Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Phương pháp quy nạp toán học A LÝ THUYẾT Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số nguyên dương n với n mà thử trực tiếp làm sau: - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = - Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ (gọi giả thiết quy nạp) Bằng kiến thức biết giả thiết quy nạp, chứng minh mệnh đề với n = k + B CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Ví dụ Với mối số ngun dương n , đặt S = 12 + 22 + + n Mệnh đề đúng? n(n + 1)( n + 2) n(n + 1)(2n + 1) A S = B S = n( n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) C S = D S = Đáp án C Lời giải Cách 1: Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học n ∈ ¥ * , ta có đẳng n(n + 1)(2n + 1) 2 2 thức + + + + n = 1(1 + 1)(2.1 + 1) = - Bước 1: Với n = vế trái 12 = , vế phải Vậy đẳng thức với n = -Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k ≥ , tức chứng minh (k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1] (k + 1)( k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1)2 = = 6 Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k + , tức chứng minh (k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1] (k + 1)( k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1)2 = = 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k + 1)( k + 1)(2k + 1) 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1)2 = + (k + 1) (k + 1)(k + 1)(2k + 1) k ( k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) ( k + 1)( k + 2)(2 k + 3) Mà + (k + 1) = = 6 (k + 1)( k + 2)(2k + 3) 2 2 Suy + + + + k + (k + 1) = Do đẳng thức với n = k + Suy có điều phải chứng minh Vậy phương án C Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai phương án đến tìm phương án thơng qua số giá trị cụ thể n + Với n = S = 12 = (loại phương án B D); + Với n = S = 12 + 22 = (loại phương án A) Vậy phương án C STUDY TIP Ngồi kết nêu ví dụ 1, đề cập đến kết tương tự sau: n(n + 1) 1) + + + n = n (n + 1) n(n + 1)(2n + 1)(3n + 3n − 1) 3) 14 + 24 + + n = 30 n ( n + 1) (2n + 2n − 1) 4) 15 + 25 + + n5 = 12 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 5) 1.2.3 + 2.3.4 + + n( n + 1)( n + 2) = Nhận xét: Từ ví dụ tập phần nhận xét, ta thấy bậc vế trái nhỏ bậc vế phải đơn vị Lưu ý điều tính tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định Từ kết ví dụ này, hồn tồn đề xuất câu hỏi trắc nghiệm sau đây: Với số nguyên n, đặt S = 12 + 22 + + n Mệnh đề sai? 1 3 A S = 2n + 3n + n B S = ( n + 1) − ( n + 1)  + n − n 6 n ( n + 1) ( 2n + 1) C S =  ( n + 1) − 3n ( n + 1) − ( n + 1)  D S = 6 Với số nguyên dương n, ta có 12 + 22 + + n = an3 + bn + cn, a, b, c 2) 13 + 23 + + n3 = Câu ( Câu Câu Câu ) ( ) số Tính giá trị biểu thức M = ab + bc + ca 25 25 A M = 25 B M = C M = D M = 23 216 Tìm tất số nguyên dương n, để 12 + 22 + + n > 2017 A n ≥ 18 B n ≥ 20 C n ≥ 17 D n ≥ 19 2 Tính tổng S tất số nguyên dương n, thoả mãn + + + n < 2018 A S = 153 B S = 171 C S = 136 D S = 190 Ví dụ Đặt T = + + + + (có n dấu căn) Mệnh đề mệnh đề đúng? n A Tn = B Tn = cos π 2n +1 C Tn = cos π 2n +1 D Tn = Đáp án B Lời giải π phương pháp quy nạp toán học Thật vậy: 2n +1 π π Bước 1: Với n = vế trái , vế phải cos 1+1 = cos = Vậy đẳng thức với n = π Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k ≥ , nghĩa Tk = cos k +1 Ta chứng minh Tn = cos π 2k +2 π Thật vậy, Tk +1 = + Tk nên theo giả thiết quy nạp ta có Tk +1 = + Tk = + cos k +1 π  π  π π π Mặt khác, + cos k +1 = + cos  k + ÷ = cos k + nên Tk +1 = 2.2 cos k + = cos k + 2   2 Vậy phương án B STUDY TIP Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k + , tức chứng minh Tk +1 = cos Câu Câu Ngoài cách làm trên, ta làm theo cách sau: kiểm tra tính – sai phương án đến tìm phương án thơng qua số giá trị cụ thể n + Với n = T1 = (loại phương án A, C D) Nhận xét: Từ kết ví dụ 2, đề xuất câu hỏi đây: 511π Đặt T = + + + + (có n dấu căn) Tìm n để Tn = 2sin n 1024 A n = 10 B n = C n = 11 D n = * Cho dãy số ( un ) xác định u1 = un +1 = + un , ∀n ∈ ¥ Số hạng tổng quát dãy số ( un ) là: π π B un = cos n +1 n +1 2 π π C un = cos n +1 D un = sin n +1 2 1 + + + Ví dụ Đặt Sn = ,với n ∈ ¥ * Mệnh đề đúng? 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) n +1 3n − n n+2 A S n = B Sn = C Sn = D S n = 2(2n + 1) 4n + 2n + 6n + Đáp án C Lời giải Cách 1: Rút gọn biểu thức S n dựa vào việc phân tích phần tử đại diện A un = 2sin Với số nguyên dương k , ta có Câu Câu 1 1  =  − ÷ (2k − 1)(2k + 1)  2k − 2k +  1 1 1  1  n − Do đó: S n = 1 − + − + + ÷ = 1 − ÷= 2 3 2n − 2n +   n +  2n + Vậy phương án phương án C Cách 2: Kiểm tra tính – sai phương án dựa vào số giá trị cụ thể n 1 = (chưa loại phương án nào); Với n = S1 = 1.3 1 + = (loại phương án A,B D Với n = S2 = 1.3 3.5 Vậy phương án phương án C Nhận xét: Từ kết ví dụ này,chúng ta hồn toàn trả lời câu hỏi trắc nghiệm sau đây: 1 an + b + + + = Với n ∈ ¥ * ,biết Trong a, b, c số nguyên 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) cn + Tính giá trị biểu thức P = a + b3 + c A P = 17 B P = 10 C P = D P = 19 1 an + b + + + = Với n ∈ ¥ * ,biết Trong a, b, c số 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 4n + c 2 nguyên.Tính giá trị biểu thức T = ( a + b + c ) ( a + b + c ) A T = 40 B T = C T = 32 D T = 16 Câu 1 an2 + bn + c + + + = Biết ,trong n ∈ ¥ * a, b, c số 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) ( 2n + 1) nguyên Tính giá trị biểu thức F = ( a + b ) Câu a +c A F = B F = C F = D F = 27 Tính tổng S tất số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình 1 17 + + + < 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 35 A S = 153 B S = 136 C S = 272 D S = 306 Ví dụ Tìm tất số nguyên dương n cho 2n +1 > n + 3n A n ≥ B n ≥ C n ≥ D n ≥ Đáp án D Lời giải Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp n = 1, 2,3, 4, ta dự đoán 2n +1 > n + 3n, với n ≥ Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học Thật vây: -Bước 1: Với n = vế trái 24 +1 = 25 = 32, vế phải 42 + 3.4 = 28 Do 32 > 28 nên bất đẳng thức với n = -Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k ≥ 4, nghĩa 2k +1 > k + 3k Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức phải chứng minh 2( k +1) +1 > ( k + 1) + ( k + 1) hay 2k + > k + 5k + Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có k +1 > k + 3k k +1 Suy 2.2 > ( k + 3k ) hay 2k + > 2k + 6k 2 2 Mặt khác 2k + 6k − ( k + 5k + ) = k + k − ≥ + − = 16 với k ≥ k +2 2 Do > ( k + 3k ) > k + 5k + hay bất đẳng thức với n = k + Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy phương án D STUDY TIP Dựa vào kết ví dụ 4, ta đề xuất tốn sau: Tìm số nguyên tố p nhỏ cho: 2n +1 > n + 3n, ∀n ≥ p, n ∈ ¥ * A p = B p = C p = D p = C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Tổng S góc đa giác lồi n cạnh, n ≥ , là: A S = n.180° B S = ( n − ) 180° C S = ( n − 1) 180° D S = ( n − 3) 180° * Câu Với n ∈ ¥ , rút gọn biểu thức S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n ( 3n + 1) A S = n ( n + 1) B S = n ( n + ) C S = n ( n + 1) D S = 2n ( n + 1) Câu Kí hiệu k ! = k ( k − 1) 2.1, ∀k ∈ ¥ * Với n ∈ ¥ * , đặt S n = 1.1!+ 2.2!+ + n.n ! Mệnh đề đúng? A S n = 2.n ! B Sn = ( n + 1) !− C S n = ( n + 1) ! D Sn = ( n + 1) !+ Câu Với n ∈ ¥ * , đặt Tn = 12 + 22 + 32 + + ( 2n ) M n = 22 + 42 + 62 + + ( 2n ) Mệnh đề đúng? 2 A Tn 4n + = M n 2n + B Tn 4n + = M n 2n + C Tn 8n + = Mn n +1 D Tn 2n + = Mn n +1 Câu Tìm số nguyên dương p nhỏ để 2n > 2n + với số nguyên n ≥ p A p = B p = C p = D p = Câu Tìm tất giá trị n ∈ ¥ * cho 2n > n A n ≥ B n = n ≥ C n ≥ D n = n ≥ 1 an + b + + + = Với số nguyên dương n , ta có: , a, b, c ( 3n − 1) ( 3n + ) cn + 2.5 5.8 số nguyên Tính giá trị biểu thức T = ab + bc + ca A T = B T = C T = 43 D T = 42  an +     Với số nguyên dương n ≥ , ta có:  − ÷ − ÷ 1 − ÷ = , a, b      n  bn + số nguyên Tính giá trị biểu thức T = a + b A P = B P = C P = 20 D P = 36 Câu Câu Biết 13 + 23 + + n3 = an + bn3 + cn + dn + e, ∀n ∈ ¥ * Tính giá trị biểu thức M = a+b+c+d +e 1 A M = B M = C M = D M = Câu 10 Biết số nguyên dương n , ta có 1.2 + 2.3 + + n ( n + 1) = a1n + b1n + c1n + d1 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n ( 3n − 1) = a2 n3 + b2 n + c2 n + d Tính giá trị biểu thức Câu T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d D T = 3 k k k Câu 11 Biết + + + n , n, k số nguyên dương Xét mệnh đề sau: n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) ( 3n + 3n − 1) n ( n − 1) S1 = , S2 = , S3 = S = 30 Số mệnh đề mệnh đề nói là: A B C D A T = B T = C M = Câu 12 Với n ∈ ¥ * , ta xét mệnh đề P :"7 n + chia hết cho 2" ; Q :"7 n + chia hết cho 3" Q :"7 n + chia hết cho 6" Số mệnh đề mệnh đề : A B C D Câu 13 Xét toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n ≥ 2n −1 ” Một học sinh trình bày lời giải tốn bước sau: Bước 1: Với n = , ta có: n ! = 1! = 2n−1 = 21−1 = 20 = Vậy n ! ≥ 2n −1 Bước : Giả sử bất đẳng thức với n = k ≥ , tức ta có k ! ≥ 2k −1 Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + , nghĩa phải chứng minh ( k + 1) ! ≥ 2k Bước : Ta có ( k + 1) ! = ( k + 1) k ! ≥ 2.2k −1 = k Vậy n! ≥ 2n−1 với số nguyên dương n Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước 1 an + bn + + + = , a, b, c, d n số ( ) ( ) 1.2.3 2.3.4 n n +1 n + cn + dn + 16 nguyên dương Tính giá trị biểu thức T = ( a + c ) ( b + d ) Câu 14 Biết : A T = 75 B T = 364 C T = 300 D T = 256 D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án B Cách 1: Từ tổng góc tam giác 180° tổng góc từ giác 360° , dự đoán S = ( n − ) 180° Cách 2: Thử với trường hợp biết để kiểm nghiệm tính –sai từ cơng thức Cụ thể với n = S = 180° (loại ln phương án A, C D); với n = S = 360° (kiểm nghiệm phương án B lần nữa) Câu Đáp án A Để chọn S đúng, dựa vào ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n Với n = S = 1.4 = (loại phương án B C); với n = S = 1.4 + 2.7 = 18 (loại phương án D) Cách 2: Bằng cách tính S trường hợp n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48 ta dự đoán công thức S = n ( n + 1) Cách 3: Ta tính S dựa vào tổng biết kết + + + n = 12 + 2 + + n = Câu n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) Ta có: S = ( 12 + 2 + + n ) + ( + + + n ) = n ( n + 1) Đáp án B Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n Với n = S1 = 1.1! = (Loại phương án A, C, D) Cách 2: Rút gọn S n dựa vào việc phân tích phần tử đại diện k k ! = ( k + − 1) k ! = ( k + 1) k !− k ! = ( k + 1) !− k ! Suy ra: S n = ( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + + ( ( n + 1) !− n !) = ( n + 1) !− Câu Câu Câu Câu Đáp án A Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n T1 2 = (loại phương án B, C, D) Với n = T1 = + = 5; M = = nên M1 Cách 2: Chúng ta tính Tn , M n dựa vào tổng biết kết Cụ thể dựa vào ví dụ 1: Tn 4n + 2n ( 2n + 1) ( 4n + 1) 2n ( n + 1) ( 2n + 1) = Tn = ;Mn = Suy M n 2n + Đáp án B Dễ thấy p = bất đẳng thức p > p + sai nên loại phương án D Xét với p = ta thấy p > p + bất đửng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n > 2n + với n ≥ Vậy p = số nguyên dương nhỏ cần tìm Đáp án D Kiểm tra với n = ta thấy bất đẳng thức nên loại phương án A C Kiểm tra với n = ta thấy bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n > n , ∀n ≥ Đáp án B 1 1 1  =  − , có: ( 3k − 1) ( 3k + )  3k − 3k + ÷  1 1 1 1 1  + + + =  − + − + + − ÷ ( ) ( ) 2.5 5.8 3n − 3n +  5 3n − 3n +  3n n = = ( 3n + ) 6n + Đối chiếu với đẳng thức cho, ta có: a = 1, b = 0, c = Cách 1: Với ý Suy T = ab + bc + ca = a + b 2a + b x + b = ; = ; = c = 10 2c + 3c + 22 Giải hệ phương trình ta a = 1, b = 0, c = Suy T = ab + bc + ca = Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = ta được: Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Công Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM