Ngi gii : N.V.Sn D: 01202626549 Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi thừa thiên huế năm học 2017 - 2018 (Lêi gi¶i gåm 07 trang) 2x  m ,  Hm  mx  a) Khi m 1, hàm số cho có đồ thị H1 cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A B Tính diện tích tam giác OAB b) Chøng minh r»ng víi mäi m  đồ thị hàm số H m cắt đường thẳng Câu 1: (4,0 điểm) Cho hàm số y   d  : y  x  2m hai điểm phân biệt C, D thuộc đường H cố định thẳng d cắt Ox, Oy điểm M , N Tìm m để SOCD 3SOMN Đường H­íng dÉn gi¶i: 2x 1 a) Khi m  1, hàm số cho trở thành: y  H1  x 1  A   H1   Ox 1  Gäi   A  ;0  , B  0; 1  OA  ; OB  2   B   H1   Oy 1 1 Tam giác OAB vuông O nên: SOAB OA.OB   (®vdt) 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm H m  vµ  d  lµ: 2x  m  mx    x  2m   mx   x  m   x  2m  mx  1 (I ) 1   x   x    Víi m  th× ( I )   m m 2 2mx  2m x  m  2 x  2mx   (*)   2 Phương trình (*) có   m   0, m  vµ:     2m        0, m  m  m  m Suy m phương trình (*) có nghiệm thực phân biệt khác m Vậy m H m d cắt điểm phân biệt x1  x2  m  *Gäi x1 , x2 nghiệm (*), theo định lí Vi-ét th×:   x2   x1  x1 x2    Gäi C  x1 ; y1  , D  x2 ; y2 giao điểm H m vµ  d    Ta cã: y1  x1  2m  x1   x1  x2   2 x2  2     x1  x1 1 T­¬ng tù y2  VËy hai điểm C , D nằm đồ thị hàm số y  x2 x  H  (§PCM) Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018  M   d   Ox *Ta cã:   M  m;  , N  0; 2m   OM  m ; ON  2m  m  N   d   Oy 1 Khi ®ã SOMN  OM ON  m m  m 2    Ta cã OC.OD   x12   x22    x1  x2     x14  x24  x12  x22  x    x x   x24  x12 x22   x14  x24  x1 x2  2 1 2   x1 x2    x1  x2   x1 x2    x1 x2   m    m  2m    2   1   m  2m   4m  8m  25 VËy OC.OD  16 4 Ta cã SOCD  3SOMN  25 4m  8m   3m 2  128m  32m  25   m  23 23 m 16 Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: cos x  2       cos  x   4  3   sin   x     b) Giải phương trình sau:  x3  x x  25 x  18 , x  H­íng dÉn gi¶i:    cos  x    sin x      a) §iỊu kiƯn   xk  cos x  sin  3  x    Với điều kiện phương trình cho tương đương với: k    x    k  tan x  1  cos x  sin x  1     2  cos x  sin x       x   k   sin x cos x  2 sin x cos x  sin x     x  3  k  §èi chiÕu với ĐK ta phương trình có họ nghiệm lµ: x   x 3  k k     k ; x   k    k ; Người gii : N.V.Sn D: 01202626549 b) Cách 1: Đưa hàm đặc trưng Phương trình (1) tương đương với:   x3  x  25 x3  18 x    25 1  x    25  x3   x3  x  18 x  20     x3  x   x   (*) a  x3 *Đặt PT(*) trë thµnh: b  x   a  a  b  b   a  b  a  b  1   a  b *Víi a  b ta cã:  x3  x   (1  x)(1  x  x )  2(1  x)  2(1  x  x )   x   x  x2  37   x2  5x    x  2   x x x Cách 2: Nhân liên hỵp  x  0 (1)   x3  10 1  x   x  25 x3  18 x   10 1  x   1 x    x  x   x  x  25 x3  18 x  10 x  15 x  1 x  5x      x2  5x  x2  5x  1 x  x  1 x   37  x  5x    x    1 x  x2  5x    1 x  x  1 x Ta cã: (**)   x   x  x2 1 x  1 x  x   1 x  x  x2  5x   (**)  x2  5x   4x2  5x  2 1 x     1 x  1 x  x   4x2  5x  (VN ) Câu 3: (4,0 điểm) x y  y  x  y (1) a) Giải hệ phương tr×nh sau:   x, y    (2)  x  x   x   y b) Cã 30 tÊm thỴ đánh số từ tới 30 Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác xuất để tổng số ghi thẻ chia hết cho Hướng dẫn giải: a) §iỊu kiƯn x  2; y   Ta cã: (1)  x3  x  y  y  y   x  x   y  1   y  1 Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018  x3   y  1   x  y  1    x  y  1  x  x( y  1)   y  1  1     y  x  Thay y  x  vµo (2) ta cã: x3  x   x   x     x3   x   x3   x     x   x  x   x   2  x  2x   2 x2   x  2 x2 2 (*)  nên PT(*) vô nghiệm x2 Với x  y  VËy hƯ ®· cho cã nghiƯm lµ:  x; y    2;3 Víi mäi x  2 ta cã VT (*)   x  1   3; VP(*) b) Gọi A biến cố: Rút ngẫu nhiên thẻ mang số có tổng chia hết cho 3” Ta cã n     C303 *Ta chia 30 thẻ đánh số từ tới 30 làm loại sau: Loại 1: 10 thẻ mang số chia cho dư 1; Loại 2: 10 thẻ mang sè chia cho d­ 2; Lo¹i 3: 10 thỴ mang sè chia hÕt cho 3; *Rót thỴ mang sè cã tỉng chia hÕt cho x¶y trường hợp sau: TH1: thẻ thẻ loại có: C103 cách TH2: thẻ thẻ loại có: C103 cách TH3: thẻ thẻ loại có: C103 cách TH4: thẻ gồm thẻ loại 1; thẻ loại thẻ loại có: 10.10.10  1000 c¸ch n  A  3C103  1000 68   X¸c st cđa biÕn cè A lµ: P  A   n  C30 203 Câu 4: (3,0 điểm) 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C :  x  1   y  điểm M 6; a) Chứng minh điểm M nằm đường tròn C b) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt C hai điểm A, B cho MA2  MB  50 H­íng dẫn giải: a) Đường tròn C có tâm I 1;  , b¸n kÝnh R   Ta cã: IM   5;   IM    R VËy ®iĨm M nằm đường tròn C b) Gọi H trung điểm AB Ta có IH AB Người giải đề: N.V.Sơn DĐ: 01202626549 I H B      MA2  MB  MH  HA  MH  HB     A     MH  HA2  HB  MH HA  HB      MH  HA2  IM  IH  IA2  IH 2  IM  IA  IH d M    50  10  IH  60  IH 10 Ta cã MA2  MB  50  60  IH  50  IH   Gäi n   a; b  a b vectơ pháp tuyến đường thẳng d cần tìm Phương trinh tổng quát đường thẳng d là: a x   b  y    b  3a 10  b  9a   a b b  3a *Với b 3a phương trình d là: x     y     x  y  12  Ta cã IH  d  I ; d   5a 2  *Víi b  3a phương trình d là: x    y     x  y  C©u 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA SB SC  a vµ SD  x  a  0; x   a) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S ABCD theo a vµ x b) TÝnh x theo a ®Ĩ thĨ tÝch khèi chãp S ABCD lín nhÊt H­íng dÉn gi¶i: S a a a x a A B a O D a C a) Gäi O AC BD *Tam giác SAC cân S có SO trung tuyến nên: SO AC (1) * ABCD hình thoi nên BD AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: AC   SBD  Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018 1 AO.SSBD  CO.S SBD  AC.S SBD 3 *XÐt tam giác vuông OAD, OAB, OAS có cạnh OA chung AD  AB  AS nªn chóng b»ng Suy ra: OD OB OS SBD vuông S 1 Khi ®ã: S SBD  SB.SD  ax vµ BD  x  a 2 Do ®ã: VS ABCD  VA.SBD  VC SBD   x2  a2 Ta cã: AC  AO  AD  DO  a     1 VËy VS ABCD  xa 3a  x  ax 3a  x 2 2 b) Theo bất đẳng thức Cô-si thì: x 3a x    3a  x    x  3a  x 2   3a 2  VS ABCD  3a a a  VËy VS ABCD lín nhÊt vµ chØ khi: x  3a  x  x  3a a x 2 Câu 6: (2,0 điểm) Cho sè thùc x, y tháa m·n x, y   ;1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2  P  x y  xy   3 x  y  x  y2 H­íng dÉn gi¶i: Ta cã x, y  nªn:  x  1 y  1   xy  x  y  2 Khi ®ã x  y   x  y   xy   x  y    x  y  1   x  y    x  y   (1) 2 1 4 x  y  xy  x  y    x  y  1 x  y  8 Từ đánh giá (1) (2) nên ta có: P   x  y  1 x  y    3 x  y   x  y  2 x  y    Vµ: x5 y  xy  xy x  y xy Đặt t x  y Do x, y   ;1 nªn t  1; 2 2  Ta cã P  f  t    t  1 t  3t  t  2t  (2) Người giải đề: N.V.Sơn D: 01202626549 Xét hàm số f t xác định liên tục đoạn 1; có: f  t     12  t  1 5t  4t   t  2t    5t  t    6t  24    12  t  1 t  2t   t    5t  6t  12t  24   3  2   12  t  1 5t  4t  24  t  2t    5t  t    t  8  3  12  t  1 t  2t   12  t  1  t  12  1   2 12  t  1 2   (do t  2) Ta cã  t  1    t  1   t  1  1   t  1    t 1  t  12  1   12  t  1  0, t  1; 2 Suy ra:   t  12  1   VËy f   t   0, t  1; Nên hàm số f t nghịch biến đoạn 1; Do f  t   f    1 Vậy P Giá trị nhỏ P -1 đạt x y  - HÕt -(Lêi giải thực thời gian ngắn nên không tránh khỏi sai sót, có sai sót xin bạn đọc bỏ qua)