ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DỰC VỀ HÀM TỔNG - LCM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DỰC VỀ HÀM TỔNG - LCM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nông Quốc Chinh Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Lời mở đầu 1 Một vài tính chất bội chung nhỏ 1.1 Khái niệm 1.2 Các thuật tốn tìm bội chung nhỏ 13 1.2.1 Rút gọn tìm ước chung lớn 13 1.2.2 Phương pháp dùng phân tích thừa số nguyên tố 16 1.2.3 Phương pháp dùng bảng 18 Hàm tổng bội chung nhỏ 2.1 20 Một số kết thường dùng 20 2.1.1 Tích chập Dirichlet 20 2.1.2 Hàm phi Euler 21 2.1.3 Đa thức Bernoulli 22 2.1.4 Công thức tổng Abel 22 2.2 Hàm tổng bội chung nhỏ 23 2.3 Hàm tổng nghịch đảo bội chung nhỏ 29 Ứng dụng lý thuyết bội chung nhỏ số nguyên dương Toán học phổ thơng 36 3.1 Ứng dụng tốn học phổ thông 36 3.2 Một số toán Olympic bội chung nhỏ 39 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii Danh mục ký hiệu N tập số tự nhiên Z tập số nguyên lcm(a, b) BCNN hai số nguyên a b gcd(a, b) ƯCLN hai số nguyên a b d|a d ước a f ∗g tích chập Dirichlet Bn (x) đa thức Bernoulli ϕ(n) hàm phi Euler µ(n) hm Măobius (s) hm zeta Riemann Li m u Trong số học, bội chung nhỏ (least common multiple) hai số nguyên a b số nguyên dương nhỏ chia hết cho a b Ước chung lớn hai số nguyên a b số nguyên dương lớn ước hai số nguyên a, b Các kiến thức bội chung nhỏ ước chung lớn giảng dạy từ đầu bậc học trung học Trong ước chung lớn hai số nguyên nhiều nhà Tốn học nghiên cứu tìm nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học ngược lại, bội chung nhỏ hai số nguyên lại nghiên cứu nhiều Ngoài tính chất cổ điển, ứng dụng thuật tốn để tính bội chung nhỏ hai số nguyên biết kiến thức mở rộng hạn chế Hàm tổng bội chung nhỏ n l(n) := lcm(j, n) j=1 nghiên cứu số tác giả Năm 1975, Alladi [1] nghiên cứu tổng n (lcm(j, n))r (r ∈ R, r ≥ 1) j=1 thu n (lcm(j, n))r = n≤x j=1 ζ(r + 2) x2r+2 + O(x2r+1+ε ), 2(r + 1) ζ(2) Năm 2007, Bordellès [2] cải tiến sai số kết Alladi trường hợp r = mở rộng cho trường hợp r = −1 kết sau l(n) = ((Id2 ·(ϕ + τ0 )) ∗ Id)(n), n ζ(3) lcm(j, n) = x + O(x3 (log x)2/3 (log log x)4/3 ) (x > e), 8ζ(2) n≤x j=1 n n≤x j=1 (log x)3 (log x)2 = + lcm(j, n) 6ζ(2) 2ζ(2) A12 γ + log 2π + O(log x), Ida = na (a ∈ Z),  1, τ0 (n) = 0, n = 1; ngược lại, F ∗ G tích chập Dirichlet thơng thường, A số GlaisherKinkelin Gần nhất, năm 2014, Ikeda Matsuoka [3] định nghĩa hai hàm n (lcm(j, n))a La (n) := j=1 Ta (x) := La (n) n≤x với a ∈ Z x ≥ Các tác giả nghiên cứu Ta (x) với a ≥ 2: La (n) = n≤x ζ(a + 2) x2a+2 + O(x2a+1 (log x)2/3 (log log x)4/3 ) 2(a + 1) ζ(2) x → ∞, số sinh phụ thuộc a, x ≥ k ∈ N với k ≥ Với a ≤ −2, tác giả thu được: với x ≥ k ∈ N với k ≥ 2, ∞ ζ(k) ζ(k)2 1+ L−k (n) = ζ(2k) n=1 ζ(k) ζ(k)2 L−k (n) = 1+ ζ(2k) n≤x ζ(k)x−k+1 log x − + O(x−k+1 ) (k − 1)ζ(k + 1) x → ∞, số sinh phụ thuộc vào k Mục tiêu luận văn tổng hợp tính chất bội chung nhỏ trình bày kết hàm tổng bội chung nhỏ Xuất phát từ lí nên tơi mạnh dạn chọn đề tài: “Về hàm tổng - Lcm” hướng dẫn PGS TS Nơng Quốc Chinh Ngồi phần mở đầu tài liệu tham khảo, bố cục luận văn gồm ba chương Chương I trình bày kiến thức chuẩn bị sở lý thuyết cho chương sau, bao gồm khái niệm bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất, mối liên hệ bội chung nhỏ ước chung lớn nhất, cách tính bội chung nhỏ Chương II trình bày đánh giá giá trị hàm tổng bội chung nhỏ Các kết nằm hai báo Bordellès [2] S Ikeda K Matsuoka [3] Chương III đưa ứng dụng lý thuyết bội chung nhỏ số nguyên dương Toán học phổ thơng Lời đầu tiên, tơi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành tới PGS TS Nông Quốc Chinh - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ bảo thầy thời gian làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy tơi suốt khóa học Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, Phòng Đào tạo - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy, Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Thái Nguyên, tháng 06 năm 2016 Học viên Phạm Văn Dực Chương Một vài tính chất bội chung nhỏ Chương trình bày kiến thức chuẩn bị sở lý thuyết cho chương sau, bao gồm khái niệm bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất, mối liên hệ bội chung nhỏ ước chung lớn nhất, cách tính bội chung nhỏ Nội dung chương tham khảo chủ yếu tài liệu [4, 5, 6] 1.1 Khái niệm Trong lý thuyết số, tập số tự nhiên N = {1, 2, 3, 4, }, tập số nguyên Z = { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, } Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên k gọi bội số số nguyên a tồn số nguyên b cho k = ab Trong trường hợp ta nói k chia hết cho a Định nghĩa 1.1.2 Một số nguyên dương k gọi bội chung hai số nguyên a b k bội số a k bội số b Tương tự ta có định nghĩa bội số chung n số nguyên a1 , a2 , , an Định nghĩa 1.1.3 Số nguyên dương k gọi bội chung nhỏ hai số nguyên a b k bội số chung a b với số nguyên dương k bội chung a b k ≤ k Ký hiệu lcm(a, b) = k Ví dụ 1.1.4 Các bội là: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, bội là: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, Bội chung số thuộc hai danh sách trên: 12, 24, 36, 48, 60, 72, Do đó, từ danh sách vài bội chung này, bội chung nhỏ lcm(4, 6) = 12 Khi cộng, trừ, hay so sánh phân số tầm thường, cách đơn giản tìm bội số chung nhỏ mẫu số, thường gọi mẫu số chung nhỏ nhất, phân số biểu diễn thành phân số với mẫu số Ví dụ, 11 + = + = 21 42 42 42 mẫu số 42 bội chung nhỏ 21 Mệnh đề 1.1.5 Bội chung nhỏ hai số nguyên a b tồn Chứng minh Cho trước hai số nguyên a b, |ab| bội chung a b Do ln tồn bội chung hai số Suy tập tất bội chung a b khác rỗng Theo nguyên lý thứ tự tốt (well-ordering principle), tập số nguyên dương khác rỗng có phần tử nhỏ Do tồn lcm(a, b) Để chứng minh tính nhất, gọi m = lcm(a, b), n = lcm(a, b) Khi ta có với số nguyên dương c cho a | c b | c m | c Vậy ta có m | n n | m Suy m = ±n Do m, n > 0, m = n Định nghĩa 1.1.6 Một số nguyên d gọi ước số số nguyên a tồn số nguyên b cho a = bd Ký hiệu d | a Định nghĩa 1.1.7 Một số nguyên p gọi số nguyên tố (i) p > 1, (ii) p khơng có ước số ngoại trừ p Ví dụ, 37 số nguyên tố, số nguyên tố Mọi số nguyên lớn số nguyên tố gọi hợp số Định lý 1.1.8 Mọi số nguyên dương, ngoại trừ 1, tích số nguyên tố Chứng minh Hoặc n số nguyên tố n = · n, n hợp số có ước nằm n Nếu m ước số nhỏ n, m số nguyên tố Thật vậy, ngược lại, tồn l cho < l < m l | m kéo theo l | n, mẫu thuẫn với định nghĩa m Vậy m số nguyên tố Do n số nguyên tố n chia hết cho số nguyên tố nhỏ n, đặt p1 , trường hợp n = p1 n1 , < n1 < n Ở đây, n1 số nguyên tố, ta chứng minh xong, chia hết cho số nguyên tố p2 lớn 1, trường hợp n = p1 n1 = p1 p2 n2 , < n2 < n1 < n Lập luận tương tự, ta thu dãy số giảm n, n1 , , nk−1 , tất lớn Sớm hay muộn ta gặp nk−1 số nguyên tố, đặt pk , n = p1 p · · · pk (1.1) 31 Bây ta chứng minh Định lý 2.3.1 Chứng minh Với số nguyên n ≥ 1, ta đặt n L(n) = j=1 lcm(n, j) Vì L(n) = n = n n j=1 d d|n n gcd(n, j) = j n k≤n/d gcd(k,n/d)=1 d j=1 (j,n)=d d|n 1 = kd n d|n j k≤n/d gcd(k,n/d)=1 , k ta thu L(n) = n≤x n n≤x = d≤x = d≤x = d≤x = = d d d k≤n/d gcd(k,n/d)=1 d|n h≤x/d h≤x/d δ≤x/d h h k≤h gcd(h,k)=1 µ(δ) δ2 dµ d|n k µ(δ) δ δ|h µ(δ) d δ2 d≤x δd≤x n2 n≤x k m≤h/δ a≤x/(dδ) a≤x/(dδ) n d m 1 a m≤a m 1 a m≤a m a≤x/n 1 , a m≤a m đẳng thức tích chập ϕ = µ ∗ d kéo theo L(n) = n≤x ϕ(n) n2 n≤x a≤x/n 1 a m≤a m Do L(n) = n≤x ϕ(n) n2 n≤x a≤x/n 1 log a + γ + O a a 32 = ϕ(n) n2 n≤x x log n + γ log x + O(1) n (log x)3 Cϕ (log x)2 γ(log x)2 + + + O(log x) = 6ζ(2) 2ζ(2) 2ζ(2) A12 Cϕ = log 2π , suy điều phải chứng minh Phần cuối luận văn xin trình bày kết S Ikeda K Matsuoka nghiên cứu [3] nghiên cứu hàm tổng nghịch đảo bội chung nhỏ Ta (x) trường hợp tổng quát a ≤ −2, a ∈ Z Định lý 2.3.3 ([3]) Cho x ≥ k ∈ N với k ≥ Khi ta có ∞ ζ(k) ζ(k)2 L−k (n) = 1+ ζ(2k) n=1 (2.1) ζ(k) ζ(k)2 ζ(k)x−k+1 log x L−k (n) = 1+ − +O(x−k+1 ) (khi x → ∞), ζ(2k) (k − 1)ζ(k + 1) n≤x số sinh phụ thuộc vào k Chứng minh Vì ta có n L−k (n) = j=1 = = nk nk 1 = (lcm(n, j))k nk dk i≤ n d gcd(i, n )=1 d d|n d|n i≤ n d gcd(i, n )=1 d n j=1 (gcd(n, j))k = jk nk dk d|n j=1 gcd(j,n)=d ik dk , ik ta thu ∞ ∞ L−k (n) = n=1 n=1 nk d|n i≤ n d gcd(i, n )=1 d = ik ∞ ∞ d=1 j=1 j k dk i≤j gcd(i,j)=1 ik jk 33 ∞ = ζ(k) j=1 ∞ = ζ(k) n=1 jk i≤j gcd(i,j)=1 nk ik i≤j gcd(i,j)=1 ij=n Ta có  ∞ n=1 nk      i≤j gcd(i,j)=1 ij=n   1 = +   ∞ n=2      nk gcd(i,j)=1 ij=n hệ thức ∞ n=1 Do ta thu  ∞ n=1 nk         ζ(k) 1 =  nk gcd(i,j)=1 ζ(2k) ij=n  i≤j gcd(i,j)=1 ij=n ζ(k)2 ζ(k)2 −1 = 1+ ζ(2k) ζ(2k)   1 = +  Điều suy (2.1) Từ hệ thức ζ(k) ζ(k)2 L−k (n) = 1+ ζ(2k) n≤x nhiệm vụ lại ước lượng L−k (n) = nk n>x n>x ∞ = d=1 h> xd d|n j≤h = ik jk Ta có ∞ d=1 h> xd (hd)k µ(δ) δ|gcd(j,h) L−k (n), n>x n>x L−k (n) i≤n/d gcd(i, n )=1 d (hd)k − j≤h gcd(j,h)=1 jk 34 ∞ (hd)k = d=1 h> xd ∞ = d=1 ∞ = q=1 ∞ = q=1 = q dδ q 2k δ|h m≤ hδ µ(δ) lk δ 2k µ(δ) mk δ k mk m≤l dk µ(δ) l> xq dδ=q q 2k k d µ(δ) l> xq dδ=q q 2k k d µ(δ) l> xq dδ=q + q≥x q 2k lk mk m≤l lk l1−k + O(l−k ) ζ(k) − k−1 lk l1−k ζ(k) − + O(l−k ) k−1 k d µ(δ) l> xq dδ=q lk l1−k + O(l−k ) ζ(k) − k−1 =: S1 + S2 , Ta có S1 = q