1 Phần thứ mở đầu I lí chọn đề tài: Nh đà biết môn toán tảng môn khoa học tự nhiên chiếm vai trò quan trọng lĩnh vực khoa học Ước ao học giỏi toán niềm mơ ớc bao hệ học sinh bậc phụ huynh, thầy cô giáo cho em học sinh Toán học môn khoa học có từ lâu đời nghiên cứu nhiều thể loại đa dạng phong phú Trong chơng trình Đai số THCS đa thức phân tích đa thức thành nhân tử nội dung bản, sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng tập khác nh: Quy đồng mẫu phân thức,rút gọn phân thức, giải phơng trình, bất phơng trình, tìm cực trị Đặc biệt kỹ phân tích đa thức thành phân tử kỹ quan trọng, nắm vững thành thạo kỹ học sinh có khả giải đợc nhiều vấn đề chơng trình đại số lớp lớp nh nhiều vấn đề toán học khác có liên quan Nhng việc phân tích đa thức thành nhân tử có khó khăn học sinh trờng hợp đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Nếu áp dụng phơng pháp thông thờng đà đợc học sách giáo khoa học sinh phân tích đợc Có đa thức nghiệm thực học sinh phân tích đợc thành nhân tử Vì câu hỏi thờng đặt trờng hợp là: Những đa thức phân tích đợc thành nhân tử ? Nếu trả lời đợc câu hỏi trên, học sinh có khả giải đợc cách nhanh gọn số tập cụ thể Bên cạnh phơng pháp thông thờng, sử dụng số phơng pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử trờng hợp định , phơng pháp chơng trình sách giáo khoa cha có điều kiện đề cập đến nhng đợc giáo viên cung cấp thêm học sinh hiểu đợc cách toàn diện lý thuyết có kỹ giải toán tổng hợp cách nhanh chóng Để cung cấp cho học sinh cách có hệ thống đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử Giáo viên cần phải hiểu nắm vững kiến thức vành đa thức, ®a thøc bÊt kh¶ quy, nghiƯm cđa ®a thøc cách xác có hệ thống, hiểu đợc gốc vấn đề Từ giáo viên cho học sinh biết điều đến chừng mực để có đợc vận dụng hợp lí, đa vào giảng nội dung kiến thức phù hợp với trình độ học sinh đa dạng tập thích hợp II mục đích nghiên cứu: Vận dụng kiến thức cấu trúc đại số, lý thuyết trờng vào giảng dạy phần đa thức phân tích đa thức thành nhân tử chơng trình Đại số lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử mức độ phù hợp III Nhiệm vụ nghiên cứu: Về lý thuyết: Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững nội dung kiến thức - Cấu trúc đại số : Nhóm, vành, trờng, vành đa thức - Các khái niệm đa thức, nghiệm đa thức, đa thức bất khả quy - Một số định lý nghiệm đa thức - Một số định lý phân tích đa thức thành nhân tử ®a thøc bÊt kh¶ quy  VỊ thùc tiƠn gi¶ng dạy: - Nghiên cứu nội dung, chơng trình sách giáo khoa để nắm đợc mức độ, giới hạn nội dung kiÕn thøc cã thÓ cung cÊp cho häc sinh - Vận dụng nội dung lý thuyết mức độ phù hợp vào giảng dạy phân đa thức phân tích đa thức thành nhân tử chơng trình Đại sè cÊp THCS - Thùc tÕ vËn dơng vµo mét giảng cụ thể phần phân tích đa thức thành nhân tử IV Phơng pháp nghiên cứu: - Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết - Phơng pháp thử nghiệm s phạm - Phơng pháp điều tra thực tiễn V Giới hạn, phạm vi nghiên cứu: - Đề tài tËp trung nghiªn cøu viƯc vËn dơng mét sè kiÕn thøc vỊ ®a thøc mét Èn, nghiƯm cđa ®a thøc ẩn vào giảng dạy phần phân tích đa thức (một ẩn) thành nhân tử chơng trình đại số lớp Phần hai I Các nội dung lý thuyết sở: Nhắc lại cấu trúc Đại số: Định nghĩa phép toán hai ngôi: Giả sử A tập không rỗng Một ánh xạ: f : AA A đợc gọi phép toán hai A Với cặp (x,y) AA, ảnh f (x,y) đợc gọi hợp thành cặp (x,y) đợc viết gọn f(x,y) Nếu ký hiệu ánh xạ f dấu + đợc ký hiệu x+y phép toán đà cho đợc gọi phép cộng, x+y đợc gọi tổng x y Nếu ký hiệu ánh xạ f dấu "." f(x,y) đợc ký hiệu x.y phép toán đợc gọi phép nhân, x.y đợc gọi tích x y Định nghĩa nửa nhóm, nửa nhóm giao hoán, vị nhóm: Phép toán hai f tập hợp A có tính chất kết hợp f [f(x,y),z] = f [x,f(y,z)] víi mäi x,yA Nếu phép toán phép cộng tính chất kết hợp có nghĩa là: (x+y)+z = x+(y+z) với x,y,zA Nếu phép toán phép nhân tính chất kết hợp cã nghÜa lµ: (x.y).z = x.(y.z) víi x,y,zA + PhÐp toán hai f đợc gọi giao hoán f(x,y) = f(y,x) víi x,yA + Mét tËp hỵp A với phép toán hai kết hợp đợc gọi nửa nhóm + Một nửa nhóm đợc gọi nửa nhóm giao hoán phép toán có tính chất giao hoán + Một nửa nhóm nhân đợc gọi vị nhóm có phần tư eA cho xe = ex = x víi xA., e đợc gọi phần tử đơn vị Nửa nhóm cộng A đợc gọi vị nhóm phần tử aA tồn phần tử aA cho a+a = = a+a a đợc gọi phần tử đối a đợc ký hiệu -a Nếu phép toán nhóm có tính chất giao hoán ta nói nhóm giao ho¸n hay nhãm Aben - Mét tËp B nhóm A đợc gọi nhóm nhóm A B nhóm phép toán A Định nghĩa vành, vành giao hoán, vành con: - Tập hợp A đợc gọi vành A có phép cộng phép nhân cho: i A với phép cộng nhóm giao hoán ii A với phép nhân vị nhóm iii Phép nhân phân phối phép cộng, nghĩa với ba phần tử tuỳ ý x,y,zA Ta cã: x(y+z) = xy+xz (y+z)x = yx+zx - Vành A đợc gọi vành giao hoán phép nhân giao hoán - Một tập B vành A đợc gọi vành nhóm A b vành phép toán A Định nghĩa trờng, trờng con: - Một trờng vành giao hoán có đơn vị khác không phần tử khác có nghịch đảo - Tập B có hai phần tử trờng A đợc gọi trêng cđa trêng A nÕu B cịng lµ mét trờng phép toán A Nhắc lại đa thức: Vành đa thức ẩn: Giả sử A vành vành E giao hoán có đơn vị, uE Phần tử a0+a1u+a2u2+ +anun+ ®ã aiA víi mäi i = 0,1, ,n, có số hữu hạn ai0 (1) đợc gọi vành đa thức phần tử u vành A Tập hợp đa thức u A đợc ký hiệu A[u] Nếu tồn đa thức dạng (1) với không đồng thời mà: a0+a1u+a2u2+ +anun = Kéo theo = * Định lý phép chia đa thức (phép chia hết chia có d), hệ quả: -Giả sử K[x] vành đa thức trờng K - Khi với hai đa thức f(x), g(x) g(x) tồn hai đa thức q(x) r(x)sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hc bËc r(x) < bậc g(x) q(x) đợc gọi thơng, r(x) đợc gọi d Nếu r(x) = ta nói f(x) chia hÕt cho g(x) vµ ký hiƯu f(x):g(x) NÕu r(x) 0 th× ta nãi f(x) chia cho g(x) cã d -Hệ quả: Giả sử K trờng f(x) K[x]và aK, f(a) d phép chia f(x) cho x-a *Định nghĩa nghiệm đa thức ẩn: Giả sử A vành Phần tử A đợc gọi nghiệm đa thức f(x)A[x] f() = Định lý Bơdu nghiệm đa thức: Giả sử K trờng Phần tử K nghiệm đa thức f(xa0+a1u+a2u2+ +anun)=0[x] f(x) chia hết chi nhị thức x-a Nhắc lại phân tích đa thức thành nhân tử Định nghĩa đa thức bất khả quy: Đa thức f(x) khác ớc đợc gọi đa thức bất khả quy từ đẳng thức f(x) = g(x).h(x) suy g(x) h(x) ớc đơn vị Tiêu chuẩn Aidenxtainơ: Giả sử f(x) = a0+a1x+a2x2+ +anxn = víi c¸c aiZ NÕu có số nguyên P thoả mÃn điều kiện sau: i P ớc an ii P lµ íc cđa ai, víi i = 0,1, ,n-1 iii P2 ớc a0 ®a thøc bÊt kh¶ quy Q[x]  - Mét số mệnh đề đa thức bất khả quy: Mệnh đề 1: Giả sử K trờng Nếu P(x) đa thức bất khả quy thuộc K[x] f(x) đa thức tuỳ ý thuộc K[x] f(x) chia hết cho P(x) nguyên tố với P(x) Mệnh đề 2: Giả sử K trờng Trong vành K[x] đa thức bất khả quy Q(x) ớc tích f(x).g(x), P(x) ớc f(x) g(x) Mệnh đề 3: Giả sử K trêng Trong vµnh K[x] nÕu tÝch f(x).g(x) chia hÕt cho h(x) [g(x), h(x)] = f(x) chia hết cho h(x) Mệnh đề 4: Giả sử K trêng Trong vµnh K[x] nÕu f(x) chia hÕt cho hai đa thức nguyên tố f(x) chia hết cho tích chúng Định lý phân tích đa thức (có bậc n1) thành tích đa thức bất khả quy Giả sử K trờng Mỗi đa thức f(x))K[x] có bậc n1 phân tích đợc thành đa thức bất khả quy II Vận dụng nội dung lý thuyết vào thực tiễn giảng dạy Tìm hiểu giới hạn nội dung, chơng trình sách giáo khoa: - Trong chơng trình Đại số chơng IV học sinh đà đợc học khái niệm đa thức, bậc đa thức, cách tìm giá trị đa thức giá trị ẩn, định nghĩa nghiệm cuả đa thức, bớc đầu học sinh đà biết cách tìm nghiệm đa thức, số đa thức đơn giản (bậc bậc hai) - Trong chơng I sách giáo khoa Đại số học sinh đà đợc học phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phép chia đa thức (phép chia hết phép chia cã d) Nhng häc sinh míi chØ biÕt c¸ch phân tích đa thức thành nhân tử đa thức tơng đối đơn giản, có bậc thấp số cách thông thờng, cha có liên hệ kết nối kiến thức nghiệm đa thức với việc phân tích đa thức thành nhân tử, giá trị đa thức, d phép chia đa thức với việc tìm nghiệm đa thức nên học sinh cha có đợc hiểu biết cách toàn diện có hệ thống đa thức Những nội dung kiến thức cần cung cấp làm rõ cho học sinh trình giảng dạy đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử: Các khái niệm bản: - Một đa thức biến x,y, ,z biểu thức nguyên chữ x,y, ,x biến - Nếu x=a đa thức f(x) có giá trị ta nói a nghiệm đa thức f(x) - Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa biến đổi thành tích đơn thức đa thức - Các phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp nhóm nhiều hạng tử Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt hạng tử Với cặp đa thức A(x) B(x) B(x) 0: tồn cặp đa thức Q(x) R(x) cho: A(x) =B(x).Q(x)+R(x) R(x) =0 bậc R(x) thấp bậc B(x) - Nếu R(x) =0 ta đợc phép chia hết - Nếu R(x) ta đợc phép chia có d, Q(x) thơng R(x) lµ d cđa phÐp chia A(x) cho B(x) + Ví dụ1: A(x) =10x2-7x+a (aQ) xác định a cho A(x) chia hết cho 2x-3 Đặt phép chia đa thức: 10x2-7x+a 2x-3 10x -15x 5x+4 8x+a -8x-12 a+12 §Ĩ A(x) chia hÕt cho 2x-3 ta ph¶i cã: a+12=0 a=-12 VËy a=-12 th× A(x) chia hÕt cho 2x-3 +VÝ dơ 2: Cho ®a thøc: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a  Q) Xác định a cho A(x) chia hết cho (x+1) +Đặt phép chia đa thức: a2x3+3ax2-6x-2a x+1 2 -a x +a x ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6) 2 (3a-a )x -6x-2a -(3a-a2)x2+(3a-a2)x -a2+a+6 §Ĩ A(x) chia hÕt cho x+1 ta ph¶i cã: -a2+a+6=0 (a+2)(3-a)=0 a+2=0 a=-2 3-a=0 a=3 VËy a=-2 a=3 A(x) chia hết cho x+1 *Định lý Bơdu nghiệm đa thức: Giả sử K trờng Phần tử K[x] f(x) chia hết cho nhị thức x-a Ví dụ: Phân tích đa thức 5x3-2x-3 thành nhân tử, dễ thấy x=1 nghiệm , theo định lý Bơdu đa thøc 5x3-2x-3 chia hÕt cho x-1 Thùc hiÖn phÐp chia ta đợc: 5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3) Ví dụ 2:Phân tích đa thức f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thành nhân tử Dễ thấy x=1 nghiệm Vì đa thức đà cho chia hết cho x-1 Thức phép chia ta đợc: f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2) DƠ thÊy 3x4- 3x3-5x2-x-2 cã nghiƯm lµ x=-1 Thùc hiƯn phép chia ta đợc: 3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2) Dễ thấy 3x3-6x2+x-2 cã nghiƯm x=2 V× thÕ 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1) VËy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1) *Khái niệm đa thức bất khả quy: Đa thức f(x) khác ớc đợc gọi đa thức bất khả quy từ đẳng thức f(x)=g(x).h(x) suy g(x) h(x) ớc đơn vị Ví dụ: Z vành số nguyên - Số nguyên m z[x] bất khả quy m số nguyên tố - Đa thức ax+b Z[x], a bất khả quy (a,b)=1 - Cụ thể 3x+5 bất khả quy Tiêu chuẩn Aidenxtainơ đa thức bất khả quy: Giả sử f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn với Z Nếu có số nguyên tố P thoả mÃn điều kiện sau: - P ớc an - P lµ íc cđa ai, víi i=0,1, ,n-1 - P2 ớc a0 - Thì f(x) đa thức bất khả quy Q[x] Ví dụ: f(x)=2x3-3x2+9x-3 đa thức bất khả quy Q[x] số nguyên tố P=3 thoả mÃn tiêu chuẩn Aidenxtainơ Ví dụ: HÃy lập đa thức bất khả quy Q[x] có bậc 7? Chọn P=2, f(x)=x7-4x6 +8x3-6x+6 đa thức bất khả quy Q[x] 3.Một số tập vận dụng cách giải: Các tập phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp tách số hạng thành nhiều số hạng khác Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+4 Nhận xét: Đa thức không chứa thừa số chung Không có dạng đẳng thức đáng nhớ, nhóm số hạng Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều số hạng hơn: Cách 1: (tách số hạng thứ 2) 3x2-8x+4 =3x2-6x-2x+4 =(3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2) =(x-2)(3x-2) Cách 2:(tách số hạng thứ nhất) 3x2-8x+4 =4x2-8x+4-x2 =(2x-2)2 -x2 =(2x-2+x)(2x-2-x) =(3x-2)(x-2) Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax 2+x+c thành thừa số ta tách số hạng bx=b1x+b2x cho b1/a=c/b2 tức b1b2=ac Trong thực hành ta làm nh sau: Bớc 1: Tìm tích ac Bớc 2: Phân tích a.c thành tích thừa số nguyên cách Bớc 3: Chän hai thõa sè mµ tỉng b»ng b VÝ dơ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x2-4x-3 (a=4,b=-4,c=-3) ac=4.(-3)=-12 -12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1 Vì -6+2=-4 =b nên ta làm nh sau: C¸ch 1: 4x2-4x-3 =4x2-6x+2x-3 =(4x2-6x)+(2x-3) =2x(2x-3)+(2x-3) =(2x-3)(2x+1) C¸ch 2: Tách số hạng thứ 3: 4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4 =(4x2-4x+1)-4 =(2x-1)2-22 =(2x-1-2)(2x-1+2) =(2x-3)(2x+1) Qua hai vÝ dơ trªn ta thÊy viƯc tách số hạng thành nhiếu số hạng khác thờng nhằm mục đích: + Làm xuất hệ số tỷ lệ nhờ mà xuất thừa số chung (cách 1) + Làm xuất hiệu hai bình phơng (cách 2) Với đa thức có bậc từ trở lên, để dễ dàng làm xuất hệ số tỷ lệ ngời ta thờng dùng cách làm xuất nghiệm đa thức Ta nhắc lại khái niệm nghiệm đa thức: Số a đợc gọi nghiƯm cđa ®a thøc f(x) nÕu f(a)=0 Nh vËy nÕu ®a thøc f(x) cã nghiƯm x-a th× nã chøa thõa số x-a Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+ +an với a0,a1, ,an-1,an  Z Cã nghiÖm x=a (a  Z) => a0xn+a1xn-1+ +an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+ +bn –1) ®ã b0,b1, ,bn-1,bn  Z Sè h¹ng cã bËc thÊp nhÊt cđa tÝch ë vế phải bằng-abn-1 Số hạng có bậc thấp vế phải an -abn-1=an tức a ớc an Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x3-x2-4 Lần lợt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thÊy f(2)=23-22-4=0 ®a thøc cã nghiƯm x=2 ®ã chøa thõa sè (x-2) C¸ch 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4 =(x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4) =x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2+x+2) C¸ch 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 =(x3-8)-(x2-4) =(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) =(x-2)(x2+2x+4-x-2) =(x-2)(x2+x+2) Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên đa thức nên nhớ định lý sau: a Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiƯm cđa ®a thøc, ®ã ®a thøc chøa thõa sè x-1 VÝ dô; x3-5x2+8x- x-1 -x3-x2 x2-4x+4 -4x +8x- - -4x2+4x 4x- 4x-4 o vËy x -5x +8x-4 =(x-1)(x2-4x+4) =(x-1)(x-2)2 b NÕu ®a thøc f(x) cã tỉng c¸c hƯ sè cđa c¸c sè hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ -1 nghiệm đa thøc ®a thøc chøa thõa sè x+1 VÝ dơ: x3-5x2+3x+9 Ta có 9-5=1+3 -1 nghiệm đa thức, ®a thøc chøa thõa sè x+1 x35x2+3x+9 x+1 -x + x x2-6x+9 - 6x2+3x+9 x2-6x 9x+9 -9x+9 VËy x3- 5x2+3x+9 =(x+1)(x2-6x+9) =(x+1)(x-3)2 §Ĩ nhanh chãng loại trừ ớc hệ số tự không nghiệm đa thức, dùng nhận xét sau: Nếu a nghiệm nguyên đa thức f(x) f(-1) thì: f(1):(a-1) f(-1): (a+1) số nguyên Ví dụ: f(x)=4x3-13x2+9x-18 Ư(18)=1,2,3,6,9,18 f(1)=4-13+9-18=-18 f(-1)=-4-13-9-18=-44 nghiệm f(x) Dễ thấy: -3;6;9;18 không nghiệm f(x) 44 1  18 ;  3 Z  18 ;   18 ;    18 ;   18 ; nghiƯm cđa f(x) DƠ thÊy x=3 lµ nghiƯm cđa f(x) 4x3-13x2+9x-18 =4x3-12x2-x2+3x+6x-18 =(4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18) =4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3) 10  18 ;  18   18  18  Z nen =(x-3)(4x2-x+6) Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp thêm bớt số hạng làm xuất hai bình phơng xuất nhân tử chung Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2 =(4x4+36x2+81)-(6x)2 =(2x2+9)2-(6x)2 =(2x2+9-6x)(2x2+9+6x) Ví dụ2: Phân tích đa thức thành nhân tử x7+x2+1 =x7-x+x2+x+1 =(x7-x)+(x2+x+1) =x(x6-1)+(x2+x+1) =x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1) =x(x-1)(x3+1)(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x(x-1)(x3+1)+1] =(x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1+x3m+2+1 ®Ịu chøa thõa sè (x2+x+1)  Ph©n tÝch ®a thøc thành nhân tử phơng pháp đổi biến: Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x+4)(x+6)(x+10)+128 =(x2+10x)(x2+10x+24)+128 Đặt x2+10x+12=y Đa thức có dạng (y-12)(y+12)+128=y2-16=(y+4)(y-4) x(x+4)(x+6)(x+10)+128=(x2+10x+16)(x2+10x+8) =(x+2)(x+8)(x2+10x+8) Nhận xét: Nhờ phơng pháp đổi biến ta đà ®a ®a thøc bËc ®èi víi x thµnh ®a thức bậc y Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử A=x4+6x3+7x2-6x+1 A=x4-6x3-2x2+9x2-6x+1 A=x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1) A=x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 A=(x2+3x-1)2 Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp hệ số bất định: Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử x4-6x3+12x2-14x+3 Thử: x= 1; không nghiệm đa thức, đa thức nghiệm nguyên nghiệm hữu tỷ Đa thức phân tích đợc thành thừa số phải cã d¹ng: (x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+ (ad+bc)x+bd =x4 -6x3 +12x2 -14x+3  a+c=-6 ac+b+d=12 ad+bc=-14 bd=3  11 bd=3 mµ b,d Z => b  1; 3 Víi b=3 => d=1  a+c=-6 ac=8 a+3c=-14 a=-2 c=-4 VËy: a=-2 b=3 c=-4 d=1 => x4-6x3+12x2-14x+3 =(x2-2x+3)(x2-4x+1) Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp xét giá trị riêng: Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: P=x2(y-z)+y2(x-z)+x2(x-y) Thay x=y => P chøa thõa sè x=y nÕu thay x=y,y=z,z=x th× P không đổi (Ta nói đa thức P hoán vị vòng quanh x y z x) Nên P ®· chøa thõa sè x-y th× cịng chøa thõa sè y-z,z-x P có dạng K(x-y)(y-z)(z-x) Nhận thấy phải số (không chứa biến) P có bậc ba tập hợp biến x,y,z (x-y)(y-z)(z-x) có bậc ba tập hợp biến x,y,z Ví đẳng thức x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nên ta gán cho biến x,y,z giá trị riêng chẳng hạn x=2,y=1,z=0 ta đợc: 4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2)  -2K=2  K=-1 VËy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z)  Các tập tìm nghiệm đa thức: Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên đa thức: f(x)=2x 4+7x3-2x213x+6 phân tích đa thức thành nhân tử Hạng tư tù b»ng  ¦(6)=+ 1; 2; 3; f(-1)=2-7-2+13+6=12 -1 nghiệm đa thức f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 nghiệm đa thức f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 nghiệm đa thức f(1)=2+7-2-13+6=0 nên nghiệm đa thức f(2)=32+56-8-26+6=60 nên nghiệm đa thức 12 f(3)=162+189-18-39+6=300 nên nghiệm đa thức Đa thức có nghiệm hữu tỷ mẫu số phải ớc 2, Do 1,2,-1,-2 mẫu số nghiệm này.Nên ; ; 1 ;  1 1 f ( x)     13  0 16 2 nghiệm đa thức Suy 1/2 nghiệm đa thức Vì đa thức f(x) có bậc nên có tối đa nghiệm, suy nghiệm lần lợt là: 1;-2;-3;1/2 *Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hÕt cho x-2;x+2;x+3;x-1/2 => f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)(x-1/2)  VÝ dụ 2: Tìm nghiệm đa thức phân tích đa thức thành nhân tử f(x)=x3-6x2+11x-6 Hạng tử tự do:6  ¦(6)= 1; 2 ;+-3 ; 6 f(1)=1-6+11-6=0 => lµ nghiƯm cđa f(x) f(2)=8-24+22-6=0 => lµ nghiƯm cđa f(x) f(3)=27-54+33-6=0 => nghiệm f(x) Vì đa thức f(x) có bậc nên có tối đa nghiệm, suy nghiệm 1,2,3 Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3 f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3) Các tập phép chia hết phép chia có d đa thức: Ví dụ 1: Xác định số a cho x3-3x+a chia hết cho (x-1)2 Cách 1: Đặt phép chia: x3-3x+a x2-2x+1 - x3-2x2+x x+2 2x2-4x+a - 2x2-4x+2 a-2 V× phép chia phép chia hết nên a-2=0 a=2 Cách 2: Dùng phơng pháp hệ số bất định: NÕu ®a thøc x3-3x+a chia hÕt cho ®a thøc x2-2x+1 thơng nhị thức bậc có hạng tử bậc cao x3:x2=x Hạng tử bậc thấp a:1=a Nh x3-3x+a đồng với ( x2-2x+1)(x+a) tức đồng với x3+ (a-2)x2+(1-2a)x+a Do hệ số tơng ứng phải tức là: 13 a-2=0 1-2a=-3 a=2 Cách 3: Phơng pháp giá trị riêng: Gọi thơng phép chia Q(x) ta có: x3-3x+a=(x-1)2.Q(x) víi  R Víi x=1 th× 1-3.1+a=0.Q(1) hay –2+a=0 tức a=2 Thử lại (x3-3x+2):(x2-2x+1)=x+2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nguyên n để giá trị biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị biểu thức (2n-1) Đặt phép chia: 2n2+3n+3 2n+1 -2n -n n+2 4n+3 - 4n-2 §a thøc 2n2+3n+3 không chia hết cho đa thức(2n-1) nhng có giá trị nguyên n để giá trị 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị 2n-1 Vậy (2n-1) phải ¦(5)= 1; 5 2n-1=1 2n-1=-1 2n-1=5 2n-1=-5 n=1 n=0 n=3 n=-2 Vậy với n=-2.0.1.3 giá trị biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị biểu thức (2n-1) phần ba Kết luận Dạy học giải toán thông qua phơng pháp nghệ thuật để giúp em nắm đợc bài, hiểu có hứng thú, kỹ làm bài, tập khó luyện tập ,chuyên đề Dạy học phơng pháp tìm lời giải toán có ý nghĩa quan trọng đòi hỏi ngời giáo viên phải say mê tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu phơng pháp cách vận dụng để dạy cho học sinh Tuy nhiên tất đối tợng học sinh phải truyền tải nội dung Mà cần xác định đối tợng để cung cấp kiến thức phù hợp với trình độ quỹ thời gian cđa giê häc Cung cÊp cho häc sinh hƯ thống kiến thức từ đến 14 phức tạp ®Ĩ t¹o tiỊn ®Õ cho häc sinh cã t sáng tạo việc giải toán nâng cao Bản thân nghiên cứu đề tài này, áp dụng dạy cho học sinh khối thu đợc kết khả quan Tôi mong muốn đợc có nhiều ý kiến đóng góp giúp đỡ thầy cô giáo bạn đọc Xin chân thành cảm ơn ! Ngày 01 tháng 05 năm 2006 Ngời viết: Lơng Thị Hơng Tiết 15: Giáo án dạy thực nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử vài phơng pháp khác A Mục tiêu: - Học sinh biết cách phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử phơng pháp thêm bớt hạng tử - Vận dụng linh hoạt vào giải tập B Chuẩn bị giáo viên học sinh - Học sinh đọc kỹ phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Đọc kỹ nhà - Giáo viên: Soạn bài, đọc tài liệu tham khảo, phấn màu C Hoạt động thày trò I Kiểm tra cũ + Học sinh 1: Phân tích đa thức thành nhân tư 1/2(x2+y2)-2x2y2=1/2[(x2+y2)-4x2y2] =1/2[(x2+y2)-(2xy)2] =1/2[(x2+y2-2xy) [(x2+y2+2xy)] =1/2[(x-y)2(x+y)2] 15 GV: Em ®· dùng phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử GV: Uốn nắn cách trình bày häc sinh + Häc sinh 2: T×m x biÕt: (2x-3)2-(x+5)2=0  (2x-3+x+5)[2x-3-(x+5)]=0  (3x+2)(2x-3-x-5)=0  (3x+2)(x-8)=0  3x+2=0 x-8=0 x=-2/3 x=8 GV: Dùng phơng pháp để phân tích vế trái thành nhân tử? A.B=0 A=0 B=0 GV: Phân tích x +5x+6 thành nhân tử: Dùng phơng pháp đà học để phân tích đa thức thành nhân tử? HS: Không thể dùng phơng pháp đà học để phân tích đợc GV: Đó nội dung học hôm nay! II Bài GV: Giới thiệu nội dung học Tách hạng tử thành GV:HS: Ta dùng phnhiều hạng tử ơng pháp đà học để phân tích đa a Phân tích x2+5x+6 thành nhân thức thành nhân tử tử? ? Em tìm đợc cách phân tích C1: x2+5x+6=x2+2x+3x+6 HS: Suy nghĩ cách trả lời =(x2+2x)+(3x+6) GV:Nói ghi lên bảng =x(x+2)+3(x+2) GV:Ta tách 5x=2x+3x =(x+2)(x+3) áp dụng phơng pháp đà học để phân tích đa thức thành nhân tử GV:Học sinh lên bảng làm bài? C2: (x2+3x)+(2x+6) GV:Em đà dùng phơng pháp để =x(x+3)+(2(x+3) phân tích? =(x+3)(x+2) GV:Còn cách nhóm khác? GV:Em có cách khác để tách 5x? HS:Không GV:Nhận xét 6=2.3 5x=2x+3x GV:Tơng tự nh ví dụ lớp suy b Phân tích x2-x-6 thành nhân tử nghĩ? x2-x-6=x2-3x+2x-6 HS: -6=-3.2 =(x2-3x)+(2x-6) x=2x+3x =x(x- 3)+2(x-3) GV:Gọi học sinh lên bảng làm =(x-3)(x+2) bài? GV:Có cách nhóm khác GV:Một đa thức không chứa thừa số 16 chung, dạng đẳng thức đáng nhớ nào, nhóm số hạng, Ta biến đổi đa thức thành đa thức thành đa thức có nhiều số hạng GV:Muốn phân tích đa thức c.Phân tích đa thức thành nhân tử thành nhân tử ta tách hạng tử nào? 3x2-8x-4 HS:Suy nghĩ trả lời? C1 3x2-8x-4=3x2-6x-2x+4 -8x=-6x-2x =(3x2-6x)-(2x+4) =3x(x-2)-2(x-2) GV:Có thể tách hạng tử khác không? C2 3x2-8x-4=4x2-8x+4-x2 HS: 3x2=4x2-x2 =(4x2-8x+4)-x2 =(2x-2)2-x2 =(2x-2+x)(2x-2-x) =(3x-2)(x-2) GV:Cã mét sè bµi phân tích đa thức Thêm bớt hạng tử thành nhân tử dùng a Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đà học để phân tích đợc x4+4 phơng pháp thứ hai GV:Nếu dùng phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử làm đợc toán GV: Em làm đợc? HS:Suy nghĩ trả lời? GV:HÃy thêm bớt hạng tử x4+4=(x2)2+22 để phân tích đợc Lu ý có = (x2)2+4x2+22-4x2 tổng bình phơng =(x+2)2-(2x)2 =(x2+2+2x)(x2+2-2x) GV:Có thể dùng phơng pháp thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử không? HS:Suy nghĩ GV:Gọi học sinh lên bảng Cả lớp làm GV:Qua vÝ dơ trªn häc sinh rót nhËn xÐt? GV: (chèt) Qua vÝ dơ trªn ta nhËn thÊy thênm, bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phơng (VD a.) làm xuất thõa sè chung nh ë ( VD b.) GV:Dïng ph¬ng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử? Gọi học sinh lên bảng làm 17 b Phân tích thành nhân tử: x7+x2+1= x7-x+x2+x+1 =(x7-x)+(x2+x+1) =x(x -1)+( x2+x+1) =x(x3+1)(x3-1)+ (x2+x+1) =x(x3+1)(x-1)(x2+x+1)+( x2+x+1) =( x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) Luyện tập lớp Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2-7xy+10y2 =x2-2xy-5xy+102 =(x2-2xy)-(5xy-10y2) =x(x-2y)-5y(x-2y) =(x-2y)(x-5y) GV:Dùng phơng pháp để phân b x4+64 tích đa thức thành nhân tử? =(x2)2+16x2+82-16x2 =(x2+8)2-(4-x)2 =(x2+8-4x)(x2+8+4x) GV:Kỹ phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng giúp giải tập quy đồng mẫu thức phân thức chơng II, tìm x Vì em phải nhận xét đầu rèn kỹ thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phơng pháp phù hợp với đề III Hớng dẫn nhà Xem kĩ lại tập lớp Bài tập nhà: 1,2,3 trang 22 Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Đại Số Sách giáo khoa Đại Số Một số vấn đề phát triển Đại Số Toán bồi dỡng học sinh lớp Đa thức-Phân thức đại số-Phơng trình 18 NXB Giáo Dục NXB Giáo Dục Vũ Hữu Bình Vũ Hữu Bình Bộ GD-ĐT 19 ... tử: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp nhóm nhiều hạng tử Phân tích. .. thừa số 16 chung, dạng đẳng thức đáng nhớ nào, nhóm số hạng, Ta biến đổi đa thức thành đa thức thành đa thức có nhiều số hạng GV:Muốn phân tích đa thức c.Phân tích đa thức thành nhân tử thành nhân. .. tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt hạng tử Với cặp đa