Lời Cảm Ơn Trong q trình tơi thực khóa luận tốt nghiệp tơi gặp nhiều khó khăn Nhưng nhờ vào giúp đỡ động viên thầy giáo bạn em hồn thành khóa luận Lời tơi xin gửi đến thầy giáo ThS Trần Mạnh Hùng lời cảm ơn sâu sắc nhất, cảm ơn thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo cho tơi q trình thực khóa luận Và để hồn thành khóa luận này, chúng tơi trân trọng cảm ơn quý thầy cô khoa Khoa học tự nhiên suốt trình giảng dạy cung cấp kiến thức tảng để tơi nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy dành thời gian q báu để đọc góp ý cho khóa luận tơi, q trình làm khóa luận khơng tránh khỏi khuyết điểm, thiết sót kính mong nhận đóng góp bảo q thầy Tơi xin chân thành cảm ơn ! Đồng Hới, tháng năm 2017 Sinh viên thực Hoàng Thị Thanh Huyền LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp tự thân thực có hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn không chép cơng trình nghiên cứu người khác Các liệu thơng tin thứ cấp sử dụng khóa luận có nguồn gốc trích dẫn rõ ràng Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm lời cam đoan này! Sinh viên Hoàng Thị Thanh Huyền DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT Chữ viết tắt/ký hiệu Cụm từ đầy đủ Cmt Chứng minh Đpcm Điều phải chứng minh gt Giả thiết kt Kết luận  Tam giác ^ Góc ∽ Đồng dạng // Song song  Thuộc g.g Góc - góc c.g.c Cạnh- góc- cạnh  Vng góc THCS Trung học sở MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU .1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Đường đường thẳng vng góc đường thẳng song song………………… Tam giác………………………………………… Đường tròn…………………………………………………………………… Góc…………………………………………………………………………… CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Chứng minh hai đường vng góc dựa vào định nghĩa………… Chứng minh hai đường thẳng vng góc dựa vào tính chất song song đường thẳng mặt phẳng………………………… .12 Chứng minh hai đường vng góc dựa vào định lí nhận biết tam giác vng…… 14 Chứng minh hai đường vng góc dựa vào định nghĩa tính chất đường tam giác hình học phẳng……………… .17 Chứng minh hai đường thẳng vng góc dựa vào đường tròn yếu tố đường tròn………………………………………… 18 Chứng minh hai đường thẳng vng góc dựa vào định lí điểm định lí Pitago……………………………………………………………………………21 Tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù……………………………26 Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn…………………… …… .…28 Định nghĩa ba đường cao tam giác, định nghĩa đường trung trực đoạn thẳng , đường cao cạnh đối diện tam giác……………………….30 10 Tính chất tiếp tuyến đường tròn đường thẳng thứ ba…… 32 11 Sử dụng tính chất tam giác cân, tam giác đều, hình chữ nhật……… … 33 12 Sử dụng tính chất đường kính qua trung điểm dây cung vng góc với dây cung ………………………………… …………………………… 35 13 Sử dụng định lý hai đường thẳng song song đường vng góc với đường thứ vng góc với đường thứ hai chúng song song với hai đường thẳng vng góc khác………………………………………………………… 37 PHẦN III: KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1.Cơ sở lí luận: Chứng minh hai đường thẳng vng góc phần kiến thức xuyên suốt chương trình hình học Nó sở cho nhiều kiến thức hình học sau này, khơng mặt phẳng mà không gian Chứng minh hai đường thẳng vng góc giúp cho học sinh có kĩ chứng minh hình học, nhận biết hình đặc biệt phần kiến thức giúp cho học sinh thực hành khai thác tốn, làm cho tư hình học học sinh phát triển Khai thác tốn nói chung khai thác phát triển toán chứng minh hai đường thẳng vng góc nói riêng phương pháp giúp phát triển tư duy, khả sáng tạo cho học sinh 1.2 Cơ sở thực tiễn: Học sinh trung học sở chưa biết hệ thống chưa đầy đủ phương pháp chứng minh hình học nói chung chứng minh hai đường thẳng vng góc nói riêng Học sinh chưa biết cách khai thác tốn hình học, chưa đúc rút kinh nghiệm qua giải Thời gian lớp học hạn chế nên việc hệ thống lại phương pháp chứng minh cho học sinh hạn chế cấp lớp Vì khn khổ cho phép, em xin nghiên cứu đề tài “ Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc chương trình tốn THCS” Mục đích nghiên cứu: Giúp cho học sinh nắm vững kiến thức có liên quan đến chứng minh hai đường thẳng vng góc Củng cố cho học sinh kĩ chứng minh hình học Giúp cho học sinh có hệ thống phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc Giúp cho học sinh biết cách khai thác tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc Làm cho học sinh thêm hứng thú học phân mơn hình học nói chung học chứng minh hai đường thẳng vng góc nói riêng Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ số vấn đề sau: Tôi đề xuất số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc hình học phẳng Sưu tầm số toán chuyên đề chứng minh hai đường thẳng vng góc Sưu tầm số ví dụ cụ thể để thấy rõ việc nắm phương pháp giải dễ dàng toán chứng minh 4.Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức có liên quan đến chứng minh hai đường thẳng vng góc chương trình tốn trung học sở Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc chương trình tốn trung học sở PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Các kiến thức chương trích mục số: [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8] tài liệu tham khảo Đường thẳng vng góc đường thẳng song song 1.1 Hai đường thẳng vng góc: Định nghĩa [3, trang 84]: Hai đường thẳng xx’ yy’ cắt góc tạo thành có góc vng gọi hai đường thẳng vng góc kí hiệu xx’  yy’ Tiên đề Ơ-clit đường thẳng vng góc [3, trang 92]: Có đường thẳng a’ qua điểm O vng góc với đường thẳng a cho trước Đường trung trực đoạn thẳng: Định nghĩa [3, trang 85]: Đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng gọi đường trung trực đoạn thẳng Tính chất: Khi d đường trung trực đoạn thẳng AB ta nói AB đối xứng qua đường thẳng d 1.2 Hai đường thẳng song song: Định nghĩa: Là hai đường thẳng khơng có điểm chung Ký hiệu: a//b Tính chất [3, trang 93]: Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: Hai góc đồng vị Hai góc so le Hai góc phía bù 1.3 Quan hệ tính vng góc tính song song ba đường thẳng [3, trang 96]: Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với Ba đường thẳng d, d', d'' song song với đơi ta nói ba đường thẳng song song với Kí hiệu d // d' // d'' Tam giác 2.1 Tam giác vuông: o Định nghĩa: Tam giác vng tam giác có góc vng (góc 90 ) Định lí [4, trang 65]: Nếu tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng (định lí đường trung tuyến ) Định lí Pytago [3, trang 129]: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng ∆ABC vng A, ta có: BC2=AB2+AC2 Định lí Pytago đảo [3, trang 129]: Nếu tam giác có bình phương cạnh bẳng tổng bình phương cạnh lại tam giác tam giác vuông, ∆ABC: BC2=AB2+AC2 2.2 Đường trung trực tam giác [4, trang 78]: Định nghĩa: Đường trung trực cạnh tam giác đường trung trực tam giác Định lí: Ba đường trung trực tam giác qua điểm điểm cách ba đỉnh tam giác Tính chất: Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến tương ứng với cạnh 2.3 Đường cao tam giác [4, trang 81]: 1 ' ' ' Ta có: xot + xot = xoy  xoy  (xoy  xoy ) 2 ' Mà xoy  xoy =180o (2 góc kề bù) ' o o Nên xot  xot  180  90 Vậy hai tia phân giác hai góc kề bù tạo thành góc vng Bài tập 3: Cho đường tròn (o) đểm A có định đường tròn Từ điểm M di động đường tròn, vẽ MH vng góc với tiếp tuyến Ax H a, Chứng minh tia MA tia phân giác góc OMH b, Vẽ tia My tia phân giác ngồi góc OMH Chứng minh tia My qua điểm cố định Bài làm: a, Ta có: MH // AO ( vng góc với Ax) suy ra: M  M Mặt khác: M  A1 nên M  M1 27 b, Tia phân giác My cắt đường tròn điểm thứ hai B Ta có AMB  90o (tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù) Suy AB đường kính đường tròn (o), B điểm cố định Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn Trong đường tròn: a) Các góc nội tiếp chắn cung b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung c) Góc nội tiếp ( nhỏ ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng Bài tập 1: Cho hai đường tròn (o) (o’) cắt tạo A B Vẽ đường kính AC AD hai đường tròn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng Bài làm: Nối BA, BC, BD ta có: o ABD = ABD = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra: ABC = ABD = 180o Vậy C, B, D thẳng hàng A O C O’ B D Bài tập2: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB S điểm nằm ngồi đường tròn SA SB cắt đường tròn M, N Gọi H giao điểm BM AN Chứng minh SH vng góc với AB Bài làm: 28 BM ⊥ SA ( AMB  90o góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Tương tự, có: AN ⊥ SB Như BM AN hai đường cao tam giác SAB H trực tâm Suy SH ⊥ AB (Trong tam giác ba đường cao đồng quy) Bài tập 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Một đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn (O) Tại C tiếp xúc với AB D Gọi E F giao điểm CA, CB với đường tròn (K) Chứng minh rằng: a, Ba điểm A, K, F thẳng hàng b, KD  EF Bài làm: 29 Ta có OCB = ABC  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) suy ECF  90o EF đường kính đường tròn (K) Vậy E, K, F thẳng hàng b, Hai đường tròn (O) (K) tiếp xúc với C ba điểm O, K, C thẳng hàng Ta có: CEK  CBO (cùng chắn OCB )  EF // AB Mặt khác KD  AB nên KD  EF Định nghĩa ba đường cao tam giác, định nghĩa đường trung trực đoạn thẳng, đường cao cạnh đối diện tam giác Bài tập 1: Cho hình Chứng minh: NS ML Bài làm: Chứng minh: NS ML Xét ΔMNL, ta có: LP  MN, suy LP đường cao thứ nhất, MQ  LN MQ đường cao thứ hai, LP cắt MQ S, suy S trực tâm ΔMNL Nên NS đường cao thứ ba Vậy NS  ML Bài tập 2: Cho tam giác ABC cân A, có đường cao CH cắt tia phân giác góc A D Chứng minh BD vng góc AC Bài làm: Xét tam giác ABC cân A Có: AE tia phân giác, nên AE đường cao thứ CH đường cao thứ hai Mà AE cắt CH D, suy D trực tâm Ta có: BD đường cao thứ ba, suy ra: BD vng góc AC 30 Bài tập 3: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, S điểm nằm bên ngồi đường tròn SA SB cắt đường tròn M, N Gọi H giao điểm BM AN Chứng minh SH vuông góc với AB Bài làm:   Ta có: M , N   O, AB      AMB  AB   ANB  AB   AMB  ANB  90o  AM  MB; AN  NB  AM  MB Trong SAB có:   AN  NB 31 Suy ra: AN, BM hai đường cao SAB Lại có: AN  BM  H  ,nên SH đường cao SAB Vậy H trực tâm SAB 10 Tính chất tiếp tuyến đường tròn đường thẳng thứ ba Bài tập 1: Cho hình thang ABCD ( AB //CD), A  90o hai đường chéo cắt K Biết AD  AB AC a, Chứng minh AC  BD b, Gọi M trung điểm CD, chứng minh KM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK Bài làm: a, Ta có: AD  AB AC suy AD AB  CD AD Mặt khác : A  D  90O A  D  90O nên ∆ABD ~ ∆DAC (c.g.c) A1  D1 Ta có: D1  D2  90o  A1  D2  90o Suy AKD  90o Vậy AC  BD b, ∆ KCM vuông K, mà MC = MD nên MK = MD suy K1  A1  KD Vậy KM tiếp tuyến đường tròn (AKD) Bài tập 2: Cho tam giác cân A,các góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O; 2,5) Hai đường cao BE, CF cắt H Vẽ đường kính AD Chứng minh tứ giác BHCD hình thoi 32 Bài làm: Ta có: ABD  90O ABD  90O ; ACD  90O (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD) suy BD // CF; CD // BE (cùng vuông với đường thẳng thứ ba) Vậy tứ giác BHCD hình bình hành Ta có: AB = AC; OB = OC nên AO đường trung trực BC, Suy AO  BC, AO qua H Hình bình hành BHCD có hai đường chéo vng góc nên hình thoi 11 Sử dụng tính chất tam giác cân, tam giác đều, hình chữ nhật Bài tập1: Cho tam giác ABC, đường cao BD CE Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ B, C đến DE Gọi I trung điểm DE, K trung điểm BC Chứng minh rằng: KI vng góc với ED Giả thiết ABC BD  AC; CE  AB IE = ID; KB = KC Kết luận KI  ED Xét BDC có: DK đường trung tuyến  DK  BC (7.1) Xét ∆BEC có: EK đường trung tuyến Vậy EK  BC (7.2) Từ (7.1) (7.2) có DK = EK 33 Vậy KD  ED (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời đường cao đường phân giác) Bài tập 2: Cho góc vng xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy Gọi D, E theo thứ tự trung điểm OA, OB Đường vuông góc với OA D đường vng góc với OB E cắt C Chứng ming rằng: a) CE // OD b) CE  CD Bài làm: a, Theo giả thiết ta có: CE  Oy; OD  Oy suy ra: CE // OD ( vng góc với Oy) (đpcm) o o b) Xét tứ giác ECDO có: E  O  D  90 ( gt )  C  90 (vì tổng góc tứ giác 360o ) Nên tứ giác ECDO hình chữ nhật Vậy CE  CD (đpcm) 34 Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân A, AB > BC, nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường kính BD, cung CD lấy điểm M Vẽ tia Bx  AM, cắt tia CM E Chứng minh tam giác MBE, ABE cân Bài làm: Tứ giác ABCM nội tiếp => AME  ABC  ACB  AMB ΔBME có MA vừa đường phân giác, vừa đường cao nên tam giác cân, MA đường trung trực BE, AB = AC suy ΔABE cân 12 Sử dụng tính chất đường kính qua trung điểm dây cung vng góc với dây cung Bài tập1: Cho tam giác ABC, đường cao BD CE Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ B, C đến DE Gọi I trung điểm DE, K trung điểm BC Chứng minh rằng: KI vng góc với ED Giả thiết ABC BD  AC; CE  AB IE = ID; KB = KC Kết luận KI  ED 35 Bài làm: Vì BD  AC; CE  AB Nên tứ giác BEDC nội tiếp Suy ra: KI  ED (Đường kính qua trung điểm dây cung vng góc với dây cung đó) Bài tập 2: Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BE (E thuộc AC) Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC M, N (M, N khác B) Đường thẳng AM cắt BC K chứng minh AE.AN = AM.AK Bài làm: Vì CA  AB suy CA tiếp xúc với đường tròn đường kính AB ANK có AME  ANK  90o Hai tam giác AME ANK có AME  ANK  90o Mặt khác MAE  ABE  MBN  NAM Suy ra: ∆AME ~ ∆ANK nên AN AK   AN AE  AM AK AM AE 36 13 Sử dụng định lý hai đường thẳng song song đường vng góc với đường thứ vng góc với đường thứ hai chúng song song với hai đường thẳng vng góc khác Bài tập 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, S điểm nằm bên ngồi đường tròn SA SB cắt đường tròn M, N Gọi H giao điểm BM AN Chứng minh SH vng góc với AB Bài làm: Kẻ tiếp tuyến Bx với (O) B suy ra: Bx  AB (8.1) Tứ giác SMHN có SMH  SNH  90o Nên SMHN tứ giác nội tiếp Vậy M1  S1 (8.2) NB (8.3) Lại có: M1  B1  Từ (8.2) (8.3) suy S1  B1 Mà hai góc vị trí so le Suy ra: SH // Bx Từ (8.3) (8.4) Vậy SH  AB (8.4) Bài tập 2: Cho góc vng xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy Gọi D, E theo thứ tự trung điểm OA, OB Đường vng góc với OA D đường vng góc với OB E cắt C Chứng ming : a) CE // OD b) CE  CD Bài làm: 37 a, Theo giả thiết ta có: CE  Oy; OD  Oy suy ra: CE // OD ( vng góc với Oy) (đpcm) b, Theo câu a ta có CE // OD · o Lại có CD // OE (Vì OD ^ Ox xoy = 90 ) · Mặt khác OD ^ OE Vì xoy = 90 Nên CE  CD o 38 PHẦN III: KẾT LUẬN Trong đề tài trình bày vấn đề sau: Chỉ trích dẫn kiến thức sở chứng minh hai đường thẳng vng góc Hệ thống phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc Hệ thống tập phù hợp với dạng phương pháp cụ thể Từ phương pháp giải tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc tơi rút số học sau: Đối với tốn có cấu trúc giống q trình giải thường dễ nhầm lẫn máy móc tốn với tốn khác Vì so sánh phân biệt dạng toán Phải hiểu toán cách gợi ý lập hệ thống câu hỏi Do cần phải nắm kiện đề bài, phải tóm tắt đề tốn theo cách ngắn ngọn, dễ hiểu Đưa nhiều cách giải toán trình tự bước, phép tính phải xác khoa học Việc nghiên cứu phương pháp chứng minh hội để luyện tập vận dụng kiến thức khắc sâu trí nhớ giúp ích cho việc học tập mơn hình học học sinh Tuy nhiên hạn chế mặt kinh nghiệm, lực, thời gian, tài liệu, trình khai thác triển khai đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến q thầy giáo bạn để đề tài hoàn thiện 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2006) - Toán 6, Tập 1, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [2] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2005) - Toán 6, Tập 2, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [3] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2006) - Toán Tập1, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [4] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2006)- Tốn Tập 2, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [5] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2006)- Tốn Tập 1, Nhà xuất bả n giáo dục Việt Nam [6] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2006) - Tốn Tập 2, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [7] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2006)- Tốn Tập 1, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [8] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2006) - Tốn Tập 2, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [9] Tơn Thân (Chủ biên) (2006)- Bài tập tốn (Tập – 2), Nhà xuất giáo dục Việt Nam [10] Tơn Thân (Chủ biên) (2006)- Bài tập tốn (Tập - 2), Nhà xuất giáo dục Việt Nam [11] Tơn Thân (Chủ biên) (2006)- Bài tập tốn (Tập – 2), Nhà xuất giáo dục Việt Nam [12] Nhóm tác giả: Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng, Lương Anh Văn, Bùi Ruy Tân, Trương Đức Long, Vũ Đức Đồn, Nguyễn Đức Hóa (2003) - Lời giải đề thi toán 8, Nhà xuất đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [13] Nguyễn Đức Tấn (2003)- Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học, Nhà xuất giáo dục [14] Tác giả: Vương Dương Thuỵ - Lê Thống Nhất - Nguyễn Anh Qn (2003)Tuyển tập đề thi mơn tốn THCS, Bài đề 14, 21, 42, 47 [15] Tác giả Phạm Văn Đức – Nguyễn Hoàng Khang (2003)- Tuyển chọn 400 tập toán 8, Bài 251 trang 153 [13] Tác giả Tơn Thân – Vũ Hữu Bình - Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn Tuyên- Các dạng toán phương pháp giải toán tập1(2003), Bài 12 trang 187; 10 trang 202; 11 trang 203 40 NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Giảng viên hướng dẫn (Ký, ghi rõ họ tên) NHẬN XÉT CỦA PHẢN BIỆN ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Phản biện (Ký, ghi rõ họ tên) NHẬN XÉT CỦA PHẢN BIỆN ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Phản biện (Ký, ghi rõ họ tên) 41 ... AB CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GĨC Chứng minh hai đường vng góc dựa vào định nghĩa: Phương pháp: Để chứng minh hai đường vuông góc thực chất ta chứng minh góc. .. CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Chứng minh hai đường vng góc dựa vào định nghĩa………… Chứng minh hai đường thẳng vng góc dựa vào tính chất song song đường thẳng mặt... phải chứng minh)  Khai thác toán : Nếu ta tìm cách tạo đường đường thẳng song song với hai đường thẳng cần chứng minh chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng lại ta có cách làm thư hai toán