Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 484 THÁNG 10/2017 (Đề thi gồm 06 trang) Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 5: THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút; (50 Câu trắc nghiệm) [1D2-2] Có bìa ghi chữ “HIỀN”, “TÀI”, “LÀ”, “NGUN”, “KHÍ”, “QUỐC”, “GIA” Một người xếp ngẫu nhiên bìa cạnh Tính xác suất để xếp bìa dòng chữ “HIỀN TÀI LÀ NGUN KHÍ QUỐC GIA” 1 1 A B C D 25 5040 24 13 π  π  π  [1D1-2] Cho phương trình cos  x +  + cos  − x  = Khi đặt t = cos  − x  , phương 3 6   6  trình cho trở thành phương trình đây? A 4t − 8t + = B 4t − 8t − = C 4t + 8t − = D 4t − 8t + = [2D1-2] Trong hàm sau đây, hàm số không nghịch biến ℝ x   D y =   +   A y = − x + x − x B y = −4 x + cos x C y = − x +1 [2D2-2] Với hai số thực dương a, b tùy ý log 5log a − log b = Khẳng định + log3 Câu 4: BTN-003/18 khẳng định đúng? A a = b log B a = 36b C 2a + 3b = D a = b log [2H2-3] Quả bóng đá dùng thi đấu giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi thiết diện qua tâm 68.5 ( cm ) Quả bóng ghép nối miếng da hình lục giác màu trắng đen, mỗ i miếng có diện tích 49.83 ( cm ) Hỏi cần miếng da để làm bóng trên? A ≈ 40 (miếng da) Câu 6: Câu 7: B ≈ 20 (miếng da) C ≈ 35 (miếng da) ax − b có đồ thị hình bên x −1 Khẳng định đúng? A b < < a B < b < a C b < a < D < a < b [2D1-2] Cho hàm số y = D ≈ 30 (miếng da) y x O −1 −2 [2D2-2] Cho hai hàm số f ( x ) = log x , g ( x ) = x Xét mệnh đề sau: (I) Đồ thị hai hàm số đối xứng qua đường thẳng y = x (II) Tập xác định hai hàm số ℝ (III) Đồ thị hai hàm số cắt điểm (IV) Hai hàm số đồng biến tập xác định Có mệnh đề mệnh đề A B C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập D Trang 1/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 8: BTN-003/18 [2H2-2] Cho hình lập phương có cạnh 40 cm hình trụ có hai đáy hai hình tròn nộ i tiếp hai mặt đối diện hình lập phương Gọi S1 , S diện tích tồn phần hình lập phương diện tích tồn phần hình trụ Tính S = S1 + S ( cm ) Câu 9: A S = ( 2400 + π ) B S = 2400 ( + π ) C S = 2400 ( + 3π ) D S = ( 2400 + 3π ) [2D4-2] Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần thực âm phần ảo dương phương trình z + z + 10 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w = i 2017 z0 ? A M ( 3; − 1) B M ( 3; 1) C M ( −3; 1) D M ( −3; − 1) Câu 10: [1D1-3] Tính tổng S nghiệm phương trình ( 2cos x + ) ( sin x − cos4 x ) + = khoảng ( 0; 2π ) A S = 11π B S = 4π C S = 5π D S = 7π Câu 11: [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho OA = 2i + j + 2k , B ( −2; 2; ) C ( 4;1; − 1) Trên mặt phẳng ( Oxz ) , điểm cách ba điểm A , B , C 1 3 A M  ; 0;  2 4 −1   −3 B N  ; 0;  2  −1  3 C P  ; 0;  2 4 1  −3 D Q  ; 0;  2  Câu 12: [2D1-2] Đồ thị hàm số y = x − x + 2ax + b có điểm cực tiểu A ( 2; − ) Khi a + b A B C −4 D −2 Câu 13: [2H1-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt bên ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt đáy Biết góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) 45° Gọi V1 ;V2 thể tích khố i chóp S AHK S ACD với H , K trung điểm SC SD Tính độ dài đường cao khối chóp S ABCD tỉ số k = C h = 2a; k = V1 V2 D h = 2a; k = A h = a; k = B h = a; k = Câu 14: [2D2-2] Cho hàm số f ( x ) = ln ( x − x + ) Tìm giá trị x để f ′ ( x ) > A x ≠ B x >  e ax −  Câu 15: [1D4-2] Cho hàm số f ( x ) =  x 1  x0 = A a = B a = C x > D ∀x x ≠ Tìm giá trị a để hàm số liên tục x = TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C a = −1 D a = − Trang 2/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 Câu 16: [2D1-3] Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục R \ {1} có bảng biến thiên sau x −∞ y′ + 0 − + +∞ + +∞ +∞ +∞ y 27 −∞ Tìm điều kiện m để phương trình f ( x ) = m có nghiệm phân biệt A m < B m > C < m < 27 Câu 17: [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng D m > 27 ( P ) : x − y + z − 10 = x + y −1 z − = = Đường thẳng Δ cắt ( P ) d M N −1 cho A (1;3; ) trung điểm MN Tính độ dài đoạn MN đường thẳng d : A MN = 33 B MN = 26,5 C MN = 16, D MN = 33 \ n   Câu 18: [1D2-3] Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x x +  , với x > , biết x   Cn2 − Cn1 = 44 A 165 B 238 C 485 D 525 Câu 19: [2D3-2] Cho hai hàm số F ( x ) = ( x + ax + b ) e − x f ( x ) = ( − x + 3x + ) e − x Tìm a b để F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) A a = , b = −7 B a = −1 , b = −7 C a = −1 , b = D a = , b = 3a Biết hình chiếu vng góc A′ lên ( ABC ) trung điểm BC Tính thể tích V khố i Câu 20: [2H1-2] Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a , AA′ = lăng trụ A V = a 2a B V =  − x2  Câu 21: [1D4-2] Cho hàm số f ( x ) =  1  x 3a C V = D V = a 3 x < Khẳng định sai? x ≥ A Hàm số f ( x ) liên tục x = B Hàm số f ( x ) có đạo hàm x = C Hàm số f ( x ) liên tục x = hàm số f ( x ) có đạo hàm x = D Hàm số f ( x ) đạo hàm x = TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 x3 x Câu 22: [2D1-1] Biết đường thẳng y = − x − cắt đồ thị hàm số y = + − x điểm 24 nhất; ký hiệu ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm Tìm y0 A y0 = 13 12 B y0 = 12 13 C y0 = − D y0 = −2 Câu 23: [1D3-2] Cho cấp số cộng ( un ) gọ i S n tổng n số hạng Biết S = 77 S12 = 192 Tìm số hạng tổng quát un cấp số cộng A un = + 4n B un = + 2n C un = + 3n D un = + 5n Câu 24: [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; −4 ) , B (1; −3;1) , C ( 2; 2;3) Tính đường kính l mặt cầu ( S ) qua ba điểm có tâm nằm mặt phẳng ( Oxy ) A l = 13 B l = 41 Câu 25: [2D1-2] Đồ thị hàm số f ( x ) = A B C l = 26 D l = 11 có đường tiệm cận ngang ? x − x − x − 3x C D 2 Câu 26: [1H1-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn ( C ) : ( x + m ) + ( y − ) = ( C ′) : x + y + ( m − ) y − x + 12 + m2 = Vectơ v vectơ phép t ịnh tiến biến ( C ) thành ( C ′ ) ? A v = ( 2;1) B v = ( −2;1) C v = ( −1;2 ) D v = ( 2; − 1) Câu 27: [2H2-3] Người thợ gia công sở chất lượng cao X cắt miếng tơn hình tròn với bán kính 60cm thành ba l miếng hình quạt Sau người thợ quấn hàn ba miếng tơn để ba phễu hình nón Hỏi thể tích V mỗ i phễu bao nhiêu? A V = 16000 lít B V = 16 2π lít h O C V = r 16000 2π 160 2π lít D V = lít 3 Câu 28: [1D5-2] Cho hàm số f ( x ) = x3 − x + x + có đồ thị ( C ) Có tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm thuộc đồ thị ( C ) có hồnh độ nghiệm phương trình A B C f ′ ( x ) − x f ′′ ( x ) − = ? D Câu 29: [2H1-3] Ông An muốn xây bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 288m3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể 500000 đồng/ m Nếu ông An biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi ơng An trả chi phí thấp để xây dựng bể bao nhiêu? A 108 triệu đồng B 54 triệu đồng C 168 triệu đồng D 90 triệu đồng TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 4/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 x −1 y − z −1 = = , 1 điểm thuộc d cho AH có độ dài nhỏ Tính Câu 30: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : A ( 2;1; ) Gọi H ( a; b; c ) T = a + b3 + c A T = B T = 62 C T = 13 D T = Câu 31: [2D2-3] Cho hàm số f ( x ) = 5x.82 x Khẳng định sau khẳng định sai? A f ( x ) ≤ ⇔ x log + 2.x ≤ B f ( x ) ≤ ⇔ x + x log ≤ C f ( x ) ≤ ⇔ x log + x3 ≤ D f ( x ) ≤ ⇔ x log + x ≤ Câu 32: [2H2-3] Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có cạnh a Tính diện tích S mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ A S = 49π a 144 B S = 7a2 C S = 7π a D S = 49a 144 Câu 33: [2D1-2] Có giá trị nguyên m để hàm số f ( x ) = x − x − m + có giá trị cực trị trái dấu? A B C D Câu 34: [2D3-3] Cho hàm số f ( x ) liên tục R có ∫ f ( x ) dx = 2; ∫ f ( x ) dx = Tính I= ∫ f ( x − ) dx −1 A I = B I = C I = D I = Câu 35: [1H3-3] Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi O tâm đáy ABC , d1 khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) d khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) Tính d = d1 + d A d = 2a 11 B d = 2a 33 C d = 8a 33 D d = 8a 11 Câu 36: [2D2-3] Gọi x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện log x = log y = log ( x + y ) x −a + b = , với a , b hai số nguyên dương Tính a + b y A a + b = B a + b = 11 C a + b = D a + b = Câu 37: [2D3-2] Tính diện tích S hình phẳng ( H ) giới hạn đường cong y = − x3 + 12 x y = −x2 A S = 343 12 B S = 793 C S = 397 D S = 937 12 Câu 38: [2D1-4] Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = sin x − 3cos x − m sin x −  π đồng biến đoạn  0;   2 A m > −3 B m ≤ TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C m ≤ −3 D m > Trang 5/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 Câu 39: [2D1-2] Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y =  3 tập D = ( −∞; −1] ∪ 1;  Tính giá trị T m.M  2 A T = B T = C T = D T = − x2 − x−2 S Câu 40: [2H2-2] Cho tam giác SAB vuông A , ABS = 60° , đường phân giác ABS cắt SA điểm I Vẽ nửa đường tròn tâm I bán kính IA ( hình vẽ) Cho ∆SAB nửa đường tròn quay quanh SA tạo nên khối cầu khối nón tích tương ứng V1 , V2 Khẳng định đúng? A 4V1 = 9V2 I B 9V1 = 4V2 C V1 = 3V2 30° A D 2V1 = 3V2 k Câu 41: [2D3-3] Tìm tất giá trị thực tham số k để có ∫ ( x − 1) dx = lim x →0 k = A  k = k = B   k = −2  k = −1 C   k = −2 B x +1 −1 \ x  k = −1 D  k = Câu 42: [2D1-3] Có giá tri thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp chúng ? A B C D Câu 43: [1D3-3] Một hình vng ABCD có cạnh AB = a , diện tích S1 Nối trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự cạnh AB , BC , CD , DA ta hình vng thứ hai A1 B1C1 D1 có diện tích S Tiếp tục ta hình vng thứ ba A2 B2C2 D2 có diện tích S3 tiếp tục thế, ta diện tích S , S5 , Tính S = S1 + S + S3 + + S100 2100 − A S = 99 a C S = B S = a ( 2100 − 1) Câu 44: [2D2-3] ( 299 Tìm D S = giá trị thực tham a ( 2100 − 1) 299 a ( 299 − 1) 299 số m để bất phương trình ) log 0,02 log ( + 1) > log 0,02 m có nghiệm với mọ i x ∈ ( −∞; ) x A m > B m < C < m < D m ≥ Câu 45: [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 3; 2;1) Mặt phẳng ( P ) qua M cắt trục tọa độ Ox , Oy , Oz điểm A , B , C không trùng với gốc tọa độ cho M trực tâm tam giác ABC Trong mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng ( P ) A x + y + z + 14 = B x + y + 3z + = C x + y + z − 14 = D x + y + z − = TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 6/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 Câu 46: [2D4-4] Cho số phức z = a + bi phức z ( a, b ∈ ℝ ) Biết tập hợp điểm A biểu diễn hình học số đường tròn ( C ) có tâm I ( 4;3) bán kính R = Đặt M giá trị lớn nhất, m giá trị nhỏ F = 4a + 3b − Tính giá trị M + m A M + m = 63 B M + m = 48 C M + m = 50 D M + m = 41  x2 − x +  Câu 47: [2D2-4] Biết x1 , x2 hai nghiệm phương trình log   + x + = x 2x   x 1+ x2 = a + b với a , b hai số nguyên dương Tính a + b A a + b = 16 B a + b = 11 C a + b = 14 D a + b = 13 Câu 48: [2H3-4] ( ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  x = 5+t  ( S ) : x2 + y + z + ax + by + cz + d = có bán kính R = 19, đường thẳng d :  y = −2 − 4t  z = −1 − 4t  mặt phẳng ( P ) : 3x − y − 3z − = Trong số {a; b; c; d } theo thứ tự đây, số thỏa mãn a + b + c + d = 43, đồng thời tâm I ( S ) thuộc đường thẳng d ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) ? A {−6; −12; −14; 75} B {6;10; 20; 7} C {−10; 4; 2; 47} D {3;5;6; 29} Câu 49: [1D4-4] Đặt f ( n ) = ( n + n + 1) + Xét dãy số ( un ) cho un = A lim n un = f (1) f ( 3) f ( ) f ( 2n − 1) Tính lim n un f ( ) f ( ) f ( ) f ( 2n ) B lim n un = C lim n un = D lim n un =  f ( x ) f ( a − x ) = Câu 50: [2D3-4] Cho f ( x ) hàm liên tục đoạn [ 0; a ] thỏa mãn   f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 0; a ] a dx ∫ 1+ f ( x) = ba b , b , c hai số nguyên dương phân số tối giản Khi b + c c c có giá trị thuộc khoảng đây? A (11; 22 ) B ( 0;9 ) C ( 7; 21) D ( 2017; 2020 ) HẾT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 7/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 ĐÁP ÁN B A C B D C A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B D B C B A C B D C A B C D A B C D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A B A A B A C D B C A D B C B D A C D A B C A D B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: [1D2-2] Có bìa ghi chữ “HIỀN”, “TÀI”, “LÀ”, “NGUN”, “KHÍ”, “QUỐC”, “GIA” Một người xếp ngẫu nhiên bìa cạnh Tính xác suất để xếp bìa dòng chữ “HIỀN TÀI LÀ NGUN KHÍ QUỐC GIA” 1 1 A B C D 25 5040 24 13 Lời giải Chọn B Xếp ngẫu nhiên bìa có 7! = 5040 (cách xếp) ⇒ n ( Ω ) = 5040 Đặt A biến cố “xếp chữ HIỀN TÀI LÀ NGUN KHÍ QUỐC GIA” Ta có n ( A) = Vậy P ( A ) = Câu 2: 5040 π  π  π  [1D1-2] Cho phương trình cos  x +  + cos  − x  = Khi đặt t = cos  − x  , phương 3  6  6  trình cho trở thành phương trình đây? A 4t − 8t + = B 4t − 8t − = C 4t + 8t − = D 4t − 8t + = Lời giải Chọn A π  π  Phương trình tương đương với: − cos  − x  + 4cos  − x  − = 6  6  π  π  π  ⇔ −4cos  − x  + 8cos  − x  − = , nên đặt t = cos  − x  phương trình trở thành 6  6  6  −4t + 8t − = ⇔ 4t − 8t + = Câu 3: [2D1-2] Trong hàm sau đây, hàm số không nghịch biến ℝ C y = − x +1 A y = − x + x − x B y = −4 x + cos x x   D y =    2+ 3 Lời giải Chọn C Với y = − 2x ta có y ′ = x +1 ( x2 + 1) y ′ > x > y ′ < x < nên hàm số không nghịch biến ℝ Câu 4: [2D2-2] Với hai số thực dương a, b tùy ý khẳng định đúng? A a = b log B a = 36b log 5log a − log b = Khẳng định + log3 C 2a + 3b = D a = b log Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 Chọn B log 5log5 a log a Ta có − log b = ⇔ − log b = ⇔ log a − log b = + log log ⇔ log Câu 5: a a = ⇔ = 36 ⇔ a = 36b b b [2H2-3] Quả bóng đá dùng thi đấu giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi thiết diện qua tâm 68.5 ( cm ) Quả bóng ghép nối miếng da hình lục giác màu trắng đen, mỗ i miếng có diện tích 49.83 ( cm ) Hỏi cần miếng da để làm bóng trên? A ≈ 40 (miếng da) B ≈ 20 (miếng da) C ≈ 35 (miếng da) Lời giải D ≈ 30 (miếng da) Chọn D Vì thiết diện qua tâm đường tròn có chu vi 68.5 ( cm ) , nên giả sử bán kính mặt cầu R ta có: 2π R = 68.5 ⇒ R = 68.5 2π  68.5  Diện tích mặt cầu: S xq = 4π R = 4π   ≈ 1493.59 ( cm )  2π  Vì mỗ i miếng da có diện tích 49.83 ( cm ) nên để phủ kín mặt bóng số miếng da cần Câu 6: 1493.59 ≈ 29.97 Vậy phải cần ≈ 30 (miếng da) 49.83 [2D1-2] Cho hàm số y = ax − b có đồ thị hình x −1 y x O −1 −2 Khẳng định đúng? A b < < a B < b < a C b < a < Hướng dẫn giải D < a < b Chọn C Nhìn vào đồ thị ta thấy : Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = a tiệm cận đứng x = Đồ thị a  = b cắt trục hoành điểm có hồnh độ x = > Ta có :  −1 ⇔ b < a = −1 < b a  >1  a Câu 7: [2D2-2] Cho hai hàm số f ( x ) = log x , g ( x ) = x Xét mệnh đề sau: (I) Đồ thị hai hàm số đối xứng qua đường thẳng y = x TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 9/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 (II) Tập xác định hai hàm số ℝ (III) Đồ thị hai hàm số cắt điểm (IV) Hai hàm số đồng biến tập xác định Có mệnh đề mệnh đề A B C Hướng dẫn giải Chọn A Các mệnh đề là: (I) Đồ thị hai hàm số đối xứng qua đường thẳng y = x (IV) Hai hàm số đồng biến tập xác định Câu 8: D [2H2-2] Cho hình lập phương có cạnh 40 cm hình trụ có hai đáy hai hình tròn nộ i tiếp hai mặt đối diện hình lập phương Gọi S1 , S diện tích tồn phần hình lập phương diện tích tồn phần hình trụ Tính S = S1 + S ( cm ) A S = ( 2400 + π ) B S = 2400 ( + π ) C S = 2400 ( + 3π ) D S = ( 2400 + 3π ) Hướng dẫn giải Chọn B D' C' O' A' B' D C O A B Ta có: S1 = 6.402 = 9600 Bán kính đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương là: r = 20 cm ; hình trụ có đường sinh h = 40 cm Diện tích tồn phần hình trụ là: S = 2.π 202 + 2π 20.40 = 2400π Vậy: S = S1 + S = 9600 + 2400π = 2400 ( + π ) Câu 9: [2D4-2] Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần thực âm phần ảo dương phương trình z + z + 10 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w = i 2017 z0 ? A M ( 3; − 1) B M ( 3; 1) C M ( −3; 1) D M ( −3; − 1) Hướng dẫn giải Chọn D  z = −1 + 3i Ta có: z + z + 10 = ⇔  Suy z0 = −1 + 3i  z = −1 − 3i w = i 2017 z0 = i ( −1 + 3i ) = −3 − i Suy : Điểm M ( −3; − 1) biểu diễn số phức w TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 10/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 11   Với n = 11 , số hạng thứ k + khai triển nhị thức  x x +  x   k 11 C 11− k (x x ) 33 11 − k   k 2   = C11 x x  k 33 11k − = hay k = 2 Vậy, số hạng không chứa x khai triển cho C113 = 165 Theo giả thiết, ta có Câu 19: [2D3-2] Cho hai hàm số F ( x ) = ( x + ax + b ) e − x f ( x ) = ( − x + 3x + ) e − x Tìm a b để F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) A a = , b = −7 B a = −1 , b = −7 C a = −1 , b = Lời giải D a = , b = Chọn B  − a =  a = −1 Ta có F ′ ( x ) = ( − x + ( − a ) x + a − b ) e − x = f ( x ) nên  ⇔ a − b = b = −7 Câu 20: 3a Biết hình chiếu vng góc A′ lên ( ABC ) trung điểm BC Tính thể tích V khố i [2H1-2] Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a , AA′ = lăng trụ A V = a B V = 2a C V = 3a D V = a 3 Lời giải Chọn C B′ C′ A′ H C B A Gọi H trung điểm BC Theo giả thiết, A′H đường cao hình lăng trụ A′H = AA′2 − AH = Vậy, thể tích khố i lăng trụ V = SΔABC A′H = TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập a a a 3a = Trang 14/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/  − x2  Câu 21: [1D4-2] Cho hàm số f ( x ) =  1  x BTN-003/18 x < Khẳng định sai? x ≥ A Hàm số f ( x ) liên tục x = B Hàm số f ( x ) có đạo hàm x = C Hàm số f ( x ) liên tục x = hàm số f ( x ) có đạo hàm x = D Hàm số f ( x ) đạo hàm x = Lời giải Chọn D − x2 = lim+ f ( x ) = lim+ = Do đó, hàm số f ( x ) liên tục x = x →1 x →1 x →1 x →1 x f ( x ) − f (1) − x2 1+ x lim− = lim− = lim− = −1 x →1 x →1 ( x − 1) x →1 −2 x −1 lim− f ( x ) = lim− lim+ x →1 f ( x ) − f (1) 1− x −1 = lim+ = lim+ = −1 Do đó, hàm số f ( x ) có đạo hàm x = x →1 x ( x − 1) x →1 x x −1 x3 x Câu 22: [2D1-1] Biết đường thẳng y = − x − cắt đồ thị hàm số y = + − x điểm 24 nhất; ký hiệu ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm Tìm y0 A y0 = 13 12 B y0 = 12 13 C y0 = − Lời giải D y0 = −2 Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số: x3 x − x− = + − 2x ⇔ 24   13 Do đó, y0 = y  −  =   12 x3 x 1 + + x+ =0 ⇔ x=− 24 Câu 23: [1D3-2] Cho cấp số cộng ( un ) gọ i S n tổng n số hạng Biết S = 77 S12 = 192 Tìm số hạng tổng quát un cấp số cộng A un = + 4n B un = + 2n C un = + 3n D un = + 5n Lời giải Chọn B Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d 7.6.d  7u1 + = 77  S = 77 7u + 21d = 77 u =  Ta có:  ⇔ ⇔ ⇔ S12 = 192 12u1 + 66d = 192 d = 12u + 12.11.d = 192  Khi đó: un = u1 + ( n − 1) d = + ( n − 1) = + 2n TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 15/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 Câu 24: [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; −4 ) , B (1; −3;1) , C ( 2; 2;3) Tính đường kính l mặt cầu ( S ) qua ba điểm có tâm nằm mặt phẳng ( Oxy ) A l = 13 B l = 41 C l = 26 D l = 11 Lời giải Chọn C Gọi tâm mặt cầu : I ( x; y; )   IA = IB  ⇔   IA = IC   2 + 42 = ( x − 1) + ( y + 3) 2 + 42 = ( x − ) + ( y − 2) ( x − 1) + ( y − 2) ( x − 1) + ( y − 2) ( y − ) + 42 = ( y + 3) + 12 ⇔ 2  x − x + + 16 = x − x + + 10 y = 10  x = −2 ⇒ l = 2R = ⇔ ⇔ 2 x = −4 y =1 Câu 25: [2D1-2] Đồ thị hàm số f ( x ) = A B 2 ( −3) + ( −1) 2 + 12 + 32 + 42 = 26 có đường tiệm cận ngang ? x − x − x − 3x C D Lời giải Chọn D x2 − x ≥ x ≤ ∨ x ≥   Điều kiện xác định :  x − 3x ≥ ⇔ x ≤ ∨ x ≥ ⇔ x < ∨ x ≥  x ≠   x − x − x − 3x ≠ Nên tập xác định : D = ( −∞; ) ∪ [ 4; +∞ ) lim x →+∞ = lim x →+∞ lim x − x − x − 3x 1− x →−∞ = lim x →+∞ x − x + x − 3x = lim x →+∞ −x x 1− + x 1− x x −x + 1− x x = −2 ⇒ đường thẳng y = −2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số −1 2 x − x − x − 3x = lim x →−∞ x − x + x − 3x = lim x →−∞ −x −x 1− − x 1− x x −x − 1− x x = ⇒ đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số = lim x →−∞ −1 Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang − 1− TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 16/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 2 Câu 26: [1H1-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn ( C ) : ( x + m ) + ( y − ) = ( C ′) : x + y + ( m − ) y − x + 12 + m2 = Vectơ v vectơ phép t ịnh tiến biến ( C ) thành ( C ′ ) ? A v = ( 2;1) B v = ( −2;1) C v = ( −1; ) D v = ( 2; − 1) Lời giải Chọn A Điều kiện để ( C ′ ) đường tròn ( m − ) + − 12 − m > ⇔ −4m + > ⇔ m < Khi đó: Đường tròn ( C ′ ) có tâm I ′ ( − m; 3) , bán kính R′ = −4m + Đường tròn ( C ) có tâm I ( − m; ) , bán kính R =  R′ = R Phép tịnh tiến theo vectơ v biến ( C ) thành ( C ′ )   II ′ = v  −4m + = m = −1 Vậy chọn A ⇔ ⇔ v = ( 2;1) v = II ′ = ( + m; − m ) Câu 27: [2H2-3] Người thợ gia công sở chất lượng cao X cắt miếng tơn hình tròn vớ i bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt Sau người thợ quấn hàn ba miếng tơn để ba phễu hình nón Hỏi thể tích V mỗ i phễu bao nhiêu? l h O A V = 16000 lít B V = 16 2π lít C V = r 16000 2π 160 2π lít D V = lít 3 Lời giải Chọn B Đổi 60cm = dm Đường sinh hình nón tạo thành l = dm Chu vi đường tròn ban đầu C = 2π R = 16π Gọi r bán kính đường tròn đáy hình nón tạo thành 2π 4π Chu vi đường tròn đáy hình nón tạo thành 2π r = = 4π dm ⇒ r = = dm 2π Đường cao khối nón tạo thành h = l − r = 62 − 22 = 1 16 2π 16 2π Thể tích mỗ i phễu V = π r h = π 22.4 = dm3 = lít 3 3 TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 17/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 Câu 28: [1D5-2] Cho hàm số f ( x ) = x3 − x + x + có đồ thị ( C ) Có tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm thuộc đồ thị ( C ) có hồnh độ nghiệm phương trình A B f ′ ( x ) − x f ′′ ( x ) − = ? C Lời giải D Chọn A Ta có f ′ ( x ) = x − 12 x + ; f ′′ ( x ) = x − 12 f ′ ( x ) − x f ′′ ( x ) − = ⇔ ( x − 12 x + ) − x ( x − 12 ) − = ⇔ −12 x + 12 = ⇔ x = Khi x = ⇒ f ′ (1) = 0; f (1) = Suy có phương trình tiếp tuyến y = Câu 29: [2H1-3] Ông An muốn xây bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích 288m3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể 500000 đồng/ m Nếu ơng An biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi ơng An trả chi phí thấp để xây dựng bể bao nhiêu? A 108 triệu đồng B 54 triệu đồng C 168 triệu đồng D 90 triệu đồng Lời giải Chọn A Theo ta có để chi phí th nhân cơng thấp ta phải xây dựng bể cho tổng diện tích xung quanh diện tích đáy nhỏ Gọi ba kích thước bể a , 2a , c ( a ( m ) > 0, c ( m ) > ) Ta có diện tích cách mặt cần xây S = 2a + 4ac + 2ac = 2a + 6ac 144 Thể tích bể V = a.2a.c = 2a c = 288 ⇒ c = a Vậy S = 2a + 6a 144 864 432 432 432 432 = 2a + = 2a + + ≥ 3 2a = 216 a a a a a a Vậy S = 216 m2 Chi phí thấp 216 × 500000 = 108 triệu đồng x −1 y − z −1 = = , 1 điểm thuộc d cho AH có độ dài nhỏ Tính Câu 30: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : A ( 2;1; ) Gọi H ( a; b; c ) T = a + b3 + c A T = B T = 62 C T = 13 Lời giải D T = Chọn B x = 1+ t  Phương trình tham số đường thẳng d :  y = + t  z = + 2t  (t ∈ ℝ) H ∈ d ⇒ H (1 + t ; + t ;1 + 2t ) Độ dài AH = 2 ( t − 1) + ( t + 1) + ( 2t − 3) Độ dài AH nhỏ 2 = 6t − 12t + 11 = ( t − 1) + ≥ t = ⇒ H ( 2;3;3) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 18/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 Vậy a = , b = , c = ⇒ a + b3 + c = 62 Câu 31: [2D2-3] Cho hàm số f ( x ) = 5x.82 x Khẳng định sau khẳng định sai? A f ( x ) ≤ ⇔ x log + 2.x ≤ B f ( x ) ≤ ⇔ x + x log ≤ C f ( x ) ≤ ⇔ x log + x3 ≤ D f ( x ) ≤ ⇔ x log + x ≤ Lời giải Chọn A ( 3 ) Ta có x log + x ≤ ⇔ log 5x + log 2 x ≤ ⇔ log 5x.22 x ≤ ⇔ 5x.22 x ≤ Vậy A sai Các đáp án lại kiểm tra tính đắn cách lơgarit hóa hai vế bất đẳng thức f ( x ) ≤ theo số Câu 32: [2H2-3] Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có cạnh a Tính diện tích S mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ 49π a A S = 144 7a2 B S = 7π a C S = Lời giải 49a D S = 144 Chọn C A′ O′ C′ B′ I A O H B C Gọi mặt cầu qua đỉnh lăng trụ ( S ) tâm I , bán kính R Do IA = IB = IC = IA′ = IB′ = IC ′ = R ⇒ hình chiếu I mặt ( ABC ) , ( A′B ′C ′ ) tâm O ∆ABC tâm O′ ∆A′B ′C ′ Mà ABC A′B′C ′ lăng trụ ⇒ I trung điểm OO′ ⇒ OI = Do O tâm tam giác ABC cạnh a ⇒ AO = OO′ AA′ a = = 2 2 2a a AH = = 3 2 a 21 a a 3 Trong tam giác vng OAI có: R = IA = IO + OA =   +   = 2   Diện tích mặt cầu là: S = 4π R = 4π 21a 7π a = 36 Câu 33: [2D1-2] Có giá trị nguyên m để hàm số f ( x ) = x − x − m + có giá trị cực trị trái dấu? TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 19/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ A B BTN-003/18 C Lời giải D Chọn D TXĐ: D = R f ′ ( x ) = x − 12 x = x ( x − )  x1 = Khi : y1 = y ( ) = − m y1 = y ( ) = −7 − m f ′( x) = ⇔   x2 = Để hai giá trị cực trị trái dấu cần có : y1 y2 < ⇔ (1 − m )( − m − ) < ⇔ −7 < m < Mà m ∈ Z ⇒ m ∈ {−6; −5; −4; −3; −2; −1;0} Câu 34: [2D3-3] Cho hàm số f ( x ) liên tục R có ∫ f ( x ) dx = 2; ∫ f ( x ) dx = Tính I= ∫ f ( x − ) dx −1 A I = B I = C I = D I = Lời giải Chọn B ∫ Có I = f ( x − ) dx = −1 ∫ f (1 − x ) dx + ∫ f ( x − 1) dx = I1 + I 2 −1  x = −1 ⇒ u =  Tính I1 = ∫ f (1 − x ) dx Đặt u = − x ⇒ du = −2 dx Đổi cận :  x = ⇒ u = −1  ⇒ I1 = −1 f ( u ) du = ∫ f ( u ) du = ∫ 20 x = ⇒ u =  Tính I = ∫ f ( x − 1) dx Đặt u = x − ⇒ du = dx Đổi cận :  1  x = ⇒ u = 1 1 ⇒ I = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( u ) du = 20 20 Vậy I = I1 + I = Câu 35: [1H3-3] Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi O tâm đáy ABC , d1 khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) d khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) Tính d = d1 + d A d = 2a 11 B d = 2a 33 C d = 8a 33 D d = 8a 11 Lời giải Chọn C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 20/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 S a H C A K O a M B Do tam giác ABC tâm O suy AO ⊥ BC M trung điểm BC Ta có: AM = a a a , MO = AM = , OA = AM = 3 Từ giả thiết hình chóp suy SO ⊥ ( ABC ) , SO = SA2 − OA2 = 3a − Dựng OK ⊥ SM , AH ⊥ SM ⇒ AH //OK ; 3a 2a = OK OM = = AH AM  BC ⊥ SO Có  ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ OK  BC ⊥ AM OK ⊥ SM Có  ⇒ OK ⊥ ( SBC ) , AH ⊥ ( SBC ) ( AH //OK ) OK ⊥ BC Từ có d1 = d ( A, ( SBC ) ) = AH = 3OK ; d = d ( O, ( SBC ) ) = OK Trong tam giác vng OSM có đường cao OK nên: 1 36 99 2a = + = 2+ = ⇒ OK = 2 2 OK OM SO 3a 24a 8a 33 Vậy d = d1 + d = 4OK = 8a 33 Câu 36: [2D2-3] Gọi x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện log x = log y = log ( x + y ) x −a + b = , với a , b hai số nguyên dương Tính a + b y A a + b = B a + b = 11 C a + b = Lời giải Chọn A Đặt log x = t  x = 9t  t y = log x = log y = t  Theo đề có  ⇒  x + y = 4t log x = log ( x + y ) = t  t x =3  y   D a + b = (1) (2) (3) (4) Từ (1), (2), (3) ta có TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 21/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18  t −1 +   = 2t t t 2 3 3 t t t t t + = ⇔ ( ) + ( 3.2 ) − = ⇔   +   − = ⇔   t −1 − 2 2   =   (TM ) ( L) t x   −1 + − a + b =  = = ⇒ a = 1; b = y  2 2 Thử lại ta thấy a = 1; b = thỏa mãn kiện toán Suy a + b = Thế vào (4) ta Câu 37: [2D3-2] Tính diện tích S hình phẳng ( H ) giới hạn đường cong y = − x3 + 12 x y = −x2 A S = 343 12 B S = 793 C S = 397 D S = 937 12 Lời giải Chọn D Hoành độ giao điểm hai đường cong nghiệm phương trình; x = − x + 12 x = − x ⇔ − x + 12 x + x = ⇔  x = −3   x = 0 Ta có S = ∫ −x + 12 x + x dx + ∫ − x + 12 x + x dx −3 = ∫ (x − 12 x − x ) dx + ∫ ( − x + 12 x + x ) dx = −3 99 160 937 + = 12 Câu 38: [2D1-4] Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = sin x − 3cos x − m sin x −  π đồng biến đoạn  0;   2 A m > −3 B m ≤ C m ≤ −3 Lời giải D m > Chọn B  π Đặt sin x = t , x ∈  0;  ⇒ t ∈ [ 0;1]  2 Xét hàm số f ( t ) = t + 3t − mt − Ta có f ′ ( t ) = 3t + 6t − m Để hàm số f ( t ) đồng biến [ 0;1] cần: f ′(t ) ≥ ∀t ∈ [ 0;1] ⇔ 3t + 6t − m ≥ ∀t ∈ [ 0;1] ⇔ 3t + 6t ≥ m ∀t ∈ [ 0;1] Xét hàm số g ( t ) = 3t + 6t g ′ ( t ) = 6t + g ′ ( t ) = ⇔ t = −1 Bảng biến thiên TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 22/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ t g ′ (t ) BTN-003/18 + g (t ) Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với m ≤ hàm số f ( t ) đồng biến [ 0;1] , hàm số  π f ( x ) đồng biến đoạn  0;   2 x2 − Câu 39: [2D1-2] Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x−2  3 tập D = ( −∞; −1] ∪ 1;  Tính giá trị T m.M  2 3 A T = B T = C T = D T = − 2 Lời giải Chọn C x2 − Tập xác định ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) \ {2} x−2 x ( x − 2) − x2 −1 −2 x + y′ = x − = 2 ( x − 2) x2 −1 ( x − 2) y= y′ = ⇔ x = x –∞ f ′( x) −1 + − 0 f ( x) − −1 Từ bảng biến thiên suy M = 0; m = − Vậy M m = S Câu 40: [2H2-2] Cho tam giác SAB vuông A , ABS = 60° , đường phân giác ABS cắt SA điểm I Vẽ nửa đường tròn tâm I bán kính IA ( hình vẽ) Cho ∆SAB nửa đường tròn quay quanh SA tạo nên khối cầu khối nón tích tương ứng V1 , V2 Khẳng định đúng? A 4V1 = 9V2 B 9V1 = 4V2 C V1 = 3V2 D 2V1 = 3V2 Lời giải Chọn B TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập I 30° A B Trang 23/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18  IA = x tan 30° Đặt AB = x ⇒   SA = x tan 60° 4 Khố i cầu: V1 = π R = π IA3 = π ( x tan 30° ) 3 1 Khố i nón V2 = π AB SA = π x ( x tan 60° ) 3 V Vậy = hay 9V1 = 4V2 V2 k ∫ ( x − 1) dx = lim Câu 41: [2D3-3] Tìm tất giá trị thực tham số k để có x →0 k = A  k = k = B   k = −2  k = −1 C   k = −2 x +1 −1 \ x  k = −1 D  k = Lời giải Chọn D ( x − 1) Ta có: ∫ ( x − 1) dx = ∫ ( x − 1) d ( x − 1) = 21 k k Mà 4lim x →0 x + −1 = lim x →0 x ( )( x +1 +1 ( ) x +1 +1 ( 2k − 1) = ) = 4lim x + −1 x k x →0 − =2 x +1 +1 ( 2k − 1) − = ⇔ 2k − = ⇔  k = x +1 −1 Khi đó: ∫ ( x − 1) dx = lim ⇔ ( )  k = −1 x →0 x  k Câu 42: [2D1-3] Có giá tri thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp chúng ? A B C D Lời giải Chọn A y ′ = x3 − 4mx = x ( x − m ) x = Xét y ′ = ⇔  ( m > 0) x = ± m ( ) ( Tọa độ ba điểm cực trị: A ( 0; m − 1) , B − m ; −m2 + m − , C ) m ; −m2 + m − Gọi H trung điểm cạnh BC Ta có H ( 0; −m2 + m − 1) S ∆ABC = AB AC.BC AH BC = (do ∆ABC cân A ) 4R  AH = m ⇔ AB = AH R   AB = m + m Suy m + m = 4m ⇔ 3m = m ⇔ m = TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 24/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 Câu 43: [1D3-3] Một hình vng ABCD có cạnh AB = a , diện tích S1 Nối trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự cạnh AB , BC , CD , DA ta hình vng thứ hai A1B1C1D1 có diện tích S Tiếp tục ta hình vng thứ ba A2 B2C2 D2 có diện tích S3 tiếp tục thế, ta diện tích S , S5 , Tính S = S1 + S + S3 + + S100 2100 − A S = 99 a B S = a ( 2100 − 1) C S = 299 Lời giải a ( 2100 − 1) 299 D S = a ( 299 − 1) 299 Chọn C Dễ thấy: S1 = a ; S = a2 a2 a2 ; S3 = ; ; S100 = 99 Như S1 , S , S3 , , S100 cấp số nhân với công i q = S = S1 + S + + S100 Câu 44: [2D2-3] Tìm ( 2 100  a ( − 1)  1 = a 1 + + + + 99  =  299  2 giá trị thực tham số để m bất phương trình ) log 0,02 log ( 3x + 1) > log 0,02 m có nghiệm với mọ i x ∈ ( −∞; ) A m > B m < C < m < D m ≥ Lời giải Chọn D ( ) log 0,02 log ( 3x + 1) > log 0,02 m TXĐ: D = ℝ ĐK tham số m : m > ( ) Ta có: log 0,02 log ( 3x + 1) > log 0,02 m ⇔ log ( 3x + 1) < m Xét hàm số f ( x ) = log ( 3x + 1) , ∀x ∈ ( −∞; ) có f ′ = 3x.ln > 0, ∀x ∈ ( −∞; ) ( 3x + 1) ln Bảng biến thiên f ( x ) : x f′ −∞ f + Khi với u cầu tốn m ≥ Câu 45: [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 3; 2;1) Mặt phẳng ( P ) qua M cắt trục tọa độ Ox , Oy , Oz điểm A , B , C không trùng với gốc tọa độ cho M trực tâm tam giác ABC Trong mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng ( P ) A x + y + z + 14 = B x + y + 3z + = C x + y + z − 14 = D x + y + z − = Lời giải Chọn A Gọi A ( a;0; ) ; B ( 0; b; ) ; C ( 0; 0; c ) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 25/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng: + + =1 a b c Vì ( P ) qua M nên BTN-003/18 x y z + + = 1( a.b.c ≠ ) a b c (1) Ta có: MA = ( a − 3; −2; −1) ; MB = ( −3; b − 2; −1) ; BC = ( 0; −b; c ) ; AC = ( −a;0; c ) MA.BC = 2b = c ⇔ Vì M trực tâm tam giác ABC nên:  ( 2) a = c MB AC =   14 14 Từ (1) ( ) suy a = ; b = ; c = 14 Khi phương trình ( P ) : x + y + z − 14 = Vậy mặt phẳng song song với ( P ) là: x + y + z + 14 = Câu 46: [2D4-4] Cho số phức z = a + bi phức z ( a, b ∈ ℝ ) Biết tập hợp điểm A biểu diễn hình học số đường tròn ( C ) có tâm I ( 4;3) bán kính R = Đặt M giá trị lớn nhất, m giá trị nhỏ F = 4a + 3b − Tính giá trị M + m A M + m = 63 B M + m = 48 C M + m = 50 Lời giải Chọn B D M + m = 41 Cách Ta có phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − 3) = 2 Do điểm A nằm đường tròn ( C ) nên ta có ( a − ) + ( b − 3) = Mặt khác F = 4a + 3b − = ( a − ) + ( b − 3) + 24 ⇔ F − 24 = ( a − ) + ( b − 3) 2 Ta có  ( a − ) + ( b − 3)  ≤ ( 42 + 32 ) ( a − ) + ( b − 3)  = 25.9 = 255   ⇒ −15 ≤ ( a − ) + ( b − 3) ≤ 15 ⇔ −15 ≤ F − 24 ≤ 15 ⇔ ≤ F ≤ 39 Khi M = 39 , m = Vậy M + m = 48 Cách Ta có F = 4a + 3b − ⇒ a = F + − 3b F + − 3b  −  + b − 6b + = ( a − ) + ( b − 3) = ⇒    2 ⇔ 25b − ( 3F + 3) b + F + 225 = 2 ∆′ = ( 3F + 3) − 25F − 5625 ∆′ ≥ ⇔ −16 F + 18F − 5625 ≥ ⇔ ≤ F ≤ 39  x2 − x +  Câu 47: [2D2-4] Biết x1 , x2 hai nghiệm phương trình log   + x + = x 2x   x 1+ x2 = a + b với a , b hai số nguyên dương Tính a + b A a + b = 16 B a + b = 11 C a + b = 14 D a + b = 13 Lời giải Chọn C ( ) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 26/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 x >  Điều kiện   x ≠  ( x − 1)   x2 − x +  Ta có log   + 4x2 − 4x +1 = x  + x + = x ⇔ log   x x     2 ⇔ log ( x − 1) + ( x − 1) = log x + x (1) Xét hàm số f ( t ) = log t + t ⇔ f ′ ( t ) = + > với t > t ln Vậy hàm số đồng biến  3+ x=  = f ( x ) ⇔ ( x − 1) = x ⇔   3− x =  Phương trình (1) trở thành f (( x − 1) ) 9 −  Vậy x1 + x2 =  9 +   ⇒ a = 9; b = ⇒ a + b = + = 14 Câu 48: [2H3-4] Trong (l ) ( tm ) không gian với hệ trục tọ a độ Oxyz , cho mặt cầu  x = 5+t  ( S ) : x + y + z + ax + by + cz + d = có bán kính R = 19, đường thẳng d :  y = −2 − 4t  z = −1 − 4t  2 mặt phẳng ( P ) : 3x − y − 3z − = Trong số {a; b; c; d } theo thứ tự đây, số thỏa mãn a + b + c + d = 43, đồng thời tâm I ( S ) thuộc đường thẳng d ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) ? A {−6; −12; −14; 75} B {6;10; 20; 7} C {−10; 4; 2; 47} D {3;5;6; 29} Lời giải Chọn A Ta có I ∈ d ⇒ I ( + t ; −2 − 4t; −1 − 4t ) t=0 Do ( S ) tiếp xúc với ( P ) nên d ( I ; ( P ) ) = R = 19 ⇔ 19 + 19t = 19 ⇔   t = −2 a + b2 + c  a b c Mặt khác ( S ) có tâm I  − ; − ; −  ; bán kính R = − d = 19  2 2 Xét t = ⇒ I ( 5; −2; −1) ⇒ {a; b; c; d } = {−10; 4; 2; 47} a + b2 + c Do − d ≠ 19 nên ta loại trường hợp Xét t = ⇒ {a; b; c; d } = {−6; −12; −14;75} Do a + b2 + c − d = 19 nên thỏa TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 27/28 - Mã đề 01-484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003/18 Câu 49: [1D4-4] Đặt f ( n ) = ( n + n + 1) + Xét dãy số ( un ) cho un = A lim n un = f (1) f ( 3) f ( ) f ( 2n − 1) f ( ) f ( ) f ( ) f ( 2n ) B lim n un = Tính lim n un C lim n un = 3 Lời giải D lim n un = Chọn D 4n − 2n + 1) + ( f ( 2n − 1) Xét g ( n ) = ⇒ g ( n) = f ( 2n ) ( 4n2 + 2n + 1) + ( 4n g (n) = ( 4n 2 + 1) − 4n ( 4n + 1) + ( 4n + 1) 4n + − 4n + ( 2n − 1) + = = 2 2 + 1) + 4n ( 4n2 + 1) + ( 4n + 1) 4n + + 4n + ( 2n + 1) + 2 10 26 ( 2n − ) + ( 2n − 1) + ⇒ un = = 2 10 26 50 ( 2n − 1) + ( 2n + 1) + ( 2n + 1) + ⇒ lim n un = lim 2n = 4n + 4n + 2  f ( x ) f ( a − x ) = Câu 50: [2D3-4] Cho f ( x ) hàm liên tục đoạn [ 0; a ] thỏa mãn   f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 0; a ] a dx ∫ 1+ f ( x) = ba b , b , c hai số nguyên dương phân số tối giản Khi b + c c c có giá trị thuộc khoảng đây? A (11; 22 ) B ( 0;9 ) C ( 7; 21) D ( 2017; 2020 ) Lời giải Chọn B Cách Đặt t = a − x ⇒ dt = −dx Đổi cận x = ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0 a a a f ( x ) dx dx −dt dx dx =∫ =∫ =∫ =∫ 1+ f ( x) a + f ( a − t ) + f ( a − x) + 1+ f ( x) 0 f ( x) a Lúc I = ∫ a f ( x ) dx a dx +∫ = ∫ 1dx = a + f x + f x 1 ( ) ( ) 0 a Suy I = I + I = ∫ Do I = a ⇒ b = 1; c = ⇒ b + c = Cách Chọn f ( x ) = hàm thỏa giả thiết Dễ dàng tính I = a ⇒ b = 1; c = ⇒ b + c = TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 28/28 - Mã đề 01-484 ... Mã đề 01- 484 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ BTN-003 /18 ĐÁP ÁN B A C B D C A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B D B C B A C B D C A B C D A B C D 26 27 28 29 30 31. .. n = 11 , số hạng thứ k + khai triển nhị thức  x x +  x   k 11 C 11 − k (x x ) 33 11 − k   k 2   = C 11 x x  k 33 11 k − = hay k = 2 Vậy, số hạng không chứa x khai triển cho C 113 = 16 5... đó, hàm số f ( x ) liên tục x = x 1 x 1 x 1 x 1 x f ( x ) − f (1) − x2 1+ x lim− = lim− = lim− = 1 x 1 x 1 ( x − 1) x 1 −2 x 1 lim− f ( x ) = lim− lim+ x 1 f ( x ) − f (1) 1 x 1 = lim+