Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT r rr Cho véc tơ tùy ý a, b, c k , l �� Cộng véc tơ: uuu r r uuur r uuur r r Lấy điểm O tùy ý không gian, vẽ OA  a, AB  b, OB  a  b uuuu r uuuu r uuur Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K MN  MK  KN r r r r Trừ véc tơ: a  b  a  (b) uuuu r uuur uuuur Quy tắc ba điểm: MN  KN  KM uuur uuu r uuur Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC  AB  AD uuuu r uuu r uuur uuuu r B C D ta có AC � Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A����  AB  AD  AA� Tích véc tơ: r r Tích véc tơ a với số thực k véc tơ Kí hiệu k a r +) Cùng hướng với a k  r +) Ngược hướng với a k  r r +) k a  k a uuu r uuu r uur Hệ quả: Nếu I trung điểm A, B, O tùy ý OA  OB  2OI Tích vơ hướng hai véc tơ rr r r r r +) Định nghĩa: a.b  a b cos  a, b  r r rr +) Hệ quả: a  b � a.b  r2 rr r2 +) a  a.a  a AB  AC  BC +) Với ba điểm A, B, C ta có AB AC  r r ur r +) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b Gọi a�là hình chiếu vng góc a đường r r r ur r thẳng chứa b thì: a.b  a� b r rr Định nghĩa: Ba véc tơ a, b, c gọi đồng phẳng giá chúng song song nằm mặt phẳng Các định lý: r r r rr r r r a) Cho a, b không phương: a, b, c đồng phẳng � m, n ��: c  ma  nb ( với m, n xác định nhất) r rr r b) Nếu ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng véc tơ x biểu diễn dạng: r r r r x  ma  nb  kc với m, n, k xác định B CÁC DẠNG TỐN VỀ VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh AB G trộng tâm cảu tam giác BCD uuur r uuur r uuur ur ur r r uuuu r Đặt AB  b, AC  c, AD  d Phân tích véc tơ MG theo d , b, c uuuu r 1r r ur 3 uuuu r r r ur 3 A MG   b  c  d C MG   b  c  d uuuu r 1r uuuu r r r ur 3 D MG   b  c  d Lời giải Đáp án A r ur 3 B MG  b  c  d uuuu r uuur uuuu r uuuu r 1 uuur uuur uuur uuur uuur MG  MB  MC  MD  AB  MA  AC  MA  AD 3 3 uuur uuur uuur uuur uuur � uuur � uuur uuur  AB  MA  AC  AD  AB  �  AB � AC  AD 3 �2 �3 uuur uuur uuur r r ur   AB  AC  AD   b  c  d 3 3 Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M N theo thứ tự trung điểm cạnh AB CD Mệnh đề   sau sai? uuur uuur uuur     uuuu r uuur uuur AD  BC uuuu r uuuu r uuuu r r D MC  MD  4MN  uuur  B MN  A AC  BD  AD  BC uuur uuur uuur uuur uuuur C AC  BD  AD  BC  4 NM  Lời giải: Đáp án D uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur A.Đúng vì: AC  BD   AD  DC    BC  CD   AD  BC uuuu r uuuu r uuur B Đúng vì: AC  BD   AM  MN  ND    BM  MN  NC  uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r  2MN  AM  BM  ND  NC  2MN uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuuur C.Đúng vì: AC  BD  AD  BC  AN  BN  AN  BN  2 NA  NB  4 NM         Vậy D sai uuu r uuur Ví dụ Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều, AD  AC Giá tri cos  AB, CD  là: A B C  Lời giải: Đáp án B D Gọi N trung điểm CD Tam giác BCD nên BN  CD Tam giác ACD cân A nên AN  CD ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD AB.CD  AN  NB CD  AN CD  NB.CD  � cos AB, CD  uuur uuur  AB CD  Ví dụ    uuur uuur Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a; BC  AD  b; CA  BD  c Giá trị cos  BC , DA  là: A a2  c2 b2 B b2  c a2 C c2  a2 b2 D a  b2 c2 Lời giải Chọn A uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r BC.DA  BC DC  CA  CB.CD  CB.CA   1 CB2  CD  BD    CB  CA2  AB   2 1   AB2  CD2  BD  CA2    2a  2c   a  c 2 2 uuur uuur a c a  c2 cos BC , DA   u u u r u u u r Vậy b2 BC DA    Ví dụ Trong mặt phẳng  a  cho tứ giác ABCD điểm S tùy ý Mệnh đề sau đúng? uuur uuur uuu r uuur A AC  BD  AB  CD uur uuu r uur uuur B SA  SC  SB  CD (Với S điểm tùy ý) uur uuu r uur uuu r C Nếu tồn điểm S mà SA  SC  SB  SD ABCD hình bình hành uuu r uuu r uuur uuur r D OA  OB  OC  OD  O giao điểm AC BD Lời giải Đáp án C uuur uuur uuu r uuur A Sai AC  BD � AB  CD uuur uuur uuur uuur r AC AB DC DB B C (Vơ lí) B Sai vì: Gọi O O ' theo thứ tự trung điểm AC BD Ta có uu uu rr uuur uur uuu r uuu r uur uuu r uuur u u SA  SC  2SO SB SD � SO ' SO SO ' O O ' điều không ABCD khơng phải hình bình hành C Đúng – Chứng minh tương tự ý B Ví dụ Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M trung điểm AA ' , O tâm hình bình hành ABCD Cặp ba vecto sau đồng phẳng? uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuur uuuuur A MO, AB B ' C B MO, AB A ' D ' uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuuu r C MO, DC ' B ' C D MO, A ' D B ' C ' Lời giải Đáp án A Cách 1: Ta có MO //  CDA ' B '  ; AB / / A ' B ' � AB //  CDA ' B '  , B ' C ' nằm mặt phẳng  CDA ' B ' nên vecto  CDA ' B ' uuuu r uuuu r uuu r uuur MO, AB, BC dồng phẳng có giá song song hay nằm mặt phẳng r uuuur uuuuu r uuuuu r uuu r uuuur 1 uuuuu  A ' B '  B ' C  A ' B '  B ' C '  AB  B ' C A 'C 2 2 uuuu r uuu r uuur Vậy vecto MO, AB, BC đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD M N theo thứ tự trung điểm AB CD Bộ ba vecto đâyuđồng phẳng? uur uuu r uuur uuur uuur uuuu r A BC , BD, AD B AC ; AD; MN uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur C BC ; AD; MN D AC ; DC ; MA Lời giải Cách 2: Ta có MO      Đáp án C uuur uuuu r uuuu r uuur AD  AM  MN  ND uuur uuuu r uuuu r uuur BC  BM  MN  NC uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur � AD  BC  2MN � MN  AD  BC 2 uuur uuur uuuu r Vậy ba vecto BC ; AD; MN đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD M điểm đoạn AB MB  MA N điểm đường thẳng uuuu r uuur uuur uuur uuur CD mà CN  kCD Nếu MN , AD, BC đồng phẳng giá trị k là: A k  B k  C k  D k  3 Lời giải Đáp án A M vẽ mặt phẳng    song song với AD Qua BC    cắt AC P , BD Q CD N Ta có MP //PN //AD Các vecto MN , AD, BC có giá song song hay nằm mặt phẳng    nên đồng phẳng uuuu r uuur uuur uuur uuur CD Vậy k  3 uuuu r uuur Ví dụ Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 M điểm cạnh AD cho AM  AD N điểm đường thẳng BD1 P điểm đường thẳng CC1 cho M , N , P thẳng hàng uuuu r MN r Tính uuu NP có CN  Ta A B C D Lời giải Đáp án B Đặt uuur r uuur r uuur r uuur uuuu r uuu r uuuu r r AB  a, AD  b, AA1  c BN  xBD1 ; CP  yCC1  yc STUDYTIP uuuu r uuur r r r Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo vecto a, b, c uuuu r uuur Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên MN   NP  1 uuuu r uuur uuur uuur Ta có: MN  MA  AB  BN uuuu r uuu r uuur uuur 1r r 1r r   b  a  xBD1   b  a  x BA  BC  BB1 3 r r r r � 1� r r 1r r   b  a  x a  b  c    x  a  �x  � b  xc   � 3�     Ta lại có: uuur uuur uuur uuu r uuuu r r r r r r r r NP  NB  BC  CP   xBD1  b  yc   x b  a  c  b  yc uuur r r r � NP  xa    x  b   y  x  c  3   Thay (2), (3) vào (1) ta được: � x x � 3 � �x      x  Giải hệ ta   , x  , y  � � �x    y  x  uuuu r MN r  Vậy uuu NP Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, CB, AD G uuuu r uuur trọng tâm tam giác BCD,  góc vectơ MG NP Khi cos  có giá trị là: A 2 B C Đáp án: C Lời giải: uuu r uuur uuur Đặt AB  a; AC  b; AD  c; uuur r r r uuuu r uuur uuuu r r r r � AG  (a  b  c ) � MG  AG  AM  ( a  2b  2c ) uuur uuur uuu r r r r PN  AN  AP  (a  b  c ) Khơng tính tổng qt, giả sử độ dài cạnh tứ diện r r r rr rr rr � a  b  c  a.b  b.c  c.a  1.1.c os60  uuuu r uuur uuuu r uuur MG.PN � cos  cos( MG, PN )  uuuu (*) r uuur MG PN uuuu r uuur r r r r r r Ta có: � MG.PN  (a  2b  2c )(a  b  c ) 12 r rr rr uurr r rr rr rr r 2 1  (a  ab  ac  2ab  2b  2bc  2ac  2bc  2c )  12 12 uuuu r r r r uuur r r r 2 MG  ( a  2b  2c)  ; PN  (a  b  c)  2 D Thay vào (*) ta 1 � cos  12   (*) 2 C.Bài tập rèn luyện kỹ Câu 1: Cho ABCD A1 B1C1 D1 hình hộp, với K trung điểm CC Tìm khẳng định khẳng định sau: uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur A AK  AB  AD  AA1 B AK  AB  BC  AA1 uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur C AK  AB  AD  AA1 D AK  AB  AD  AA1 2 Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Có AK  AC  CK  ( AB  AD )  AA1  AB  AD  AA1 2 B A C D A1 D1 K B1 C1 Chọn A Câu 2: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 với M  CD1 �C1 D Khi đó: uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuur uuur AM  AB  AD  AA1 AM  AB  AD  AA1 2 2 A B uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuur uuur AM  AB  AD  AA1 AM  AB  AD  AA1 2 C D Hướng dẫn giải ( hính vẽ câu 1) uuuu r uuur uuuur uuur uuuur r uuur uuur uuuur uuur uuu Ta có: AM  AD  DM  AD  DC1  AD  ( DC  DD1 )  AD  AB  AA1 2 Chọn B Câu 3: uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuur Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Khi đó: tổng góc ( D1 A1 , C C1 )  (C1 B, DD1 )  ( DC1 , A1 B) là: A 1800 B 2900 C.3600 D 3150 Hướng dẫn giải B A C D A1 D1 Câu 4: K B1 C1 Ta có: uuuur uuuur ( D1 A1 , C C1 )  900 uuuu r uuuur uuuu r uuuu r (C1 B, DD1 )  (C1 B, CC1 )  1350 uuuur uuuur uuuur uuuu r ( DC1 , A1 B )  ( DC1 , D1C )  900 uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuur � ( D1 A1 , C C1 )  (C1 B, DD1 )  ( DC1 , A1 B)  90  1350  90  3150 Chọn D uuur uuuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 , đặt   ( AC , DC1 );   ( DA1 , BB1 );   ( AA1 , C1C ) Khi đó:      : A 3600 B 3750 C 3150 D 2750 Hướng dẫn giải ( hình câu 3) uuur uuuur uuur uuuu r   ( AC , DC1 )  ( AC , AB1 )  600 uuuu r uuuu r uuuu r uuuur   ( DA1 , BB1 )  ( DA1 , A1 A)  1350 uuur uuuu r uuur uuur   ( AA1 , C1C )  ( AA1 , A1 A)  1800 �       600  1350  1800  3750 Chọn B Câu 5: uuur uuur Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB=6; AD=4; AB AD  12 Tính uuu r uur ( SC  SA) A 76 B 28 C 52 D 40 Hướng dẫn giải S A B D 7.42 cm C uuu r uur uuur2 uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur ( SC  SA)  AC  ( AB  AD)  AB  AD  AB AD  62  42  2(12)  28 Chọn B Câu 6: Chỉ mệnh đề mệnh đề sau: A Ba vectơ đồng phẳng vec tơ nằm mặt phẳng r r r r r r B Ba vectơ a, b, c đồng phẳng có c  ma  n b, với m, n số ur r r r ur C Ba vectơ đồng phẳng có d  ma  n b  pc với d vec tơ D Cả mệnh đề sai Hướng dẫn giải -Phương án A: sai vi cần giá chúng song song nằm mặt phẳng r r Phương án B: Sai a, b phải không phương Phương án C sai Vậy chọn D Chọn D Câu 7: Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G Mệnh đề sau sai? r uuur uuur r uuu r uuur r A uuur uuu B uuu OG  (OA  OB  OC ) GA  GB  GC  u u u r r uuur uuur uuu C D uuur uuur uuur uuur AG  ( AB  AC  AD ) AG  ( AB  AC  AD) Hướng dẫn giải A M G D B N C Gọi M, N trung điểm AB, CD uuuu r uuur r � G trung điểm MN � GM  GN  uuu r uuu r uuur r � GA  GB  GC  � B uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur Ta có: OA  OB  OC  OD  OG  GA  OG  GB  OG  GC  OG  GD uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur  4OG  (GA  GB  GC  GD )  4OG � A Khi O trùng A D đáp án C Chọn C Câu 8: r r r r r r u r r r r r r Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng xét vectơ x  2a  b; y  4a  2b; z  3a  2c Chọn mênh đề mệnh đề sau: u r s A.Hai vec tơ y, z phương r su B Hai vec tơ x, y phương r s C.Hai vec tơ x, z phương r u r s D.Hai vec tơ x, y, z đồng phẳng Hướng dẫn giải u r r r ur Ta thấy y  2 x nên x, y phương Chọn B Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 , Tìm giá uuu r uuuur uuuur uuuu r AB  B1C1  DD1  k AC1 ) A.k=4 B k=1 C k=0 Hướng dẫn giải trị k thích D k=2 hợp để A1 D1 B1 C1 B A C D uuuur uuuur uuu r uuur uuuu r uuuu r AB Có u uu r  B1C1  DD1  AB  BC  CC1  AC1 � k  Chọn B uuuur uuur uuur uuuu r Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt AA1  a; AB  b; AC  c; BC1  d đẳng thức sau đẳng thức r r r ur r r r r ur A a  b  c  d  B a  b  c  d r r ur r r r r C b  c  d  D a  b  c Hướng dẫn giải C A B1 B B C1 A1 B1 r r u r uuu r uuur uuur uuu r uuur r Ta có: b  c  d  AB  AC  BC  CB  BC  Chọn C Câu 11: Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A.Nếu giá bar vectơ r r cắt từngr đơi vectơ đồng phẳng B.Nếu ba vectơ a, b, c có vec tơ ba vectơ đồng phẳng r r r C.Nếu giá ba vectơ a, b, c song song với mật phẳng ba vec tơ đồng phẳng r r r D.Nếu ba vectơ a, b, c có vec tơ phương ba vectơ đồng phẳng Hướng dẫn giải Chọn A Câu 12: Cho ABCD A1B1C1D1 hình hộp, khẳng định sau khẳng định sai: uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r r A AC1  A1C  AC B AC1  CA1  2CC1  uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuuu r C AC1  A1C  AA1 D CA1  AC  CC1 Hướng dẫn giải A D B C A1 D1 B1 C1 uuuu r uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuu r uuuu r uuuur AC1  A1C  AA1 AC1  AA1  AC1 � A1C  C1 A1 Ta có: Chọn C Câu 13: Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau: uuur uuur uuur uuur r A.Tứ giác ABCD hình bình hành AB  BC  CD  DA  uuur uuur B Tứ giác ABCD hình bình hành AB  CD uur uuu r uur uuu r C Cho hình chóp S.ABCD, có SB  SD  SA  SC tứ giác ABCD hình bình hành uuur uuur uuur D.Tứ giác ABCD hình bình hành AB  AC  AD Hướng dẫn giải Chọn C Câu 14: Cho hình hộp ABCD A' B 'C ' D ' Gọi I, K tâm hình bình hành ABB ' A' BCC ' B ' Khẳng định sau sai? A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng uur uuur uu'uur' B IK  AC  A C uuur2 uur uuuuu r C.Bà vec tơ BD, IK , B ' C ' không đồng phẳng uuur uur uuur D BD  IK  BC Hướng dẫn giải Chọn C Câu 15: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AC, BD lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC Gọi P,Q trung điểm AD, BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuur uuur uuuu r A.Các vec tơ BD, AC , MN không đồng phẳng uuuu r uuur uuur B Các vec tơ MN , DC , PQ đồng phẳng uuu r uuur uuur C Các vec tơ AB, DC , PQ đồng phẳng uuur uuur uuuu r D Các vec tơ AC , DC , MN đồng phẳng Hướng dẫn giải A P M E B F Q N D C Lấy điểm E cạnh AC cho AE=3EC, lấy F BD cho BF=3FD � NE / / AB, NE  AB � � � NE / / MF , NE / / MF � �MF / / AB, MF  AB � uuu r uuur uuuu r � NEMF hình bình hành vec tơ BA, DC , MN có giá song song nằm mặt uuu r uuur uuuu r phẳng (MFNE) � BA, DC , MN đồng phẳng uuur uuur uuuu r � BD, AC , MN không đồng phẳng Chon A Câu 16 Cho tứ diện ABCD có cạnh đầu A Hãy mệnh đề mệnh đề sau: uuu r uuur a uuur uuur uuur uuur r A AD  CD  BC  DA  B AB AC  uuur uuur uuur uuur uuur uuur C AC AD  AC.CD D AD.CD  Hướng dẫn giải ( sử dụng hình câu 7) Phương án A: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r AD  CD  BC  DA  ( AD  DA)  ( BC  CD )   BD �0 � A sai uuu r uuur a Phương án B: AB.AC  a.a.c os600 = � B sai uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Phương án B AC AD  AC.CD � AC ( AD  DC )  � AC  � C sai Chọn D Câu 17: Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 Gọi M trung điểm AD.Chọn khẳng định đúng: uuuur uuuu r uuuuur uuuur uuuur uuur uuuuu r uuuur A B1 M  B1 B  B1 A  B1C1 B C1 M  C1C  C1 D  C1 B1 uuuur uuuu r uuuuur uuuur uuur uuuur uuuuu r uuuu r C C1 M  C1C  C1 D  C1 B1 D BB1  B1 A1  B1C  B1 D 2 Hướng dẫn giải A a B a M D C A1 C1 D1 Ta có B1 uuuur uuuuu r uuuur uuuur uuuuu r uuuu r uuuur C1 M  C1 D1  D1 D  DM  C1 D1  C1C  C1 B1 Chọn B uuu r uuu r uuur r Câu 18: Cho tứ diện ABCD điểm G thỏa GA  GB  GC  ( G trọng tâm tứ diện) Gọi O giao điểm GA mặt phẳng (BCD) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuur uuur uuu r uuur A GA  2OG B GA  4OG uuur uuur uuur uuur C GA  3OG D GA  2OG A N G B M O H D C Hướng dẫn giải Gọi M, N trung điểm BC, AD � G trung điểm MN Gọi H hình chiếu N lên MD � NH đường trung bình AOD OG đường trung bình MNH 1 1 � OG  NH  AO � OG  NH  AO 2 2 uuu r uuur hay GA  3OG Chọn C Câu 19: Cho tứ diện ABCD Gọi M, Nlaafn lượt trung điểm AD, BC Trong ccs khẳng định sau, khẳng định uuu rsai? uuur uuuu r A.Các vec tơ AB, DC , MN đồng phẳng uuuu r uuu r uuur B Các vec tơ MN , AB, AC không đồng phẳng uuur uuuu r uuuu r C Các vec tơ AN , CM , MN đồng phẳng uuur uuur uuuu r D Các vec tơ AC , BD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải A M P B D Q N C Gọi P, Q trung điểm AC, BD uuu r uuur uuuu r � Ba vec tơ u AB uu r, DC , MN có giá song song nằm mặt phẳng (MNPQ) nên véc tơ đồng phẳng � A uuu r uuur uuuu r Ba vec tơ u AB uu r, AC , MN không đồng phẳng � B uuur uuuu r uuuu r Ba vec tơ u AN uur , CM , MN có giá khơng thể song song với mặt phẳng � C sai Chọn C Câu 20: Cho hình lập phương ABCD A' B 'C ' D ' , có cạnh A.Hãy tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: uuuur uuuu r uuuur uuuu r A AD '.CC '  a B AD ' AB '  a uuur uuuur uuuur C AB '.CD '  D AC  a Hướng dẫn giải A a B a D C A' D' B' C' uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuu r uuuur Xết phương án A có: AD '.CC '  AD '.AA '  AD ' AA ' cos45  a Chọn A Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo cho AB vng góc với hai tia Các điểm M, N thay đổi Ax, By cho độ dài đoạn MN giá trị c khơng đổi (c �AB) Gọi  góc Ax, By Giá trị lơn AM, BN c  AB c  AB A B 2(1  cos ) 2(1  cos ) C c  AB 2(1  cos ) D c  AB 2(1  cos ) Hướng dẫn giải x M A B N uuuu r2 uuur uuu r uuur Ta có: c  MN  MN  ( MA  AB  BN ) �AB  AM BN (1  cos )  AM BN c  AB 2(1  cos ) c  AB Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn 2(1  cos ) Chọn A uuuu r uuur  AM  AB  BN  AM BN  AM  AB  BN  AM BN c os Góc hai đường thẳng Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa: Góc hai đường thẳng cắt a b góc nhỏ bốn góc mà a b cắt tạo nên Góc hai đường thẳng cắt a b khơng gian góc hai đường thẳng a�và b�cùng qua điểm song song (hoặc trùng) với a b Chú ý: góc hai đường thẳng ln góc nhọn ( vuông ) Phương pháp Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác r r Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: u v hai vecto phương ( vecto pháp tuyến ) hai đường thẳng a b góc  hai đường thẳng xác định công thức rr u.v r r cos   cos u , v  r r u.v   B C D Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , BC , Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A���� C �� D Xác định góc hai đường thẳng MN AP A 450 Đáp án A B 300 C 600 D 900 Lời giải Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh a     � , AP  AC, � AP Ta tính góc � MN //AC nên: MN PAC Vì A�� D P vng D�nên �a � a A� P  A�� D  D� P2  a2  � � �2 � AA� P vuông A�nên �a � 3a AP  A� A  A� P  a � �2 � � � � 2 a2 a 2 � � CC P vuông C nên CP  CC � C � P  a   Ta có AC đường chéo hình vng ABCD nên AC  a Áp dụng định lý cosin tam giác ACP ta có: � CP  AC  AP  AC AP.cos CAP �  � cos CAP �  45� 90� � cos CAP     �  45�hay MN; � AP  45� AC ; AP  CAP Nên � Chọn A uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r MN AP r uuu r  * Phương pháp 2: Ta có MN AP  MN AP cos MN , AP � cos MN , AP  uuuu MN AP     uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuuur uuuu r  A�� D  D� P Ta có: MN AP  MB  BN AA�    uuur uuur uuur uuuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuur uuur uuuu r  MB AA�  MB A�� D  MB.D� P  BN AA�  BN A�� D  BN D� P a a a 3a      a    1 2 uuuu r uuu r a 3a 2a MN AP    2 2 3a uuuu r uuu r  � � MN , AP   450 Thay  1 ,   vào   ta được: cos MN , AP  2a   Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M , N trung điểm BC , AD Biết MN  a Tính góc AB CD A 450 B 300 C 600 Đáp án C Lời giải Gọi I trung điểm AC Ta có IM  IN  a Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có: �  cos MIN IM  IN  MN a  a  3a �  1200    � MIN 2.IM IN 2.a.a Vì IM / / AB, IN / / CD � � AB, CD   � IM , IN   1800  1200  60 D 900 B C có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A , Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCA��� AB  a , AC  a hình chiếu vng góc đỉnh A�trên mặt phẳng  ABC  trung C điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA� , B�� Lời giải Chọn D Phương pháp 1: C Gọi H trung điểm BC ,  góc AA�và B��     �� AA� , B�� C  BB , BC / / BB�và B�� C / / BC nên góc � Ta có AA� Ta tính góc � B� BH ABC vng A nên ta có: BC  AB  AC  a  3a  2a AH  BC  a � A� H  AA�  AH  4a  a  a B C  nên A�� Vì AH   A��� B H vuông A� B� H  A� H  A�� B  a  3a  2a B� B  BH  B� H 4a  a  4a   Chọn A B� B.BH 2.2a.a �� cos B BH  Phương pháp 2: Ta có uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AH  HA�.BC AA��� B C AH BC  HA� BC AH BC uuur uuuur cos   cos AA� ; B�� C  uuur uuuur    2a.2a 4a 4a AA� B�� C     r uuur uuur uuu r uuu 1 AB  AC AC  AB AC  AB  3a  a    2     2 4a 4a 4a    Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Gọi M trung điểm CD Tính cosin góc AC BM 3 A B C D 2 Hướng dẫn giải Chọn B �; BM Ta tính góc AC ; BM  MN Cách Gọi N trung điểm AD ta có: MN //AC � �  � Ta có: BM  BN  a (trung tuyến tam giác đều) BMN AC a MN   2 Áp dụng định lý cosin cho BMN , ta được: 2 �  BM  MN  BN  MN   cos BMN BM MN BM      Vậy cos � AC; BM  uuur uuuu r uuu r uuur uuuu r AC CM  CB AC.BM uuur uuuu r r  Cách cos   cos AC , BM  uuur uuuu a AC BM a a2 a2 a uuur uuuu r uuur uuu r 0 a2   a cos120  a a cos120 AC.CM  AC.CB     24  2 a a a a 2 2     Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa Nếu đường thẳng a   P  góc đường thẳng a  P  900 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với  P  góc đường thẳng a  P  góc a hình chiếu a�của a  P  a a' P Phương pháp tính Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD  SA  a Gọi  góc SC  SAB  ,  góc AC  SBC  Giá trị tan   sin  bằng? A 1 B  19 C Hướng dẫn giải Chọn C  21 D  20 Để xác định góc SC  SAB  ta xác định hình chiếu SC lên mặt phẳng  SAB  Ta �BC  AB có: S hình chiếu S  SAB  , B hình chiếu C  SAB  � �BC  SA �SC   Vậy SB hình chiếu SC  SAB  �  SC ,  SAB    B BC a �   SBC vuông B � tan   tan BSC  2 SB SA  AB Kẻ AH  SB H mà BC   SAB  nên AH  BC � AH   SBC  � HC hình chiếu vng góc AC  SBC  �  AC ,  SBC    � ACH   SAB vuông nên 1 a   � AH  2 AH AS AB AH 21 ACH vuông H � sin   sin � ACH   AC Vậy tan   sin    21 Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD , đáy có cạnh a có tâm O Gọi M , N trung điểm SA , BC Biết góc MN  ABCD  60� Tính góc MN  SAO  A   arcsin C   arcsin 5 B   arcsin D   arcsin Lời giải Chọn A Gọi P trung điểm AO � MP đường trung bình SAO � MP / / SO �  60� � MP   ABCD  � Góc MN  ABCD  góc MNP Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có: a �3 a � NP  CN  CP  2CN CP.cos 45�  � a � a �4 � 2 2 2 a 9a 2a 11a 3a 5a  +     8 Trong tam giác vng MNP ta có : PN 15 15 MN   a PM  NP.tan 60� a � SO  MP  a cos 60� Gọi H trung điểm CO � NH / / BD � NH  AC � Mà NH  SO � NH   SAC  � MN , SAC  NMH    5a a Ta có : HN  OB  , MN  (tính trên) NH NMH   Vậy MHN ta có : sin � Nên gọi  góc MN  SAO  thì: MN � � sin   � � � hay   arcsin � 2� 5 � Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Công Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM ... giác BCD uuur r uuur r uuur ur ur r r uuuu r Đặt AB  b, AC  c, AD  d Phân tích véc tơ MG theo d , b, c uuuu r 1r r ur 3 uuuu r r r ur 3 A MG   b  c  d C MG   b  c  d uuuu r 1r... 3 �2 �3 uuur uuur uuur r r ur   AB  AC  AD   b  c  d 3 3 Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M N theo thứ tự trung điểm cạnh AB CD Mệnh đề   sau sai? uuur uuur uuur     uuuu r uuur uuur AD... Sai AC  BD � AB  CD uuur uuur uuur uuur r AC AB DC DB B C (Vơ lí) B Sai vì: Gọi O O ' theo thứ tự trung điểm AC BD Ta có uu uu rr uuur uur uuu r uuu r uur uuu r uuur u u SA  SC  2SO