SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ KHĨA THI NGÀY 22/03/2016 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài:1 50 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 02 trang) Bài (2 điểm) Cho hai số thực phân biệt a , b thỏa điều kiện ab  a  b a b Tính giá trị biểu thức A    ab b a Bài (3 điểm) Giải phương trình : 5x   x   4x  Bài (3 điểm) Cho số x1 x2 nghiệm phương trình x  ax  b  , đồng thời x12  x22  1 nghiệm phương trình x  (a  ) x  b   Tìm a 2 b Bài (4 điểm)   xy  a) Cho số thực x, y ( x  y  0) Chứng minh : x  y    2  x y  b) Trong hình vng có cạnh 1, ta lấy điểm tùy ý Chứng minh ln tồn điểm có khoảng cách khơng vượt 2 Bài (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn (K) qua A tiếp xúc với cạnh BC D, cắt AB, AC P, Q cắt (O) E khác A Tia ED cắt (O) F khác E Chứng minh rằng:   FAB  a) CAD PQ DP.DQ  b) BC DB.DC Còn tiếp trang sau Bài (3 điểm) Chiều 13/3, Công ty khai thác thủy lợi hồ Dầu Tiếng - Phước Hòa cho biết kết thúc đợt xả nước đẩy mặn xuống sông Sài Gòn Đây lần xả nước thứ từ đầu năm, giúp người dân Sài Gòn đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nông nghiệp Đợt xả nước công suất 30 m 3/s kéo dài ngày, mặn đẩy cửa sông Theo đơn vị này, sau đợt xả, mực nước hồ cao khoảng 20 m, trữ lượng gần 850 triệu m3 Tuy giúp nhà máy nước hạ lưu hoạt động nhiều chuyên gia bày tỏ lo lắng trữ lượng hồ đầu nguồn thấp dự báo đợt hạn mặn kéo dài đến tháng Hiện hồ phải kéo việc xả nước đẩy mặn để phục vụ cho nông nghiệp hoạt động sản xuất nước Về nguyên nhân xâm nhập mặn, ông Phạm Thế Vinh - Viện Khoa học Thủy lợi miền Nam - cho rằng, hạn mặn diễn mạnh El Nino kéo dài khiến khu vực Nam mưa Ngoài ra, việc triều cường kéo dài đến tháng 2, khiến nước mặn sâu vào cửa sơng Ơng Bùi Thanh Giang - Phó tổng giám đốc Cơng ty cấp nước Sài Gòn (Sawaco) - cho biết, năm trữ lượng nước hồ đầu nguồn giảm mạnh Trong đó, lượng nước tích trữ hệ thống hồ Dầu Tiếng - Phước Hòa thượng nguồn sơng Sài Gòn đạt khoảng 70% Lưu lượng hồ Trị An sông Đồng Nai đạt khoảng 80% so với trung bình năm.Về giải pháp lâu dài, Sawaco kiến nghị UBND TP HCM cho phép xây dựng hồ trữ nước thô cho nguồn nước sơng Sài Gòn với vốn thực từ ngân sách Ngồi ra, đơn vị đề xuất nâng cao cơng nghệ xử lý nước việc đỏi h ỏi chi phí đầu tư, vận hành cao (Nguồn vnexpress.net ) a) Hãy cho biết lượng nước mà hồ Dầu Tiến g xả ngày vừa qua ? b) Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước có để ngăn mặn (với tốc độ xả trên) công việc khoảng ngày c) Giả sử việc xả nước chống mặn diễn liên tục từ hơm (22/3) đến hết ngày 15/5, tính lượng nước mà hồ xả khoảng thời gian HẾT ĐÁP ÁN Bài (2 điểm) Cho hai số thực phân biệt a , b thỏa điều kiện ab  a  b a b Tính giá trị biểu thức A    ab b a 2 2 a b a b a b (a  b)  2ab  a 2b A    ab   2 b a ab ab 4x  Bài (3 điểm) Giải phương trình : x   x   Điều kiện: x  4x  4x  4x  5x   x     5 5x   x  3   x x   4      x   x    x    x     x    5( x  2)   x   Bài (3 điểm) x2 x22  x    0 x  (2đ) (1đ) (1đ) (1đ) Cho số x1 x2 nghiệm phương trình x  ax  b  , đồng thời x12  1 nghiệm phương trình x  (a  ) x  b   Tìm a b 2 Theo định lý Viete ta có : x1  x2   a ; x x2  b ; (0,5đ) 1 1 1 x12   x22    a  ; ( x12  )( x22  )  b  (0,5đ) 2 2 2 1 x12   x22    a   x12  x22   a (0,5đ) 2 2 3  ( x1  x2 )  x1 x2   a  2a  2b  (0,5đ) 2 1 1 1 ( x12  )( x22  )  b   x12 x22  ( x12  x22 )   b  (0,5đ) 2 2 3  x12  x22   a   b   (0,5đ) Thử lại điều kiện có nghiệm, ta nhận a  0, b   x22  Bài (4 điểm)   xy  a) Cho số thực x, y ( x  y  0) Chứng minh rằng: x  y    2  x y  2   xy  2 2 x  y     ( x  y ) ( x  y )  (1  xy )  2( x  y )  x y   ( x  y )  xy ( x  y )  (1  xy )  2( x  y )   ( x  y )  2( x  y ) (1  xy )  (1  xy )  2  ( x  y )  (1  xy )   (Đúng) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ)  xy   z  xy  yz  zx  1 x y x  y  z  ( x  y  z )  2( xy  yz  zx)   đpcm b) Trong hình vng có cạnh 1, ta lấy điểm tùy ý Chứng minh tồn điểm có khoảng cách khơng vượt q Ta chia hình vng cho thành hình vng nhỏ có cạnh (0,5đ) Theo nguyên lý Dirichlet, tồn điểm thuộc hình vng nhỏ nên khoảng cách chúng khơng vượt q đường chéo hình vng (1đ) Đường chéo hình vng nhỏ  đpcm (0,5đ) Bài (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn (K) qua A tiếp xúc với cạnh BC D, cắt AB, AC P, Q cắt (O) E khác A Tia ED cắt (O) F khác E Chứng minh rằng:   FAB  a) CAD PQ DP.DQ  b) BC DB.DC   FAB  a) CAD Ta có  (0,5đ) ACB   AFB (cùng chắn cung AB)   (cùng chắn cung AD) (0,5đ) ADB  AED 0     (0,5đ) ADC  180  ADB  180  AED  ABF   FAB  Suy ∆ADC ∽∆ABF  CAD (0,5đ) PQ DP.DQ  b) BC DB.DC AD CD  ∆ADC ∽∆ABF  (0,5đ) AB BF Cách khác: Đặt ∆PDB ∽∆DAB  AD DP  AB DB CD DP   DB.DC  DP.BF BF DB PQ DQ DQ.BC ∆PDQ ∽∆CFB    FB  BC FB PQ DQ.BC PQ DP.DQ  DB.DC  DP   PQ BC DB.DC  Bài (3 điểm) a/ Lượng nước xả ngày: 24.3600.30 = 592 000 m3 Lượng nước xả ngày: 592 000 = 776 000 m3 b/ 20% lượng nước có: 850 triệu m 20% = 170 triệu m3 Số ngày dùng để xả lượng nước trên: 170 10 : 592 000 ≈ 65,5 ngày c/ Từ 22/3 đến hết 15/5 có 55 ngày Lượng nước xả : 55 592 000 = 142 560 000 m3 (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (1đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) ... Thanh Giang - Phó tổng giám đốc Cơng ty cấp nước Sài Gòn (Sawaco) - cho biết, năm trữ lượng nước hồ đầu nguồn giảm mạnh Trong đó, lượng nước tích trữ hệ thống hồ Dầu Tiếng - Phước Hòa thượng nguồn... nước hồ cao khoảng 20 m, trữ lượng gần 850 triệu m3 Tuy giúp nhà máy nước hạ lưu hoạt động nhiều chuyên gia bày tỏ lo lắng trữ lượng hồ đầu nguồn thấp dự báo đợt hạn mặn kéo dài đến tháng Hiện hồ. .. ty khai thác thủy lợi hồ Dầu Tiếng - Phước Hòa cho biết kết thúc đợt xả nước đẩy mặn xuống sông Sài Gòn Đây lần xả nước thứ từ đầu năm, giúp người dân Sài Gòn đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nông