41 II QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC 1.1 Góc hai đường thẳng a 1.1.1 Định nghĩa Góc hai đường thẳng b khơng gian góc hai đường thẳng qua điểm lần a' O α lượt song song đường thẳng b' Gọi  góc hai đường thẳng, đó: 00    900 1.1.2 Các trường hợp đặc biệt Nếu hai đường thẳng song song trùng góc chúng 00 Nếu hai đường thẳng vng góc với góc chúng 900 1.1.3 Phương pháp tìm góc hai đường thẳng Phương pháp Lấy điểm O tùy ý qua vẽ đường thẳng song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng cho Tính góc góc tạo hai đường thẳng cắt O Nếu góc nhọn góc cần tìm, góc tù góc cần tính góc bù với góc tính 42 Phương pháp   Tìm u1 , u vectơ phương hai đường thẳng 1 2   tính u1.u   u1.u    Khi cos(   ,  )  cos(u1 , u )   u1 u 1.1.3 Xây dựng hệ thống tập góc hai đường thẳng 1.1.3.1 Mức độ nhận biết Câu Dựng hai đường thẳng d d ', góc  (như hình vẽ) Hãy xác định góc d d ' ')   A (d,d d d'  B (d, d ')  1800   α ')  900   C (d,d ')  1800   D (d,d Câu Dựng hai đường thẳng d d ' , góc  (như hình vẽ) Hãy xác định góc d d '  A (d, d ')  1800   ')  900   B (d,d ')   C (d,d  d ')  00 D (d, α d d' Câu Hai đường thẳng song song trùng góc chúng ? 43 A 900 B 600 C 450 D 00 Câu Gọi  góc hai đường thẳng Vậy  thõa mãn điều kiện sau ? A 00    900 B 00    1800 C 900    1800 D 1800    3600 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, mặt bên tam giác nhọn Xác định góc hai cặp đường thẳng SA SC, SA CD  SAB  A ASC,  SAB  B SAC,  SDC  C ASC,  SCD  D ASC, Hướng dẫn giải:   ASC  * Dễ thấy (SA,SC)    * Vì CD  AB  (SA, CD)  (SA, AB)  SAB 1.1.3.2 Mức độ thông hiểu Câu Cho tứ diện ABCD mặt tam giác nhọn, M; N trung điểm BC CD Xác định góc MN BD; AB MN  A 1800 ; ABD  B 00 ; ABM  C 1800 ; ABM  D 00 ; ABD Hướng dẫn giải: * MN đường trung bình tam giác BCD MN  BD  BD)  00 Vậy (MN;   (AB;BD)   ABD  * MN  BD  (AB;MN) Câu Cho hình chóp S.ABC có tất mặt tam giác nhọn Gọi M, N, 44 P trung điểm AB; SC; SB Xác định góc SA BC  A PMB  B SAB  C MPN  D PNC Hướng dẫn giải: S * MP đường trung bình tam giác SAB MP  SA N P * PN đường trung bình tam giác SBC PN  BC   (MP;PN)   MPN  Vậy (SA;BC) A C M B Câu Cho lập phương ABCD.A 'B'C'D' Xác đinh tính góc AD ' BC ' ; AD ' B'C' A 00 , 900 B 00 , 450 C 450 , 00 D 900 , 00 Hướng dẫn giải: * Theo tính chất hình lập phương tứ giác AD'C'B hình vng   00 Do đó: AD '  BC '  (AD';BC')    B'C'B  Do tứ giác B'C'CB * AD'  BC'  (AD ';B'C')  (BC';B'C')  hình vng Do B'C 'B  450 1.1.3.3 Mức độ vận dụng thấp Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC AD Góc AB CD ? Biết AB  CD  a MN  A 600 B 300 C 450 a D 900 45 Hướng dẫn giải: A Gọi I trung điểm AC, suy ra: IM  AB     (AB, CD)  (IM, IN) IN  CD  N a I  Gọi   MIN a D B    900   (IM, IN)   0 180     90 M C a a Xét IMN có IM  IM  , MN  2 Ta có: cos   IM  IN  MN 2.IM.IN a a a 3a   1  4 a a 2 2     1200 Do ta có: (AB, CD)  1800  1200  600 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D; cạnh AB  2a; DC  a; SA  AB; SA  AD; SA  2a Góc hai đường thẳng SB DC bằng: A 900 B 600 C 450 Hướng dẫn giải: D 300 S    * DC  AB  (SB, DC)  (SB, AB)  SBA   900  SBA   900 ) ( Do SBA A * Xét tam giác vuông SBA vuông A :  tan SBA SA   300   SBA AB  Vậy (SB, DC)  300 D B C 46 Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi I, J, K trung điểm AB, BC, AD Góc hai đường thẳng AB CD bằng: A 900 B 600 C 450 D 300 Hướng dẫn giải: A   KIJ  K 180   IJ  AB      (AB,CD)  (IJ, IK) IK  CD   Ta có: cos KIJ IJ  IK  JK 0 2IJ.IK   90   90 I B D    900 Do (AB, CD)  900  KIJ J Câu Cho tứ diện ABCD AB  AC, AB  BD C Gọi P, Q trung điểm AB CD Góc đường thẳng AB PQ bằng: A 600 B 300 C 450 D 900 Hướng dẫn giải:         Ta có: PQ  PA  AC  CQ PQ  PB  BD  DQ          Suy ra: 2PQ  AC  BD  2PQ.AB  AC.AB  BD.AB  Vậy PQ  AB nên góc chúng 900 1.1.3.4 Mức độ vận dụng cao Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SA  a, SB  a (SAB) vng góc với đáy, M trung điểm AB, N trung điểm BC Tính góc SM DN Hướng dẫn giải: S Gọi K trung điểm AD, I trung điểm AK A M B I K D N C 47 Theo đinh lý Pitago đảo: SA  AB2  3a  a  4a  SB2 Do SAB vng A Nên SA  AB  SA  (ABCD) Ta có: DNBK hình bình hành suy DN  KB Lại có IM  KB ( IM đường trung bình tam giác AKB)   cos (SM;IM)   cosSMI  Nên cos(SM;DN)       Ta có: (SM  IM)2  SM  IM  2.SM.IM  SI  SM  IM  2SM.IM   SM  IM  SI2 a2 5a  SM.IM  (1) Ta có: SI  IA  MA   a2  , 4 1 5a 2 2 2 IM  ( KB)  (KA  AB )  (a  4a )  SM  2a , 4 2 5a 5a 2 2a      a2 Thay SI2 , SM , IM vào (1) ta được: SM.SI  2    Mặt khác: SM.IM  SM.IM.cosSMI  a  2a 5a   cosSMI    10  SMI   arcos 10 cosSMI 5 Câu Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a BC  a S Tính góc hai đường thẳng AB SC Hướng dẫn giải: M N Gọi M, N, P trung điểm SA, SB, AC a 3a 5a Ta có NB  MP  , SP  , BP  4 Trong tam giác BPS: A B P C 48 SB2 3a 2 BP  SP  2NP   NP  2 Mà   1  NMP   1200   cos NMP NP  NM  MP  2MN.MP.cos NMP   (MP;MN)   (SC;AB)   600 Ta có MP  SC , MN  AB  (SC;AB) Câu Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' tính góc đường thẳng AC DA ' ; BD AC' Hướng dẫn giải: D Gọi cạnh hình lập phương x       *Đặt AB  a, AD  b, AA'  c      Ta có: AC  AB  AD  a  b      DA '  AA'  AD  c  b A          AC.DA ' (a  b).(c  b)  cos(AC;DA ')     AC.DA ' AC DA ' A' B D'       2    a.c  a.b  b.c  b  x 1   (AC;DA')  1200    2x x 2.x Vậy góc hai đường thẳng AC DA ' 600        *Ta có: BD  AD  AB, AC'  AB  AD  AA'             Nên: BD.AC'  (AD  AB).(AB  AD  AA')  (b  a).(a  b  c)   2   2      b.a  b  b.c  a  a.b  a.c   x   x    Vậy BD  AC' nên góc chúng 900 C C' B' 49 1.2 Chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.2.1 Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp 1:   900 Dùng định nghĩa a  b  (a;b) b  c  a  b Dùng định lí:  a  c    a  b  a.b  a; b vectơ phương a b Khi hai đường thẳng cắt ta dung kết luận có hình học phẳng : tính chất trung trực, định lí Pitago đảo… để chứng minh chúng vng góc Phương pháp 2: d d  ()    d  d' d'  ()  d' α d d  (d ',  )  d  d ' d' α Sử dụng định lí đường vng góc A AH  ()    d  AM d  MH  AH  ( )    d  MH d  AM  H d α M 50 1.2.2 Xây dựng hệ thống tập chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.2.2.1 Mức độ nhận biết Câu Dựa vào hình bên, nhận xét sau ? A d1  d ; d1  d d2 d1 B d1  d3 ; d1  d d3 C d1  d ; d1  d D d1  d3 ; d3  d d4 Câu Dựa vào hình bên, nhận xét sau ? A d1  d ; d1  d d4 B d1  d3 ; d1  d C d1  d ; d1  d d1 D d  d ; d1  d3 d3 d2 Câu Dựa vào hình bên, nhận xét sau sai ? A d1  d , d  d3 d1 B d1  d , d3  d d2 C d1  d3 , d  d D d1  d , d  d d4 d3 105 1 1 4h  3a      Trong tam giác AIS ta có AH2 AI2 AS2 2 3a h2 a  h     ah  AH  4h  3a ah Hay d  A,  SBC    4h2  3a 4.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song Phương pháp: Việc tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cần lưu ý việc chọn điểm đường mặt cho việc xác định khoảng cách đơn giản 4.3.1 Xây dựng hệ thống tập 4.3.1.1 Mức độ nhận biết Câu Dựng mặt phẳng đường α d1 β d2 thẳng hình vẽ Hãy chọn nhận xét đúng: d3 A d(();())  d B d(();())  d1 C d(();())  d D Không thể xác định Câu Dựng mặt phẳng đường α thẳng hình vẽ Hãy chọn nhận d3 xét đúng: d1 d2 β 106 A d((α);(β)) = d(d ;(β)) = d1 B d((α);(β)) = d(d ;(β)) = d C d((α);(β)) = d(d ;(β)) = d D d((α);(β)) = d(d1;(β)) = d 4.3.1.2 Mức độ thông hiểu Câu Cho hai mặt phẳng (  )  ( ) , đường thẳng d  (  ) , điểm A  d Gọi h1 khoảng cách từ (  ) tới (  ) , h khoảng cách từ d tới (  ) , h khoảng cách từ điểm A tới (  ) Nhận xét sau đúng: A h1  h  h B h1  h  h C h1  h  h D h1  h  h Hướng dẫn giải: Vì (  )  ( ) mà d  (  ) đó: d  (  ) , Ad dẫn tới h1  h  h Câu Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông, S A  (ABCD ) Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Gọi h1  d(S;(ABCD)) , h  d(MQ;(ABCD)) , h  d((MNPQ);(ABCD)) Nhận xét sau đúng? A h1 = 2h = 2h B h1  h  h C h = h = h D h1 = h = 2h 2 Hướng dẫn giải: S Vì S A  (ABCD ) đó: h1  SA Trong tam giác SAD kẻ Q H  A D M Q Dễ thấy M Q  (AB C D ) N P A D O B C 107  h  d(M;(ACBD))  MA  h1 Dễ thấy (M NPQ )  (ABCD ) Vậy h  d(MQ;(ABCD))  h Do : h1 = h = 2h 4.3.1.3 Mức độ vận dụng thấp Câu Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, S A  (ABCD ) , SA  a Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Tính khoảng cách từ MQ đến (ABCD) khoảng cách từ (MNPQ) đến (ABCD) Hướng dẫn giải: Dễ dàng chứng minh M Q  (AB C D ) Do : d (M Q ; (ABC D ))  d (M ; (ABCD ))  MA  S a Dễ dàng chứng minh M (M NPQ )  (ABCD ) Q N P A D Do đó: d((MNPQ);(ABCD)) O a  d(MQ;(ABCD))  B C 4.3.1.4 Mức độ vận dụng cao Câu Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' cạnh a Tính khoảng cách đường thẳng AA' mặt phẳng (B D D ' B ') , khoảng cách (A ' BD) (CB ' D ') D Hướng dẫn giải: *Gọi O tâm đáy ABCD C O A B I J D' C' O' A' B' 108 Gọi O' tâm đáy A 'B'C'D ' Vì ABCD.A 'B'C'D' hình lập phương nên ta có: A A'  (BD D ' B ')  (AA'; (BDD'B')) = d(A; (BDD'B')) = AO = AC a = 2 *Ta có hình chiếu AC' lên (ABCD) AC mà AC  BD nên AC'  BD , hình chiếu AC' lên (AA ' B ' B) AB' mà AB'  BA' nên AC'  BA' Do đó: AC '  (A ' BD) , tương tự AC '  (CB ' D ') nên (A'BD)  (CB 'D ') Hơn O O' tâm đáy nên AC' cắt mặt phẳng (A ' BD), (CB 'D ') tạiI, J AI  IJ  JC' Vậy d((ABD);(CB' D '))  IJ  AC ' a  3 4.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau: *Dựng đoạn vuông góc chung MN a b Khi d  a,b  MN Sau số cách dựng đoạn vng góc chung thường dùng : *Nếu a  b ta dựng đoạnvng góc chung a a b sau Dựng mặt phẳng   chứa b vng góc với a α H b O 109 Tìm giao điểm O  a    Dựng OH  b Đoạn OH đoạn vng góc chung a b Nếu a, b khơng vng góc với dựng đoạn vng góc chung a b theo hai cách sau: Cách A N a Dựng mặt phẳng   chứa b song song với a Dựng hình chiếu A' điểm A a   song song với a cắt b M, từ M dựng đường Trong   dựng đường t M A' a' α b thẳng song song với AA' cắt a N Đoạn MN đoạn vng góc chung a b Cách Dựng mặt phẳng   vng góc với a b A Tìm giao điểm O  a    B b' Dựng hình chiếu b ' b   O H α Trong   dựng OH  b ' H Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A Đoạn AB đoạn vng góc chung a b Xem khoảng cách hai đường thẳng a , b chéo a khoảng cách từ điểm A a đến mặt phẳng   chứa b     a M A Nb H α Sử dụng d  a, b   d     ,      d  A,     , A     Sử dụng phương pháp vec tơ β 110 MN đoạn vng góc chung AB CD    AM  xAB    CN  yCD      MN.AB      MN.CD  Nếu   có hai vec tơ khơng   phương u1,u2   OH  u1   OH  d  O,      OH  u H      M B N D A C O H α u1 u2   OH.u1     OH.u  H      4.4.1 Xây dựng hệ thống tập hai đường thẳng chéo 4.4.1.1 Mức độ nhận biết Câu Dựng đường thẳng hình vẽ Nhận xét sau đúng? A d( 1 ;  )  d d2 B d(1;  )  d C d( 1;  )  d1 D d( 1;  )  d1  d d1 Δ1 d3 Δ2 111 Câu Dựng đường thẳng hình vẽ Nhận xét sau đúng? Δ2 A d( 1 ;  )  d B d(1;  )  d d3 d1 d2 C d( 1;  )  d1 D d( 1;  )  d1  d Δ1 4.4.1.2 Mức độ thông hiểu Câu Cho biết khẳng định sau sai? Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b bằng: A Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), điểm M thuộc đường thẳng a mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b song song với a B Khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b song song với a điểm N thuộc mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b C Độ dài đoạn OI, đường thẳng OI vng góc với hai đường thẳng a b, O, I tương ứng thuộc hai đường thẳng chéo D Độ dài đoạn OI, O giao đường thẳng a với mặt phẳng (P) chứa b vng góc với đường thẳng a điểm I thuộc đường thẳng b Câu Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' có cạnh a Nhận xét sau đúng? A d(AB;D'C')  AD'  a B d(AB;D'C')  AD'  a C d(AB;D'C')  AD  a D d(AB;D'C')  AD  a 4.4.1.3 Mức độ vận dụng thấp 112 Câu Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA  OB  OC  a Gọi I trung điểm BC Hãy tính độ dài đoạn vng góc chung OA BC A Hướng dẫn giải : OA  OB  (OBC)   Ta có : OA  OC  (OBC)   OA  (OBC)  OB  OC  O   OI  BC (1) OA  (OBC)    OA  OI OI  (OBC)  C O I (2) B Từ (1), (2) : suy : OI đoạn vng góc chung OA BC Trong  OBC  OI  BC a  2 Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B'C'D' có AB  a, BC  b, CC '  c Tính khoảng cách từ AA' đến (B D D ' B ') Hướng dẫn giải : Ta có : AA'  BB '    AA '/ /(BDD ' B ') BB '  (BDD ' B ')  A' D' C' B' Do : d(AA ', (BDD ' B '))  d(A, (BDD 'B')) Trong mặt phẳng (A B C D ) kẻ AH  BD A D mà (BDD ' B ')  (ABCD ) suy : H B AH  (BDD ' B ') O C  d(A, (BDD ' B '))  AH Xét ABD  1 1 ab    AH    2 2 a b AH AB AD a  b2 Vậy d(AA ',(BDD 'B '))  ab a  b2 Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C ' có đáy ABC tam giác vuông cân, 113 AB  AC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách đường thẳng AM B’C Hướng dẫn giải: Ta có : AM  BC  (BB'C 'C) A' C' CC '  (ABC)  AM  AM  CC '  (BB'C 'C) B' Do đó: AM  (BB'C'C) Gọi H  hch B'C M Suy ra: MH  B'C H, H A AM  (BB'C 'C)  MH C M Suy MH  AM K Vậy MH đoạn B vng góc chung AM B’C Mà: BB 'C đồng dạng với HMC  HM MC  BB' B'C a 2 2 Do B'C  BB'  BC  2a  2a  2a  MH  a a  2a Vậy khoảng cách hai đường thẳng BM A’C a 4.4.1.4 Mức độ vận dụng cao Câu Cho khối lập phương ABCD.A 'B'C'D' có cạnh a, I trung điểm DD ' Tính khoảng cách CI A 'D Hướng dẫn giải : C' B' Đặt d = d(CI; A ' D) A' D' C I D B A 114 Ta có : VA 'CID  SCID A 'D ' 3 a 1  DI.DC.A ' D '  12 Xét B'CI ta có : CI  a , 2 3a  cos B'CI   CI  CB'  B'I C B '  a , B 'I  2CI.CB' 2 5a 9a 2  2a  10 10   10  sin B 'CI     100 10 10 a .a 2   (B'C;CI)   B'CI  Ta có : A'D  B'C  (A'D;CI) 1 a 10 a 2d  'CI  Do ta có : VA 'CID  CI.A 'D.d.sin B a 2.d  6 10 Ta suy : a 2d a a a   d   d(CI;A'D)  12 3 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB AD Kẻ SH   ABCD , SH  a Dựng đoạn vuông góc chung tính khoảng cách đường thẳng DM SC Hướng dẫn giải: Do SH  (ABCD)  MH  MD  SH  (SCN)   DCN  Mặt khác ABCD hình vng nên: AMD  DNC  ADM   HDC   900 , DCN   HDC   900 mà ADM S   900 , nên M D  C H   S C N  Suy ra: DHC N A D K H M B C 115 Do đó: MD  (SCN)  SC Gọi k  hch SC H K, MD  (SCN)  HK  HK  MD H Vậy HK đoạn vng góc chung đường thẳng DM SC.Trong SHC có: HK.SC  SH.HC CD2 SH.HC  HK  Trong DNC có: CD  CN.HC  HC  NC SC 4a a 19 2a 2 SC  SH  HC  3a     5 a a  a2 a 3.2a Do HK  2a 57  2a  2a 57 Vậy d  DM,SC   19 19 a 19 19 Câu Cho hình chóp S.ABC, có đáy tam giác vng cân B, BC  a, SA  (ABC), SA  2a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, CA a) Tính khoảng cách SB CA b) Tính khoảng cách MN BC S Hướng dẫn giải: Lấy điểm D cho ANBD hình bình hành M H Suy ra: AC  (SBD)  SB , đó: A N K d  SB,AC  d  AC, SBD   d  A,  SBD  D B Vì BAC vuông cân B  BN  AC  BD AD  BN  BD  BD  AD  (SAD) , SA  (ABC)  BD  BD  SA  (SAD) C 116 Suy ra: (SBD)  BD  (SAD)  (SBD)  (SAD) Gọi H  hchSD A  AH  SD  (SBD)  (SAD)  AH  (SBD) Do đó: d(AC,SB)  d(A,(SBD))  AH Trong SAD có: AH.SD  SA.AD  AH  SA.AD SD Mà AD  BN  a , SD  SA  AD  4a  a  3a 2 Vậy d  AC;SB  AH  b) 2a Gọi K trung điểm AB  NK  BC  MN  (MNK)  BC Nên d  MN;BC  = d  BC;  MNP   = d  B;  MNP   Mà: MK  SA  BA  BK  MK   MNK     BN   MNK  NK  BC  AB  BK  NK   MNK   Tức là: d  MN; BC   d  B;  MNK    BK  a   600 , Câu Cho hình hộp đứng ABCD.A 'B'C'D' có đáy hình thoi cạnh a, A góc đường chéo A 'C mặt đáy 600 a) Tính khoảng cách đường thẳng AC D'C ' b) Dựng đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng A 'C BB ' Tính khoảng cách đường thẳng Hướng dẫn giải: a) Vì AA '  (ABCD)  AC  hch (ABCD) A 'C nên: D' C' O'    (A 'C;(ABCD))  (A 'C;AC)  A 'CA  600 A' B' H K D C O A B 117 Ta thấy: AC  (ABCD), C 'D '  (A ' B'C 'D ') (ABCD)  (A 'B 'C 'D ') Suy ra: d  AC;C'D'  d   ABCD  ;  A 'B'C'D'   d  A';  ABCD   AA' Theo giả thiết, suy ABD cạnh a Nên AO  a   AC  a Suy AA'  AC.tan60  a 3  3a Vậy d  AC,C'D'  3a b) Dựng đoạn vng góc chung A’C BB’ Ta thấy: A'C  (AA'C'C)  BB' , BD  (AA 'C 'C) O, B'D  (AA 'C 'C) O’  OO'  hch (AA 'C 'C) BB' Gọi H  OO ' A 'C , dựng HK  OB, K, (K  BB')  HK  BB' Vậy đoạn vng góc chung A’C BB’ HK Mà HK  OB  a a  d  A ' C, BB '   2 Câu Cho hình chóp S.ABC, có đáy tam giác vng cân B, AB  2a , BC  2a, (SAB)  (ABC), (SAC)  (ABC) Gọi M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng ( ) qua SM song song với BC, cắt AN N Biết góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính khoảng cách đường thẳng AB SN Hướng dẫn giải: S Vì SA  (ABC), AB  BC  SB  BC,   60  đó:   SBC  ABC    SBA I J N A M B C 118 Vì    qua SM song song với BC, suy ra:     A C  N MN  BC đó: N trung điểm AC Dựng điểm J cho AMNJ hình bình hành Suy A B / /  S N J   S N nên d  AB,SN  d  AB,  SNJ    d  A,  SNJ   Ta thấy JA  MN  BC  AB  JA  AB  NJ Suy NJ  AJ, NJ  SA  NJ  (SAJ) Gọi I  hchSI A  AI  SJ Mà N J   S A J   A I  A I  N J  AI  SNJ  nên d  A,  SNJ    AI Trong SAJ   1   2 AI AJ AS 1 13 3a 2a 39 Do đó: AI     2 a 13 13  2a.tan 600  12a Vậy d  AB,SN   2a 39 13 Câu Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác vuông B AB  2a, BC  2a cạnh bên S A   A B C  SA  2a M trung điểm cạnh AC a) Tính khoảng cách đường thẳng AB SC b) Tính khoảng cách đường thẳng BC SM Hướng dẫn giải: a) Trong (ABC), dựng hình chữ nhật ABCD Ta có: AB  DM  (SCD)  AB  (SCD)  SC 119 Do đó: d  AB;SC  d  AB; SCD  S  d(A; (SCD)) CD  AD Mặt khác:   CD   SAD  K  CD  SA H N A B Mà C D   S C D    S C D    S A D  M Gọi H  hch SD A  AH  SD D C  (SAD)  (SCD)  AH  (SCD) Suy d(A,(SCD))  AH , tức d(AB,SC)  AH Do AD  BC  2a  SA  AH  a Vậy d  AB,SC  a b) Gọi N trung điểm A B  B BC / / M N   S M N   BC / /  S M N  Mà S M   SM N  nên d  BC,SM  d  BC,  SMN   d  B,  SMN  Do AB   SMN  N  d  B,  SMN   d  A,  SMN  (vì N trung điểm AB) Gọi K  hch SN A  AK  SN , mà M N   SA B   A K  M N , suy AK   SMN  d  A, SMN   AK Trong SAN , có: AK.SN  SA.AN Suy AK  Vậy d  BC,SM   2a SA.AN  SN 2a.a 4a  a  2a ...   d    d  d α P 2.1.4 Xây dựng hệ thống tập đường thẳng vng góc với mặt phẳng 2.1.4.1 Mức độ nhận biết Câu Cho bậc thang mặt phẳng, đường thẳng hình bên Nhận xét sau ? A d1  d ,d  (),d... ( )    d  MH d  AM  H d α M 50 1.2.2 Xây dựng hệ thống tập chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.2.2.1 Mức độ nhận biết Câu Dựa vào hình bên, nhận xét sau ? A d1  d ; d1  d d2 d1 B d1...  ,  )  cos(u1 , u )   u1 u 1.1.3 Xây dựng hệ thống tập góc hai đường thẳng 1.1.3.1 Mức độ nhận biết Câu Dựng hai đường thẳng d d ', góc  (như hình vẽ) Hãy xác định góc d d ' ')   A