ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÕN ĐỖ THANH HÙNG TẠ NGUYỄN THANH THỦY XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THEO CÁC CẤP ĐỘ NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH: SƢ PHẠM TỐN TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN: TS PHẠM SỸ NAM NGƢỜI PHẢN BIỆN: TS NGUYỄN ÁI QUỐC TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Chúng tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu chúng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả khóa luận Đỗ Thanh Hùng Tạ Nguyễn Thanh Thủy LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, chúng tơi cố gắng nỗ lực Để hồn thành tốt khóa luận này, chúng tơi nhận đƣợc động viên, giúp đỡ tận tình Q thầy, cơ, gia đình bạn bè Nhân đây, chúng tơi xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, khoa Tốn - Ứng dụng trƣờng Đại học Sài Gịn tận tình giảng dạy suốt bốn năm học để chúng tơi có đƣợc tảng tri thức nhƣ kinh nghiệm sống quý báu làm hành trang cho sau Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn TS Phạm Sỹ Nam Thầy ngƣời giảng dạy kiến thức tảng, tận tình giúp chúng tơi hồn thành khóa luận cách tốt Tiếp xúc với thầy, học hỏi đƣợc cách thức làm việc khoa học, nhiệt tình, tính cẩn thận nghiên cứu học bổ ích sống Chúng tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè ln quan tâm động viên, khích lệ tinh thần chúng tơi suốt thời gian thực khóa luận Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô hội đồng chấm khóa luận dành thời gian quý báu để xem xét góp ý cho điểm cịn thiếu sót giúp chúng tơi rút đƣợc kinh nghiệm cho khóa luận nhƣ trình nghiên cứu sau Rất mong nhận đƣợc bảo tận tình Quý thầy, nhƣ góp ý chân thành bạn Xin chân thành cảm ơn Tác giả khóa luận Đỗ Thanh Hùng Tạ Nguyễn Thanh Thủy MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Các hình thức đánh giá dạy học Các cấp độ nhận thức .12 Vai trò tập dạy học .15 Thực trạng việc dạy học giải phƣơng trình vơ tỉ trƣờng THPT 16 Chƣơng II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THEO CÁC CẤP ĐỘ NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT Phƣơng pháp nâng lũy thừa .19 Phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp .36 Phƣơng pháp hàm số 57 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 91 Phƣơng pháp đánh giá 120 Phƣơng pháp lƣợng giác hóa 140 Một số ứng dụng phƣơng trình vơ tỉ 152 KẾT LUẬN 165 TÀI LIỆU THAM KHẢO 166 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT  : Với  : Tƣơng đƣơng  : Thuộc  : Suy  : Vô  ,  : Khoảng  ,  : Nửa khoảng  ,  : Đoạn ĐS: Đáp số HS: Học sinh PTVT: Phƣơng trình vơ tỉ THPT: Trung học phổ thông PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phƣơng trình vơ tỉ (PTVT) kiến thức trọng tâm chƣơng trình tốn học bậc phổ thơng Đồng thời, phƣơng trình vơ tỉ dạng tốn thƣờng gặp kì thi học sinh giỏi nhƣ kì thi tuyển sinh vào trƣờng THPT chuyên kì thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng Bên cạnh đó, PTVT ln “nỗi sợ hãi” em học sinh tập PTVT rắc rối phức tạp; việc giải tập địi hỏi HS cần phải có nhạy bén phân tích đề, hiểu nắm vững phƣơng pháp giải PTVT, từ vận dụng xác vào tập; đồng thời đòi hỏi HS phải khéo léo linh hoạt biến đổi phƣơng trình tƣơng đƣơng, tránh mắc sai lầm giải Muốn khắc phục “nỗi sợ hãi” trên, ngƣời học cần phải đƣợc tiếp cận kiến thức cách bản, cặn kẽ, từ dễ đến khó, từ lý thuyết đến thực tiễn phải có chủ động tƣ tốn học để phân loại, nhận dạng giải đƣợc tập PTVT; từ nâng cao lực giải tốn bậc THPT nói chung PTVT nói riêng Hiện nay, Bộ Giáo dục có chủ trƣơng tổ chức kì thi THPT Quốc gia theo hình thức trắc nghiệm với bốn cấp độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao việc xây dựng hệ thống theo cấp độ điều cần thiết Việc phân loại theo cấp độ nhằm giúp HS dễ đánh giá việc học tập giáo viên có đƣợc nguồn tƣ liệu phục vụ giảng dạy đƣợc thuận tiện hơn, phù hợp với lực HS Chính lí trên, chọn đề tài là: "Xây dựng hệ thống tập phương trình vơ tỉ theo cấp độ nhận thức cho học sinh THPT" Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu khóa luận xây dựng hệ thống tập phƣơng trình vơ tỉ, có phân loại dạng tập cho phù hợp với cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển lực học Toán nâng cao chất lƣợng dạy học Toán trƣờng THPT Đối tƣợng khách thể nghiên cứu 3.1 Khách thể nghiên cứu Học sinh bậc trung học phổ thơng 3.2 Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng trình vơ tỉ Phƣơng pháp nghiên cứu 4.1 Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết Thu thập thông tin từ tài liệu, sách tham khảo có kiến thức liên quan đến “Phƣơng trình vơ tỉ”, sau tổng hợp phân loại cách hợp lý 4.2 Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia Trao đổi tham khảo ý kiến từ giáo viên hƣớng dẫn thầy cô trƣờng THPT để tìm hiểu thu thập kiến thức liên quan đến đề tài nghiên cứu 4.3 Phƣơng pháp điều tra Khảo sát việc dạy học phƣơng trình vơ tỉ trƣờng THPT nhằm tìm hiểu thực trạng việc dạy học PTVT, phát nguyên nhân hạn chế từ đƣa đƣợc giải pháp thích hợp 4.4 Phƣơng pháp quan sát khoa học Sử dụng phƣơng pháp quan sát tiếp cận nhằm phát phân tích tâm lý HS việc học giải tập phƣơng trình vơ tỉ Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nội dung liên quan đến “Phƣơng trình vô tỉ”, đƣợc thực nghiệm trƣờng THPT Trần Khai Nguyên THPT Nguyễn Trãi từ ngày 13/02/2017 đến ngày 08/4/2017 Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận đƣợc trình bày hai chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lí luận thực tiễn Chƣơng 2: Xây dựng hệ thống tập phƣơng trình vơ tỉ theo cấp độ nhận thức cho học sinh THPT Chƣơng I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Các hình thức đánh giá dạy học 1.1 Xu hƣớng kiểm tra, đánh giá quốc gia giới Xu hƣớng kiểm tra, đánh giá quốc gia giới trọng đánh giá lực ngƣời học, coi trọng đánh giá trình kết hợp đánh giá định kì, tổng kết, sử dụng nhiều công cụ để đánh giá: đánh giá qua sản phẩm, qua dự án, qua hồ sơ học tập, qua câu hỏi (Tự luận Trắc nghiệm) sử dụng thi viết Đối với thi viết, vào mục đích/ mục tiêu kì đánh giá: đánh giá diện rộng (cấp quốc gia, cấp quốc tế), đánh giá diện hẹp (trong phạm vi lớp học) để lựa chọn sử dụng hình thức, cơng cụ đánh giá cho phù hợp, hiệu Nhiều quốc gia nhƣ Mĩ, Nhật… sử dụng hình thức thi Trắc nghiệm kì thi đánh giá diện rộng cho kết xác, khách quan 1.2 Đặc điểm hình thức thi trắc nghiệm, tự luận 1.2.1 Các dạng câu hỏi Trắc nghiệm Hiện nay, đánh giá trắc nghiệm khách quan phƣơng pháp đại đƣợc nghiên cứu giới khoảng năm 60 kỉ XX, vận dụng Việt Nam cuối kỉ XX bên cạnh phƣơng pháp đánh giá truyền thống Trong dạy học Tốn có nhiều loại câu hỏi, tập trắc nghiệm khách quan: - Dạng câu hỏi lựa chọn nhiều khả (dạng – sai, dạng phổ biến lựa chọn) Ví dụ: Cho phƣơng trình x   x  Điều kiện để phƣơng trình cho có nghĩa là: A x   B x   C x   D x   Ví dụ: Điền dấu X thích hợp vào trống: Cho phƣơng trình 2x 1  x  (1) 10 Câu Đúng Sai Điều kiện để phƣơng trình (1) có nghĩa x  Phƣơng trình (1) có tập nghiệm S  5 - Dạng câu hỏi điền khuyết Ví dụ: Hồn thành câu Cho phƣơng trình x    x  x  Giải phƣơng trình cho phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp, ta nhân hai vế phƣơng trình cho với… - Dạng câu hỏi lại thứ tự Ví dụ: Sắp xếp thứ tự câu sau để có đƣợc lời giải hồn chỉnh tốn A x 3  5 x  x5  B   x   x   x5  x  11x  28   C   D  x  5 x   x   (5  x)  E   F Vậy x  nghiệm phƣơng trình cho - Dạng câu hỏi ghép đơi Ví dụ: Ghép ý cột với ý cột để đƣợc khẳng định đúng: 152 Bài 7.1 Một hình chóp tam giác S.ABC có đƣờng cao a Một hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có diện tích xung quanh S xq  2 a Tính bán kính hình nón Giải: Kẻ SO  ( ABC ) O tâm đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi R bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: SA  R2  a Theo giả thiết: Sxq  2 a2 2 a2 2 a2   R.SA    R R  a2  3  3R R2  a2  2a2  9R4  9a2 R2  4a4   a2 R  a 3  R  4a  R   (vô nghiệm) Vậy bán kính hình nón a 3 Bài 7.2 Tam giác ABC vng A có BC = cm.Cho tam giác quay quanh AB AC, ta đƣợc hình nón trịn xoay có diện tích xung quanhlà S1 S2 cho S1  Tính AB AC S2 Giải: Gọi x (cm) độ dài cạnh AB (Điều kiện:  x  ) Tam giác ABC vuông A, theo định lý Py - ta – go, ta có: AC  52  x2  25  x Khi tam giác quay quanh AB, ta có: 153 S1   AC.BC  5 25  x Khi tam giác quay quanh AC, ta có: S1   AB.BC  5 x S1 5 25  x    S2 5 x Ta có:  25  x2  x  9(25  x2 )  16 x  x  3 (loaïi)  225  x  16 x  25x  225  x     x  (nhaän)  AC  25   Vậy AB = cm; AC = cm Bài 7.3 Cho tam giác ABC vng A có AB = cm Cho tam giác ABC quay quanh cạnh huyền BC, ta đƣợc vật trịn xoay tích V  1200 Tính AC 13 BC Giải: Kẻ AH  BC Khi quay quanh cạnh BC, tam giác ABC tạo thành hình nón chung đáy, tâm H, đƣờng cao lần lƣợt BH CH Gọi x (cm) độ dài cạnh AC ( x  ) Tam giác ABC vuông A, theo định lý Py - ta - go ta có: BC  52  x  25  x Tam giác ABC vng A có AH  BC , theo hệ thức lƣợng tam giác, ta có: AH BC  AB AC  AH  Theo giả thiết, ta có: AB AC 5x  BC 25  x 154 1200 13 1 1200   HA2 HB   HA2 HC  3 13 V 1200 1200   HA2 ( HB  HC )    HA2 BC  13 13 25 x   25  x x2 144 1200    13x2  144 25  x 2 13 13 25  x 25  x   169 x4  1442.(25  x2 )  169 x4 1442.x2 1442.25   3600  x  12 (nhaän) x  (vô nghiệm)    x  144   169   x  12 (loaïi)  x  144  AC  12 (cm)  BC  25  144  13 (cm) Vậy AC = 12 cm; BC = 13 cm 7.1.2 Ứng dụng vào Hình học phẳng Bài 7.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đƣờng thẳng  : x  y   ;  ' : 3x  y  10  điểm A(2;1) Viết phƣơng trình đƣờng trịn có tâm thuộc đƣờng thẳng  , qua điểm A tiếp xúc  ' Giải: Gọi I , R lần lƣợt tâm bán kính đƣờng trịn cần tìm Ta có: I    I (3t  8; t ) Vì đƣờng trịn tiếp xúc với  ' A nên: R  d(I,  ')  IA   13t  14 3(3t  8)  t  10 4 2  (3t  6)2  (t  1)   (3t   2)  (t  1) 13t  14  9(t  2)  (t  1)  13t  14  9(t  2)2  (t  1)  (13t  14)  25 9(t  2)  (t  1)  155  169t  364 t  196  25  9t  36 t  36  t  t  1  81t  486 t  729   t  3  I (1; 3) R  IA  32  42  Phƣơng trình đƣờng trịn cần tìm là: ( x  1)2  (y 3)2  25 Vậy phƣơng trình đƣờng trịn cần tìm ( x  1)2  (y 3)2  25 Bài 7.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng d : x  y   hai đƣờng trịn có phƣơng trình (C1): ( x  3)2  (y 4)2  ; (C2): ( x  5)2  (y 4)2  32 Viết phƣơng trình đƣờng trịn (C) có tâm I thuộc d tiếp xúc với (C1) (C2) Giải: Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lƣợt tâm bán kính đƣờng trịn (C), (C1) (C2) Theo giả thiết, ta có: I1 (3; 4); I (5;4); R1  2; R2  Vì I  d  I (a;a  1) (C) tiếp xúc với (C1) (C2) nên II1 = R+R1; II2 = R+R2  II1 - R1 = II2 - R2  (a  3)2  (a  3)2  2  (a  5)2  (a  5)2   (a  3)  (a  3)  (a  5)  (a  5)  2 (1)  (a  3)  (a  3)  (a  5)  (a  5)   ( a  5)  ( a  5)  2a  18  2a  58  (a  5)  (a  5)  40  4 (a  5)  (a  5)  ( a  5)  ( a  5)  10  (a  5)2  (a  5)2   100  2(2a  50)  100  4a  100  100  a  156 Thử lại: Thay a  vào phƣơng trình (1), thấy a  thỏa mãn phƣơng trình (1) nên nghiệm phƣơng trình Ta có: I (0; 1); R  II1  R1  Phƣơng trình đƣờng trịn cần tìm là: x  (y 1)2  Vậy phƣơng trình đƣờng trịn cần tìm x2  (y 1)2  Bài 7.6 Trong mặt phẳng Oxy, cho đƣờng tròn (C): x  y2  phƣơng trình: x2  y2  2(m  1) x  4my   (1) Biết phƣơng trình (1) phƣơng trình đƣờng trịn với m Gọi đƣờng trịn tƣơng ứng (Cm) Tính m để (Cm) tiếp xúc với (C) Giải: Gọi O, R lần lƣợt tâm bán kính đƣờng trịn (C) I, R’ lần lƣợt tâm bán kính đƣờng trịn (Cm) (Cm) có tâm I (m 1; 2 m) ; bán kính R'   m 1  4m  (C) có tâm O(0;0), R=1 Ta có: OI   m 1  4m2   m 1  4m   R ' Vì OI  R ' nên (C) (Cm) tiếp xúc  R ' R  OI (Vì R  R ' )   m 1  4m2      m 1  4m2   2   m 1  m 1  m 1  4m (1)  4m2     m 1  4m2  4m2     m 1  4m2    m  1  5m  2m     m   2 2 157 Thử lại: Thay m  1 m  3 vào phƣơng trình (1), ta thấy m  1 m  thỏa 5 mãn phƣơng trình nên nghiệm phƣơng trình (1) Vậy với m  1 m  (Cm) tiếp xúc với (C) 7.2 Ứng dụng phƣơng trình vơ tỉ thực tiễn Bài 7.7 Một đƣờng dây điện đƣợc nối từ nhà máy điện A đến đảo C Khoảng cách ngắn từ C đến B km Khoảng cách từ B đến A km Mỗi km dây điện đặt dƣới nƣớc 5000 USD, đặt dƣới đất 3000 USD Hỏi điểm S bờ cách A để tổng chi phí mắc dây điện từ A qua S đến C 16000 USD? Giải: Đặt BS = x (km) (  x  )  SA  AB  BS   x (km); CS  BC  BS  x  (km) Theo đề bài, km dây điện đặt dƣới nƣớc 5000 USD, đặt dƣới đất 3000 USD, nhƣ ta có phƣơng trình: 3000.SA 5000.CS  16000  3000.(4  x)  5000 x2   16000  3(4  x)  x2   16  x2   3x  4 4   x  x    3 25( x  1)  x  24 x  16 16 x  24 x     0  x  (Kết hợp với điều kiện 0