Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC ĐẾM A LÝ THUYẾT Quy tắc cộng Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiên, hành động có n cách thực hiên khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Chú ý: số phần tử tập hợp hữu hạn X kí hiệu |X| n(X) Quy tắc cộng phát biểu thực chất quy tắc đếm số phần tử hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A B tập hợp hữu hạn khơng giao n  A �B   n  A   n  B  Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện,…, hành động Ak có mk cách thực cách thực hiên hành động không trùng cơng việc có m1  m2  m3   mk cách thực Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp.Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai cơng việc có m.n cách thực Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak liên tiếp Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, ứng với cách thực hành động A1 có m2 cách thực hành động A2,…, có mk cách thực hành động Ak cơng việc có m1.m2 m3 .mk cách hồn thành HỐN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP Hốn vị Cho tập hợp A có n phần tử  n �1 Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Số hốn vị tập hợp có n phần tử kí hiệu Pn Định lí 1: Pn  n(n  1) 2.1  n ! với Pn số hoán vị chứng minh Việc xếp thứ tự n phần tử tập hợp A công việc gồm n công đoạn Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất: n cách Công đoạn 2: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai: (n-1) cách Cơng đoạn thứ i: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có  n  i  1 cách Công đoạn thứ n: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ n có cách Theo quy tắc nhân có Pn  n ! cách xếp thứ tự n phần tử tập A, tức có n ! hoán vị STUDY TIP Hai hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp Chẳng hạn, hai hoán vị abc acb ba phần tử a, b, c khác Chỉnh hợp Cho tập A gồm n phần tử  n �1 Kết việc lấy k phần tử khác tử n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chinht hợp chập k n phần tử cho STUDY TIP: Từ định nghĩa ta thấy hốn vị tập hợp A có n phần tử chỉnh hợp chập n A P  Ann k Định lý 2: An  n  n  1  n  k  1  n! Ak  n  k  ! với n số chỉnh hợp chập k n phần tử  �k �n  Chứng minh Việc thiết lập chỉnh hợp chập k tập A có n phần tử cơng việc gồm k công đoạn Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ có n cách thực Cơng đoạn 2: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai có n  cách thực Sau thực xong i  công đoạn (chọn i  phần tử A vào vị trí thứ 1, 2,., i  ), cơng đoạn thứ i chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có n  i  cách thực Công đoạn cuối, công đoạn k có n  k  cách thực n! Thoe quy tắc nhân có n  n  1  n  k  1   n  k  ! chỉnh hợp chập k tập A có n phần tử Tổ hợp Giả sử tập A có n phần tử  n �1 Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho k Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử có kí hiệu Cn STUDY TIP Số k định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện �k �n Tuy vậy, tập hợp khơng có phần tử tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập n phần tử tập rỗng QUY ƯỚC Cn0  An0  0!  Định lý Ank n  n  1  n  k  1 n! k Cn    k! k! k ! n  k  ! Chứng minh Ta có hốn vị tổ hợp chập k A cho ta chỉnh hợp chập k A Ank  k !Cnk � Cnk  Vậy Ank k! k Định lý (hai tính chất số Cn ) k n k a Cho số nguyên dương n số nguyên k với �k �n Khi Cn  Cn b Hằng đẳng thức Pascal k k k 1 Cho số nguyên dương n số nguyên dương k với �k �n Khi Cn 1  Cn  Cn Đọc thêm Trên máy tính cầm tay có chức tính tổ hợp, chỉnh hợp sau: Với tổ hợp ta nhấn tổ hợp phím Ví dụ ta muốn tính C12 ta ấn Với chỉnh hợp ta ấn tổ hợp phím Ví dụ ta muốn tính A7 ta ấn tổ hợp phím B CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Phương pháp chung: Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc cộng, ta thực bước: Bước 1: Phân tích xem có phương án riêng biệt để thực cơng việc A (có nghĩa cơng việc A hồn thành phương án A ; A2 ; ; An ) Bước 2: Đếm số cách chọn x1 ; x2 ; ; xn phương án A1 ; A2 ; ; An Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A x  x1  x2   xn Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc nhân, ta thực bước: Bước 1: Phân tích xem có cơng đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực công việc A (giả sử A hồn thành sau tất cơng đoạn A1 ; A2 ; ; An hoàn thành) Bước 2: Đếm số cách chọn x1 ; x2 ; ; xn công đoạn A1 ; A2 ; ; An Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A x  x1 x2 x3 xn Ví dụ Một lớp học có 25 học sinh nam 20 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra: a) học sinh dự trại hè trường b) học sinh nam học sinh nữ dự trại hè trường Số cách Chonju trường hợp a b A 45 500 B 500 45 C 25 500 D 500 25 Lời giải Chọn A a) Bước 1: Với tốn a ta thấy giáo có hai phương án để chọn học sinh thi: Bước 2: Đếm số cách chọn  Phương án 1: chọn học sinh dự trại hè trường có 25 cách chọn  Phương án 2: chọn học sinh nữ dự trại hè trường có 20 cách chọn Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng Vậy có 20  25  45 cách chọn b) Bước 1: Với toán b ta thấy cơng việc chọn học sinh nam học sinh nữ Do ta có công đoạn Bước 2: Đếm số cách chọn công đoạn  Công đoạn 1: Chọn học sinh nam số 25 học sinh nam có 25 cách chọn  Công đoạn 2: Chọn học sinh nữ số 20 học sinh nữ có 20 cách chọn Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân Vậy ta có 25.20  500 cách chọn STUDY TIP Bài tốn ví dụ giúp ta cố định hình bước giải tốn đếm sử dụng quy tắc cộng; quy tắc nhân Chú ý:  Quy tắc cộng: Áp dụng cơng việc có nhiều phương án giải  Quy tắc nhân: Áp dụng cơng việc có nhiều cơng đoạn Ví dụ Trên giá sách có 10 sách Văn khác nhau, sách Toán khác sách Tiếng Anh khác Hỏi có cách chọn hai sách khác môn nhau? A 80 B 60 C 48 D 188 Lời giải Chọn D Theo quy tắc nhân ta có: 10.8  80 cách chọn sách Văn sách Toán khác 10.6  60 cách chọn sách Văn sách Tiếng Anh khác 8.6  48 cách chọn sách Toán sách Tiếng Anh khác Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn sách khác môn 80  60  48  188 cách STUDY TIP Ta thấy tốn ví dụ kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân toán vừa cần chia trường hợp vừa cần lựa chọn theo bước Ví dụ Biển đăng kí xe tơ có chữ số hai chữ số 26 chữ (không dùng chữ I O ) Chữ khác Hỏi số tơ đăng kí nhiều bao nhiêu? A 5184.105 B 576.106 C 33384960 D 4968.105 Lời giải Chọn A Theo quy tắc nhân ta thực bước Chữ có 24 cách chọn Chữ có 24 cách chọn Chữ số có cách chọn Chữ số thứ hai có 10 cách chọn Chữ số thứ ba có 10 cách chọn Chữ số thứ tư có 10 cách chọn Chữ số thứ năm có 10 cách chọn Chữ số thứ sau có 10 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân ta có 24.24.9.105  5184.105 số tơ nhiều đăng kí STUDY TIP Có thể phân biệt tốn sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân phân biệt xem cơng việc cần làm chia trường hợp hay phải làm theo bước Ví dụ Có cách xếp học sinh A, B ,C , D , E , F ,G vào hàng ghế dài gồm ghế cho hai bạn B F ngồi hai ghế đầu? A 720 cách B 5040 cách C 240 cách D 120 cách Lời giải Chọn C Ta thấy toán xuất hai đối tượng Đối tượng 1: Hai bạn B F (hai đối tượng có tính chất riêng) Đối tượng 2: Các bạn lại thay đổi vị trí cho Bước 1: Ta sử dụng tính chất riêng hai bạn B F trước Hai bạn ngồi đầu ngồi cuối, hoán đổi cho nên có 2! cách xếp Bước 2: Xếp vị trí cho bạn lại, ta có 5! cách xếp Vậy ta có !.5 ! 240 cách xếp STUDY TIP Để nhận dạng toán đếm có sử dụng hốn vị n phần tử, ta dựa dấu hiệu a Tất n phần tử có mặt b Mỗi phần tử xuất lần c Có phân biệt thứ tự phần tử d Số cách xếp n phần tử số hốn vị n phần tử Pn  n ! Ví dụ Một nhóm người gồm ba đàn ông, bốn phụ nữ hai đứa trẻ xem phim Hỏi có cách xếp họ ngồi hàng ghế cho đứa trẻ ngồi hai phụ nữ khơng có hai người đàn ông ngồi cạnh nhau? A 288 B 864 C 24 D 576 Lời giải Chọn B Kí hiệu T ghế đàn ông ngồi, N ghế cho phụ nữ ngồi, C ghế cho trẻ ngồi Ta có phương án sau: PA1: TNCNTNCNT PA2: TNTNCNCNT PA3: TNCNCNTNT Xét phương án 1: Ba vị trí ghế cho đàn ơng có 3! cách Bốn vị trí ghế cho phụ nữ có 4! cách Hai vị trí ghế trẻ ngồi có 2! cách Theo quy tắc nhân ta có !.4 !.2 ! 288 cách Lập luận tương tự cho phương án phương án Theo quy tắc cộng ta có 288  288  288  864 cách STUDY TIP Với tốn gồm có phần tử vừa cần chia trường hợp vừa thực theo bước ta cần chia rõ trường hợp trước, thực trường hợp (sử dụng quy tắc nhân bước) sau áp dụng quy tắc cộng để cộng số cách trường hợp với Ví dụ Một chồng sách gồm sách Toán, sách Vật lý, sách Hóa học Hỏi có cách xếp sách thành hàng ngang cho sách Toán đứng cạnh nhau, Vật lý đứng cạnh nhau? A cách B 5040 cách C 725760 cách D 144 cách Lời giải Chọn C Bước 1: Do đề cho sách Toán đứng cạnh nên ta coi “buộc” sách Tốn lại với số cách xếp cho “buộc” Toán 4! cách Bước 2: Tương tự ta “buộc” sách Lý lại với nhau, số cách xếp cho “buộc” Lý 3! cách Bước 3: Lúc ta xếp vị trí cho phần tử có: + “buộc” Toán + “buộc” Lý + Hóa Thì có 7! cách xếp Vậy theo quy tắc nhân ta có !.4 !.3 ! 725760 cách xếp STUDY TIP Với dạng tập yêu cầu xếp hai nhiều phần tử đứng cạnh ta “buộc” phần tử nhóm coi phần tử Ví dụ Một câu lạc phụ nữ phường Khương Mai có 39 hội viên Phường Khương Mai có tổ chức hội thảo cần chọn người xếp vào vị trí lễ tân khác cổng chào, 12 người vào 12 vị trí khác ghế khách Hỏi có cách chọn hội viên để tham gia vị trí hội thao theo quy định? 12 12 12 12 A A399 A39 B C399 C30 C C399 C39 D A399 A30 Phân tích Bài tốn sử dụng quy tắc nhân ta phải thực hai bước: Bước 1: Chọn người vào vị trí lễ tân Bước 2: Chọn 12 người vào vị trí khách mời Dấu hiệu nhận biết sử dụng chỉnh hợp phần STUDY TIP Lời giải Chọn D Bước 1: Chọn người vào vị trí lễ tân Do theo thứ tự nên ta sử dụng chỉnh hợp Số cách chọn người vào vị trí lễ tân A39 cách Bước 2: Chọn người vào vị trí khách mời Số cách chọn 12 thành viên số thành 12 viên lại để xếp vào khách mời A39 cách Vậy theo quy tắc nhân số cách chọn hội viên để dự hội thảo theo quy định 12 A399 A39 cách STUDY TIP Để nhận dạng toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k n phần tử, ta cần có dấu hiệu: a Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước b Có phân biệt thứ tự k phần tử chọn c Số cách chọn k phần tử có phân biệt thứ tự từ n phần tử Ank cách Ví dụ Có học sinh thầy giáo xếp thành hàng ngang Hỏi có cách xếp cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau? A 30240 cách B 720 cách C 362880 cách D 1440 cách Lời giải Chọn A Cách 1: Trước hết, xếp học sinh thành hàng có 6! cách Lúc hai học sinh tạo nên vách ngăn học sinh tạo nên vị trí xếp thầy vào tính hai vị trí hai đầu hàng (hình minh họa bên dưới) vị trí dấu nhân vách ngăn tạo + Do đề yêu cầu thầy giáo không đứng cạnh nên ta xếp thầy giáo vào vị trí vách ngăn tạo có A72 cách Theo quy tắc nhân ta có tất !.A72  30240 cách xếp Cách 2: - Có 8! cách xếp người - Buộc hai giáo viên lại với có 2! cách buộc Khi có 2.7 ! cách xếp Mà hai giáo viên khơng đứng cạnh nên số cách xếp ! 2.7 !  30140 cách xếp STUDY TIP Khi tốn u cầu xếp hai nhiều phần tử khơng đứng cạnh Chúng ta tạo “vách ngăn” phần tử trước xếp chúng Ví dụ Từ bơng hồng vàng, bơng hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hồng gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa có hồng vàng hồng đỏ? A 10 cách B 20 cách C 120 cách D 150 cách Phân tích Ta thấy chọn bơng hồng mà có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ nên có trường hợp sau: TH1: Chọn hồng vàng hồng đỏ TH2: Chọn hồng vàng hồng đỏ TH3: Chọn hồng vàng, hồng đỏ hồng trắng Lời giải Chọn D TH1: Số cách chọn hồng vàng C53 cách Số cách chọn hồng đỏ C44 cách Theo quy tắc nhân có C53 C44  10 cách TH2: Tương tự TH1 ta có C54 C43  20 cách TH3: Tương tự có C53 C43 C31  120 cách Vậy theo quy tắc cộng có 10  20  120  150 cách STUDY TIP Để nhận dạng toán sử dụng tổ hợp chập k n phần tử, ta dựa dấu hiệu: a Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước b Không phân biệt thứ tự k phần tử chọn c Số cách chọn k phần tử không phân biệt thứ tự từ n phần tử cho Cnk cách Từ toán ta rút quy luật phân biệt tổ hợp chỉnh hợp sau: Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ với công thức: Ank  k !.Cnk Chỉnh hợp: Có thứ tự Tổ hợp: Khơng có thứ tự Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử sử dụng chỉnh hợp Ngược lại sử dụng tổ hợp  Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử  k �n  :     + Không thứ tự: Cnk + Có thứ tự: Ank Ví dụ 10 Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A , học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? A 120 B 90 C 270 D 255 Lời giải Chọn D Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh C124  495 cách Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau:  TH1: Lớp A có hai học sinh, lớp B ,C lớp có học sinh: Chọn học sinh học sinh lớp A có C52 cách Chọn học sinh học sinh lớp B có C41 cách Chọn học sinh học sinh lớp C có C31 cách Suy số cách chọn C52 C41 C31  120 cách  TH2: Lớp B có học sinh, lớp A,C lớp có học sinh: Tương tự ta có số cách chọn C51 C42 C31  90 cách  TH3: Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp có học sinh: Tương tự ta có số cách chọn C51 C41 C32  60 cách Vậy số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh 120  90  60  270 cách Số cách chọn học sinh thuộc không lớp 495  270  225 cách STUDY TIP Trong nhiều toán, làm trực tiếp khó việc xác định trường hợp bước ta nên làm theo hướng gián tiếp tốn ví dụ Ta sử dụng cách làm gián tiếp toán giải cách trực tiếp gặp khó khan xảy nhiều trường hợp, tìm cách gián tiếp cách xét tốn đối Ví dụ 11 Với chữ số ,1, ,3, ,5 lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? A 6720 số B 40320 số C 5880 số D 840 số Lời giải Chọn C Giả sử số tự nhiên gồm chữ số tương ứng với ô Do chữ số có mặt lần nên ta coi tìm số số thỏa mãn đề tạo nên từ số ,1,1,1, ,3, ,5 Số hoán vị số 0,1,1,1, 2,3, 4,5 ô 8! 8! Mặt khác chữ số lặp lại lần nên số cách xếp kể trường hợp số đứng đầu 3! 7! Xét trường hợp thứ chữ số 0, số cách xếp 3! STUDY TIP Bài toán dấu hiêu hoán vị lặp Để biết thêm hốn vị lặp ta nghiên cứu phần đọc thêm  ĐỌC THÊM: Cho k phần tử khác a1 , a2 , , ak Một cách xếp n phân tử  n  n   n  n  theo thứ tự kiểu  n , n , , n  k phần tử Số hoán vị lặp dạng gồm n1 phần tử a1 , n2 phần tử a2 , , nk phần tử ak gọi hốn vị lặp cấp n Pn  n1 , n2 , , nk   2 k k n! n1 !.n2 ! nk ! 8! 7!   5880 số 3! 3! Ví dụ 12 Cho bạn học sinh A, B, C , D, E , F , G, H Hỏi có cách xếp bạn ngồi xung quanh bàn tròn có ghế? A 40320 cách B 5040 cách C 720 cách D 40319 cách Lời giải Ta thấy xếp vị trí theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí bạn Ta chọn cố định vị trị A , sau xếp vị trí cho bạn lại có 7! cách Vậy có 7!  5040 cách ĐỌC THÊM Hốn vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vòng quanh n phần tử Số hốn vị vòng quanh n phần tử Qn   n  1 ! Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 13 Một thầy giáo có 10 sách khác có sách Tốn, sách Lí, sách Hóa Thầy muốn lấy tặng cho em học sinh A, B, C , D, E em Hỏi thầy giáo có cách tặng cho em học sinh cho sau tặng xong, ba loại sách A 204 cách B 24480 cách C 720 cách D 2520 cách Lời giải Ta thấy với toán làm trực tiếp khó, nên ta làm theo cách gián tiếp Tìm tốn đối tìm số cách cho sau tặng sách xong có mơn hết sách TH1: Mơn Tốn hết sách: Số cách chọn sách Toán cách Số cách chọn lại cách Vậy có cách chọn sách Số cách tặng sách cho em học sinh A5  120 cách Vậy có 6.120  720 cách TH2: Mơn Lí hết sách: Số cách chọn sách Lí cách Số cách chọn lại C7 cách Vậy có 21 cách chọn sách Số cách tặng sách cho em học sinh A5  120 cách Vậy có 21.120  2520 cách TH3: Mơn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp có 2520 cách 5 Số cách chọn 10 tặng cho em C10 A5  30240 cách Vậy số cách chọn cho sau tặng xong, loại sách lại 30240  720  2520  2520  24480 cách STUDY TIP Ở có nhiều độc giả khơng xét đến cơng đoạn sau chọn sách cơng đoạn tặng sách Do bạn A, B, C , D, E khác nên cách tặng sách môn cho bạn khác nhau, nên ta phải xét thêm cơng đoạn C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Trong lớp có 17 bạn nam 11 bạn nữ a) Hỏi có cách chọn hai bạn, có bạn nam bạn nữ? b) Hỏi có cách chọn bạn nam làm lớp trưởng? A a 187 cách b 28 cách B a 28 cách b 187 cách C a 17 cách b 11 cách D a 11 cách b 17 cách Câu Các thành phố A, B, C , D nối với đường hình Hỏi có cách từ A đến D quay lại B A Câu Câu Câu B C D A 576 B 24 C 144 D 432 Một lớp có 25 học sinh mơn Tốn, 24 học sinh môn Ngữ Văn, 10 học sinh môn Tốn mơn Ngữ Văn học sinh khơng Tốn Ngữ Văn Hỏi lớp học có học sinh? A 39 B 42 C 62 D 52 Trong kì thi tuyển nhân viên chuyên môn cho công ty cổ phần Giáo dục trực tuyến VEDU, khối A có 51 thí sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn, 73 thí sinh đạt điểm giỏi mơn Vật lí, 73 thí sinh đạt điểm giỏi mơn Hóa học, 32 thí sinh đạt điểm giỏi hai mơn Tốn Vật lí, 45 thí sinh đạt điểm giỏi hai mơn Vật lí Hóa học, 21 thí sinh đạt điểm giỏi hai mơn Tốn Hóa học, 10 thí sinh đạt điểm giỏi ba mơn Tốn, Vật lí Hóa học Có 767 thí sinh mà ba mơn khơng có điểm giỏi Hỏi có thí sinh tham dự tuyển nhân viên chuyên môn cho công ty? A 867 B 776 C 264 D 767 Người ta vấn 100 người ba phim A, B, C chiếu thu kết sau: Bộ phim A: có 28 người xem Câu Câu Câu Câu Bộ phim B: có 26 người xem Bộ phim B: có 14 người xem Có người xem hai phim A B Có người xem hai phim B C Có người xem hai phim A C Có người xem ba phim A, B C Số người không xem phim ba phim A, B, C là: A 55 B 45 C 32 D 51 Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát nhau? A 11 B 36 C 25 D 18 Có cách xếp viên bi đỏ khác viên bi đen khác thành dãy cho hai viên bi màu khơng cạnh nhau? A 3251404800 B 1625702400 C 72 D 36 Sắp xếp học sinh lớp A học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, dãy ghế cho học sinh ngồi đối diện khác lớp Khi số cách xếp là: A 460000 B 460500 C 460800 D 460900 Có 20 cặp vợ chồng tham dự chương trình Gameshow truyền hình thực tế Có cách chọn hai cặp đôi cho hai cặp hai đơi vợ chồng? A 380 B 116280 C 90 D 5040 Câu 10 Cho tập hợp A   2;5 Hỏi lập số có 10 chữ số cho khơng có chữ số đứng cạnh nhau? A 144 số B 143 số C 1024 số D 512 số Câu 11 Có học sinh thầy giáo A, B, C Hỏi có cách xếp chỗ cho người ngồi hàng ngang có ghế cho thầy giáo ngồi hai học sinh? A 43200 B 720 C 60 D 4320 Câu 12 Trong tổ học sinh có em gái 10 em trai Thùy em gái Thiện 10 em trai Thầy chủ nhiệm chọn nhóm bạn tham gia buổi văn nghệ tới Hỏi thầy chủ nhiệm có cách chọn mà có hai em Thùy Thiện không chọn? A 286 B 3003 C 2717 D 1287 Câu 13 Một nhóm học sinh có em nữ em trai Hỏi có cách xếp 10 em thành hàng ngang cho hai em nữ khơng có em nam nào? A 241920 B 30240 C 5040 D 840 Câu 14 Từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 lập số tự nhiên có chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn ? A 720 số B 504 số C 936 số D 1440 số Câu 15 Cho đa giác A1 A2 A2 n nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 ; A2 ; ; A2 n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 ; A2 ; ; A2 n Vậy giá trị n là: A n  10 B n  12 C n  D n  14 Câu 16 Giả sử ta dùng màu để tô màu cho nước khác đồ khơng có màu dùng hai lần Số cách để chọn màu cần dùng là: 5! 5! A B 5.3 C D 53 2! 3!2! Câu 17 Ông bà An đứa lên máy bay theo hàng dọc Có cách xếp hàng khác ông An bà An đứng đầu cuối hàng? A 720 B 1440 C 20160 D 40320 Câu 18 Có 30 câu hỏi khác gồm câu khó, 10 câu trung bình, 15 câu dễ Từ 30 câu lập đề kiểm tra, đề gồm câu khác nhau, cho đề phải có loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu dễ khơng ? A 142506 B 56875 C 10500 D 22750 Câu 19 Biển đăng kí xe tơ có chữ số hai chữ số 26 chữ (không dùng chữ I O ) Chữ số khác Hỏi số tơ đăng kí nhiều bao nhiêu? A 5184.105 B 576.106 C 33384960 D 4968.105 Câu 20 Một ghép hình gồm miếng gỗ Mỗi miếng gỗ đặc trưng tiêu chuẩn: chất liệu, màu sắc, hình dạng kích cỡ Biết có chất liệu (gỗ, nhựa); có màu (xanh, đỏ, lam, vàng); có hình dạng (hình tròn, vng, tam giác, lục giác) có kích cỡ (nhỏ, vừa, lớn) Xét miếng gỗ “nhựa, đỏ, hình tròn, vừa” Hỏi có miếng gỗ khác miếng gỗ hai tiêu chuẩn? A 29 B 39 C 48 D 56 Câu 21 Có bi đỏ bi trắng có kích thước đơi khác Hỏi có cách xếp bi thành hàng dài cho hai bi màu không nằm kề nhau? A 28800 B 86400 C 43200 D 720 Câu 22 Cho X   0;1; 2;3; 4;5; 6;7 Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác từ X cho chữ số phải có mặt chữ số A 2880 B 840 C 1440 D 2520 Câu 23 Một hộp bi có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Có cách để lấy viên bi từ hộp cho viên bi lấy số bi đỏ lớn số bi vàng? A 125 B 275 C 150 D 270 Câu 24 Cho hai đường thẳng song song d1 ; d Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, đường thẳng d lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác tạo thành mà ba đỉnh chọn từ 25 điểm vừa nói trên? 1 2 1 2 1 A C10C15 B C10C15 C C10C15  C10C15 D C10C15C10C15 Câu 25 Từ chữ số tập A   0;1; 2;3; 4;5; 6; 7 lập số tự nhiên gồm chữ số chữ số xuất ba lần, chữ số lại đơi khác nhau? A 31203 B 12600 C 181440 D 36 Câu 26 Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt cho ba điểm khơng thẳng hàng Hỏi có vecto mà có điểm đầu điểm cuối thuộc 2010 điểm cho? A 4040100 B 4038090 C 2021055 D 2019045 Câu 27 Cho hai đường thẳng song song d1 ; d Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d có n điểm phân biệt  n �2  Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm nói Vậy n có giá trị là? A 20 B 21 C 30 D 32 n Câu 28 Trong mặt phẳng cho điểm, khơng có điểm thẳng hàng tất đường thẳng nối hai điểm khơng có hai đường thẳng song song, trùng vng góc Qua điểm vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng xác định n  điểm lại Số giao điểm đường thẳng vng góc giao nhiều bao nhiêu? � n  Cn21  1  5Cn3 � A 2C n n 1  n 2   � � 2 � n  Cn21  1  5Cn3 � B 2C n n 1  n    � � 2 � nCn21   5Cn3 � � C 3C n n 1  n   � 2 � n  Cn21  1  5Cn3 � D C n n 1  n   � � Câu 29 Một bữa tiệc bàn tròn câu lạc trường Đại học Sư Phạm Hà Nội có thành viên từ câu lạc Máu Sư Phạm, thành viên từ câu lạc Truyền thông thành viên từ câu lạc Kĩ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thành viên cho người câu lạc ngồi cạnh nhau? A 7257600 B 7293732 C 3174012 D 1418746 Câu 30 Có bơng hồng đỏ, bơng hồng vàng, 10 hồng trắng, hồng khác đơi Hỏi có cách lấy bơng hồng có đủ ba màu? A 560 B 310 C 3014 D 319 Câu 31 Xếp người (trong có cặp vợ chồng) ngồi quanh bàn tròn có ghế khơng ghi số cho cặp vợ chồng ngồi cạnh Số cách xếp là: A 240 B 48 C 120 D 24 Câu 32 Một dãy ghế dài có 10 ghế Xếp cặp vợ chồng ngồi vào 10 ghế cho người vợ ngồi bên phải người chồng (không bắt buộc phải ngồi gần nhau) Số cách xếp là: A 45 B 50 C 55 D 90 Câu 33 Một đoàn tàu có bốn toa đỗ sân ga Có bốn hành khách bước lên tàu Số trường hợp xảy cách chọn toa bốn khách là: A 24 B 256 C 232 D Câu 34 Trong túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng Các viên bi có kích cỡ Số cách lấy viên bi xếp chúng vào cho bi có viên bi đỏ A 146611080 B 38955840 C 897127 D 107655240 Câu 35 Một có 52 lá, có loại: cơ, rơ, chuồn, bích loại có 13 Muốn lấy phải có cơ, rơ khơng q bích Hỏi có cách chọn? A 39102206 B 22620312 C 36443836 D 16481894 Câu 36 Có số tự nhiên có chữ số chữ số cách chữ số đứng giống nhau? A 900 B 9000 C 90000 D 27216 Câu 37 Một lớp có n học sinh ( n  ) Thầy chủ nhiệm cần chọn nhóm cần cử học sinh làm nhóm trưởng Số học sinh nhóm phải lớn nhỏ n Gọi T số cách chọn, lúc này: n 1 k A T  �kCn k 2 n 1 B T  n   1 n C T  n n 1 k D T  �kCn k 1 Câu 38 Trong phòng có 36 người có 25 người họ Nguyễn, 11 người họ Trần Trong số người họ Nguyễn có cặp anh em ruột (anh trai em gái), người lại (gồm nam nữ) khơng có quan hệ họ hàng với Trong 11 người họ Trần, có cặp anh em ruột (anh trai em gái), người lại (gồm nam nữ) khơng có quan hệ họ hàng với Chọn ngẫu nhiên người a) Hỏi có cách chọn hai người họ khác giới tính? A 156 B 30 C 186 D 126 b) Hỏi có cách chọn hai người cho khơng có cặp anh em ruột nào? A 619 B 630 C 11 D 25 D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án A a) Bước 1: Chọn bạn nam có 17 cách Bước 2: Chọn bạn nữ có 11 cách Theo quy tắc nhân ta có 17.11  187 cách b) Số cách để chọn bạn nam làm lớp trường 17 Số cách để chọn bạn nữ làm lớp trưởng 11 Vậy có 11  17  28 cách Câu Đáp án C Đi từ A đến D có 4.2.3  24 cách Đi từ D B có 3.2  cách Vậy từ A đến D quay lại B có 6.24  144 cách Câu Đáp án B Gọi A tập học sinh mơn Tốn, B tập học sinh mơn Ngữ Văn Theo đề ta có: A  25; B  24; A �B  10 Theo quy tắc tính số phần tử hợp hai tập hợp hữu hạn ta có: A �B  A  B  A �B  25  24  10  39 Vậy lớp học có 39   42 học sinh Câu Đáp án A Kí hiệu A, B, C tương ứng tập hợp thí sinh đạt điểm giỏi ba mơn Tốn, Vật lý, Hóa học A  51; B  73; C  64; A �B  32; B �C  45; A �C  21; A �B �C  10 Lúc ta có A �B �C tập hợp học sinh đạt điểm giỏi ba mơn Tốn, Vật lý, Hóa học Ta có: A �B �C  A  B  C  A �B  B �C  A �C  A �B �C  51  73  64  32  45  21  10  100 Vậy số thí sinh dự tuyển vào công ty VEDU 100  767  867 Câu Đáp án B Theo quy tắc tính số phần tử ba tập hợp hữu hạn bất kì, ta có số người xem phim 28  26  14      55 người Vậy số người không xem phim 100  55  45 người Câu Đáp án B Chọn kịch có cách Chọn điệu múa có cách Chọn hát có cách Vậy theo quy tắc nhân ta có 2.3.6  36 cách Câu Đáp án A Nhận xét: Bài toán kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân Do hai viên bi màu khơng cạnh nên ta có trường hợp sau: Phương án 1: Các bi đỏ vị trí lẻ Có cách chọn bi đỏ vị trí số Có cách chọn bi đỏ vị trí số … Có cách chọn bi đỏ vị trí số 15 Suy có 8.7.6 3.2.1 cách xếp bi đỏ.Tương tự có 8.7.6 3.2.1 cách xếp bi xanh Vậy có (8.7 3.2.1) cách xếp Phương án 2: Các bi đỏ vị trí chẵn ta có cách xếp tương tự Vậy theo quy tắc cộng ta có (8!)  (8!)2  3251404800 Câu Đáp án C Cách 1: Bước 1: Học sinh đầu tiên, giả sử học sinh lớp A có 10 cách chọn ghế Bước 2: Có cách chọn học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện Bước 3: Có cách chọn học sinh lớp A vào ghế Bước 4: Có cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện Bước 5: Có cách chọn học sinh lớp A Bước 6: Có cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện Bước 7: Có cách chọn học sinh lớp A vào ghế tiếp Bước 8: Có cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện Bước 9: Có cách chọn học sinh lớp A vào ghế Bước 10: Có cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện Theo quy tắc nhân có 10.5.8.4.6.3.4.2.2.1   5! 25  460800 cách Cách 2: Vì học sinh ngồi đối diện khác lớp nên cặp ghế đối diện xếp học sinh lớp A học sinh lớp B Số cách xếp học sinh lớp A vào cặp ghế 5! cách Số cách xếp học sinh lớp B vào cặp ghế 5! cách Số cách xếp chỗ cặp ghế cách Theo quy tắc nhân có  5! 25  460800 cách Câu Đáp án A Bước 1: Có 20 cách chọn người đàn ơng Bước 2: Sau chi có cách chọn vợ Bước 3: Có 19 cách chọn người đàn ơng Bước 4: Sau chi có cách chọn vợ Vậy theo quy tắc nhân có 20.1.19.1  380 cách Câu 10 Đáp án A TH1: Số có 10 chữ số : chi có số TH2: Số có chữ số chữ số Xếp số thành hàng có cách Khi tạo nên 10 "vách ngăn" đế xếp số 1 Xếp số có C10 cách Vậy có C10 số TH3: Số có chữ số chữ số Tưong tự sử dụng phương pháp tạo vách ngăn TH2 tìm C9 số TH4: Số có chữ số chữ số : có C8 số TH5: Số có chữ số chữ số : có C7 số TH6: Có chữ số chữ số : có C6 số Vậy theo quy tắc cộng có  C10  C9  C  C7  C6  144 số Câu 11 Đáp án A Ta sử dụng phương pháp tạo "vách ngăn" giới thiệu phần lí thuyết Bước 1: Xếp vị trí cho học sinh có 6! cách Bước 2: Do đề yêu cầu thầy giáo ngồi hai học sinh nên ta tính vách ngăn tạo học sinh Số cách xếp thầy giáo vào vị trí A5 cách Vậy theo quy tắc nhân có 6!. A5  43200 cách Câu 12 Đáp án C Do việc tìm trực tiếp có nhiều trường hợp nên ta giải tốn cách gián tiếp Ta tìm tốn đối Ta tìm số cách chọn bạn mà có hai bạn Thùy Thiện Bước 1: Chọn nhóm em 13 em, trừ Thùy Thiện có C13  286 cách Bước 2: Ghép em Thùy Thiện có cách Vậy theo quy tắc nhân có 286 cách chọn em Thùy Thiện chọn - Chọn em số 15 em có C15  3003 cách Vậy theo u cầu đề có tất 3003  286  2717 cách chọn mà có hai em Thùy Thiện không chọn Câu 13 Đáp án A Do xuất dấu hiệu cúa phương pháp "buộc" phần từ phần tử xếp cạnh nên ta áp dụng sau: Bước 1: Buộc em nữ thành buộc số cách đổi vị trí em nữ buộc 3! cách Bước 2: Sau buộc em nữ ta phần tử Số cách xếp phần từ 8! cách Theo quy tắc nhân có 3!.8!  241920 cách Câu 14 Đáp án D Gọi a1a2 a3 a4 a5 a6 số cần lập Theo giả thiết a3  a4  a5  Suy a3 ; a4 ; a5 � 1; 2;5 a3 ; a4 ; a5 � 1;3; 4 TH1: a3 ; a4 ; a5 � 1; 2;5 3 Có 3! cách chọn a3a4 a5 Xếp a1 ; a2 ; a6 có A6 cách Vậy theo quy tắc nhân có 3! A6  720 số TH2: a3 ; a4 ; a5 � 1;3; 4 Tương tự ta tìm 720 số Vậy có tất 720  720  1440 số Câu 15 Đáp án C Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 ; A2 ; ; A2 n C2n Ứng với hai đường chéo qua tâm đa giác A1 A2 A2 n cho tương ứng hình chữ nhật có đỉnh điểm 2n điểm A1 ; A2 ; ; A2 n ngược lại hình chữ nhật cho đường chéo qua tâm O đa giác Mà số đường chéo qua tâm đa giác 2n đỉnh n nên số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm Cn Theo đề ta có: C23n  20Cn2 � 2n  2n  1  2n   3!  20n  n  1 � n  Câu 16 Đáp án C Số cách chọn màu màu mà khơng có màu trùng C5  5! 3!.2! Câu 17 Đáp án B Bưóc 1: Xếp chỗ cho hai ơng bà An có cách Bước 2: xếp chỗ cho người có 6! cách Theo quy tắc nhân có 2.6!  1440 cách Câu 18 Đáp án A Xét trường hợp: 2 THI: Đề gồm câu dễ, câu khó, câu trung bình có C15C5 C10  10500 đề 2 TH2: Đề gồm câu dễ, câu khó câu trung bình có C15C5C10  23625 đề 1 TH3: Đề gồm câu dễ, câu khó câu trung bình có C15C5C10  22750 đề Theo quy tắc cộng có 10500  23625  22750  56875 đề Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM