ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán lớp 8 (Thời gian 120’) Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A = n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. b) Chứng tỏ giá trị biểu thức A chia hết cho 24 với mọi giá trị n ∈ N. Câu 2: (4 điểm) So sánh hai số sau: A = 2009 2008 2009 2008 − + và B = 2 2 2 2 2009 2008 2009 2008 − × + Câu 3: (4 điểm) Tìm các giái trị nguyên của x để giá trị tương ứng của biểu thức sau cũng có giá trị nguyên. 3 2 x x 2 C(x) = x 1 − + × − Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với IK. Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A có BC = a, AC = b, AB = c, diện tích tam giác ABC là S. Chứng minh rằng: 4S = (a + b + c)(b + c – a) ĐÁP ÁN TOÁN 8 Câu 1: a) A = n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n = n(n 3 + 6n 2 + 11n + 6) = n(n 3 + n 2 + 5n 2 + 5n + 6n + 6) = n[n 2 (n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)] = n(n + 1)(n 2 + 5n + 6) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (2 điểm) b) A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Trong đó là tích 4 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 A 3⇒ M (1) 4 số tự nhiên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp, trong 2 số chẵn liên tiếp có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4. Nên tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 A 8⇒ M (2) 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau (3). Từ (1), (2), (3) A (3.8) A 24 n N.⇒ ⇒ ∀ ∈M M (2 điểm) Câu 2: (4 điểm) Hai số đều là phân số có tử, mẫu là số dương. A = 2009 2008 2009 2008 − + = 2 2 2 2 (2009 2008)(2009 2008) 2009 2008 (2009 2008) (2009 2008) − + − = + + Hai số A và B là hai phân số dương có cùng tử, ta so sánh hai mẫu. (2009 + 2008) 2 > 2009 2 + 2008 2 2 2 2 2 2 2 2 2009 2008 2009 2008 (2009 2008) 2009 2008 A < B. − − ⇒ < + + ⇒ Câu 3: (4 điểm) 3 2 2 2 x x 2 x (x 1) + 2 2 C(x) = x x 1 x 1 x 1 − + − = = + × − − − Khi cho x một giá trị nguyên thì x 2 là một số nguyên, do đó biểu thức C(x) có giá trị nguyên khi và chỉ khi 2 x 1− nhận giá trị nguyên. ⇒ x – 1 ∈ Ư(2) = { } 1; 2± ± × x – 1 = - 1 ⇒ x = 0 ⇒ C(0) = -2 x – 1 = 1 ⇒ x = 2 ⇒ C(2) = 6 x – 1 = -2 ⇒ x = -1 ⇒ C(-1) = 0 x – 1 = 2 ⇒ x = 3 ⇒ C(3) = 10 Câu 4: GT µ 0 ABC, A 90 ;AH BC, HI AB, HK AC; MB = MC.= ⊥ ⊥ ⊥V KL IK AM ⊥ H O K I N M CB A Tứ giác AIHK là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) Gọi O là giao điểm của AH và IK. N là giao điểm AM và IK. AM = MC = BC 2 (Tính chất trung tuyễn ứng với cạnh huyền của tam giác vuông) · · MAK = MCK⇒ · · OKA = OAK (Tính chất đường chéo hình chữ nhật) · · · · 0 90 MAK + OKA = MCK + OAK AM IK. = ⇒ ⇒ ⊥ Câu 5: (4 điểm) A B C b a c S = 1 2 bc ⇒ 4S = 2bc (1) (a + b + c)(b + c – a) = (b + c) 2 – a 2 = b 2 + 2bc + c 2 – a 2 = (b 2 + c 2 – a 2 ) + 2bc = 0 + 2bc (Định lí Pitago: b 2 + c 2 = a 2 nên b 2 + c 2 – a 2 = 0) = 2bc (2) Từ (1) và (2) suy ra 4S = (a + b + c)(b + c – a). . có tử, mẫu là số dương. A = 2009 20 08 2009 20 08 − + = 2 2 2 2 (2009 20 08) (2009 20 08) 2009 20 08 (2009 20 08) (2009 20 08) − + − = + + Hai số A và B là hai. tử, ta so sánh hai mẫu. (2009 + 20 08) 2 > 2009 2 + 20 08 2 2 2 2 2 2 2 2 2009 20 08 2009 20 08 (2009 20 08) 2009 20 08 A < B. − − ⇒ < + + ⇒ Câu 3: