 6 cm 2 Gọi MH là đờng cao của MBC Vì S MBC = 6 cm 2 Nên MH = BC S ABC ì 2 = 5 62 ì = 5 12 cm. Do đó M thuộc đờng thẳng a và a' song song với BC và cách BC một khoảng 5 12 cm. b) Giới hạn. M là điểm tuỳ ý trên hai đờng thẳng a và a' c) Phần đảo. Lấy điểm M bất kì trên đờng thẳng a hoặc a'. Vẽ MH BC MH = 5 12 cm S MBC = 2 1 BC ì MH = 2 1 .4.3 = 6 cm 2 Do đó S MBC = S ABC d) Kết luận 5 cm 5 12 C M H B A a' a cm 5 12 5 cm 3 cm 4 cm Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản Vậy tập hợp các điểm M là hai đờng thẳng a và a' song song với đạon thẳng BC và cách BC một khoảng 5 12 cm. Ví dụ 4. Cho hai đờng thẳng d và d' song song với nhau và cách nhau một khoảng bằng 4 cm, Avà B là các điểm chuyển động trên d và d'. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB. Giải a) Phần thuận Vẽ MH d ( H d) MK d' ( H d') Ta có: MH d , d // d'(gt) MH d' MH d' , MK d' H, M , K thẳng hàng; HK = 4 cm AMH có AH // BK (d // d') MK MH = MB MA = 1 MH = MK Do đó MH = MK = 2 HK = 2 cm d và d' song song với nhau và cách nhau một khoảng bằng 4 cm. Do đó M thuộc đờng thẳng a song song và nằm giữa hai đờng thẳng d và d' và cách đ- ờng thẳng d và d' một khoảng bằng 2 cm. a) Giới hạn. A chuyển động trên d, B chuyển động trên d nên M thuộc đờng thẳng a. b) Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc đờng thẳng a. Qua M kẻ đờng thẳng cắt d, d lần lợt tại A, B và vẽ MH d, MK d(H d, K d) Ta có : H, M, K thẳng hàng và MH = MK = 2cm AMK có AH // BK (d // d) MB MA = MK MH = 1 MA = MB Vậy M là trung điểm của AB c) Kết luận Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB là đờng thẳng a song song và nằm giữa hai đờng thẳng d và d và cách đ ờng thẳng d và d' một khoảng bằng 2 cm. Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD, điểm I chuyển động trên đờng chéo AC. M là điểm đối xứng của D qua I. Tìm tập hợp các điểm M khi điểm I chạy trên đoạn thẳng AC. 6 M HA K B d d' a I O M B A C D M 2 M 1 F E P KH I I 2 I 1 G N M D B C A Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản Giải a) Phần thuận. Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có, O và I là trung điểm của cạnh DB và DM của tam giác DBM Nên OI // MB Đờng thẳng AC cố định , điểm B cố định. Do đó M thuộc đờng thẳng qua B và song song cới AC. b) Giới hạn. Khi I A thì M M 1 (M 1 đối xứng với D qua A) Khi I C thì M M 2 (M 2 đối xứng với D qua C) Vậy M chuyển động trên đoạn thẳng M 1 M 2 c) Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc đoạn thẳng M 1 M 2. DM cắt AC tại I Tam giác DBM có OI // BM và BO = DO nên ID = IM (I là trung điểm của BM) D và M đối xứng nhau qua I d) Kết luận Tập hợp các điểm M khi điểm I chạy trên đoạn thẳng AC là đoạn thẳng M 1 M 2 thuộc đờng thẳng qua B và song song với AC. Ví dụ 6. Cho Đoạn thẳng AB = a, điểm B di chuyển trên AB. Trên cùng một nữa mặt phẳng bờ AC vẽ các tam giác đều ABM và BCN. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng nối các trọng tâm của tam giác ABM và BCN. a) Phần thuận. Gọi E và F là trọng tâm của ABM và BCN. Ta có EH = 3 1 MH = 3 1 AB 2 3 = AB 6 3 : FK = 3 1 NK = 3 1 BC 2 3 = BC 6 3 : Mà IP là đờng trung bình của hình thang EFKH nên: IP = 2 1 (EH+FK) = 2 1 ( AB 6 3 + BC 6 3 ) = 12 3 (AB + BC) = 12 3.a Do đó I nằm trên đờng thẳng song song với AC và cách AC một khoảng bằng 12 3.a b) Giới hạn. Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ACD 7 I B M 0 A Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản Khi B C thì E G và F C do đó I I 2 (I 2 là trung điểm của GC) Khi B A thì E A và F G do đó I I 1 (I 1 là trung điểm của GA) Vậy I nằm trên đoạn thẳng I 1 I 2 thuộc đờng thẳng song song với AC và cách AC một khoảng bằng 12 3.a c) Phần đảo. Giã sử I là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng I 1 I 2 , Vẽ đoạn thẳng EF sao cho I là trung điểm của EF (E GA, F GC) Đờng thẳng vuông góc với AC cắt AD và CD tại M và N, cắt AC tại H và K. Ta có: 3 1 = MH EH ; 3 1 = NK FK Do đó MH + NK = 3(EH + FK) = 6.IP = 6 12 3.a = 2 3.a (IP AC) Từ M vẽ MB//DC (B AC)=> Tam giác AMB đều, mà MH AB nên E là trọng tâm. => MH = AB 2 3 Suy ra NK = 2 3.a - AB 2 3 = BC 2 3 Mặt khác CK = NK.cotg C = BC 2 3 . 3 1 = 2 BC => KB = KC => Tam giác BNC đều, mà MH AB nên F là trọng tâm. d) Kết luận Vậy tập hợp các điểm I là đoạn thẳng I 1 I 2 thuộc đờng thẳng song AC và cách AC một khoảng bằng 12 3.a 2. Các bài toán quỹ tích là cung tròn, đờng tròn. Ví dụ 7. Cho đờng tròn tâm O bán kính R. A là điểm cố định nằm trong đờng tròn, B là điểm chuyển động trên đờng tròn đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB. Giải a) Phần thuận. Gọi I là trung điểm của OA I cố định Điểm I và M lần lợt là trung điểm của đoạn thẳng AO và AB nên: IM là đờng trung bình của tam giác ABO. MI = 2 1 OB = 2 R MI = 2 R không đổi và I cố định. 8 I C B A y x A C B I' Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản Do đó M nằm trên đờng tròn tâm I bán kính 2 R b) Giới hạn. Điểm B chuyển động trên đờng tròn (O; R) nên M chuyển động trên đờng tròn (I; 2 R ) c) Phần đảo. Giã sử M (I; 2 R ). Trên tia đối của tia MA lấy điểm B sao cho MB = MA. Cần chứng minh điểm B (O; R) Thật vậy: M và I lần lợt là trung điểm của của cạnh AB và AO của tam giác AOB nên IM là đờng trung bình của tam giác AOB MI = 2 1 OB do đó OB = 2 OM = R B thuộc đờng tròn ( O ; R) d) Kết luận. Tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là đờng tròn (I; 2 R ) (I là trung điểm của OA) Ví dụ 8. Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạch BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đờng phân giác trong. Tìm tập hợp các điểm I khi A thay đổi. (Bài 44 trang 86 SGK toán 9-T2) Giải a) Phần thuận. Ta có BIC = 180 0 (IBC + ICB) = 180 0 2 1 (ABC + ACB) = 180 0 2 1 90 0 = 135 0 Điểm I nhìn đoạn BC cố định dới một góc 135 0 nên I nằm trên hai cung chứa góc 135 0 dựng trên đoạn AB. b) Giới hạn. Vì ABC là tam giác nên B và C không thuộc quỹ tích nói trên c) Phần đảo. Giã sử I là điểm bất kì thuộc c4eung chứa góc 135 0 dựng trên đoạn AB. Vẽ tia Bx sao cho BI là tia phân giác của CBx Vẽ tia Cy sao cho CI là tia phân giác của BCy Gọi A là giao điểm của Bx và Cy. Ta có BIC = 135 0 => IBC + ICB = 180 0 -135 0 = 45 0 9 x B 1 D C B A d D C B A Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản Do đó ABC + ACB = 90 0 => BAC = 90 0 Vậy tam giác ABC vuông ở A d) Kết luận. Vậy quỹ tích các điểm I là hai cung chứa góc 135 0 dựng trên đoạn AB trừ hai điểm B và C. Ví dụ 8. Cho nữa đờng tròn đờng kính AB cố định. C là một điểm trên nữa đờng tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nữa đờng tròn đã cho. (Bài 36 trang 79 SBT toán 9-T2) Giải a) Phần thuận. Ta có ACB = 90 0 và CD = CB => tam giác vuông cân tại C => ADB = 45 0 Điểm D nhìn đoạn BC cố định dới một góc 45 0 nên D nằm trên hai cung chứa góc 45 0 dựng trên đoạn AB. b) Giới hạn. Khi C A thì D B 0 (B 0 là giao điểm của cung chứa góc 45 0 vad tia tiếp tuyến ã tại A của nữa đờng tròn. Khi C B thì D B Do đó quỹ tích các điểm D là cung BB 1 . c) Phần đảo. Giã sử D là một điểm bất kì trên cung BB 1 , AD cắt nữa đờng tròn đờng kính AB tại C. Tam giác BCD vuông tại B, mà ADB = 45 0 nên tam giác BCD vuông cân tại B => CD = CB d) Kết luận. Vậy quỹ tích các điểm D là cung BB 1 thuộc cung chứa góc 45 0 dựng trên đoạn AB nằm cùng phía với nữa đờng tròn đờng kính AB. Ví dụ 7. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Một đờng thẳng d quay quanh A nhng không cắt BC. D là điểm đối xứng của B qua đờng thẳng d. Tìm tập hợp các điểm D Giải a) Phần thuận: Điểm D đối xứng với điểm B qua đờng thẳng d nên A d => AD = AB, AB cố định. Vậy D thuộc đờng tròn tâm A bán kính AB b) Giới hạn: Khi đờng thẳng d chứa đoạn thẳng AB thì D B Khi đờng thẳng d chứa đoạn thẳng AC thì D C 10 [...]... lập, tự giác của học sinh Sau khi hớng dẩn cho học sinh phơng pháp giải bài toán toán quỹ tích và khảo sát tôi nhận thấy kết quả nh sau: Kết quả Ghi chú Khối Số học Giỏi Khá TB Yếu Khối 8 45 6 27 10 2 Khối 9 42 6 24 9 3 C/ Kết luận Trên đây là biện pháp tôi đã áp dụng cho học sinh khá và giỏi lớp 8 và 9 trờng tôi Do tuổi đời và tuổi nghề còn ít, thời gian nghiên cứu cha thật đợc nhiều., nên các bài... các đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADC 3) Cho hai điểm cố định A và B Tìm tập hợp tâm O của AB đờng tròn sao cho tiếp tuyến các kẻ từ A và B đến các đờng tròn có bán kính nhỏ hơn 2 có độ dài bằng nhau 4) Cho đờng tròn (O; R) cố định, BC là dây cung cố định, A là điểm chuyển động trên cung lớn BC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC Tìm tập hợp các điểm D 5) Cho AB là dây cung cố định của . tam giác vuông cân tại C => ADB = 45 0 Điểm D nhìn đoạn BC cố định dới một góc 45 0 nên D nằm trên hai cung chứa góc 45 0 dựng trên đoạn AB. b) Giới hạn quả nh sau: Khối Số học Kết quả Ghi chú Giỏi Khá TB Yếu Khối 8 45 6 27 10 2 Khối 9 42 6 24 9 3 C/. Kết luận. Trên đây là biện pháp tôi đã áp dụng cho học