CHUN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHAN Tệ A.cơ sở lý thuyết: a/ Định lý phép chia đa thức (phép chia hết chia có d): - Khi ®ã víi hai ®a thøc bÊt kú f(x), g(x) g(x) tồn hai ®a thøc q(x) vµ r(x)sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hc bËc r(x) < bËc g(x) q(x) đợc gọi thơng, r(x) đợc gọi d NÕu r(x) = th× ta nãi f(x) chia hÕt cho g(x) ký hiệu f(x)Mg(x) Nếu r(x) ta nãi f(x) chia cho g(x) cã d b/ HÖ quả: Ta có f(a) d phép chia f(x) cho x- a c/ Định nghĩa nghiệm đa thức ẩn: Phần tử aA đợc gọi nghiệm đa thức f(x) f(a) = d/ Định lý Bơdu nghiệm đa thức: Phần tử a nghiệm đa thức f(x) f(x)M x-a e/ Các phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung - Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp nhóm nhiều hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp - Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt hạng tư Phương pháp đặt nhân tử chung Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 28a2b2 − 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab − 3b + 2a) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y − z) – 5y(y − z) = (y – z)(2 − 5y) xm + xm + = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) Phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 − 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Phối hợp nhiều phương pháp Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a) VÝ dụ5: A(x) =10x2-7x+a (aQ) xác định a cho A(x) chia hết cho 2x-3 Đặt phép chia đa thức: 10x2-7x+a 2x-3 10x -15x 5x+4 8x+a -8x-12 a+12 §Ĩ A(x) M 2x-3 ta ph¶i cã: a+12=0 ⇔ a= -12 VËy a=-12 th× A(x) chia hÕt cho 2x-3 VÝ dơ 6: Cho đa thức: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a Q) Xác định a cho A(x) chia hết cho (x+1) +Đặt phÐp chia ®a thøc: a2x3+3ax2-6x-2a x+1 2 -a x +a x ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6) (3a-a2)x2-6x-2a -(3a-a2)x2+(3a-a2)x -a2+a+6 §Ĩ A(x) chia hÕt cho x+1 ta ph¶i cã: -a2+a+6=0 ⇔(a+2)(3-a)=0 a+2=0 a=-2 3-a=0 a=3 Vậy a=-2 a=3 A(x) chia hết cho x+1 Ví dụ 7: Phân tích đa thức 5x3-2x-3 thành nhân tử, Dễ thấy x=1 nghiệm , theo định lý Bơdu đa thức 5x 3-2x3 chia hết cho x-1 Thực phép chia ta đợc: 5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3) Ví dụ 8: Phân tích đa thức f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thành nhân tử Dễ thấy x=1 nghiệm Vì đa thức đà cho chia hết cho x-1 Thức phép chia ta đợc: f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2) Dễ thấy 3x4- 3x3-5x2-x-2 cã nghiƯm lµ x= -1 Thùc hiƯn phÐp chia ta đợc: 3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2) Dễ thấy 3x3-6x2+x-2 có nghiƯm x= V× thÕ 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1) VËy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1) B.các phơng pháp nâng cao I PHNG PHAP TCH MT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c) a) Cách (tách hạng tử bậc bx): Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách a.c = M Bước 2: Chọn hai thừa số ci cho M = ai.ci với b = + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Hướng dẫn − Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) − Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) − Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) b) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2) − Làm xuất hiệu hai bình phương : f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) − Tách thành số hạng nhóm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2) c) Cách (tách hạng tử tự c) − Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) d) Cách (tách số hạng, số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) e) Cách (nhẩm nghiệm): Xem phần sau Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Đối với đa thức bậc từ tr lờn Qua ví dụ ta thấy việc tách số hạng thành nhiếu số hạng khác thờng nhằm mục đích: + Làm xuất hệ số tỷ lệ nhờ mà xuất thừa số chung (cách 1) + Làm xuất hiệu hai bình phơng (cách 2) Với đa thức có bậc từ trở lên, để dễ dàng làm xuất c¸c hƯ sè tû lƯ ngêi ta thêng dïng c¸ch làm xuất nghiệm đa thức Ta nhắc lại khái niệm nghiệm đa thức: Số a đợc gọi nghiệm đa thức f(x) f(a)=0 Nh đa thức f(x) có nghiệm x-a chứa thừa số x-a Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+ +an với a0,a1, ,an-1,an ∈ Z cã nghiÖm x= a (a ∈ Z) => a0xn+a1xn-1+ +an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+ +bn –1) ®ã b0,b1, ,bn-1,bn ∈ Z Sè h¹ng cã bËc thÊp nhÊt cđa tích vế phải bằng-abn-1 Số hạng có bậc thấp nhÊt ë vÕ ph¶i b»ng an  -abn-1= an tøc a ớc an Vậy đa thức có nghiệm nguyên nghiệm ớc hạng tử tự an Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x3-x2-4 Lần lợt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thÊy f(2)=23-22-4=0 ®a thøc cã nghiƯm x= ®ã chøa thõa sè (x-2) C¸ch 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4 = (x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4) =x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2) C¸ch 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 = (x3-8)-(x2-4) =(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) = (x-2)(x2+2x+4-x-2) =(x-2)(x2+x+2) Chó ý: Khi xÐt nghiƯm nguyªn đa thức nên nhớ định lý sau: *ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức, ®a thøc chøa thõa sè x-1 VÝ dô; x3-5x2+8x-4 x-1 -x -x x2-4x+4 - 4x2+8x-4 - 4x2+4x 4x-4 4x-4 VËy x -5x +8x-4 = (x-1)(x2-4x+4) = (x-1)(x-2)2 */ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ -1 nghiệm đa thức đa thức chứa thừa sè x+1 VÝ dô: x3-5x2+3x+9 Ta cã 9-5=1+3  -1 nghiệm đa thức, đa thức chứa thừa số x+1 x3-5x2+3x+9 x+1 -x + x x2-6x+9 -6x2+3x+9 x2-6x 9x+9 -9x+9 VËy x -5x +3x+9 =(x+1)(x2-6x+9) =(x+1)(x-3)2 Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a f(1) f(–1) khác f (1) a−1 f (−1) số nguyên a+1 Chứng minh Đa thức f(x) có nghiệm x = a nên f(x) có nhân tử x – a Do f(x) có dạng : f(x) = (x – a).q(x) (1) Thay x = vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1) Do f(1) ≠ nên a ≠ 1, suy q(1) = − f (1) Vì hệ số f(x) nguyên nên a−1 hệ số q(x) nguyên Do đó, q(1) số nguyên Vậy Thay x = –1 vào (1) chứng minh tương tự ta có f (1) số nguyên a−1 f (−1) số nguyên a+1 Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x3 − 13x2 + 9x − 18 thành nhân tử Hướng dẫn Các ước 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± nghiệm f(x) Dễ thấy −18 −18 −18 −18 , , , không số nguyên nên –3, ± 6, ± −3 − ±6 − ±9 − ±18 − 9, ± 18 không nghiệm f(x) Chỉ –2 Kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau : f(x) = 4x − 12x − x + 3x + 6x − 18 = 4x (x − 3) − x(x − 3) + 6(x − 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6) Hệ Nếu f(x) = an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n −2 + + a1 x + a0 víi an , an−1 , , a1 , a0 số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = (p , q)=1, p ước a0, q ước dương an Chứng minh ( p , p, q ∈ Z q Ta thấy f(x) có nghiệm x = f(x) (b n −1x n −1 + b n −2 x nguyên n −2 p nên có nhân tử (qx – p) Vì hệ số q nên f(x) có dạng: f(x) = (qx – p) + + b1x + b ) Đồng hai vế ta qbn–1 = an , –pb0 = ao Từ suy p ước a0, q ước dương an (đpcm) Ví dụ 10 Phân tích đa thức f(x) = 3x3 − 7x2 + 17x − thành nhân tử Hướng dẫn Các ước –5 ± 1, ± Thử trực tiếp ta thấy số không nghiệm f(x) Như f(x) khơng có nghiệm nghun Xét số ± , ± , ta thấy nghiệm đa thức, đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích sau : f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 − 5xy + 2y2 ; b) x2(y − z) + y2(z − x) + z2(x − y) Hướng dẫn a) Phân tích đa thức này tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c Ta tách hạng tử thứ : 2x2 − 5xy + 2y2 = (2x2 − 4xy) − (xy − 2y2) = 2x(x − 2y) − y(x − 2y) = (x − 2y)(2x − y) a) Nhận xét z − x = −(y − z) − (x − y) Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức : x2(y − z) + y2(z − x) + z2(x − y) = x2(y − z) − y2(y − z) − y2(x − y) + z2(x − y) = = (y − z)(x2 − y2) − (x − y)(y2 − z2) = (y − z)(x − y)(x + y) − (x − y)(y − z)(y + z) = (x − y)(y − z)(x − z) Chú ý : 1) Ở câu b) ta có thể tách y − z = − (x − y) − (z − x) (hoặc z − x= − (y − z) − (x − y)) 2) Đa thức ở câu b) là một những đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách trên, ta còn cách phân tích bằng cach xet gia tri riờng (Xem phõn IV) Các toán luyện Tập Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, x x +6 d, x −13 x +36 b, 3x −8 x +4 e, x +3 x −18 c, x +8 x +7 f, x −5 x −24 g , 3x −16 x +5 h, 8x +30 x +7 i, 2x −5 x −12 k, 6x x 20 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1/ x x + x − 2/ x + x − 3 / x3 + x + x + 4/ x − x + 5/ x − x + x + 16 6/ 4x − 13 x + x − 18 / x3 − x − x + 8/ − x3 − x + x + 9/ 6x − x − 486 x + 81 10/ x − x − 11/ x − 3x + 12/ x − x + x + 13 / x + x + 17 x + 10 14/ x + x + x + 15/ x − x − 16/ 2x − 12 x + 17 x − 17 / x + x + 18/ x3 + x + x + 19 / x + x + 26 x + 24 20/ 2x − x + x − 21/ 3x − 14 x + x + 22/ x + x + x + x + II PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ 12 Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1) (x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1) (x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Ví dụ 13 Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2) (x2 + 2x + 2) Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 14 Phân tích đa thức x5 + x − thành nhân tử Lời giải Cách x5 + x − = x5 − x4 + x3 + x4 − x3 + x2 − x2 + x − = x3(x2 − x + 1) − x2(x2 − x + 1) − (x2 − x + 1) = (x2 − x + 1)(x3 − x2 − 1) Cách Thêm và bớt x2 : x5 + x − = x5 + x2 − x2 + x − = x2(x3 + 1) − (x2 − x + 1) = (x2 − x + 1)[x2(x + 1) − 1] = (x2 − x + 1)(x3 − x2 − 1) Ví dụ 15 Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử Lời giải x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x − 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 − x4 – x2 − x + 1) Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + + x3n + + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + đều chứa nhân tử là x2 + x + *Phân tích đa thức thành nhân tử dạng xm + xn + (m, n ∈ n; m > n) NHỮNG ĐỀ TOÁN VÀ BÀI GIẢI: Bài toán Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + x + * Học sinh lớp giải: Ta có: x4 + x2 + = x4 + 2x2 + − x2 = ( x + 1) − x 2 = ( x + 1) + x  ( x + 1) − x     = ( x + x + 1) ( x − x + 1) * Hoïc sinh lớp giải: Ta có: x4 + x2 + = x4 + 2x2 + − x2 = ( x + 1) − x 2 = ( x + 1) + x  ( x + 1) − x     = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( )( )( ) = x + x + x − x + x + x + x − 3x + Bài toán Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x8 + x + * Học sinh lớp giải: Ta có: x8 + x + = x8 + x + − x = ( x + 1) − x = ( x + 1) − ( x ) 2 = ( x + 1) + x  ( x + 1) − x     = ( x + x + 1) ( x − x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( x − x + 1) * Hoïc sinh lớp giải: Ta có: x8 + x + = x + x + − x = ( x + 1) − x = ( x + 1) − ( x ) 2 = ( x + 1) + x  ( x + 1) − x     = ( x + x + 1) ( x − x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( x − x + 1) ( )( )( )( )( )( ) = x + x + x − x + x + 3x + x − x + x + x + x − x + NHẬN XÉT: Bài toán dạng có m = 2n m, n số chẵn nên thêm bớt n x để đưa đa thức dạng đẳng thức hiệu hai bình phương Nếu toán có m = 2n ( số chẵn ) n số lẻ ta phải ? Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x10 + x5 + (Đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1981) Đối với ta sử dụng cách để giải giải mũ n phân số phức tạp chẳng hạn:  5 x + x + = x + x + − x = ( x + 1) −  x ÷   10 10 5 NHỮNG BÀI TOÁN DẠNG KHÁC: ( m ≠ 2n ) Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x5 + x + Bài giải: Ta coù: x5 + x + = x5 + x + x3 − x3 + ( thêm bớt x3 ) = ( x + x + x3 ) − ( x − 1) = x3 ( x + x + 1) − ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + x + 1)  x − ( x − 1)    = ( x + x + 1) ( x − x + 1) Bài toán Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x + Bài giải: Ta có: x5 + x + = x5 + x − x + x + ( Thêm bớt x2 ) = ( x − x ) + ( x + x + 1) = x ( x3 − 1) + ( x + x + 1) = x ( x − 1) ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1)  x ( x − 1) + 1 = ( x + x + 1) ( x − x + 1)   Bài toán Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x8 + x + Bài giải: Ta có: x8 + x + = x8 + x + x − x + x − x + ( Thêm bớt x2, x ) = ( x8 − x ) + ( x − x ) + ( x + x + 1) = x ( x − 1) + x ( x − 1) + ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x ) + ( x + x + 1) = ( x ) − 1 ( x + x ) + ( x + x + 1)     = ( x − 1) ( x + x + 1) ( x + x ) + ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( x + x ) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − 1) ( x − x + 1) ( x + x ) + 1   = ( x + x + 1) ( x − x + x3 − x + 1) Baøi toán 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x + Bài giải: Ta có: x5 − x − = x − x − + x − x + x − x ( Thêm bớt x2,x ) = x5 + x − x − x − x + x − = ( x + x ) − ( x + x ) − ( x − x + 1) = x ( x + 1) − x ( x + 1) − ( x − x + 1) = ( x + 1) ( x − x ) − ( x − x + 1) = ( x + 1) ( x − x + 1) ( x − x ) − ( x − x + 1) = ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x ) − 1   = ( x − x + 1) ( x − x − 1) NHẬN XÉT: Qua toán ta thấy việc thêm bớt hạng tử tuỳ thuộc vào toán thiếu trung CÁCH GIẢI ĐỀ NGHỊ: Cách giải chung cho dạng thêm bớt hạng tử chứa số mũ chưa có đề Trong phần giải ý tổng số số hạng tử sau thêm bớt phải bội Chẳng hạn ta giải lại toán theo cách đề nghị: Bài toán Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + x + Nhận xét: Khi thêm bớt hạng tử theo cách đề nghị ta có: x + x + = x + x3 − x3 + x + x − x + Chỉ có hạng tử để giải ta phải thêm bớt hạng tử x2 lần cụ thể là: Bài giải: x + x + = x + x3 − x3 + x + x − x + x − x + = ( x + x3 + x ) − ( x + x + x ) + ( x + x + 1) = x ( x + x + 1) − x ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( )( )( ) = x + x + x − x + x + x + x − 3x + Bài toán Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x8 + x + Bài giải: x8 + x + = x8 + x − x + x − x + x − x + x + x − x + x − x + x − x + = ( x8 + x + x ) − ( x + x + x ) + ( x + x + x ) − ( x + x + x ) + ( x + x + 1) = x ( x + x + 1) − x5 ( x + x + 1) + x ( x + x + 1) − x ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + x − x + 1) Biểu thức sau tiếp tục thêm bớt hạng tử x4, x2 giải tiếp cuối kết quaû: = ( x + x + 1) ( x + x + 1) ( x − x + 1) Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x5 + x + Bài giải: Ta có: x5 + x + = x + x + x3 − x3 + x − x + x − x + = ( x + x + x ) − ( x3 + x + x ) + ( x + x + 1) = x ( x + x + 1) − x ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) Bài toán 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x5 + x + Bài giải: Ta có: x + x + = x5 + x − x + x3 − x + x − x + x + = ( x + x + x3 ) − ( x + x + x ) + ( x + x + 1) = x ( x + x + 1) − x ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) Bài toán Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x8 + x + Bài giải: Ta có: x8 + x + = x8 + x + x − x + x − x + x − x + x − x + x − x + x − x + = ( x8 + x + x ) − ( x + x5 + x ) + ( x + x + x ) − ( x + x + x ) + ( x + x + 1) = x ( x + x + 1) − x ( x + x + 1) + x ( x + x + 1) − x ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + x − x + 1) Đa thức ( x − x + x − x + 1) không phân tích Bài toán 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x + Bài giải: Ta coù: x5 − x − = x − x + x − x3 + x − x + x − x − = ( x − x + x ) − ( x − x + x ) − ( x − x + 1) = x3 ( x − x + 1) − x ( x − x + 1) − ( x − x + 1) = ( x − x + 1) ( x − x − 1) TỔNG QUÁT VÀ MỞ RỘNG: Bài toán: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x10 + x5 + Bài giải: x10 + x5 + = x10 + x9 − x + x8 − x8 + x − x + x − x + x5 + x − x + x − x + x − x3 + x − x + x − x + = ( x10 + x9 + x8 ) + ( x + x + x ) + ( x5 + x + x ) + ( x + x + 1) − ( x + x + x ) − ( x + x + x ) − ( = x8 ( x + x + 1) + x5 ( x + x + 1) + x3 ( x + x + 1) + ( x + x + 1) − x ( x + x + 1) − x ( x + x + 1) − = ( x + x + 1) ( x8 + x + x3 + − x − x − x ) = ( x + x + 1) ( x8 − x + x − x + x − x + 1) Để giải toán ta phải thêm bớt x để có tổng số hạng tử 21 bội phân tích Với toán toán cho thực cách giải với toán phân tích đa thức thành nhân tử dạng x m ± x n ± Tuy nhiên dạng x m + x n + ta thấy khả thi dạng khác : x m − x n − hoaëc x m = x m − x n + hoaëc x m + x n − tuỳ thuộc vào đề phân tích nghóa đề cho toán giải Sau số toán phân tích được: a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x − Ta có: x5 + x − = x5 + x − x + x3 − x3 + x − x + x − = ( x + x − x ) − ( x + x − x ) + ( x + x − 1) = x ( x + x − 1) − x ( x + x − 1) + ( x + x − 1) = ( x + x − 1) ( x − x + 1) b Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x8 − x + Ta có: x8 − x + = x8 − x + x − x + x − x + x − x + x − x3 + x − x + x − x + = ( x8 − x + x ) − ( x − x5 + x ) − ( x5 − x + x3 ) + ( x3 − x + x ) + ( x − x + 1) = x ( x − x + 1) − x ( x − x + 1) − x ( x − x + 1) + x ( x − x + 1) + ( x − x + 1) = ( x − x + 1) ( x − x − x3 + x + 1) c Phaân tích đa thức sau thành nhân tử: x8 − x + Ta coù: x8 − x + = x8 + x − x + x − x + x − x + x − x + x − x + x − x − x + = ( x8 − x + x ) + ( x − x + x ) − ( x − x + x ) − ( x − x + x ) + ( x − x + 1) = x ( x − x + 1) + x ( x − x + 1) − x ( x − x + 1) − x ( x − x + 1) + ( x − x + 1) = ( x − x + 1) ( x + x − x − x + 1) d Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x10 − x + x10 − x5 + = x10 + x9 − x + x8 − x8 + x − x + x − x − x + x5 − x + x − x + x − x + x − x + x − x + = ( x10 − x + x8 ) + ( x − x8 + x ) − ( x − x + x ) + ( x − x + x ) − ( x − x + x ) + ( x − x + x ) + ( x = x8 ( x − x + 1) + x ( x − x + 1) − x5 ( x − x + 1) + x ( x − x + 1) − x ( x − x + 1) + x ( x − x + 1) + ( x = ( x − x + 1) ( x + x − x + x − x3 + x + 1) Sau toán không phân tích được: a / x5 + x − e / x8 − x − b / x5 − x + f / x8 + x − c / x5 − x4 − g / x10 − x − d / x5 x + Các toán Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: 2/ ( x − ) + 36 1/ (1 + x ) − x(1 − x ) / x4 + 4/ x + 64 / 64x + 6/ 81x + 7/ 4x + 81 8/ 64x + y / x4 + y 10/ x + x + Bài 2: Phân tích đâ thức sau thành nhân tử: 1/ x + x + 2/ x + x + 3/ x5 + x + 4/ x5 + x + / x8 + x + 6/ x − x − 7/ x + x − 8/ x10 + x5 + III PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng các phương pháp Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : (y − 12)(y + 12) + 128 = y2 − 16 = (y + 4)(y − 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + Lời giải Cách Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dưới dạng : é ỉ ỉ 1ư ổ 1ử ự A = x ỗx + 6x + - + ÷ x ờx + ữ 6ỗx - ữ ỳ = ỗ + + ữ ữ ỗ ữ ỗ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ç ê è è x x ø x ø è xø ú ë û Đặt x - 1 = y thì x + = y + Do đó : x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 ộ ổ 1ử ự xỗ + = ỗx - ÷ 3x ú = (x2 + 3x − 1)2 ữ ữ ờỗ ỳ ố xứ ỷ Dang phõn tích này cũng đúng với x = Cách A = x4 + 6x3 − 2x2 + 9x2 − 6x + = x4 + (6x3 −2x2) + (9x2 − 6x + 1) = x4 + 2x2(3x − 1) + (3x − 1)2 = (x2 + 3x − 1)2 Các toán Bài 1:Phân tích đâ thức sau thành nhân tử 1/ x( x + 4)( x + 6)( x + 10) + 128 2/ (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 3/ ( x + x + 8) + x( x + x + 8) + x 4/ ( x + x) + x + x − 12 / x + xy + y + x + y − 15 6/ (x + a)( x + a)( x + 3a )( x + 4a ) + a / x − 11x + 8/ ( x + x) + 3( x + x) + / x − xy + y + x − y − 10 10/ ( x + x) + x + 18 x + 20 11/ x − xy + y − x + y − 35 12/ (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 16 IV PHƯƠNG PHÁP HỆ SỚ BẤT ĐỊNH Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 − 6x3 + 12x2 − 14x − Lời giải Thử với x= ±1; ±3 không nghiệm đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên không có nghiệm hữu tỷ Như vậy đa thức phân tích thành nhân tử thì phải cú dạng (x + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x + (ad+bc)x + bd = x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + Đờng nhất các hệ sớ ta được : ì a + c =- ï ï ï ï ac + b + d = 12 ï í ï ad + bc = - 14 ï ï ï bd = ï ỵ Xét bd= với b, d ∈ Z, b ∈ {± 1, ± 3} Với b = thì d = 1, hệ điều kiện trở thành ì a + c =- ï ï ï ⇒ 2c = −14 − (−6) = −8 Do đó c = −4, a = −2 í ac = ï ï a + 3c = - 14 ï ï î Vậy x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + = (x2 − 2x + 3)(x2 − 4x + 1) Các toán Bi 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) A = x − x3 + 12 x − 14 x + b) B = x + x + x + x + c)C = 3x + 22 xy + 11x + 37 y + y + 10 d ) D = x − x + 14 x − x + e) E = x − 8x + 63 V PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y) Lời giải Thay x y P = y 2(y – z) + y2( z – y) = Như P chứa thừa số (x – y) Ta thấy thay x y, thay y z, thay z x p khơng đổi (đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x – y) chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số P có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Các toán Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/ M = a(b + c − a)2 + b(c + a − b)2 + c(a + b − c)2 + (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) b/ N = a (m − a ) + b(m − b) + c (m − c) − abc , với 2m = a+ b + c c ) A = (a + b + c )(ab + bc + ca ) − abc d ) B = a (a + 2b)3 − b(2a + b)3 e)C = ab(a + b) − bc(b + c ) + ac(a − c ) f ) D = (a + b)(a − b ) + (b + c)(b − c ) + (c + a )(c − a ) g ) E = a (c − b ) + b3 (a − c ) + c (b − a ) + abc (abc − 1) h) f = a (b − c)3 + b(c − a)3 + c (a − b)3 k )G = a 2b (a − b) + b c (b − c ) + a c (c − a ) m) H = a (b − c) + b (c − a ) + c (a − b) VI PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3 − 3abc Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 − 3abc b) (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 Lời giải a) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b)3 − 3a2b − 3ab2 + c3 − 3abc = [(a + b)3 + c3] − 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 − (a + b)c + c2] − 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc −ca) b) Đặt x − y = a, y − z = b, z − x = c thì a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 − 3abc = ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc Vậy (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 3(x − y)(y − z)(z − x) Đưa về đa thức : (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 b) 8(x + y + z)3 − (x + y)3 − (y + z)3 − (z + x)3 Lời giải a) (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = [(a + b) + c]3 − a3 − b3 − c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) − a3 − b3 − c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) − (a + b)(a2 − ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) − (a2 − ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 Theo kết quả câu a) ta có : (a + b + c) − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z) − (x + y)3 − (y + z)3 − (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) BÀI TẬP LÀM THÊM Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ; b) (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc ; c) c(a + 2b)3 − b(2a + b)3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) xy(x + y) − yz(y + z) + xz(x − z) ; b) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ; c) (x + y)(x2 − y2) + (y + z)(y2 − z2) + (z + x)(z2 − x2) ; d) x3(y − z) + y3(z − x) + z3(x − y) ; e) x3(z − y2) + y3(x − z2) + z3(y − z2) + xyz(xyz − 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) a(b + c)2(b − c) + b(c + a)2(c − a) + c(a + b)2(a − b) b) a(b − c)3 + b(c − a)3 + c(a − b)2 ; c) a2b2(a − b) + b2c2(b − c) + c2a2(c − a) ; d) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) − 2abc − a3 − b3 − c3 ; e) a4(b − c) + b4(c − a) + c4(a − b) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 − (a + b − c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3 ; b) abc − (ab + bc + ca) + a + b + c − Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài đến bài 16) : a) 6x2 – 11x + ; d) 49x2 + 28x – ; a) x3 – 2x + ; b) 2x2 + 3x – 27 ; c) x2 – 10x + 24 ; e) 2x2 – 5xy – 3y2 b) x3 + 7x – ; c) x3 – 5x + 8x – ; d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; g) x3 – x2 + x – ; h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – (giải nhiều cách) a) 27x3 + 27x +18x + ; b) 2x3 + x2 +5x + ;c) (x2 – 3)2 + 16 a) (x2 + x)2 − 2(x2 + x) − 15 ; b) x2 + 2xy + y2 − x − y − 12 ; c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) − 12 ; a) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 ; b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 ; c) 2(x4 + y4 + z4) − (x2 + y2 + z2)2 − 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4 10 (a + b + c)3 − 4(a3 + b3 + c3) − 12abc bằng cách đổi biến : đặt a + b = m và a − b = n 11 a) 4x4 − 32x2 + ; b) x6 + 27 ; c) 3(x4 + x+2+ + 1) − (x2 + x + 1)2 ; 12 a) 4x4 + ; 13 a) x5 + x4 + ; d) (2x2 − 4)2 + b) 4x4 + y4 ; b) x5 + x + ; c) x4 + 324 d) x5 − x4 − ; c) x8 + x7 + ; e) x7 + x5 + ; 14 a) a6 + a4 + a2b2 + b4 − b6 ; g) x8 + x4 + b) x3 + 3xy + y3 − 15 Dùng phương pháp hệ số bất định : a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + ; b) x4 − 7x3 + 14x2 − 7x + ; c) x4 − 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2 16 a) x8 + 14x4 + ; b) x8 + 98x4 + 17 Dùng phương pháp xét giá trị riêng : M = a(b + c − a)2 + b(c + a − b)2 + c(a + b − c)2 + (a + b − c)(b + c − a) (c + a − b) 18 Chứng minh rằng ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu : a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) 19 Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c 20 Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì a = b = c = d 21 Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì : (am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2 22 Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = Chứng minh rằng ab + cd = 23 Chứng minh rằng nếu x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 2xyz = thì : x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 24 Tính các tổng sau : a) S1 = + + + … + n ; b) S2 = 12 + 22 + 32 + … + n2 Trong chuyên đề có sưu tập tài liệu môt số đồng nghiệp ... tích đa thức thành nhân tử dạng x m ± x n ± Tuy nhiên dạng x m + x n + ta thấy khả thi dạng khác : x m − x n − hoaëc x m = x m − x n + hoaëc x m + x n − tu? ?? thuộc vào đề phân tích nghóa đề cho toán... 1)(x − 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 − x4 – x2 − x + 1) Lưu ý : Các đa thức da? ?ng x3m + + x3n + + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + đều chứa nhân tử là x2 + x + *Phân tích đa thức... ( x − x ) − 1   = ( x − x + 1) ( x − x − 1) NHẬN XÉT: Qua toán ta thấy việc thêm bớt hạng tử tu? ?? thuộc vào toán thiếu trung CÁCH GIẢI ĐỀ NGHỊ: Cách giải chung cho dạng thêm bớt hạng tử chứa