Đang tải... (xem toàn văn)
DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File wordDÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File wordDÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File wordDÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File wordDÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File wordDÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File wordDÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File wordDÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File wordDÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File wordDÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File word
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng u1 = a , n∈ N * gọi cấp 1.1 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định u = u + d n n+1 số cộng; d gọi công sai 2.1 Các tính chất: • Số hạng thứ n cho công thức: un = u1 + (n − 1)d • Ba số hạng uk ,uk+1 ,uk+ ba số hạng liên tiếp cấp số cộng uk+1 = ( uk + uk+ ) • Tổng n số hạng Sn xác định công thức : n n Sn = u1 + u2 + + un = ( u1 + un ) = 2u1 + ( n − 1) d 2 Cấp số nhân u1 = a , n∈ N * gọi cấp 1.2 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định un+1 = un q q số cộng; gọi cơng bội 2.2 Các tính chất: • Số hạng thứ n cho công thức: un = u1qn−1 • Ba số hạng uk ,uk+1 ,uk+ ba số hạng liên tiếp cấp số cộng uk2+1 = uk.uk+ • Tổng n số hạng Sn xác định công thức : Sn = u1 + u2 + + un = u1 qn − q− Vấn đề Xác định cấp số xác yếu tố cấp số Phương pháp: • Dãy số (un ) cấp số cộng ⇔ un+1 − un = d không phụ thuộc vào n d cơng sai u • Dãy số (un ) cấp số nhân ⇔ n+1 = q không phụ thuộc vào n q un cơng bội • Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇔ a+ c = 2b • Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ⇔ ac = b2 • Để xác định cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu cơng sai Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua u1 d • Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu công bội Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết tốn qua u1 q Các ví dụ Ví dụ Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tổng bình phương chúng 120 A 1,5,6,8 B 2,4,6,8 C 1,4,6,9 D 1,4,7,8 Lời giải: Giả sử bốn số hạng a− 3x; a− x; a+ x; a+ 3x với công sai d = 2x Khi đó, ta có: ( a− 3x) + ( a− x) + ( a+ x) + ( a+ 3x) = 20 2 2 ( a− 3x) + ( a− x) + ( a+ x) + ( a+ 3x) = 120 4a = 20 a= ⇔ ⇔ 4a + 20x = 120 x = ±1 Vậy bốn số cần tìm 2,4,6,8 Chú ý: * Cách gọi số hạng cấp số cộng giúp ta giải toán gọn * Nếu số hạng cấp số cộng lẻ gọi cơng sai d = x , chẵn gọi cơng sai d = 2x viết số hạng cấp số dạng đối xứng a1 + a2 + + an = p * Nếu cấp số cộng (an ) thỏa: 2 2 thì: a1 + a2 + + an = s ( ) 12 ns2 − p2 n( n − 1) 1 a1 = p − d d = ± n n2 n2 − ( u2 − u3 + u5 = 10 Ví dụ Cho CSC (un ) thỏa : u4 + u6 = 26 Xác định công sai và; A d = B d = C d = công thức tổng quát cấp số A un = 3n − B un = 3n − C un = 3n − Tính S = u1 + u4 + u7 + + u2011 A S = 673015 B S = 6734134 Gọi d công sai CSC, ta có: C S = 673044 ) D d = D un = 3n − D S = 141 Lời giải: (u1 + d) − (u1 + 2d) + (u1 + 4d) = 10 u1 + 3d = 10 u1 = ⇔ ⇔ (u1 + 3d) + (u1 + 5d) = 26 u1 + 4d = 13 d = Ta có công sai d= số hạng tổng quát : un = u1 + (n − 1)d = 3n − Ta có số hạng u1 ,u4 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC gồm 670 số hạng với 670 công sai d' = 3d , nên ta có: S = ( 2u1 + 669d') = 673015 u5 + 3u3 − u2 = −21 Ví dụ Cho cấp số cộng (un ) thỏa: 3u7 − 2u4 = −34 Tính số hạng thứ 100 cấp số ; A u100 = −243 B u100 = −295 C u100 = −231 D u100 = −294 Tính tổng 15 số hạng đầu cấp số ; A S15 = −244 B S15 = −274 C S15 = −253 D S15 = −285 Tính S = u4 + u5 + + u30 A S = −1286 B S = −1276 D S = −1222 C S = −1242 Lời giải: u1 + 4d + 3(u1 + 2d) − (u1 + d) = −21 Từ giả thiết tốn, ta có: 3(u1 + 6d) − 2(u1 + 3d) = −34 u + 3d = −7 u = ⇔ ⇔ u1 + 12d = −34 d = −3 Số hạng thứ 100 cấp số: u100 = u1 + 99d = −295 Tổng 15 số hạng đầu: S15 = 15 2u + 14d = −285 2 27 2u + 26d 2 = 27( u1 + 16d) = −1242 Chú ý: Ta tính S theo cách sau: Ta có: S = u4 + u5 + + u30 = S = S30 − S3 = 15( 2u1 + 29d) − ( 2u + 2d) = −1242 u2 − u3 + u5 = 10 Ví dụ Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u4 + u6 = 26 Xác định công sai? A.d=3 B d=5 C d=6 D d=4 Tính tổng S = u5 + u7 +…+ u2011 A S = 3028123 B S = 3021233 D S = 3028332 C S = 3028057 Lời giải: u1 + d − (u1 + 2d) + u1 + 4d = 10 u1 + 3d = 10 ⇔ Ta có: u1 + 3d + u1 + 5d = 26 u1 + 4d = 13 ⇔ u1 = 1,d = 3; u5 = u1 + 4d = 1+ 12 = 13 Ta có u5 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC với cơng sai d = có 1003 số hạng nên 1003 S= ( 2u5 + 1002.6) = 3028057 Ví dụ Cho cấp số cộng (un ) có u1 = tổng 100 số hạng đầu 1 + + + 24850 Tính S = u49u50 u1u2 u2u3 A S = 246 B S = 23 C S = 123 D S = 49 246 Lời giải: d Gọi công sai cấp số cho 497 − 2u1 Ta có: S100 = 50( 2u1 + 99d) = 24850 ⇒ d = =5 99 5 ⇒ 5S = + + + u1u2 u2u3 u49u50 = = = ⇒S= u2 − u1 u3 − u2 u −u + + + 50 49 u1u2 u2u3 u49u50 1 1 1 1 − + − + + − + − u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 1 1 245 − = − = u1 u50 u1 u1 + 49d 246 49 246 Ví dụ Cho cấp số nhân (un) có số hạng khác khơng, tìm u1 biết: u1 + u2 + u3 + u4 = 15 2 2 u1 + u2 + u3 + u4 = 85 A u1 = 1,u1 = B u1 = 1,u1 = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11 82 u1 + u5 = 11 81 81 A u1 = ,u1 = B u1 = ,u1 = 11 11 12 12 C u1 = 1,u1 = C u1 = Lời giải: D u1 = 1,u1 = 81 81 ,u1 = D u1 = ,u1 = 13 13 11 11 q4 − = 15 u1 u1(1+ q+ q2 + q3 ) = 15 q− ⇔ Ta có: 2 u1 1+ q + q + q = 85 u2 q − = 85 q2 − q = q4 − 1 q2 − 1 45 (q4 − 1)(q+ 1) 45 ⇒ ⇔ = ⇔ ÷ ÷= q = (q− 1)(q4 + 1) 17 q− q − 1 17 Từ ta tìm u1 = 1,u1 = ( ) u1 1+ q+ q2 + q3 + q4 = 11 u q(1+ q+ q2 ) = 39 11 ⇔ Ta có: 82 u1(1+ q ) = u (1+ q4 ) = 82 11 11 ( ⇒ ) q4 + 82 = ⇔ q = 3,q = 3 q + q + q 39 u4 = Ví dụ Cho cấp số nhân (un ) thỏa: 27 u3 = 243u8 Viết năm số hạng đầu cấp số; 2 2 2 2 ,u5 = ,u5 = A u1 = 2,u2 = ,u3 = ; u4 = B u1 = 1,u2 = ,u3 = ;u4 = 27 81 27 81 2 2 2 2 ,u5 = ,u5 = C u1 = 2,u2 = ,u3 = ;u4 = D u1 = 2,u2 = ,u3 = ; u4 = 27 64 27 81 Tính tổng 10 số hạng đầu cấp số; 59048 59123148 1359048 A S10 = B S10 = C S10 = 12383 19683 3319683 Số số hạng thứ cấp số ? 6561 A.41 B.12 C.9 Lời giải: Gọi q công bội cấp số Theo giả thiết ta có: uq = u1q = q = 27 ⇔ ⇔ 27 u q2 = 243.u q7 q5 = u = 1 243 D S10 = D.3 59048 19683 Năm số hạng đầu cấp số là: u1 = 2,u2 = Tổng 10 số hạng đầu cấp số 2 2 ,u3 = ; u4 = ,u5 = 27 81 10 1 3÷ − 10 10 59048 q −1 S10 = u1 = = 31− ÷ = q− 19683 −1 2 ⇔ 3n−1 = 6561 = 38 ⇒ n = Ta có: un = n−1 ⇒ un = 6561 Vậy số hạng thứ cấp số 6561 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Dãy số (un ) có phải cấp số cộng khơng ? Nếu phải xác định số công sai ? Biết: un = 2n + A d= −2 B d= C d= D d= 2 un = −3n + A d= −2 B d= C d= −3 D d= un = n2 + A d= ∅ un = B d= C d= −3 D d= 1 C d = −3 D d = n A d = ∅ B d= Lời giải: Ta có: un+1 − un = 2(n + 1) + 3− (2n + 3) = số Suy dãy (un ) cấp số cộng với công sai d = Ta có: un+1 − un = −3(n + 1) + 1− (−3n + 1) = −3 số Suy dãy (un ) cấp số cộng với cơng sai d = −3 Ta có: un+1 − un = (n + 1)2 + 1− (n2 + 1) = 2n + phụ thuộc vào n Suy dãy (un ) cấp số cộng 2 −2 − = Ta có: un+1 − un = phụ thuộc vào n n + n n(n + 1) Vậy dãy (un ) cấp số cộng Bài Dãy số (un ) có phải cấp số nhân khơng ? Nếu phải xác định số công bội ? Biết: un = 2n A q= B q= C q= D q= ∅ un = 4.3n A q= 3 un = B q= C q= D q= ∅ C q= D q= ∅ n A q= B q= Lời giải: Ta có: un+1 n + = phụ thuộc vào n suy dãy (un ) cấp số un n nhân un+1 4.3n+1 = = không phụ thuộc vào n suy dãy (un ) cấp số Ta có: un 4.3n nhân với công bội q= 3 Ta có: un+1 2 n = : = phụ thuộc vào n un n+ n n+ Suy dãy (un ) cấp số nhân Bài Xét xem dãy số sau có phải cấp số cộng hay không? Nếu phải xác định công sai un = 3n + A d = ∅ B d = C d = −3 D d = un = 4− 5n A d= ∅ un = un = B d= C d= −5 D d= 2n + A d= ∅ B d= C d= −3 D d= n+ n A d = ∅ B d = C d = −3 D d = n 2n A d= ∅ B d= C d= −3 D d= un = n2 + A d = ∅ B d = C d = −3 D d = un = Lời giải: Ta có: un+1 − un = 3(n + 1) + 1− 3n − = Dãy (un ) CSC có cơng sai d = Ta có: un+1 − un = −5 Dãy (un ) CSC có cơng sai d = −5 2 Ta có: un+1 − un = Dãy (un ) CSC có cơng sai d= 5 ⇒ (un ) không CSC Ta có: un+1 − un = − n(n + 1) Tương tự ý dãy (un ) không CSC Tương tự ý dãy (un ) không CSC Bài Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay khơng? Nếu phải xác định công bội un = 2n A q= B q= C q= D q= ∅ 3n−1 A q= B q= C q= D q= ∅ un = 3n − A q= B q= C q= D q= ∅ 2n − un = A q= B q= C q= D q= ∅ un = − un = n3 A q= B q= C q= D q= ∅ Lời giải: Ta có: un+1 = ⇒ (un ) CSN với công bội q= un Ta có: un+1 = ⇒ (un ) CSN với công bội q= un Ta có: un+1 3n + = ⇒ (un ) CSN un 3n − un+1 2n+1 − = n ⇒ (un ) CSN Ta có: un −1 un+1 (n + 1)3 = ⇒ (un ) CSN Ta có: un n3 Bài Tam giác ABC có ba góc A , B,C theo thứ tự lập thành cấp số cộng C = 5A Xác định số đo góc A , B,C A = 100 A = 150 A = 50 A = 200 0 0 A B = 120 B B = 105 C B = 60 D B = 60 C = 500 C = 600 C = 250 C = 1000 Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng 3+ tính góc tam giác A 300 ,600 ,900 B 200 ,600 ,1000 C 100 ,500 ,1200 sin A + sin B + sin C = Lời giải: Từ giả thiết tốn ta có hệ phương trình : A = 200 A + B + C = 1800 C = 5A ⇔ B = 3A ⇔ B = 600 A + C = 2B C = 5A 9A = 1800 C = 1000 Ba góc tam giác: 300 ,600 ,900 D 400 ,600 ,800 n Bài Cho dãy số (un ) với u = 32+1 n Tìm cơng bội dãy số (un) A q= B q= 2 Tính tổng S = u2 + u4 + u6 +…+ u20 9 A S = (320 + 1) B S = (320 − 1) 2 C q= C S = (310 − 1) Số 19683 số hạng thứ dãy số A.15 B.16 C.19 D q= D S = (310 − 1) D.17 Lời giải: n+1 +1 un+1 = n = ,∀n∈ N * ⇒ Dãy số cấp số nhân với u1 = 3; q = +1 un 32 Ta có u2 ;u4 ;u6 ;… ;u20 lập thành cấp số nhân số hạng đầu u2 = 9; q = có 10 số hạng nên 1− 310 310 − 10 S = u2 = = (3 − 1) 1− 2 n +1 n Ta có : un = 19683 ⇔ 32 = 39 ⇔ + 1= ⇔ n = 16 Vậy số 19683 số hạng thứ 16 cấp số Ta có: Bài Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số hạng thứ gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng lại CSN 2 A u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162 2 B u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162 2 C u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 21;u6 = 54;u7 = 162 2 D u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162 Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng −9 tổng bình phương chúng 29 A 1;2;3 B −4; −3; −2 C −2; −1;0 D −3; −2; −1 i ) a, b, c theo thứ tự lập thành CSC ⇔ a+ c = 2b ii ) a, b, c theo thứ tự lập thành CSN ⇔ ac = b2 Các ví dụ Ví dụ Chứng minh số: 1, 3,3 thuộc CSC; 2,3,5 thuộc CSN Lời giải: Giả sử 1, 3,3 số hạng thứ m,n, p CSC (un ) Ta có: 3− up − un u1(p − n) p − n p− n 3= = = = vơ lí số vơ tỉ, số hữu n− m − un − um u1(n − m) n − m tỉ Giả sử 2,3,5 ba số hạng thứ m,n, p CSN (vn ) có cơng bội q p− n um = qm−n ; = qp− n , suy ÷ Ta có: = un 3 ⇒ 2p− n.3m− p.5n− m = vơ lí m− n 5 = ÷ 3 = p( p− n)(m−n) Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) là: CSC un = an + b n CSN un = aq Lời giải: Giả sử (un ) CSC công sai d , : un = u1 + (n − 1)d = dn + u1 − d = an + b Giả sử: un = an + b⇒ un+1 − un = a⇒ un+1 = un + a, ∀n Suy (un ) CSC với công sai a Giả sử (un ) CSN với cơng bội q, đó: un = u1.qn un+1 = q ⇒ un+1 = qu n , ∀n un Suy dãy (un ) CSN với công bội q n , suy Giả sử un = aq Ví dụ Chứng minh : Nếu phương trình x3 − ax2 + bx − c = có ba nghiệm lập thành CSC 9ab = 2a3 + 27c Nếu phương trình x3 − ax2 + bx − c = có ba nghiệm lập thành CSN c(ca3 − b3 ) = Lời giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành CSC Suy ra: x1 + x3 = 2x2 (1) Mặt khác: x3 − ax2 + bx − c = (x − x1)(x − x2 )(x − x3 ) = x3 − (x1 + x2 + x3 )x2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1)x − x1x2x3 Suy x1 + x2 + x3 = a (2) Từ (1) (2), ta suy 3x2 = a hay x2 = a Dẫn tới phương trình cho có nghiệm x2 = a , tức là: a a a 2a3 ba − a + b − c = ⇔ − + − c = ⇔ 9ab = 2a3 + 27c 3÷ 3÷ 3÷ 27 Ta có đpcm Giả sử ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành CSN, suy x1x3 = x22 Theo phân tích trên, ta có: x1x2x3 = c ⇒ x23 = c ⇒ x2 = c Hay phương trình cho có nghiệm x2 = c , tức là: ( c) 3 ( c) −a + b3 c − c = ⇔ b3 c = a3 c2 ⇔ c(ca3 − b3 ) = Bài tốn chứng minh Ví dụ Chứng minh với cách chia tập X = { 1,2,3, ,9} thành hai tập rời ln có tập chứa ba số lập thành cấp số cộng Lời giải: Ta chứng minh toán phương pháp phản chứng Giả sử X chia thành hai tập A B đồng thời A B khơng có ba số lập thành CSC Xét ba CSC (1;3;5), (3;4;5), (3;5;7) Ta thấy số 3, nằm tập hợp, hai số thuộc A 1,4,7 phải thuộc B, nhiên số 1,4,7 lại lập thành CSC Tương tự cách xét CSC (3;5;7), (5;6;7), (5;7;9) ta có hai số 5,7 khơng thể nằm tập Vì cặp (3;5) (5;7) hkoogn thuộc tập nên ta suy (3;7) thuộc A, thuộc B Khi ta xét trường hợp sau • 4∈ A , 3,4∈ A ⇒ 2∉ A ⇒ 2∈ B , 1,4,7 lập thành CSC nên 1∈ B ; 2,5,8 lập thành CSC nên 8∈ A ⇒ 9∈ B Do 1,5,9∈ B lập thành CSC vơ lí • 4∈ B , 4,5∈ B ⇒ 6∈ A mà 6,7∈ A ⇒ 8∈ B 5,8∈ B ⇒ 2∈ A , 2,3∈ A ⇒ 1∈ B , 1,5∈ B ⇒ 9∈ A Do đó: 3,6,9∈ B vơ lí Vậy tốn chứng minh Ví dụ Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: xn+ m − xm − xn < ∀m,n∈ ¥ * m+ n Chứng minh rằng: (xn) cấp số cộng Lời giải: Đặt an = xn − nx1 , ta có a1 = | am+ n − am − an |< ,∀m,n∈ ¥ Ở ta m+ n chứng minh an = 0,∀n∈ ¥ Thật vậy, ta có: an+1 − an < ,∀n∈ ¥ , nên lim| an+1 − an |= hay lim| an+ k − an |= 0,∀k∈ ¥ n+ 1 an+ k − an − ak |= Mà an+ k − an − ak < nên lim| n n+ k Từ suy ak = 0,∀k∈ ¥ Vậy ta có điều phải chứng minh CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh : a2 + 2bc = c2 + 2ab Cho a, b, c > lập thành cấp sô cộng.Chứng minh : 1 + = a+ b b+ c c+ a Cho (un) cấp số cộng Chứng minh : un = ( un− k + un+ k ) , 1≤ k ≤ n − Lời giải: Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên a+ c = 2b 2 Do : a + 2bc − c − 2ab = ( a− c) ( a+ c) − 2b( a− c) = ( a− c) ( a+ c − 2b) = Suy a2 + 2bc = c2 + 2ab Gọi d công sai cấp số, suy b− a = c − b = d,c − a = 2d Do đó: a+ b + b+ c = b− a c− b c− a + = d d d c− a = = d( c + a) c+ a un− k = u1 + (n − k − 1)d Gọi d công sai cấp số Ta có: un+ k = u1 + (n + k − 1)d ⇒ un− k + un+ k = 2u1 + ( 2n − 2) d = 2un ⇒ un = un− k + un+ k Bài Cho tam giác ABC Chứng minh tan A B ;tan ; 2 C lập thành cấp số cộng ⇔ cos A ;cos B;cosC lập thành cấp số cộng A B C Cho tam giác ABC.Chứng minh cot ;cot ;cot lập thành cấp số 2 cộng ⇔ sin A ;sin B;sin C lập thành cấp số cộng Lời giải: A B C Ta có: tan ;tan ;tan lập thành cấp số cộng 2 A C B sin( + ) sin A C B 2 =2 ⇔ tan + tan = 2tan ⇔ A C B 2 cos cos cos 2 B B A C A C ⇔ cos2 = sin cos + ÷+ cos − ÷ 2 2 2 tan 1+ cos B 1− cos B = + cos A + cosC 2 cos A + cosC ⇔ cos B = ⇔ cos A ,cos B,cosC lập thành CSC A B B C Ta có: cot − cot = cot − cot 2 2 A B B A B C C B cos sin − cos sin cos sin − cos sin 2 2= 2 2 ⇔ A B C B sin sin sin sin 2 2 B− A B+ A C−B C+B ⇔ sin cos = sin cos 2 2 ⇔ sin B − sin A = sin C − sin B ⇔ sin A + sin C = 2sin B ⇔ Bài Cho a, b, c lập thành cấp số nhân Chứng minh : 2 ( a+ b+ c) ( a− b+ c) = a + b + c ( )( ) a2 + b2 b2 + c2 = ( ab+ bc) ( ab+ bc + ca) = abc( a+ b+ c) ( )( ) n n n n n n 2n 2n 2n * a + b + c a − b + c = a + b + c ; n∈ ¥ Lời giải: Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên ta có b2 = ac Ta có: ( a+ b+ c) ( a− b+ c) = ( a+ c) − b2 = a2 + 2ac + c2 − b2 = a2 + 2b2 + c2 − b2 = a2 + b2 + c2 ( )( ) ( )( ) Ta có: a2 + b2 b2 + c2 = a2 + ac ac + c2 = ac( a+ c) = b2 ( a+ c) = ( ab+ bc) b2 = ac ( Ta có: ( ab+ bc + ca) = ab+ bc + b2 ) = b3(a+ b+ c)3 = abc(a+ b+ c)3 Ta có: VT = (an + cn )2 − b2n = a2n + c2n + b2n + 2(ancn − b2n ) = a2n + b2n + c2n Bài Cho (un) cấp số nhân Chứng minh : a1an = ak an− k+1 , k = 1; n Sn ( S3n − S2n ) = ( S2n − Sn ) Lời giải: Gọi q công bội cấp số Ta có: a1an = a1.a1qn−1 = a12qn−1 ak an− k+1 = a1.qk−1.a1.qn−k = a12.qn−1 Suy : a1an = ak an− k+1 Ta có: Sn ( S3n − S2n ) (S 2n − Sn ) 2n n qn − q3n − q2n − 1 q (q − 1) = u1 u − ÷= u q− 1 q− q− (q− 1)2 2 2n n q2n − qn − 1 q (q − 1) = u1 − u1 = u ÷ q− q− (q− 1)2 Suy Sn ( S3n − S2n ) = ( S2n − Sn ) Bài Điều cần đủ để ba số khác không a, b, c ba số hạng CSN tồn ba số nguyên khác không p,t,r cho p + t + r = p t r a b c = Cho cấp số cộng (an) với số hạng khác không công sai khác 1 n− + + + = không.Chứng minh rằng: a1a2 a2a3 an−1an a1an 1 aa + a a = aa 12 3 Cho bốn số thực a1; a2 ; a3 ; a4 Biết : + + = a1a2 a2a3 a3a4 a1a4 Chứng minh : a1; a2 ; a3 ; a4 lập thành cấp số cộng Cho a, b, c ba số hạng thứ m,n, p cấp số cộng Chứng minh : a.( n − p) + b.( p − m) + c.( m− n) = Chứng minh điều kiện cần đủ để ba số a, b, c ba số hạng pa+ qb+ rc = CSC tồn ba số nguyên khác không p, q, r thỏa: p + q+ r = 6.Cho CSC (un ) thỏa Sm = Sn ( m≠ n ) Chứng minh Sm+ n = Chứng minh ba cạnh tam giác lập thành CSN cơng bội − 1+ ; ÷ CSN nằm khoảng ÷ Lời giải: • Giải sử a, b, c ba số hạng thứ k + 1; l + 1; m+ cấp số nhân có cơng l−m a b a bội q, ta có : a = u1.qk ; b = u1.ql ; c = u1.qm ⇒ = qk−l ; = ql −m ⇒ ÷ b c b l − m m− l − k+1 k−1 ⇒ a b c = Đặt p = l − m;t = m− l − k + 1;r = k − Khi ta có ba số p,t,r thỏa mãn yêu cầu toán p k− l b = ÷ c r p + t + r = a b • Giả sử ta có p t r ⇒ ap.cr = bp+r ⇒ ÷ = ÷ (*) a b c = b c Do p + t + r = nên tồn số dương số âm b r kết hợp với (*) ta có Giải sử r > 0,t < Đặt = qr ⇒ b = aq a p r a aq r = r+ p r÷ ÷ ⇒ c = aq c aq Vậy ba số a, b, c ba số hạng cấp số nhân với a số hạng đầu,b số hạng thứ r + 1;c số hạng thứ r + p + Ta có Suy = akak+1 1 1 − ÷ d ak ak+1 1 1 1 n − + + + = − ÷= a1a2 a2a3 an−1an d a1 an a1an Ta có 1 + = ⇔ a3 + a1 = 2a2 ⇒ a1 − a2 = a2 − a3 = d a1a2 a2a3 a1a3 1 3 + + = ⇔ + = a1a2 a2a3 a3a4 a1a4 a1a3 a3a4 a1a4 ⇔ 2a4 + a1 = 3a3 ⇔ 2a4 = 3(a1 + 2d) − a1 ⇒ a4 = a1 + 3d Ta có: b = a+ (n − m)d; c = a+ (p − m)d Suy VT = a(n − p) + a+ (n − m)d (p − m) + a+ (p − m)d (m− n) = d(n − m)(p − m) + (p − m)(m− n) = • Giả sử a, b, c ba số hạng thứ m+ 1, n + 1, k + CSC (un ) a− b a = u1 + md d = m− n ⇒ Ta có: b = u1 + nd u = a− m(a− b) = mb− an m− n m− n Mặt khác: c = u1 + kd ⇒ (m− n)c = mb− na+ k(a− b) ⇒ (k − n)a+ (m− k)b+ (n − m)c = pa+ qb+ rc = Đặt p = k − n,q = m− k,r = n − m⇒ p + q+ r = • Giả sử tồn ba số nguyên khác không p, q,r cho pa+ qb+ rc = p + q+ r = Không tính tổng quát ta giả sử a ≥ b≥ c p,q,r > Ta có: p = −q− r nên (−q− r )a+ qb+ rc = ⇔ (a− b)p = (c − a)r a− b ⇒ a = b+ rd,c = a+ pd = b+ (p + r )d r Vậy b, a, c ba số hạng u1 ,ur ,up+r CSC a, b, c Đặt d = Ta có Sm = Sn ⇔ 2u1(m− n) + (m2 − n2 )d− (m− n)d = ⇔ 2u1 + (m+ n − 1)d = n+ m 2u + (m+ n − 1)d = Giả sử ba cạnh tam giác theo thứ tự lập thành CSN với công bội q a+ aq > aq2 q2 − q− 1< ⇔ Ta có: aq + aq > a q + q− 1> Suy Sm+n = 1− 1+ ; q∈ ÷ ÷ − + 1 ⇔ ⇔ q∈ ; ÷ 2 ÷ −1− −1+ ∪ ; +∞ ÷ q∈ −∞; ÷ ÷ ÷ Bài Chứng minh ba số a, b, c > số hạng liên tiếp cấp số cộng số a2 + ab+ b2 ; c2 + ca+ a2 ; b2 + bc + c2 ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Cho (un ) cấp số nhân Kí hiệu S = u1 + u2 + + un ; 1 T = + + + ; P = u1u2 un Hãy tính P theo S,T n u1 u2 un Lời giải: Ta có: a + ab+ b + b + bc + c = 2(a + ca+ c2 ) 2 2 2 ⇔ 2b2 + ab+ bc = a2 + 2ac + c2 ⇔ b(a+ b+ c) + b − (a+ c) = ⇔ b(a+ b+ c) + (a+ b+ c)(b− a− c) = ⇔ 2b− a− c = ⇔ 2b = a+ c n 1 ÷ −1 n q q − 1 qn − Ta có: S = u1 ;T= = q− u1 u1 qn−1(q− 1) −1 q n 1+ 2+ + n−1 P=u q n(n−1) =u q n n S Suy ra: P = ÷ T Bài Cho hai số tự nhiên n, k thỏa k + ≤ n Chứng minh tồn không hai giá trị k cho Cnk , Cnk+1 Cnk+ ba số hạng liên tiếp CSC Chứng minh không tồn k để Cnk , Cnk+1 , Cnk+ Cnk+ bốn số hạng liên tiếp CSC Lời giải: k k+ k+ 1 Ta có: Cn + Cn = 2Cn n! n! n! + =2 k!(n − k)! (k + 2)!(n − k − 2)! (k + 1)!(n − k − 1)! ⇔ (k + 1)(k + 2) + (n − k)(n − k − 1) = 2(k + 2)(n − k) Đây phương trình bậc hai ẩn k nên có nhiều hai nghiệm ⇔ Giả sử tồn k để Cnk , Cnk+1 , Cnk+ Cnk+ bốn số hạng liên tiếp CSC Do Cnk = Cnn− k nên suy ra: Cnn− k ,Cnn− k−1 ,Cnn− k−2 ,Cnn− k−3 tạo thành bốn số hạng liên tiếp CSC Vậy ta có sau ba số hạng liên tiếp CSC: Cnk ,Cnk+1 ,Cnk+ Cnk , Cnk+1 , Cnk+ , Cnk+ Cnn− k−3 ,Cnn− k− ,Cnn−k−1 Cnn− k−2 ,Cnn− k−1 ,Cnn−k Ta chứng minh tập { k, k + 1,n − k − 3,n − k − 2} chứa không hai số khác Thật vậy, giả sử k, k + 1, n − k − ba số khác Khi đó, tồn ba CSC: Cnk ,Cnk+1 ,Cnk+ Cnk+1 , Cnk+ , Cnk+ Cnn− k−3 ,Cnn−k− ,Cnn− k−1 Điều trái với kết câu 1) Do k, k+ k − k − 3,n − k − số tự nhiên liên tiếp nên ta có: k = n − k − ⇒ Cnk+1 = Cnn− k− = Cnk+ k + 1= n − k − Suy Cnk = Cnk+1 = Cnk+ (1) Xét phương trình : Cnk = Cnk+1 (2) n! n! n− = ⇔ k + 1= n − k ⇒ k = k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)! Suy phương trình (2) có không nghiệm k, điều dẫn tới (1) mâu thuẫn Vậy không tồn k để Cnk , Cnk+1 , Cnk+ Cnk+ bốn số hạng liên tiếp CSC ⇔ Bài uk+1 u1 + un+1 n + n+1 2k n+1 ∑ Cho (un ) CSC Chứng minh rằng: ∑ k = 2 k=1 k k= Cn n Cho k số nguyên dương cho trước Giả sử s1 , s2 , s3 , dãy tăng nghặt số nguyên dương cho dãy ss1 , ss2 , ss3 , ss1+ k , ss2 + k , ss3 + k , cấp số cộng Chứng minh s1 , s2 , s3 , cấp số cộng Lời giải: u1 + un+1 = uk+1 + un− k+1 , ∀k = 0,1,2, , n Ta có k n− k Cn = Cn n uk+1 n uk+1 un− k+1 n uk+1 + un− k+1 = + = = ( u + u ) k ∑ ∑ ∑ n + k n− k ÷ k k Cn ÷ Cn k= Cn k= Cn k= Cn k=0 n Nên 2∑ Do đó, để chứng minh đẳng thức cho ta cần chứng minh n n + n+1 2k = n+1 ∑ (1) ∑ k k=1 k k= Cn Ta chứng minh (1) quy nạp 1 • Với n = ta có: VT (1) = + = VP(1) = ( 2+ 2) = C1 C1 Nên (1) với n = n n+1 n + n+1 2k n + n+ 2k • Giả sử ∑ k = n+1 ∑ , ta chứng minh ∑ k = n+ ∑ (2) k=1 k k=1 k k= Cn k= Cn+1 k+1 Mà Cn+1 = n+1 k= k n+1 ∑C Thật vậy: = n n 1 + = + ∑ ∑ k+1 k+1 Cn+1 k= Cn+1 k= Cn+1 (n + 1)! n+ k = C (k + 1)!(n − k)! k + n n 1 n k+ 1 k + n − k + 1 = = Suy ∑ k+1 k + ÷ ∑ ∑ k n + k= Cn 2(n + 1) k=0 Cn Cnn−k ÷ k= Cn+1 n = n+ n n + n + n+1 2k n + n+1 2k = ∑ ∑ = ∑ 2(n + 1) k= Cnk 2(n + 1) 2n+1 k=1 k 2n+ k=1 k n + n+1 2k n + n+ 2k = + ∑ ∑ = ∑ dẫn tới (2) chứng minh k 2n+ k=1 k 2n+ k=1 k k= Cn+1 Gọi p q công sai cấp số cộng ss1 , ss2 , ss3 , n+1 Suy ss1+ k , ss2 + k , ss3 + k , Đặt a = ss1 − p b = ss1+ k − q Theo công thức tính số hạng tổng quát cấp số cộng với số nguyên dương n ta có: ssn = ss1 + (n − 1)p = a+ np, ssn + k = ss1+ k + (n − 1)q = b+ nq Từ dãy s1 , s2 , s3 , dãy tăng ngặt, nên với số nguyên dương n với ý sn + k ≤ sn+ k ta có ssn + k − 1< ssn + k ≤ ssn+k , từ ta thu a+ np + k − 1< b+ nq ≤ a+ (n + 1)p, điều tương đương với < k − 1+ b− a+ n(q− p) ≤ kp, p ≠ q ta thấy bất đẳng thức mâu thuẫn cho n cằng lớn Nên suy p = q ≤ k − 1+ b− a ≤ kp (1) Đặt m= min{ sn+1 − sn : n = 1,2, } Khi b− a = (ss1+ k − q) − (ss1 − p) = ss1+ k − ss1 ≥ km (2) kp = a+ (s1 + k)p − (a+ s1p) = sss + k − sss = sb+ p − sa+ q ≥ m(b− a) 1 (3) Ta xét hai trường hợp: • b− a = kp Khi đó, với số nguyên dương n , ssn + k = b+ np = a+ (n + k)p = ssn+k , từ kết hợp với dãy s1 , s2 , s3 , dãy tăng ngặt ta có sn+ k = sn + k Mặt khác sn < sn+1 < < sn+ k = sn + k nên sn+1 = sn + s1 , s2 , s3 , cấp số cộng với công sai • b− a < kp Chọn số nguyên dương N cho sN +1 − sN = m Khi m(a− b+ p − k) = m((a+ (N + 1)p) − (b+ Np + k)) ≤ sa+(N +1)p − sb+ Np+ k = sss N +1 − sss N +k +k = (a+ sN +1p) − (b+ (sN + k)p) = (sN +1 − sN )p + a− b− kp = mp + a− b− kp, vậy: (b− a− km) + (kp − m(b− a)) ≤ (4) Từ bất đẳng thức (2), (3) (4) ta thu đẳng thức sau: b− a = km kp = m(b− a) Giả sử tồn số nguyên dương n cho sn+1 > sn + m Khi m(m+ 1) ≤ m(sn+1 − sn ) ≤ ssn+1 − ssn = (a+ (n + 1)p) − (a+ np) m(b− a) = m2 , vô lý k Vì điều giả sử sai nên sn+1 = sn + m với n∈ ¥ hay dãy s1 , s2 , s3 , cấp số cộng có cơng sai m = p= Vấn đề Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số Phương pháp: • a, b, c theo thứ tự lập thành CSC ⇔ a+ c = 2b • a, b, c theo thứ tự lập thành CSN ⇔ ac = b2 Các ví dụ Ví dụ Tìm x biết : x2 + 1, x − 2,1− 3x lập thành cấp số cộng ; A x = 4, x = B x = 2, x = C x = 2, x = D x = 2, x = 1, x2 ,6 − x2 lập thành cấp số nhân A x = ±1 B x = ± C x = ±2 Lời giải: Ta có: x + 1, x − 2,1− 3x lập thành cấp số cộng ⇔ x2 + 1+ 1− 3x = 2(x − 2) ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x = 2; x = D x = ± Vậy x = 2, x = giá trị cần tìm Ta có: 1, x2 ,6 − x2 lập thành cấp số nhân ⇔ x4 = 6− x2 ⇔ x = ± Ví dụ Cho số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng ; số 2 ( y + 1) , xy + 1,( x − 1) lập thành cấp số nhân.Tính x, y 4 3 A (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷ 3 10 11 3 C (x; y) = ( 1;0) ; ; ÷; − ; − ÷ 3 10 10 3 B (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷ 3 10 10 13 13 D (x; y) = ( 0;1) ; ; ÷; − ; − ÷ 3 10 Lời giải: Ta có số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành CSC nên suy 2( 2x + 3y) = 5x − y + x + 2y hay 2x = 5y (1) Các số ( y + 1) , xy + 1,( x − 1) lập thành CSN suy ( xy + 1) = ( y + 1) 2 ( x − 1) ⇔ ( + 2y − 2x) ( 4xy + 2x − 2y) = (2) ( ) Thay (1) vào (2) ta : ( + 2y − 5y) 10y + 5y − 2y = Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm x để số sau lập thành cấp số cộng 1; x; x3 π 1;sin − x÷;4sin x 6 Bài Tìm x, y biết: Các số x + 5y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng số ( y − 1) , xy − 1,( x + 1) lập thành cấp số nhân 3 3 ÷ A (x; y) = − 3; ÷; 3; 2 ÷ 3 3 ; − 3; − ÷ ÷ B (x; y) = 3; − ÷ ÷ 3 3 ; 3; ÷ ÷ C (x; y) = 3; ÷ ÷ 3 3 ; 3; ÷ ÷ D (x; y) = − 3; − ÷ ÷ Các số x + 6y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng số x + y, y − 1,2x − 3y lập thành cấp số nhân 1 1 A (x; y) = ( −3; −1) ; ; ÷ B (x; y) = ( −3; −1) ; ; ÷ 8 8 1 C (x; y) = ( 3;1) ; ; ÷ 8 12 D (x; y) = ( −3; −1) ; ; ÷ 8 Lời giải: x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y) Ta có hệ: giải hệ ta tìm 2 (x + 1) (y − 1) = (xy − 1) Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại A b = 0, a < cấp số cộng B b = 0, a = C b = 0, a > D b > 0, a < Lời giải: Đáp số: b = 0, a < Khi phương trình có ba nghiệm lập thành CSC x = 0, x = ± −a Bài Tìm m để phương trình: mx − 2( m− 1) x + m− 1= có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A m= − 16 B m= −1 C m= − 16 D m= − x3 − 3mx2 + 4mx + m− = có ba nghiệm lập thành cấp số nhân 12 m= − A 27 m= 10 m= B m= m = −1 C m= 10 m= − D 27 m= Lời giải: 16 Giả sử phương trình có ba nghiệm a, b, c lập thành CSN abc = − m ⇒ m= − b3 thay vào phương trình ta có Suy b = ac 10 b = ⇒ m= − (3b− 4)(b − 2) = ⇔ 27 b = ⇒ m= Thay ngược lại ta thấy khơng có giá trị m thỏa yêu cầu toán Đáp số : m= − Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại cấp số cộng C m= m= −2 A m= m= − D m= m= −1 B m= m= − 3 Phương trình x + 2x + ( m+ 1) x + 2( m+ 1) = có ba nghiệm lập thành cấp số nhân A m= −1, m= −3, m= −4 B m= −1, m= 13, m= −4 C m= 1, m= 3, m= D m= −1, m= 3, m= −4 Lời giải: Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Khi đó: x1 + x3 = 2x2 , x1 + x2 + x3 = ⇒ x2 = Thay vào phương trình ta có : m= 11 Với m= 11 ta có phương trình : x3 − 3x2 − 9x + 11= ( ) ⇔ ( x − 1) x2 − 2x − 11 = ⇔ x1 = 1− 12, x2 = 1, x3 = 1+ 12 Ba nghiệm lập thành CSC Vậy m= 11 giá trị cần tìm Đặt t = x2 ,t ≥ Phương trình trở thành: t − 2( m+ 1) t + 2m+ = (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t2 > t1 > ∆ ' > ( m+ 1) − ( 2m+ 1) > ⇔ P > ⇔ 2m+ > ⇔ − < m≠ S> 2( m+ 1) > Khi PT(2) có bốn nghiệm là: − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng : − t + t = −2 t 1 ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 − t + t = t Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi : x1x3 = x22 m+ x1 + x2 + x3 = −2 ⇒ x2 = − x x + x x + x x = m+ 2 3 thay vào phương trình ta có : m= −1, m= 3, m= −4 Bằng cách thay giá trị m vào phương trình ta thấy khơng có giá trị m thỏa yêu cầu toán ... Bài Chứng minh ba số a, b, c > số hạng liên tiếp cấp số cộng số a2 + ab+ b2 ; c2 + ca+ a2 ; b2 + bc + c2 ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Cho (un ) cấp số nhân Kí hiệu S = u1 + u2 + + un... = + + + ; P = u1u2 un Hãy tính P theo S,T n u1 u2 un Lời giải: Ta có: a + ab+ b + b + bc + c = 2(a + ca+ c2 ) 2 2 2 ⇔ 2b2 + ab+ bc = a2 + 2ac + c2 ⇔ b(a+ b+ c) + b − (a+ c) = ⇔ b(a+ b+ c) +. .. = n+ ∑ (2) k=1 k k=1 k k= Cn k= Cn+1 k+1 Mà Cn+1 = n+1 k= k n+1 ∑C Thật vậy: = n n 1 + = + ∑ ∑ k+1 k+1 Cn+1 k= Cn+1 k= Cn+1 (n + 1)! n+ k = C (k + 1)!(n − k)! k + n n 1 n k+ 1 k + n − k + 1