PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5 điểm) a a b b a b với a, b > a  b   ab a b b a Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết 1  a 1  b   ab  a Cho biểu thức M=   18  a b a b c Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  ; a  b  c  23 ; abc  1 Tính giá trị biểu thức H=   ab  c  bc  a  ca  b  b Tìm số nguyên a, b thoả mãn Bài 2: (4,5 điểm) a Tính giá trị biểu thức N= 4  4  13  27  10 b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn  a  b2    a  b  + (1  ab)2  4ab 2 Chứng minh  ab số hữu tỉ c Giải phương trình x  x   x  1  x  Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5  y  xy  b Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh 1    ab  a  bc  b  ca  c  2 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vng góc với AB, CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH Q, K, P a Chứng minh MNCO hình thang cân b MB cắt CH I Chứng minh KI son song với AB c Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để A= 427 + 42016 + 4n số phương Họ tên thí sinh SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-207 MƠN: TỐN LỚP Câu Bài a/ 1,5đ Nội Dung -Rút gọn M= ab với a, b>0 a  b a b Điểm 4đ 0,75 -Ta có 1  a 1  b    ab   a b ab   ab  a  b   ab   ( ab ) 1 a b ab 1 a b 0,25 + Nếu a>b>0  a  b  a  b  0; ab    ab 0 a b ab ab ab   1 M 1 a b a b a b 0,25 + 00 ta có x  y  xy   x  y   xy      x y 4 x y áp dụng ta có 0,5 1 1    ab  a  ab   a  ab  abc  a  ab( c  1)  ( a  1) 1 1   abc  1 c              ab(c  1) a    ab(c  1) a    c  a   1 c  Vây ta có     ab  a   c  a   1 a  1 b  Tương tự ta có       ;  nên bc  b   a  b   ca  c   b  c    1   3     ab  a  bc  b  ca  c   1 c a b   3         c 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 1 Vậy    dấu “=” có a=b=c=1 ab  a  bc  b  ca  c  2 0,5 0,25 6đ Bài N M E Q F K A C I T G O H B P a/ 2đ -Ta có ACB nội tiếp đường tròn (vì ) mà AB đường kính nên ACB vng C  AC  BN Ta có MA=MC ( ), OA=OC ( ) nên MO trung trực AC 0,5  MO  AC  MO // NB  MOA  NBO -Ta có OA  MA ( )  MAO  NOB  900 ; xét MAO NOB có MAO  NOB  900 ; MOA  NBO; OA  OB  R  MAO  NOB  MO  NB -Ta có MO // NB; MO  NB  MNBO hình bình hành.Ta có MAO = NOB (cm b/ 2đ trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC ( ) nên NO=MC MNBO hình thang cân 0,75 -Xét CHB MAO có MAO  NOB  900 ; CBH  MOA ( cm trên) 0,5  CHB MAO  CH HB HB   MA AO R -Ta có CH  AB (gt) ; MA  AB ( )  CH // MA  IH // MA  IH HB HB   MA AB R CH HB HB IH IH   2  2   CH  IH  IC  IH MA R 2R MA MA -Chi KI đường trung bình tam giác ACH  KI // AB -Nên ta có  c/ 2đ -Chưng minh FQIO hình bình hành  QF // IO -Chưng minh O trục tâm tam giác GIP 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 1đ 0,25  PG  OI  PG  QF Bài 0,75 * A  427  42016  4n   227  1  41989  4n27  Vì A  227  số phương nên  41989  4n27 số phương Ta có  41989  4n27 > 4n27  (2n27 )2 *mà  41989  4n27 số phương nên ta có 0,5  41989  4n27   2n27  1  2n27  23977  n  4004 Với n=4004 ta có A= A  427  42016  44004   227  24004  số phương Vậy n=4004 A=427+42016+4n số phương 0,25 ...  42016  4n   227  1  4 198 9  4n27  Vì A  227  số phương nên  4 198 9  4n27 số phương Ta có  4 198 9  4n27 > 4n27  (2n27 )2 *mà  4 198 9  4n27 số phương nên ta có 0,5  4 198 9 ... 36b2  9b  3a  6b2  a  18a  36b2  9b   3a  6b2  a 3a  6b2  a 18a  36b2  9b 3a  6b2  a  Q   Q  Vơ lý số vơ tỉ Vì a, b ngun nên 18a  36b2  9b  2 2  18a  36b  9b  3a...  4 198 9  4n27   2n27  1  2n27  2 397 7  n  4004 Với n=4004 ta có A= A  427  42016  44004   227  24004  số phương Vậy n=4004 A=427+ 42016+ 4n số phương 0,25