Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File word

27 167 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi  Chuyên đề 8  Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit  Lê Hoành Phò  File word

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File word

CHUYÊN ĐỀ - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LƠGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Ngun hàm vơ tỉ: Với   1 thì: x 1 u 1   x dx     C ;  u u '.dx     C  m Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số n a m  a n ,… Các dạng tích phân vô tỉ: b  dx : nhân hợp liên hiệp (trục mẫu) px  q  px  r b xk dx : trục tử xk a  a b dx   x  m  x  n  : Đặt t  xm  xn a b  a px x m dx : Đặt u  x  m b  k  x dx : Đặt x  k sin t k cos t a b  a x m :Đặt t  x  x  m b  x  mdx : Đặt u  x  m , dv  dx a b   x    a dx px  qx  r : Đặt t  x     R  x, k  x dx : Đặt x  k sin t k cos t  R  x, k  x dx : Đặt x  k tan t k cot t b a b a  Trang   R  x, b x  k dx : Đặt x  a  b  R  x; x    x  n  a k k sin t cos t  x    dx : Đặt t  n  x    R  x,  x      x  dx : Đặt x         sin b t a   R  x, b px  qx  r dx : Đặt a px2  qx  r  t  x p px  qx  r  t  x r Nguyên hàm mũ lôgarit:  e dx  e x x  e u ' dx  e c u u c au  a u '.dx  ln a  c  a  0, a  1 ax  a dx  ln a  c u x Các dạng tích phân phần: b  P  x  e x dx : Đặt u  P  x  , dv  e x dx a b x  ln xdx : Đặt u  ln x, dv  x dx a b e x sin  xdx : Đặt u  e x , dv  sin  xdx a b e x cos  xdx : Đặt u  e x , dv  cos  xdx a CÁC BÀI TOÁN Bài tốn 8.1: Tính a)   x  x dx b)  x  x  x  dx Hướng dẫn giải  12  23 43 x  x dx    x  x  dx  x  x  C   a)  b)  x 3   56  116 74 23 x  x  dx    x  x  x  dx  x  x  x  C 11    Trang Bài tốn 8.2: Tính a)  x x x dx x2     dx x x  b)  Hướng dẫn giải    x x x a)  dx     x  dx  x  C x x  x     1   b)     dx     x  dx  x  x  C x  x  x  Bài tốn 8.3: Tính a) I   dx x3 x4 b) J   dx , a  0, b  c ax  b  ax  c Hướng dẫn giải 7 a) I   b) J    x   x  dx  3     x  4  C x      21   bc   1     x   dx x           ax  b  ax  c dx a b  c    ax  b  Bài tốn 8.4: Tính a) E     ax  c  C x  x 4  2dx b) F   xdx x2 Hướng dẫn giải  1   x 2  dx    x   dx  x3   C x  x  a) E   x b) F  x22      x   dx   3 x  2  C dx  x  x        x2    Bài tốn 8.5: Tính: a) A    x  3 x  3dx b) B  1 x dx Hướng dẫn giải Trang a) Đổi biến: Đặt t  x   x  t   dx  2t.dt A  2  2t  3 dt  2  2t  3t  dt  t  2t  C   x  3  x  1  C 5 b) Đặt t   x  x  1  t   dx  2 1  t  dt Q  2 t 1  1 dt  2 1   dt t  t   t  ln t   C  2 Bài toán 8.6: Tính: a)     x  ln  x  C dx x 1 x  b)  x 9 dx Hướng dẫn giải a) Đặt t   x  x  t   dx  2t.dt  1 x t dt   dx  2  1   dt x t 1  t 1     2 dt      dt  2t  ln t   ln t   C  t 1 t     x  ln  x 1 C 1 x 1 b) Đặt t   x  x  t   dx  2t.dt  1 x t dt   dx  2  1   dt x t 1  t 1     2 dt      dt  2t  ln t   ln t   C  t 1 t     x  ln  x 1 C 1 x 1  b) Đặt t  x  x   dt  1     dx  x2   x dx x2   dt t Trang  dx x 9  dt  ln t  C  ln x  x   C t 7/3  Bài tốn 8.7: Tính: a) K  x 1 dx 3x  b) L   dx x 1  x 1 Hướng dẫn giải t3 1 a) Đặt t  3x   x   dx  t dt 3 Khi x  t  1, x  Đăng ký mua file word trọn chuyên t  đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 K    t  2t  dt  31 b) L   22   t5 t3  46      15  15 3 1 73  2  x   x  dx    x  1   x  1   3 1  a Bài tốn 8.8: Tính: a) A   a /2 a  x dx 2 b) B   dx a  x2 Hướng dẫn giải a) Đặt x  a sin t với   t   dx  a cos t Khi x  t  0, x  a t   /2 Aa   /2 cos t cos tdt  a   a2 cos tdt  2  /2  1  cos 2t  dt  /2 a  sin 2t   a2  t    2 0 Trang b) Đặt x  a sin t với    /6  a cos tdt  a cos t  /6  dt   b Bài tốn 8.9: Tính: a) C  dx  a cos tdt  a t  Khi x  t  0; x  B  t  b dx  x b  b) D  x  b dx Hướng dẫn giải    dx  x2  b  x a) Đặt t  x  x  b  dt  1   b  2b  C b dt  ln t t b  2b b  b b) D    ln   x  bdx  x  x  b b b 2  x2  b  b x b b b nên D   2  x2 x b b dx  b  D  b  x b 2 Bài tốn 8.10: Tính: a) K  b   dx  x b dt t dx x b  dx b  ln  2  x2 dx x4   b   b dx b) L   x 1/2   1 dx x x4  Hướng dẫn giải t a) Đặt x   dx  1/2 1 dt t2 K    t  t dt   b) L   1/2  1 5 2  t d  t    2       1 3  1/2 1  x dx  d x     x  1/2   x  x  2 x x  1 Trang 2   1 13     ln x    x      ln   x x 13     1/2 1   Bài toán 8.11: Tính: a) A  x  x dx b) B  x5  x dx 0 Hướng dẫn giải     t    dx  cot dt 2  a) Đặt x  sin t   Khi x  t  0, x  t   /2 A  sin t cos tdt    /2    /2  sin 2tdt  /2  cos 4t  sin 4t    t    8 0 16 b) Đặt t   x  x   t  xdx  tdt Khi x  t  1, x  t  B   1  t  2 1  t7  t  t  dt    t  2t  1 t dt    t  t    105 7 Bài tốn 8.12: Tính: a) I  a/ x dx  b) J  x  x 1  xdx a2  x2  a  x2  Hướng dẫn giải 1  x  x    x    ,  x  x  1 '  x  2  a) Ta có  1 3 Đặt x  A   x      B  x  1  C     Đồng A  1, B  2, C   nên Trang   1 2x 1 1   I    x      2 0  1  1  x   x                 dx     2x     x  x   ln  x   x  x        3 1    ln 1    3 a/ b) J  xdx  a2  x2  a2  x2 xdx Đặt t   a  x  dt  a 1 J  a 1   dt  t t a 1 a 1 2 a2  x2  2a   a  4096 Bài tốn 8.13: Tính: a) K    xdx   t  1 dt xdx 128 x2  x  b) L   dx x2  5x  Hướng dẫn giải a) Đặt x  t12 dt  12t11dt Khi x  128 t  2, x  4096 t   t14 t4  dt  12 t  t   dt 5   t  t   2 K  12   t10 t   12    ln t    10 5  b) Đặt t  2  464  31   12   ln  5 1   x 2  x 3  1  x   x   dt    dx x  2 x     1   dt     dx  x  2 x    dx  x   x  3  2dt t Trang 2 dx L  x   x  3 2dt  t  ln t 1 : 2 1  ln 2 1 Bài toán 8.14: Tính: a) A  1/2 dx   x  1 b) B  x2  2x   x dx  1 x  Hướng dẫn giải a) Đặt t  1/2 1 dt  x    dx   x 1 t t dt A  t2 1 dt Đặt u  t  t   t2 1  du u Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 1 /2 Do A    1  1 du 1 /2    ln u  1  ln u 1  2t 2dx b) Đặt t  x   x   dt  1 t  x2  2 x2  2 3/2 D dt   3t   t 1    ln   t         t  t  dt 3/2 3/2  2   6  12 ln  23  Bài tốn 8.15: Tính: a) I n   1  x  n 1 n 1 x n dx  b) J n  x n  xdx Hướng dẫn giải Trang a) I n   xn  xn  1  x  n  n 1  xn dx    xn n 1    xd  n  xn 0  n  xn x 1 xn dx   n n n 1  x   x dx  xn  dx   n n n  1  x   x 1 xn xn  n  dx   dx  n n n n 1  x n  n  x n 1  x   x b) u  x n , dv   xdx Khi du  nx n1dx, v   Jn   x  0  1 x  3 1  x  2n n1  x  x  1  xdx 0 2n 2n J n1  J n1  J n   J n  2n  2n  n  1 2n1.n! Vậy J n  J  2n  2n  3.5  2n  3 x Bài tốn 8.16: Tìm hàm số f số thực a  thỏa mãn điều kiện:  a f t  dt   x với x  t2 Hướng dẫn giải Gọi F  t  nguyên hàm hàm số f t  t2 Theo định nghĩa tích phân, ta có với x  F  x  F a   x Cho x  a ta a  F  x   F     x nên F '  x   f  x 1    f  x   x3 x x x Bài tốn 8.17: Tính: a)  2 x 3  x dx b)  5x 1  5 x  3x dx Hướng dẫn giải Trang 10 x4 a) Đặt u  ln  x  , dv  x dx Khi du  dx, v  x x ln  x  x ln  x  x x3 Ta có: I    dx   C 4 16 b) Đặt u  x , dv  cos  x  dx Khi du  xdx, v   x sin  x  Ta có: J    x sin  x  dx sin  x  Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Đặt u  x, dv  sin  x  dx Khi du  dx, v   x sin  x  dx   cos  x  : x cos  x  cos  x  x cos  x  sin  x   dx   C 2 x sin  x  x cos  x  sin  x    C nên J  2 Bài tốn 8.24: Tính: a) I  sin  ln x  dx b) J  e x  cos x  x sin x  dx   Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln x x  eu nên dx  eu du A   sin u.eu du   sin ud  eu   sin u.eu   cos u.eu du  sin u.eu   cos u.d  eu   sin u.eu  cos u.eu   sin u.eu du Từ suy A  x  sin  ln x   cos  ln x    C b) Đặt u  e x , dv  cos x Khi du  xe x dx, v  sin x 2 Trang 13 e x2 cos xdx  e x sin x   xe x sin xdx 2 nên J  e x  cos x  x sin x   e x sin x  C  2 x Bài tốn 8.25: Tính: a) K   x  1 e dx b) L  x x   e x dx Hướng dẫn giải a) Đặt u  x  x  1, dv  e x dx Khi du   x  1 dx, v  e x K   x  x  1 e 21 x 1    x  1 e dx  3e     x  1 e x dx x 0 Đặt tiếp u  x  1, dv  dx K   e  1 b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx Khi du  3x dx, v  e x L  e  x    3 x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L  ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A   ln dx e 1 x b) B  xe x  1  x  dx Hướng dẫn giải a) Đặt u  x  x  1, dv  e x dx Khi du   x  1 dx, v  e x K   x  x  1 e x 1    x  1 e dx  3e     x  1 e x dx x 0 Đặt tiếp u  x  1, dv  dx K   e  1 b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx Khi du  3x dx, v  e x L  e x  x3    3 x 2e x dx 0 Dùng tích phân phần lần L  ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A   ln dx ex 1 b) B  xe x  1  x  dx Hướng dẫn giải Trang 14 a) Đặt t  e x   e x  t   dx  A t 2tdt t2 1 dt  Đặt t  tan u B  1 1 ex ex b) B   dx   dx  x  x   0  e x 1 e x  e ex  dx    dx    1 x 0 1 x  1 x       Bài tốn 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J  e x sin xdx x 0 Hướng dẫn giải a) Đặt u  cos x, dv  e x , du   sin x, v  e x I  cos x.e x      e sin xdx  1  e   sin xd  e x   x  1  e   sin x.e  x    e  x cos xdx  1  e  I Do I  1  e  I    e    1 b) J   1  cos x  d  22 x   e x 1  cos x    e x sin xdx 40 20 Dùng phần lần liên tiếp J  2  e  1  x  1x  Bài tốn 8.28: Tính a) I   1  x   e dx x 0.5  b) J  3x 0 3x  3 x dx Hướng dẫn giải a) I  e x 0,5 Đặt u  e x  x  1x  dx    x   e dx x 0,5  x x  x  1x  , dv  dx Khi du   x   e dx, v  x x  Trang 15 x  x  1x  Ta có:   x   e dx  xe x x 0,5  Suy I  xe x x 0,5 2  0,5 e x x dx 0,5  e 2,5 3 x b) Xét E   x dx J  E   dx   3 x 0 1 3x  3 x 1 J  E   x dx  ln  3x  3 x   ln x 3 ln ln 3 0 1 Do đó: J  1 5 ln  1   ln 3   Bài tốn 8.29: Tính: a) A  1  x2 dx  2x  b) B  x 2e x sin xdx Hướng dẫn giải a) A   1  x2  x2 dx  0  2x dx  2x  Đặt x  t 1 Do A    x2 2t  t 2x  x2 dx   dt   dx  2x  2t  2x 0 1   x  x2 1 Đặt x  sin t A  x  1 dx    x dx b) Đặt u  x2 sin x, dv  e x dx B  e x sin x   e x  x sin x  x cos x  dx x 0 1 0  e sin1  2 xe x sin xdx   x 2e x cos xdx Từ tính B  e sin1 dx Bài toán 8.30: Tính a) I   x 1  e  1 x  1  sin x b) J   x dx 1  Trang 16 Hướng dẫn giải a) Đặt x  t dx  dt Khi x  1  t  1, x  1  t  1 1 dx dt et Ta có I   x    dt   t t e  x  e  t  e  t           1 1 ex I x dx 1  e  1 x  1 nên I  I  I  t 1 dt    Vậy I  1 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851  b) Đặt x  t dx  dt nên: J       sin t 3x.sin x dt   dx x 1   1 3t   Do J   sin xdx   1  cos x  dx  J        Bài tốn 8.31: Tính a) A  ln x  x dx b) B  x5 ln xdx 2 Hướng dẫn giải  a) A  x ln x  x  2x 1   dx  3ln  2ln      dx  3ln  x  x    2 3  b) Đặt u  ln x, dv  x5dx Khi du  dx , v  x6 x 2  x ln x  x dx 32 B  ln     1 e  e Bài tốn 8.32: Tính a) C  x ln xdx b) D  x  x  1 ln xdx Trang 17 Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln x, dv  xdx Khi du  2ln x dx, v  x x e e e  x2  e2 C   ln x    x ln xdx    x ln xdx  1 Đặt u  ln x, dv  xdx Khi du  e dx x2 ,v  x x2 e2 e2  1 x ln xdx  ln x  1 xdx    e  1  C  e e   b) Đặt u  ln x, dv  x2  x  dx thì: e e  x3 x   x3 x 1 D     x  ln x      x  dx   x 1 e  x2 x  e3 e 2e3 e2 31    e      1 dx    3  36 1  ln x ln x dx dx b) J   x x e Bài tốn 8.33: Tính: a) I   Hướng dẫn giải e a) I   1  ln x   b) J  ln xd e  x   2 x ln x  4ln    d 1  ln x   1  ln x   2   x  4  2 dx x   ln  1  /2 Bài toán 8.34: Tính: a) A   cos x ln  sin x  dx   b) B  ln /4 x 1 dx x 1 Hướng dẫn giải  /2 a) A   /2  ln  sin x  d  sin x   sin x.ln  sin x    /4 /4  /2   cos xdx  /4 Trang 18  /2 2 2  ln  sin x  ln  4  /4 x 1  2x  b) B   x ln    dx  3ln  6ln x 1  2 x 1  3 Bài tốn 8.35: Tính: a) C   ln x   x  1 b) D  dx   x ln x  x  x2  dx Hướng dẫn giải  ln x dx  1  a) C     ln x  d    x  1 x  x  1  x 1 3 3  ln 3 dx 1 27      dx      ln  1x x 1  16  3   x b) Đặt u  ln x  x  , dv   D  x  1.ln x  x  2  x2  thì:   dx  2ln  Bài tốn 8.36: Tính: e a) I   1  x  ln x  dx b) I   x ln x x  2ln x   x  1 dx Hướng dẫn giải e  a) Ta có I  1  x  ln x  dx  e 1  x ln x   1  ln x  dx  x ln x   x ln x 1  ln x  ln x e dx  x   dx   e  1  J  x ln x  x ln x 1 e e  2 dx   e Tính J  e  ln x   x ln x dx Đặt t   x ln x  dt  1  ln x  dx Khi x  t  , x  e t   e 1 e nên J   dt 1 e  ln t  ln 1  e  nên I   e  1  ln 1  e  t Trang 19 b) I  x  2ln x   x  1  1 2ln x  dx       dx 3   x  1  x  1    x  1 2 2 1 ln x ln x    2 dx   2 dx 3 x  1  x  1 12  x  1  x  1 Tính J  ln x   x  1 dx Đặt u  ln x, dv  dx  x  1 J  ln x  x  1 dx 1 ,v   x  x  12 Khi du  2 dx ln  1           dx x  x  12 18 1  x x   x  12  ln  x  ln      ln    ln     18  x  x   18    ln  ln  18 12 Suy I  ln  ln   2   ln    ln   12 72  18 12  ln  Bài tốn 8.37: Tính: a) I   xe x 0 x2  x  1dx x dx x e  e x  b) I  Hướng dẫn giải ln a) Ta có I   x dx  x e  e x  Đặt u  x, dv  e ex x  1 ln x Ta có: I   x  e 1 ln Tính J  e ln  e xe x x  1 dx dx Khi du  dx, v   ln  dx ln   x e 1 ln e e 1 x dx 1 x dt dx Đặt e x  t x  ln t  dx  t 1 x Khi x   t  1; x  ln  t  Trang 20 2 dt 1  J      dt  ln t  ln t  1 t t  1  t t    2  2ln  ln3 nên I  ln  ln 2 xe x xe x b) Ta có I   dx  dx   dx   dx 2 2    x  x  x  x  x          0 0 1 Tính xe x   x  1 xe x dx Đặt u  xe x , dv  Khi du   x  1 e x dx; v   dx  x  1 x 1 1 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 xe x 1 dx    Ta có:   x  1 e x dx  x 1 0 x 1  x  1 xe x 1 e e e     e x dx    e x dx   2 Thay vào ta I  e 2 Bài toán 8.38: Chứng minh F  x  nguyên hàm f  x  :   a) F  x   ln x   x  C; f  x   1  x2 x     C; f  x   cos x 2 4 b) F  x   ln tan  Hướng dẫn giải Trang 21 a) F '  x   b) F '  x    x 1 x2   x  x2  1 x2   đpcm 1 x  x  2cos    tan    2 4 2 4 1     cos x x  x   2cos    sin    sin  x   2 2 4 2 4  Bài tốn 8.39: Tìm cực đại cực tiểu hàm số f  x   e2 x  t ln tdt ex Hướng dẫn giải Gọi F  t  nguyên hàm hàm số t ln t  0;      f '  x   F '  e  2e  F '  e  e Ta có: f  x   F e2 x  F e x , suy ra: 2x 2x x x  xe4 x  xe2 x  xe2 x  4e2 x  1 f '  x    x   x   ln Lập BBT f đạt cực tiểu x  đạt cực đại x   ln  Bài toán 8.40: Đặt I n  x ne x dx, n  ¥ * Tính I theo I n 1 với n  Suy I Hướng dẫn giải I n   x n d  ex   x n e x  n  x n1e x dx  x n e x  nI n1 Do I  x3e x  3I , I  x 2e x  2I1 , I1  xe x dx  e x  x  1  C    nên I  e x x3  3x  x   C  Bài toán 8.41: Cho I n  x n e x dx Tính I n theo I n 1 Hướng dẫn giải In   x d e n x    x e  n x 1  n  x n1e x dx  e  nI n1 e Bài toán 8.42: Cho J n    ln x  n dx Chứng minh J n1  J n  e n 1 Trang 22 Hướng dẫn giải J n  x  ln x  n e e  n   ln x  n 1  e  nJ n1 Với  x  e   ln x   J n1  J n Do J n  e  nJ n1  e  nJ n   n  1 J n  e  đpcm Bài tốn 8.43: Tính tích phân x2  b) I   ln xdx x  a) I  x  x dx Hướng dẫn giải 1 1/2 1 a) I   x  x dx      x  d   x     u1/2 du 20 22 2   1    u1/2 du (đặt u    x  )   u 3/2   2  21 3 1 x2  1 x2 ln xdx b) I  dx Đặt t  ln x   dt , x  et , t 1  0, t  2  ln  I  x ln  t e t  e t  dt Đặt u  t  du  dt , dv  et  et , chọn v  et  et  I  t  et  et    ln ln  e t  et  dt  Cách khác: Đặt u  ln x  du  dv  5ln  dx x x2  1   dx  1   dx  v  x  x x  x  2 1  dx 1 1      I   x   ln x    x    ln   1   dx  ln   x   x x x x  x 1   1 1 2 1   ln      ln  2 2  Trang 23 BÀI LUYỆN TẬP Bài toán 8.1: Chứng minh F  x  nguyên hàm f  x  : a) F  x   x ln x  x; f  x   ln x b) F  x   ln tan x  C; f  x   sin x Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa công thức đạo hàm b) Dùng định nghĩa công thức  ln u  '   u' u b) P  Bài tập 8.2: Tính: a) A  x  3x dx  x x 4 dx Hướng dẫn 2 a) Đổi biến t   3x Kết    3x   C b) Kết x   3  C Bài tập 8.3: Tính a)   dx x 1 x  b)  2x xdx   x2  Hướng dẫn a) Đổi biến t   x Kết  b) Kết   x2   C 1 x ln C 2 x 1 1 Bài tập 8.4: Tính a) I   b) I   x dx   x x2   x2 1 x  x 1 dx Hướng dẫn a) Dùng nguyên hàm phần Kết   ln x   x  x  x  C Trang 24 b) Kết  1 x  x2   2 Bài tập 8.5: Tính: a) I     x 1  x3dx  x2   x   2ln x  x     C   b) J  x5  x3 x2  dx Hướng dẫn a) Đổi biến t   x Kết b) Kết 16 3 3 26 1 dx Bài tập 8.6: Tính: a) C   x  x 1 1 b) D   x x3dx x2  Hướng dẫn a) Trục thức mẫu Kết     ln   Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 b) Kết D  2 1 15 Bài tập 8.7: Tính a) x  x e dx b) 12 x dx  16x  9x Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần lần liên tiếp   Kết x  x3  12 x  24 x  24 e x  C x  3x b) Kết ln x C  ln  ln 3  3x Bài tập 8.8: Tính: a) ln  sin x   cos2 x dx b)  ln x   x dx   Trang 25 Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết tan x.ln  sin x   x  C   b) Kết x ln x   x   x  C 1 x Bài tập 8.9: Tính a) I   x ln dx 1 x e b) J  ln x dx x2  Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần 1 x 1 x x ln  ln  xC 1 x 1 x Kết e b) Kết  Bài tập 8.10: Tính:  /2 a) I   e sin x  /2  cos x  cos xdx b) J  e 3x sin xdx Hướng dẫn a) Tách tích phân dùng đổi biến, tích phân phần Kết e  b) Kết 3.e  3 1 5 34    Bài tập 8.11: Tính: a) I  ln x  dx e b) J    ln x  dx Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết ln    b) Kết e  Bài tập 8.12: Tính: a) I    x  1 e x e dx   x b) J   1    ln xdx  3ln x  Hướng dẫn Trang 26 a) Dùng tích phân phần Kết  e b) Tách tích phân dùng đổi biến, tích phân phần Kết 62 27 Trang 27 ... t   t2 1  du u Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu Gửi đến số điện thoại: 0969.912 .85 1 1 /2 Do A    1  1 du...  x  dx sin  x  Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu Gửi đến số điện thoại: 0969.912 .85 1 Đặt u  x, dv  sin  x  dx...    Vậy I  1 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu Gửi đến số điện thoại: 0969.912 .85 1  b) Đặt x  t dx  dt nên:

Ngày đăng: 20/11/2017, 10:31

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan