Đại số tổ hợp 1. Cho đa thức P(x) = (1+x) 9 + (1+x) 10 + … + (1 + x) 14 có dạng khai triển là P (x) = a 0 + a 1 x + … + a 14 x 14 . Hãy tính hệ số a 9 (Thủy Lợi 2 – 2000) 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của 12 x 1 x       + 3. Tính hệ số của x 25 y 10 trong khai triển (x 3 + xy) 15 4. Tìm số nguyên dương n sao cho số hạng thứ 5 của khai triển 6 n4 n 1 4 4 22         + − − là 240 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhò thức Newton n 5 3 x x 1       + . Biết rằng )3n(7CC n 3n 1n 4n +=− + + + (n là số nguyên dương, x > 0 ) k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử (A-2003) 6. Tìm số thực x cho biết số hạng thứ tư trong khai triển 6 12 1xlg 1 xx           + + là 200 7. a/ Tính A = n n 2 n 1 n 0 n C .CCC ++++ b/ Tính B = 1n n n n 1P n P n 2 n 3 n 1 n 2 n 1 n C C n . C C P . C C 3 C C 2C −− ++++++ c/ Tính C = n n n4 n 3 n 2 n 1 n Cn)1( .C4C3C2C −++−+− 8. a/ CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n n2 2 n n 2 1 n 2 0 n CC .CC =+++ b/ CMR : nn n 2 n 1 n 0 n 2C .CCC =++++ c/ CMR : nn n n3 n 32 n 21 n 0 n 7C6 .C6C6C6C =+++++ d/ CMR : 1n2 n2 5 n2 3 n2 1 n2 n2 n2 4 n2 2 n2 0 n2 C .CCCC .CCC − ++++=++++ 9. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n 1n 2 n 3 1 n 2 0 n C 1n 12 .C 3 12 C 2 12 C + − ++ − + − + + (B-2003) 10. CMR : 1n 12 n1 C . k1 C . 21 C 11 C C 1n n n k n 2 n 1 n 0 n + − = + ++ + ++ + + + + + 11. Cho n là số nguyên dương, tính S = n n 2 n 1 n C 1n 1 .C 3 1 C 2 1 1 + ++++ 12. a/ Tính dx)x1(I 1 0 n2 n ∫ −= với n∈N b/ suy ra rằng : )1n2( .5.3 n2 .4.2 C 1n2 )1( .C 5 1 C 3 1 C n n n 2 n 1 n 0 n + = + − +++− 13. a/ Tính ∫ += 1 0 n n dx)x1(I b/ Tính tổng n n 2 n 1 n 0 n C 1n 1 .C 3 1 C 2 1 CS + ++++= 14. Giải pt : a/ 2 x2 2 x A50A2 =+ n∈N b/ x 2 7 CCC 3 x 2 x 1 x =++ c/ P 2 x 2 – P 3 x = 8 d/ Đònh x và y sao cho 2:5:6C:C:C 1y x 1y x y 1x = −+ + e/ Tìm x và y sao cho : ( ) 1:2:10C:A:yAA 1y x 1y x 1y 1x y 1x =+ −− − −− GaoshangKSANB 1 Đại số tổ hợp 15. Tìm k sao cho các số 2k 7 1k 7 k 7 C,C,C ++ theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng. 16. Số 3528 có bao nhiêu ước số. 17. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức 17 4 3 3 2 x x 1         + với x ≠ 0 (2000-B – BKHN) 18. Với n là số nguyên dương, gọi a 3n-3 là hệ số của x 3n-3 trong khai triển thành đa thức của ( ) ( ) n n 2 2x1x ++ . tìm m để a 3n-3 = 26n (2003-D) 19. Cho khai triển nhò thức :                 ++         =         + − − −− − − 3 x 1n 2 1x 1 n n 2 1x 0 n n 3 x 2 1x 22C .2C22 + … + n n x n n 2C         − (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 1 n 3 n C5C = và số hạng thứ tư bằng 20 n . Tính n và x (2002-A) 20. Cho đa giác đều A 1 A 2 … A n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (o). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 , A 2 , …,A n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1 , A 2 , A n . Tìm n. (2002-B) 21. Tìm số nguyên dương n sao cho 240C2 .C4C2C n n n2 n 1 n 0 n =++++ (2002-D) 22. Hỏi từ 10 chữ số 0, 1,…., 9 có thể thành lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1. (BCVT. 99) 23. Cho tập hợp A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a/ có bao nhiêu tập con X của A thõa điều kiện X chứa a và không chứa 2. b/ có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập hợp A và không bắt đầu bằng 123. (QG-TPA99) 24. 1/ Từ 12 học sinh ưu tú của 1 trường trung học, người ta muốn chọn ra 1 đoàn đại biểu có 5 người (gồm trưởng đoàn, thư ký và 3 thành viên) đi dự trại hè quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu nói trên (có giải thích). 2/ Xét dây số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ các số 0, 1, 2,…,9) thỏa tính chất sau. - Chữ số ở vò trí thứ 3 là 1 số chẵn. - Chữ số cuối cùng không chia hết cho 5. - Các chữ số ở những vò trí thứ 4, thứ 5, thứ 6 đôi một khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số như vậy (có giải thích). (QG-TP.A 3 /98) 25. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau. a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. (QG-TP 99A) 26. 1/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó có mặt chữ số 0, nhưng không có mặt chữ số 1. 2/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số (chữ số đầu tiên phải khác 0), biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần. Chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần. (QG-TP-2001A) 27. Tìm tất cả số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. (Vinh – 2000) GaoshangKSANB 2 Đại số tổ hợp 28. Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn. (Vinh – 2000) 29. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc, và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A,B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. 1/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại văn học và âm nhạc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng ? 2/ Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất 1 cuốn. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng. (QGTP.2000A) 30. Tính tổng S = 2000 2000 2 2000 1 2000 0 2000 C2001 .C3C2C ++++ (ĐHAN-2000) 31. 1/ Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẽ. 2/ Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó có đúng 3 chữ chữ số lẽ và 3 chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0). (ĐHQG.TPHCM 2000/A) 32. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. (KTQDHN A/2001) GaoshangKSANB 3 . Đại số tổ hợp 15. Tìm k sao cho các số 2k 7 1k 7 k 7 C,C,C ++ theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng. 16. Số 3528 có bao nhiêu ước số. 17. Tìm số hạng không. đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. (Vinh – 2000) GaoshangKSANB 2 Đại số tổ hợp 28. Có bao nhiêu số khác