11/03/2014 Giới thiệu TỐI ƯU HĨA Chúng ta có sử dụng tối ưu hóa??? 11/03/2014 Tối ưu hóa gì???  Tối ưu hóa tìm kết tốt điều kiện đề  Tối ưu hóa l| lĩnh vực kinh điển to{n học có ảnh hưởng đến hầu hết c{c lĩnh vực khoa học – công nghệ v| kinh tế – xã hội Trong thực tế, việc tìm giải ph{p tối ưu cho vấn đề n|o chiếm vai trò quan trọng  Phương {n tối ưu l| phương {n hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực m| lại cho hiệu cao  Về mặt toán học, tối ưu hóa tìm cực đại, cực tiểu hàm số, số điều kiện ràng buộc Giới thiệu tối ưu hóa 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Giới thiệu tối ưu hóa Tối ưu hóa hàm biến Đối với hàm số liên tục khả vi f(x), f(x) đạt cực trị x* f’(x*) = VD: Tìm giá trị nhỏ f(x) = (x-15)2 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 -100 -50 50 100 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Tối ưu hóa hàm biến Đối với hàm số liên tục khả vi f(x), f(x) đạt cực trị x* f’(x*) = VD: Tìm giá trị nhỏ f(x) = (x-15)2 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 -100 -50 50 100 Giới thiệu tối ưu hóa Tối ưu hóa hàm biến Đối với hàm số liên tục khả vi f(x), f(x) đạt cực trị x* f’(x*) = VD: Tìm giá trị nhỏ f(x) = (x-15)2 4500 Không với trường hợp 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 -100 -50 50 100 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Tối ưu hóa khơng có điều kiện giới hạn  Điều kiện cần để f(x) đạt cực trị : df/dx =  Đối với hàm nhiều biến f(x1, x2, …,xn): tất đạo hàm riêng = f ( xi )  0, i  1, 2, , n xi Hoặc viết cách khác, Gradient =  f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn )   0 f ( x)   , , ,  x  x xn   Giới thiệu tối ưu hóa Cực đại cực tiểu tồn cầu địa phương 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Giới thiệu tối ưu hóa 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Giới thiệu tối ưu hóa 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Giới thiệu tối ưu hóa 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Các tốn tối ưu hóa đặc trưng - Tìm giá trị nhỏ sai số tính tốn - Tối đa hóa xác suất đưa định - Tìm thời gian lượng nhỏ cần thiết để thực mục tiêu - Tối thiểu hóa sai số vận hành hệ thống điềuu khiển - Bài toán ước lượng - Bài toán điều khiển Giới thiệu tối ưu hóa Thiết lập tốn tối ưu dùng để: -Lựa chọn chiến lược tốt - Lựa chọn thông số thiết kế tốt - Lựa chọn số ước tính xác Giá trị tối ưu đạt lựa chọn biến điều khiển tốt 11/03/2014 Tối ưu hóa tuyến tính (Linear programming) Tối ưu hóa tuyến tính Một tốn tối ưu hóa tuyến tính đơn giản Maximize Đk ràng buộc 10 11/03/2014 Bài toán đối ngẫu Cách xây dựng toán đối ngẫu từ tốn tối ưu tuyến tính ban đầu Dual (Min) Primal (Max)  Number of constraints  Number of variables  Number of variables  Number of constraints  RHS  Objective function  Objective function  RHS  Coefficient matrix A  Coefficient matrix AT (A transposed)  Equation  Unrestricted variable  Unrestricted variable  Equation  ≤ constraint  ≥ variable  ≥ constraint  ≤ variable  ≥ variable  ≥ constraint  ≤ variable  ≤ constraint Bài toán đối ngẫu Xây dưng toán đối ngẫu cho toán tối ưu tuyến tính sau đ}y Max z  x1  x2 Min w  y1  12 y2 subject to subject to x1  x2  x1  x2  12 x1 , x2  Min z  x1  x2  x3 subject to x1  x2  x3  12 x1  x2  x3  x1  x2  x3  10 x1  x2  x3  x1  0, x2 unrestrict ed , x3  Primal problem y1  y2  y1  y2  y1 , y2  Max z  12 y1  y2  10 y3  y4 subject to y1  y2  y3  y4  y1  y2  y3  y4  y1  y2  y3  y4  y1 unrestrict ed , y2  0, y3  0, y4  Dual problem 41 11/03/2014 Bài toán đối ngẫu Bài tập: Xây dưng toán đối ngẫu cho tốn tối ưu tuyến tính sau đ}y Các định lý đối ngẫu Định lý (đối ngẫu yếu_Weak duality theorem) 42 11/03/2014 Các định lý đối ngẫu Định lý Các định lý đối ngẫu Max z  x1  x2 Min w  y1  12 y2 subject to subject to x1  x2  y1  y2  x1  x2  12 y1  y2  x1 , x2  y1 , y2  Dual Primal (0,0) Z=0 (3,3) Z = 51 (3,1) Z = 23 (2,1) Z = 29 (2,3) Z = 27 (3,1) Z = 27 43 11/03/2014 Các định lý đối ngẫu Định lý Nếu X* Y* phương án tối ưu cho toán ban đầu (Primal problem) tốn đối ngẫu (Dual problem) Ta có : XV + YU = (1) Trong : U slack variables cho toán ban đầu V slack variables cho toán đối ngẫu (1)  xv i i  y ju j  Because xi , y j , u j , vi  then xi vi  i y j u j  j Các định lý đối ngẫu Primal Dual Max z  x1  x2 Max z  x1  x2 subject to subject to x1  x2  x1  x2  u1  x1  x2  12 x1  x2  u2  12 x1 , x2  x1 , x2 , u1 , u2  Min w  y1  12 y2 Min w  y1  12 y2 subject to subject to y1  y2  y1  y2  v1  y1  y2  y1  y2  v2  y1 , y2  y1 , y2 , v1 , v2  Biến tối ưu: x1 = 2, x2 = 3, z = 27 u1 = 0, u2 = Biến tối ưu: y1 = 3, y2 = 1, z = 27 v1 = 0, v2 = 44 11/03/2014 Bài tập Giải toán sau Xây dưng toán đối ngẫu giải toán Max z  3x1  x2 subject to x1  x2  12 x1  x2  30 x1  x2  36 x1 , x2  Min z  12 y1  30 y2  36 y3 subject to y1  y2  y3  y1  y2  y3  y1 , y2 , y3  Bài tập 45 11/03/2014 Ứng dụng phần mềm giải toán tối ưu tuyến tính Ứng dụng phần mềm giải tốn tối ưu tuyến tính Excel solver 46 11/03/2014 Giải tốn tối ưu tuyến tính Excel solver Kích hoạt Solver Add in Excel - In the microsoft office button, go to Excel options to click Add-Ins - In the Add-Ins box, select Solver Add-in, click Go Giải tốn tối ưu tuyến tính Excel solver Kích hoạt Solver Add in Excel -In the Add-Ins available box, select Solver Add-in, click OK 47 11/03/2014 Giải tốn tối ưu tuyến tính Excel solver Giải tốn tối ưu tuyến tính Excel solver 48 11/03/2014 Giải tốn tối ưu tuyến tính Excel solver Ứng dụng phần mềm giải toán tối ưu tuyến tính Classic LINDO Download from www.lindo.com 49 11/03/2014 Giải tốn tối ưu tuyến tính Classic LINDO Giải tốn tối ưu tuyến tính Classic LINDO 50 11/03/2014 Quy hoạch động (Dynamic programming) Quy hoạch động Quy hoạch động sử dụng tốn tối ưu chia thành nhiều giai đoạn để giải, giai đoạn toán Kết toán giai đoạn ảnh hưởng đến kết toán giai đoạn sau Phương án tối ưu toán ban đầu dựa kết tốn 51 11/03/2014 Ví dụ 1: Stage coach problem Một người muốn từ thành phố đến thành phố 10 Các đoạn đường khoảng cách cho bảng sau Tìm đường ngắn từ thành phố đến thành phố 10 Đường Khoảng cách Đường Khoảng cách Đường Khoảng cách Đường Khoảng cách 1-2 2-7 4-6 6-9 1-3 3-5 4-7 7-8 1-4 3-6 10 5-8 7-9 2-5 3-7 5-9 8-10 2-6 4-5 6-8 9-10 Ví dụ 1: Stage coach problem 10 52 11/03/2014 Ví dụ 1: Stage coach problem 5 8 10 9 10 5 7 Ví dụ 1: Stage coach problem 5 8 10 6 Stage Stage 10 5 9 7 Stage Stage 53 11/03/2014 Ví dụ 1: Stage coach problem n= 1: One more stage to go S1 S0 = 10 F1*(S1) (quãng đường tối ưu) S0* (điểm đến tối ưu) 10 10 10 10 n= 2: Two more stages to go S2 S1 S1 = 6+8 = 14 9+8 = 17 5+8 = 13 S1 = 8+9 = 17 7+9 = 16 7+9 = 16 F2*(S2) (quãng đường tối ưu) 14 16 13 S1* (điểm đến tối ưu) Ví dụ 1: Stage coach problem n= 3: Two more stages to go S3 S2 = 4+14 = 18 8+14 = 22 4+14 = 18 S2 S2 = 7+16 = 23 10+16 = 26 5+16 = 21 S2 = 8+13 = 21 5+13 = 18 7+13 = 20 F3*(S3) (quãng S2* (điểm đến tối đường tối ưu) ưu) 18 18 18 n= 4: Four more stages to go S4 S3 = 5+18 = 23 S2 S3 = 5+18 = 23 S3 = 6+18 = 24 F4*(S4) (quãng S3* (điểm đến tối đường tối ưu) ưu) 23 or Kết luận: Quãng đường ngắn     10     10 54 11/03/2014 Quy hoạch động Khi giải phương pháp quy hoạch động, ta phải xác định thành phần toán:  Giai đoạn (Stage)  Trạng thái (State)  Biến định (decision variables)  Tiêu chuẩn để đưa định (Criterion for effectiveness) 5 8 10 Stage Stage 10 5 State 9 7 Criterion Stage Stage 55 ... Giới thiệu tối ưu hóa Cực đại cực tiểu tồn cầu địa phương 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Giới thiệu tối ưu hóa 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Giới thiệu tối ưu hóa 11/03/2014 Giới thiệu tối. .. tìm cực đại, cực tiểu hàm số, số điều kiện ràng buộc Giới thiệu tối ưu hóa 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Giới thiệu tối ưu hóa Tối ưu hóa hàm biến Đối với hàm số liên tục khả vi f(x), f(x)... hóa 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Giới thiệu tối ưu hóa 11/03/2014 Giới thiệu tối ưu hóa Các tốn tối ưu hóa đặc trưng - Tìm giá trị nhỏ sai số tính tốn - Tối đa hóa xác suất đưa định - Tìm thời