Đang tải... (xem toàn văn)
Đề cương ôn thi vào lớp 10, giúp các sĩ tử chuẩn bị kỹ năng cho một cuộc sát chiến nhằm đem lại thắng lợi lớn chuẩn bị cho tương lai. Đề cương bao gồm rất nhiều bài tập và kỹ năng đã được đúc kết từ nhiều năm.
y O x x2 + y2 – 2x – y + 13 = Năm học 2016- 2107 Gia sư: Trương Khánh Nguyên Sđt: 01204808748 PHẦN A: ĐẠI SỐ Chủ đề 1: CĂN BẬC 2- CĂN BẬC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ A có nghĩa A ≥ A A 0 A2 A A A A.B A B ( A 0; B 0) A B A A B ( B > 0) B B A B AB ( A B ) A 0; B A ( A 0; B > 0) B A B 2B A ( A B)2 A Căn bậc ba: Các phép biến đổi đơn giản: a Định nghĩa: Căn bậc ba số a số x cho x3 = a A2 B A B ( B 0) + A 0: A B A2 B ( B 0) b Tính chất: a < b a b ; + A < 0: A B A2 B ( B 0) A B A B ( A, B 0; A B) A B A B ab a b ; 3 AB AB ( AB > 0; B 0) B2 B a 3a b 3b II CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: Tìm điều kiệ n củ a biến để mỗ i biểu thức (căn thức) sau cố nghĩa: * Phương pháp: - Xác dịnh điều kiện để biểu thức chơ có nghĩa + A có nghĩa A ≥ + có nghĩa A >0 A - Giải bất pt để tìm giá trị biến Lưu ý: Ta ln có A2 ≥ Ví dụ: 1) 2015 x 2016 6) 4a 2) 2x 7) 5a 3) 3x 12 8) x x 9) 4) x2 3a 5) 1 3x 10) 2a Những làm hơm để ngày mai! Dạng 2:Vận dụng đẳng thức A A 0 để rút gọn biểu thức: A2 A A A Bài tập: 1) (1 2) 1) ( 2)2 2) ( 3)2 3 3) 42 4) 4) 3 3 6) 2) 21 2 3) 42 6 5) 3 7) 15 10 15 8) 13 48 Dạng 3: Thực phép tính, rút gọn biểu thức Lưu ý: Đối với biểu thức chứa biến cà n ghi rỗ ĐK củ a biến rú t gộ n 1) 50 18 72 2) 6 7 3) 4) 5) x xy y x y 1 1) 18 50 2) 3) x 0; y 0; x y 1 x x x 1 x 3 x 1 43 43 1 43 43 4) 9a 16a 49a a 5) 16b 40b 90b b 7) 15 21 1 8) 48 27 12 : Dạng 4: Giải phương trình + Dạ ng: A B A B ( nế u B là mộ t số dương ) + Dạ ng: B AB ( nế u B là mộ t biể u thức chứa biế n ) A B + Dạng: A B A B A0 + Dạ ng: A2 B Ta đưa về phương trình chứa dá u giá trị tuyệ t đố i A2 B A B *Trường hợp 1: Nế u B là mộ t số dương thì: A B A B A B 6) 96 *Trường hợp 2: Nế u B là mộ t biể u thức chứa biế n thì: B A B A B Bài tập: Giải phương trình sau 1) 9( x 1) 21 1) 4x x x 18 2) ( x 3) 3) 4x 4x 4) x 2 x 4 x 5 x 6 x2 4x x2 7 36 3) 18 x x 2x 5) x2 6x x 4) 3x 27 x 12 x 24 2) 5) 25 x 25 15 x 6 x 1 Dạng 5: Chứng minh đẳng thức: + Thực hiệ n cá c phế p biế n đổ i biể u thức chứa bạ c hai + Vạ n dụ ng phương phá p chứng minh đả ng thức A = B C/m A = C; B = C Biến đổi A thành B B thành A Bài tập: Chứng minh đẳng thức sau a a a a 1) 1 1 a (a 0, a 1) a a 1 x y 2) x y 3) 4) xy ( x 0; y 0; x y ) : x y x y xy a b b a : a b ab a b ( x y x y )( x y ) x y 3 (a 0, b 0, a b) x y ( x 0, y 0) 14 15 5) 2 : 6) 3 2 (2 3) 1 7) 15 12 52 3 Dạng 6: Bài tốn tổng hợp Những làm hôm để ngày mai! a a a a a 1) Cho M = 2 a a a 1 a) Tìm ĐKXĐ M b) Rút gọn M c) Tìm giá trị a để M = - x x x4 2) Cho S (x 0; x 4) x 4x x 2 a) Rút gọn S b) Tìm giá trị x để S > a 3) Cho biểu thức Q = a 1 a a a 1 a 1 với a > ; a ≠ a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q a = + 2 c) Tìm giá trị a cho Q < a 2 a a 1 a a a a 4) Cho biểu thức M = a) Tìm điều kiện a để M có nghĩa b) Rút gọn M c) Tìm số nguyên a để M số nguyên a a a a : với a b a b b a a b a b ab 5) Cho biểu thức: A = số dương khác a) Rút gọn biểu thức A – a b ab ba b) Tính giá trị A a = b = 1 1 2 6) Tính giá trị biểu thức: M 1 1 1 1 1 2 74 7) Rút gọn biểu thức: A 2 x y 8) Tính giá trị biểu thức: P với x 3; y y x 1 a 1 9) Cho biểu thức: K với a > 0, a ≠ : a a a a 1 a) Rút gọn biểu thức K b) Tìm a để K 2012 x 1 x x x x 1 x 1 a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị x A < x x y : 11) Cho biểu thức: P x x2 y x y x y a) Tìm điều kiện x, y để biểu thức P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức P c) Tính P biết 2x – 3y = 1 x xx 12) Cho biểu thức: A x x 1 x x 1 1 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A > x yy x 13) Cho biểu thức: Q với x 0, y 0, x y x y 10) Cho biểu thức: A a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị Q x 26 1; y 26 Chủ đề 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hàm số y = f(x) xác định với x ∈ D Nếu có số M cho: { f(x) ≤ M với x ∈ D f(x) = M có nghiệm x ∈ D (tức có x0 ∈ D thỏa f(x0 ) = M) M giá trị lớn f(x) kí hiệu fmax = M Nếu có số m cho { f(x) ≥ m với x∈D f(x) = m có nghiệm x∈D (tức có x0 ∈D thỏa f(x0 ) = m) m giá trị nhỏ f(x) kí hiệ fmin = m Cho f(x) = A+ B ( với A số, B > số, g(x) > với x ∈ D) g(x) Những làm hơm để ngày mai! fmax gmin fmin gmax Cho f(x) = A- B ( A, B, g(x) trên) g(x) fmax gmax fmin gmin Cho f(x) = A – g(x) (A số) fmax gmin fmin gmax II CÁC BÀI TOÁN 1) Cho M x x x x Tìm x để M nhỏ xác định giá trị nhỏ M 2) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số: y 3) Cho M x 3x x2 x x2 2x 1 Tìm giá trị nhỏ M x x x 4) Cho hàm số Tìm x để y đạt giá trị nhỏ Xác định ymin 5) Cho hàm số y x2 Tìm x để y đạt giá trị lớn Xác định ymax x4 x4 x2 1 t 7) Tìm giá trị nhỏ hàm số y HD: Biến đổi y; đặt x2 x x2 8) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x 1 1 t x HD: Đặt x 5, x x2 x x Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I PHƯƠNG TRÌNH I.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phương trình ax + b = Nếu a ≠ 0: PT có nhiệm x b a Nếu a = 0, b ≠ 0: PT vô nghiệm Nếu a = 0, b = 0: PT có vơ số nghiệm Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( với a ≠ 0) Công thức nhiệm PT ∆ = b2 – ac b b x1 ; x2 2a 2a b x1 x2 2a ∆ > 0: PT có hai nghiệm ∆ = 0: PT có nghiệm kép ∆’ = b’2 – ac ( b = b’) b ' ' b ' ' x1 ; x2 a a x1 x2 b' a ∆ < 0: PT vơ nghiệm Định lí Vi-et: b c S x1 x2 ; P x1.x2 ( x1, x2 nghiệm PT ax2 + bx + c = 0, a≠0) a a Ta sử dụng định lí Vi-êt để tính biểu thức x1, x2 theo a, b, c: S1 x1 x2 b a S2 x12 x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 b2 2ac a2 3abc b3 S3 x x ( x1 x2 ) 3x1 x2 ( x1 x2 ) a3 3 b 4ac x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 a2 Định lí Vi-êt đảo: 2 Nếu x + y = S xy = P x, y nghiệm PT: X2 – SX + P = ( với điều kiện S2 ≥ 4P) Ứng dụng định lí Vi-et: Nhẩm nghiệm: a + b + c =0: x1 = 1; x2 = c a a – b + c = 0: x1= -1; x2= c a Tìm hai số biết tổng tích: Cho hai số x, y Biết rừng x + y = S, x.y = P x, y nghiệm PT X2 +SX + P = Phân tích thành nhân tử: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠0) có hai nghiệm x1, x2 ax2+bx+c = a( x – x1)( x – x2) = Xác định dấu nghiêm số: Cho PT ax2 + bx + c = (a ≠0) Giả sử PT có nghiệm x1, x2, S = x1 + x2 = b ; a Những làm hơm để ngày mai! P = x1 x2 = c a c < PT có hai nghiệm trái dấu a c Nếu P = x1 x2 = > ∆ = b2 – ac > PT có hai nghiệm dấu Khi đó, S a b b = x1 + x2 = > PT có hai nghiệm dương Nếu S = x1 + x2 = < PT có hai a a nghiệm âm Nếu P = x1 x2 = Phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ ) Nhẩm nghiệm x0 = α Nếu a + b + c + d = x0 = Nếu a + c = b + d x0 = -1 Chia ax3 + bx2 + cx + d cho x – a để đưa giải phương trình bậc hai Lưu ý: Sử dụng máy tính casiơ để nhẩm nghiệm Bước 1: Nhập PT chơ vàơ máy tính Bước 2: Bấm shift → CALC → “=” Các phương trình quy phương trình bậc a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = Đặt t = x2 ( t ≥ ), PT trở thành: at2 + bt + c = Giải kiểm tra điều kiện b) Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + ê = với a + b = c + d Đặt t = (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab ⟹ (x + c)(x + d) = x2 +(c + d)x + cd = t – ab + cd nên PT trở thành: t(t – ab – cd ) + ê = ⇔ t2 + (cd – ab )t + e = ( PT bậc hai theo t) c) Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 + c = Đặt t = x + α với a b a b ab có: x + a = t + ,x+b=t2 2 a b a b a b a b PT trở thành: t t c 2t 12 t 2 c 0 4 Giải phương trình trùng phương d) Phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = e d a 0, a b e b Chia hai vế cho x2 PT trở thành: a x b x c ax bx Dạng 5: Các tơán có liên quan đến cấu tạo thập phân số Phương pháp giải: Dựa vào mối liên hệ hàng số Chú ý: ab 10a b; abc 100a 10b c Bài tập: 1) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết rằng: số chẵn, chia hết cho 11 tổng chữ số số chia hết cho 11 2) Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số 10 Số lớn tích hai chữ số 12 3) Tìm số abc thỏa mãn: abc (a b) 4c 4) Cho số có hai chữ số Biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị chia số chơ chữ số hàng chục thương 11, dư Tìm số chơ 5) Chữ số hàng chục số có chữ số chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ chữ số cho số số ban đầu.Tìm số ban đầu 6) Tìm số biết tổng chúng 156 Lấy số lớn chia cho số nhỏ thương 6, dư 7) Hai số 12 đơn vị Nếu chia số nhỏ cho 7, số lớn cho thương thứ thương thứ hai đơn vị Tìm số 8) Tìm số tự nhiên , biết tích với số lớn đơn vị 168 Dạng 6: Các tốn có nội dung hình học ( ý đến hệ thức lượng tam giác, cơng thức tính chu vi, diện tích … hình) 1) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 675m2 chu vi 120m Tìm chiều dài chiều rộng khu vườn 2) Tính độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng, biết tăng cạnh lên 3cm diện tích tăng thêm 36cm2 giảm cạnh 2cm cạnh giảm 4cm diện tích giảm 26cm2 3) Một hình chữ nhật có chu vi 160cm có diện tích 1500m2 Tính kích thước cạnh 4) Một tơn hình chữ nhật có chu vi 114cm Người ta cắt bỏ bốn hình vng có cạnh 5cm bốn góc gấp lên thành hình hộp chữ nhật( khơng nắp) Tính kích thước tơn chơ Biết thể tích hình hộp 150cm3 5) Một mãnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m2 Nếu tăng chiều rộng 3m giảm chiều dài 4m diện tích mãnh đất khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mãnh đất 21 Những làm hôm để ngày mai! 6) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900m2 chu vi 122m Tìm chiều dài chiều rộng khu vườn 7) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 675m2 chu vi 120m Tìm chiều dài chiều rộng khu vườn 8) Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng khơng thay đổi 9) Cạnh huyên tam giác vuông bắng 10 cm Hai cạnh góc vng có độ dài 2cm Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng 10) Cho tam giác vng.Nếu tăng cạnh góc vng 2cm, cm diện tích tăng 50cm2 Nếu giảm cạnh 2cm diện tích giảm 32cm2.Tính độ dài cạnh góc vng 22 PHẦN B: HÌNH HỌC Chủ đề 1: TAM GIÁC TĨM TẮT KIẾN THỨC Hệ thức cạnh đường cao vuông: Tỉ số lượng giác góc nhọn vng: 1) sin = AC BC 2) cos = AB BC 3) AB.AC = BC.AH 3) tan = AC AB 1 2 AH AB AC 4) cot = AB AC 1) AB = BC.BH AC2 = BC.CH 2) AH2 = BH.CH 4) A B H C Áp dụng định lí pytago vào: 1) vng ABC: AB2 + AC2 = BC2 2) vuông ABH: AH2 + BH2 = AB2 3) vuông ACH: AH2 + CH2 = AC2 Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau: sin = cos Nếu + = 90 cos = sin tan = cot cot = tan Một số tính chất tỉ số lượng giác: sin 1) tan cos 2) cot cos sin Hệ thức cạnh góc tam giác vng: 1) cgv = ch sin(góc đối) 1) AC = BC sinB AB = BC sinC 2) cgv = ch cos(góc kề) 2) AC = BC cosC AB = BC cosB 3) cgv = cgv tan(góc đối) 3) AC = AB tanB AB = AC tanC 4) cgv = cgv cot(góc kề) 4) AB = AC cotB AC = AB cotC 3) sin cos 4) tan cot 23 Những làm hơm để ngày mai! BÀI TẬP: Bài 1: Cho ABC có AB = 5cm; AC = 12cm; BC = 13cm a) Chứng minh ABC vng A tính độ dài đường cao AH b) Kẻ HE AB E, HF AC F Chứng minh: AE.AB = AF.AC Bài 2: Cho ABC vuông A, đường cao AH Biết HB = 3,6cm; HC = 6,4cm a) Tính độ dài đôạn thẳng: AB, AC, AH b) Kẻ HE AB ; HF AC Chứng minh rằng: AB.AE = AC.AF Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Từ D hạ đường vng góc với AC, cắt AC H Biết rằng: AB = 13cm; DH = 5cm Tính độ dài BD Bài 4: Cho ABC vng A có AB = 3cm, AC = 4cm, đường cao AH a) Tính BC, AH b) Tính góc B, góc C c) Phân giác góc A cắt BC E Tính BE, CE Bài 5: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH = 6cm, HC = 8cm a) Tính độ dài HB, BC, AB, AC b) Kẻ HD AC (D AC) Tính độ dài HD diện tích ∆AHD Bài 6: Cho ∆ABC vng A, AB = 3cm, AC = 4cm a) Giải tam giác vuông ABC? b) Phân giác góc A cắt BC E Tính BE, CE c) Từ E kẻ EM EN vng góc với AB AC Hỏi tứ giác AMEN hình gì? Tính diện tích tứ giác AMEN Bài 7: Tìm x, y có hình vẽ sau : A y x 25 B H C Bài 8: Chơ ∆ABC, BC = 15cm, góc B = 340, góc C = 400 Kẻ AH vng góc với BC (H BC) Tính độ dài đơạn thẳng AH Bài 9: Cho ABC vuông A có AB = cm, AC = cm, đường cao AH a) Tính BC, AH b) Tính góc B, góc C c) Phân giác góc A cắt BC E Tính BE, CE Bài 10: Cho ABC vng A, đường cao AH Trông đôạn thẳng sau AB, AC, BC, AH, HB, HC tính độ dài đơạn thẳng lại biết: a) AB = cm ; AC = cm 24 b) c) d) e) f) g) AB = 15 cm ; HB = cm AC = 44 cm ; BC = 55 cm AC = 40 cm ; AH = 24 cm AH = 9,6 cm ; HC = 12,8 cm CH = 72 cm ; BH = 12,5 cm AH = 12 cm ; trung tuyến AM = 13 cm Bài 11: Cho ABC vuông A, AB= 6cm, AC = 8cm a) Tính BC, B, C b) Đường phân giác A cắt BC D.Tính BD, CD c) Từ D kẻ DE, DF vng góc với AB, AC Tứ giác AEDF hình gì? Tính chu vi diện tích tứ giác AEDF Bài 12: Cho ABC ( A = 900 ) C 300 , BC = 10cm a) Tính AB, AC b) Từ A kẻ AM, AN vng góc với đường phân giác B Chứng minh AN//BC, MN//AB c) Chứng minh MAB đồng dạng với ABC Bài 13: Cho ABC có AC = , AC = , AB = a) Chứng minh ABC vng A b) Tính AH, BH, CH c) Tính B, C Bài 14: Cho ABC cân A, cạnh bên AB = AC=14cm, A 500 Tính BC, AH, BK Bài 15: Cho tam giác ABC vuông A có AB = 4, BC = 8.Tính độ dài cạnh AC, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC số góc B Bài 16: Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=4,5, BC=7,5 cm a) Chứng minh tam giác ABC vng A b) Tính góc B,C đường cao AH tam giác Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH=12cm, BH=9cm Tính CH; AB; AC; góc B góc C? (Số góc làm tròn đến phút) Bài 18: Cho tam giác ABC vuông A có AB=3, AC=4.Kẻ đường c AH Tính độ dài BC,AH,HB,HC Bài 19: Cho tam giác vuông ABC với cạnh góc vng AB=5, AC =8 Hãy giải tam giác vng AB Bài 20: Chơ đường tròn (O) có dây AB CD vng góc với I.Biết IA=2, IB=14 Tính khoảng cách từ O tới dây AB CD Bài 21: Chơ đường tròn (O), bán kính R = 15cm, dây AB = 24cm Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường tròn M cắt AB H 1) Tính tỉ số lượng giác góc O tam giác vng HAO 2) Tính AM 3) Chứng minh MB tiếp tuyến đường tròn (O) 25 Những làm hôm để ngày mai! Bài 22: Cho (O,OA=R) dây BC vng góc với OA trung điểm M A a) Tứ giác OCAB hình ? sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường trò B, cắt đường thẳng OA E Tính BE theo R Bài 23:Cho (O),A nằm bên ngôài đường tròn.Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) a)Chứng minh OA vng góc với BC b)Vẽ đường kính CD Chứng minh BD // AO c)Tính độ dài cạnh tam giác ABC, biết OB=2cm, OA= 4cm Bài 24:Chơ đường tròn (O), dây AB khác đường kính.Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường tròn C a)Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn b)Cho bán kính đường tròn 15cm,AB=24cm Tính OC Bài 25: Chơ đường tròn (O), bán kính OA=5, dây CD trung trực OA a)Chứng minh tứ giác OCAD hình thoi b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn C, tiếp tuyến cắt đường thẳng OA I Tính độ dài CI Chủ đề 2: ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG TRÒN I ĐN xác định đường tròn: 1/ ĐN: Đường tròn tâm O bán kính R hình gồm điểm cách điểm O khoảng bẳng R II Các TC đường kính dây: 2/ ĐL: Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường tròn 3/ PPCM: Bốn điểm thuộc đường tròn A, B, C, D (O) OA = OB = OC = OD 2/ Liên hệ cung dây: 1/ Quan hệ vng góc đường kính dây: *Xét đường tròn (O), có: D K C AB, CD hai dây cung A OHAB, OKCD *Xét đường tròn (O), có: A O C I B AB đường kính, D CD dây không qua tâm ABCD I IC = ID 26 H B AB = CD OH = OK AB > CD OH < OK III Vị trí tương đối: 1/ VTTĐ đường thẳng đường tròn: *Xét đ.tròn (O;R) đường thẳng a Kẻ OH a H O OH = d k/c từ O đến a 2/ VTTĐ hai đường tròn: *Xét đường tròn A R r O (O;R) (O’;r) O' với R > r B Đôạn nối tâm OO’= d d a H *Các vị trí tương đối: *Các vị trí tương đối: a/ Đ.thẳng a (O) cắt dR a/ (O) (O’) cắt R – r < d < R + r b/ (O) (O’) tiếp xúc d = R + r (O) (O’) tiếp xúc d = R – r c/ (O) (O’) d > R + r (O) (O’) đựng d COD AB > CD AB > CD III Góc với đường tròn O D A C B 2.Góc nội tiếp: 1.Góc tâm: C * ABC chắn cung AmC A n m O ABC = B m Sđ AmC B A * AOB chắn cung AmB AOB = Sđ AmB C C m m A B B D * ABC ADC chắn cung AmC ABC = ADC O A * ABC AOC chắn cung AmC ABC = AOC ( ABC < 900) B D C B A * AC = CD ABC = CBD 28 C O A * ABC chắn nửa đường tròn ABC =900 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: Góc có đỉnh bên Góc bên ngồi đường tròn: B O C m A E x A D A B D C E B C B O * BED chắn hai cung nhỏ BD AC m A BED (Sđ BD + Sđ AC ) x * BAx chắn cung AmB BAx = Sđ AmB * CED chắn hai cung AB CD CED = * BAx ACB chắn cung AmB (Sđ CD - Sđ AB ) BAx = ACB IV Tứ giác nội tiếp: D A O C 3.DHNB tứ giác nội tiếp: B ĐN: ABCD nội tiếp đ.tròn(O) A,B,C,D (O) TC: A C 1800 *Tứ giác ABCD nội tiếp B D 180 (Tổng số đo góc đối 1800) Tứ giác →Tứ giác nội tiếp; DHNB DH1:Tứ giác có tổng góc đối 1800 →nội tiếp A C 1800 Tứ giác ABCD nội tiếp DH2:Tứ giác có đỉnh kề nhìn cạnh chứa 2đỉnh lại 2góc → nội tiếp ACB ADB Tứ giác ABCD nội tiếp *Tứ giác ABCD nội tiếp BCx A (Thường gặp: 2góc vng CM tứ giác (Góc ngồi với góc đỉnh đối nội tiếp) diện) *Có thể tìm cách CM từ góc ngồi tứ giác: *Tứ giác ABCD nội tiếp ACB ADB ; xCB A A BCD 1800 Tứ giác ABCD (Hai góc nội tiếp chắn cung nội tiếp nhau) 29 Những làm hơm để ngày mai! * Đặc biệt: D Ta có: ADC=900 (gt) Ta có: ABD=900 (gt) A O A ACD=900 (gt) ABC=90 (gt) O Nên: C Nên: ADC=ABC=900 B ADC+ABC=900 +900 1800 D B C Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp V Các cơng thức tính chu vi đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, quạt tròn: * Chu vi hình tròn: C = 2R = d * Độ dài cung tròn: l= Rn 180 * Diện tích hình tròn: S = R2 * Diện tích hình quạt tròn: S = R2n 360 lR BÀI TẬP: Dạng 1: Chứng minh hai góc Cho tứ giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), gọi D điểm cung nhỏ AC a Chứng minh DAC DBA b Hai đường thẳng AB CD cắt E Chứng minh ABC ADE Dạng 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp Chô tam giác ABC, hai đường cao BD, CE cắt H Chứng minh a Tứ giác AEHD nội tiếp b Tứ giác BCDE nội tiếp Dạng 3: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC F, E Gọi H giaô điểm BE CF, I trung điểm AH Chứng minh IE, IF tiếp tuyến đường tròn (O) Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, hai đường thẳng song sông, hai đơạn thẳng nhau, Chơ hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B, kẻ đường kính AOC cắt đường tròn (O’) E đường kính AO’D cắt đường tròn (O) F a Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng b Chứng minh ba đường thẳng CE, DF, AB đồng quy Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Từ điểm M nằm ngơài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA; MB cát tuyến MCD Gọi I trung điểm CD Gọi E, F, K giaô điểm đường thẳng AB với OM, MD, OI a Chứng minh: R2 = OE.OM = OI.OK b Chứng minh M, A, B ,O, I nằm đường tròn 30 c Khi cung CAD nhỏ cung CBD, chứng minh DEC 2DBC Dạng 6: Bài toán tổng hợp Bài 1: Chơ đường tròn (O;R) từ điểm M nằm ngơài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) a Chứng minh bốn điểm O, A, M, B nằm đường tròn b Kẻ cát tuyến MNP, gọi K trung điểm NP Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B thuộc đường Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường (O) tia phân giác góc A cắt đường tròn M Vẽ đường cao AH Chứng minh rằng: a OM qua trung điểm dây BC b AM tia phân giác góc OAH Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao AM, BN cắt H cắt đường tròn (O) D, E Chứng minh rằng: a Tứ giác HMCN nội tiếp đường tròn b CD = CE c Tam giác BHD cân Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Vẽ bán kính OC vng góc AB, gọi M điểm cung BC, AM cắt OC N Từ C hạ CK vng góc với AM K Chứng minh rằng: a Tứ giác MNOB nội tiếp b Tứ giác OACK nội tiếp c Tam giác OKC cân d AM.AN = 2R2 Bài 5: Cho tam giác ABC cân A (A < 900), hai đường cao BD CE cắt H a Chứng minh bốn điểm A, D, H, E thuộc đường tròn, Xác định tâm O vẽ đường tròn b Gọi K giaô điểm AO BC Cm: KD tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 6: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax, By C D a Chứng minh AC + BD = CD b Chứng minh COD = 900 c Chứng minh OC // BM d Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K a Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b Chứng minh BAF tam giác cân c Chứng minh tứ giác AKFH hình thoi d Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao BD CE cắt H a Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp 31 Những làm hơm để ngày mai! c Qua B kẻ đường thẳng vng góc với AB B, qua C kẻ đường thẳng vng góc với AC C hai đường thẳng cắt K Gọi M trung điểm BC, chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng Bài 9: Chơ đường tròn (O), đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B (B khác O C) Gọi M trung điểm AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB M Đường tròn đường kính BC cắt DC I a Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp b Chứng minh ba điểm I, B, M thẳng hàng c Chứng minh MI tiếp tuyến đường tròn (K) Bài 10: Chơ hình vng ABCD điểm E thuộc cạnh BC (E khác B C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K a Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp b Tính góc CHK c Chứng minh KC.KD = KH.KB d Đường thẳng AE cắt DC F, chứng minh 1 2 AD AE AF2 Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Gọi M trung điểm AC, kẻ đường tròn đường kính MC cắt BC E cắt BM kéo dài D a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Xác định tâm O b Chứng minh OM tiếp tuyến đường tròn đường kính MC c Chứng minh DB tia phân giác góc ADE Bài 12: Chơ đường tròn (O), từ điểm A nằm ngơài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) a Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp b Chứng minh OA vuông BC H c Trên đôạn thẳng BH lấy điểm D, kẻ đường thẳng vng góc với OD D cắt tiếp tuyến AB, AC E, F Chứng minh DE = EF Bài 13: Chơ đường tròn (O), nửa đường tròn lấy điểm D cho AD > DB, OB lấy điểm C Kẻ CH vng góc AD H, kẻ tia phân giác góc DAB cắt đường tròn (O) điểm E cắt CH F; đường thẳng DF cắt đường tròn (O) N Chứng minh rằng: a ANF ACF b Tứ giác AFCN nội tiếp c Ba điểm N, C, E thẳng hàng Bài 14: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Hai tiếp tuyến B C cắt D; Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC I cắt đường tròn (O) E F Chứng minh rằng: Tứ giác OICD nội tiếp Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A, B, C cắt đường tròn (O) D, E, F Chứng minh rằng: a AD > AB + AC b AD + BE + CF lớn chu vi tam giác ABC Bài 16: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn.Gọi M điểm tùy ý 32 nửa đường tròn khơng trùng với A B.Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax By C D a) Chứng minh tứ giác OACM nội tiếp b) Chứng minh CD = AC+BD c) OC cắt AM E, OD cắt BM F.Chứng minh FE=R d) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD Bài 17: Chơ đường tròn tâm O, bán kính R=3 A điểm nằm ngơài đường tròn cho OA=5.Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) a) Chứng minh OA BC b) Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) D.Chứng minh BD//AO c) Tính chu vi tam giác ABC Bài 18: Cho hình vng OABC.Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA M điểm cung nhỏ AC đường tròn (O) ( M khác A, C).Dựng MH AB (H AB ), MI AC ( I AC ) MK BC ( K BC ) Chứng minh rằng: a) AB, BC tiếp tuyến đường tròn (O) b) Các tứ giác AHMI CKMI nội tiếp c) BH.BK = MI Bài 19: Cho tam giác ABC có góc nhọn (ABr) Hai tiếp tuyến chung AB A’B’ đường tròn cắt P (A, A’ Thuộc đường tròn (O’ ), B B’ thuộc đường tròn (O)) Biết PA=AB=4cm Tính diện tích hình tròn (O’) Bài 34:Cho tam giác ABC cân A, có A góc nhọn Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng BC E.Kẻ EN vng góc với AC.Gọi M trung điểm BC.Hai đường thẳng AM EN cắt F.CMR: a)Tứ giác AMNE MCNF nội tiếp đường tròn b) BAM AEB EB tia phân giác góc AEF Bài 35:Chơ tam giác ABC Trên nửa mp bờBC không chứa đỉnh A, lấy điểm D cho DB=DC DCB ACB a)Chứng minh ABDC tứ giác nội tiếp b) Xác định tâm đường tròn qua điểm A,B,C,D 35 ... cải bắp? 4) Một hội đồng thi dự định có 552 thí sinh thực tế dự thi có 525 thí sinh nên phòng thi xếp thêm thí sinh số phòng giảm phòng.Hỏi lúc đầu dự định có phòng thi? 5) Một phòng họp chứa... gian), t: thời gian để hoàn thành công việc, s: lượng s công việc làm, công thức biểu diễn mối quan hệ là: N t Bài tập: 1) Hai máy ủi làm việc vòng 12 san lấp 1 /10 khu đất Nếu máy ủi thứ làm 42... 5)( x 6)( x 10) ( x 12) 3x 48 x 4 3) x 10 x 3 x 3x 5x 119 7) x 3x x 18 8)3x x 10 4) x x 27 9)9 x 16 x 25 5) x x 72 10) x 12 x 36