CHUỖI FOURIER TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2015 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 1/1 Hàm liên tục khúc Định nghĩa Hàm số f (x) gọi hàm liên tục khúc đoạn [a, b] tồn điểm a = x1 < x2 < < xn = b cho hàm số f liên tục khoảng (xi , xi+1) tồn hữu hạn giới hạn từ phía f (xi +) f (xi+1−), ∀i = 1, 2, , n − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 2/1 Hàm liên tục khúc Tính chất Ví dụ 1 sin khơng hàm liên tục x x khúc [0, 1], không tồn giới hạn f (0+) Hàm Hàm liên tục khúc [a, b] bị chặn khả tích [a, b] Tích hai hàm liên tục khúc hàm liên tục khúc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 3/1 Hàm trơn khúc Định nghĩa Nếu hàm f (x) liên tục khúc [a, b] có thêm điều kiện, đạo hàm cấp f (x) liên tục khoảng xi < x < xi+1, giới hạn f (xi +), f (xi −) tồn tại, hàm f (x) gọi hàm trơn khúc Nếu có thêm điều kiện, đạo hàm cấp hai f (x) liên tục khoảng xi < x < xi+1, giới hạn f (xi +), f (xi −) tồn tại, hàm f (x) gọi hàm trơn khúc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 4/1 Hàm tuần hoàn Định nghĩa Hàm liên tục khúc f (x) đoạn [a, b] goi hàm tuần hoàn tồn số thực dương p cho f (x + p) = f (x), ∀x Lúc này, p gọi chu kỳ f , số nhỏ số p gọi chu kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 5/1 Hàm tuần hồn Tính chất Nếu f (x) hàm tuần hồn với chu kỳ p f (x + np) = f (x), ∀n ∈ N Nếu f1(x), f2(x), , fk (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ p ck ∈ R, f (x) = c1f1(x) + c2f2(x) + + ck fk (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ p Ví dụ Hàm a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + + b1 sin x + b2 sin 2x + hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 6/1 Hệ hàm trực giao Định nghĩa Dãy hàm {ϕn (x)} gọi hệ trực giao theo hàm trọng q(x) đoạn [a, b] b ϕm (x).ϕn (x).q(x)dx = 0, m = n a Định nghĩa b ϕ2n (x)q(x)dx Nếu m = n ta có ||ϕn (x)|| = a gọi chuẩn ϕn (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 7/1 Hệ hàm trực giao Ví dụ Dãy hàm {sin mx}, m = 1, 2, hệ trực giao đoạn [−π, π] π sin mx sin nxdx = −π 0, m = n π, m = n Ở hàm trọng q(x) ≡ Chuẩn √ || sin mx|| = π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 8/1 Hệ hàm trực giao Định nghĩa Dãy hàm trực giao {ψn (x)} gọi hệ trực chuẩn theo hàm trọng q(x) đoạn [a, b] b ψm (x).ψn (x).q(x)dx = a 0, m = n 1, m = n Chú ý Hệ trực chuẩn thu từ hệ trực giao cách chia hàm số hệ cho chuẩn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 9/1 Hệ hàm trực giao Ví dụ Dãy hàm 1, cos x, sin x, , cos nx, sin nx hệ trực giao [−π, π] π 0, m = n sin mx sin nxdx = π, m = n −π π sin mx cos nxdx = 0, ∀m, n −π π cos mx cos nxdx = −π 0, m = n π, m = n Để thu hệ trực chuẩn, ta chia hàm cho chuẩn cos nx sin x cos x sin x √ , √ , √ , , √ , √ π π π π 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 10 / Công thức Parseval Công thức Parseval 2π −π k=−∞ π π f (x)dx = −π = −π ck k=−∞ ∞ 2π ∞ ck e ikx dx = k=−∞ ∞ f (x)e ikx dx = −π ck ck = k=−∞ f (x) 2π π ∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) |ck |2 f 2(x)dx = ∞ = ∞ π 2π ck c−k = k=−∞ |ck |2 k=−∞ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 47 / Cơng thức Parseval Ví dụ Ví dụ Tìm chuỗi Fourier phức hàm số f (x) = e x , −π < x < π (1 + ik)(−1)k Đáp số f (x) = sinh(π)e ikx π(1 + k ) k=−∞ ∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 48 / Chuỗi Fourier đoạn Đặt vấn đề Tìm chuỗi Fourier hàm f (x) đoạn [a, b] Khi ta dùng phép đổi biến (b − a)t (2x − b − a)π x = (a + b) + ⇒t= 2π b−a (b − a)t Khi f (x) = f (a + b) + = F (t) 2π Chuỗi Fourier F (t) a0 F (t) = + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∞ (ak cos kt + bk sin kt), k=1 CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 49 / Chuỗi Fourier đoạn ak = bk = π π π F (t) cos ktdt, −π π F (t) sin ktdt, −π ∞ a0 k(2x − b − a)π k(2x − b − a)π ⇒ f (x) = + ak cos + bk sin , k=1 b−a b−a ak = b−a bk = b−a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) b f (x) cos k(2x − b − a)π dx b−a f (x) sin k(2x − b − a)π dx b−a a b a CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 50 / Chuỗi Fourier đoạn Ví dụ Ví dụ Tìm chuỗi Fourier f (x) = x, −2 < x < ∞ Đáp số f (x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) kπx (−1)k+1 sin k=1 kπ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 51 / Chuỗi Fourier đoạn Ví dụ Ví dụ Tìm chuỗi Fourier f (x) = 1, < x < 21 0, 12 < x < Đáp số ∞ f (x) = + (−1)k−1 cos(2k − 1)πx k=1 (2k − 1)π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 52 / Bổ đề Riemann-Lebesgue định lý hội tụ theo điểm Bổ đề Riemann-Lebesgue Định lý Nếu g (x) hàm liên tục khúc đoạn [a, b] b lim λ→∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) g (x) sin λxdx = a CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 53 / Bổ đề Riemann-Lebesgue định lý hội tụ theo điểm Định lý hội tụ theo điểm Định lý Nếu f (x) hàm trơn khúc tuần hoàn với chu kỳ 2π [−π, π] với ∀x ta có a0 + ∞ k=1 (ak cos kx+bk sin kx) = [f (x+)+f (x−)], π π f (t) cos ktdt, bk = f (t) sin ktdt, ak = π −π π −π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 54 / Sự hội tụ đều, đạo hàm, tích phân Định lý hội tụ hội tụ tuyệt đối Định lý Cho f (x) hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π cho f (x) hàm liên tục khúc đoạn [−π, π] Nếu thêm điều kiện f (−π) = f (π) chuỗi Fourier f (x) hội tụ hội tụ tuyệt đối TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 55 / Sự hội tụ đều, đạo hàm, tích phân Đạo hàm Định lý Cho f (x) hàm liên tục đoạn [−π, π], f (−π) = f (π) Cho f (x) hàm trơn khúc đoạn [−π, π] Khi chuỗi Fourier hàm f (x) thu cách lấy đạo hàm phần tử chuỗi Fourier hàm f (x) Chuỗi Fourier hàm f (x) hội tụ theo điểm điểm liên tục hội tụ đến [f (x+) + f (x−)] điểm gián đoạn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 56 / Sự hội tụ đều, đạo hàm, tích phân Tích phân Định lý Cho f (x) hàm liên tục khúc [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π Khi π π f (x)dx = −π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −π ∞ a0 dx + k=1 π (ak cos kx + bk sin kx)dx −π CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 57 / Tích phân Fourier Định lý Nếu f (x) hàm trơn khúc đoạn [0, b] với b > ta có b f (x) lim λ→∞ sin λx π dx = f (0+) x Định lý Nếu f (x) hàm trơn khúc đoạn hữu hạn, khả tích tuyệt đối (−∞, +∞) π ∞ ∞ f (t) cos k(t − x)dt dk = [f (x+) + f (x−)] −∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 58 / Tích phân Fourier Nếu hàm f (x) liên tục điểm x f (x+) = f (x−) = f (x) Khi biểu diễn tích phân Fourier cho f (x) ∞ f (x) = π ∞ f (t) cos k(t − x)dt dk −∞ Thay ik(x−t) e + e −ik(x−t) cos k(t − x) = cos k(x − t) = ta f (x) = 2π ∞ ∞ f (t)e ik(x−t) dtdk + −∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2π CHUỖI FOURIER ∞ ∞ f (t)e −ik(x−t) dtdk −∞ TP HCM — 2015 59 / Tích phân Fourier ∞ f (x) = 2π = 2π ∞ f (t)e ∞ −∞ dtdk − 2π ∞ f (t)e ik(x−t) dtdk + −∞ = =√ 2π ik(x−t) ∞ 2π e ikx dk √ 2π −∞ ∞ ∞ f (t)e ik(x−t) dtdk −∞ 0 ∞ f (t)e ik(x−t) dtdk −∞ −∞ ∞ f (t)e ik(x−t) dtdk −∞ −∞ ∞ e −ikt f (t)dt = √ 2π −∞ F (k) = √ 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2π −∞ ∞ F (k)e ikx dk −∞ ∞ f (t)e −ikt dt −∞ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 60 / Tích phân Fourier THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 61 / ... TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 36 / Chuỗi Fourier Cosine Sine Ví dụ Hình: sum(1->10), sum(1->100) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 37 / Chuỗi Fourier Cosine Sine Ví dụ Ví... 32 52 CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 40 / Chuỗi Fourier Cosine Sine Ví dụ Hình: sum(1->3), sum(1->10) TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 41 / Chuỗi Fourier Cosine Sine Ví dụ Ví... + bj sin jx) dx = j=1 n (aj cos jx + bj sin jx) cos kxdx = j=1 n (aj cos jx + bj sin jx) sin kxdx = j=1 CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 13 / Chuỗi Fourier Do tính trực giao dãy 1, cos x, sin x,