ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM NGỌC SƠN NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2015 Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM NGỌC SƠN NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU VÀ BÀI TỐN CÂN BẰNG VÉCTƠ Chn nghành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lƣu THÁI NGUYÊN - 2015 Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn tận tình chu đáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Phạm Ngọc Sơn Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn mình, PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người thầy đưa đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu Đồng thời tơi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam giảng dạy giúp đỡ hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Sở Văn hóa Thể thao Du lịch, Sở Giáo dục đào tạo tỉnh Hòa Bình, trường Phổ thơng Năng khiếu Thể dục Thể thao tỉnh Hòa Bình, gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán K21b quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Do thời gian ngắn khối lượng kiến thức lớn, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp, xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Phạm Ngọc Sơn Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU CỦA MỘT TẬP ĐÓNG 1.1 Một số kiến thức giải tích Lipschitz 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định lí 1.1.3 Định nghĩa 1.1.4 Định lí 1.1.5 Ví dụ 1.1.6 Định nghĩa 1.1.7 Định nghĩa 1.1.8 Định lí 1.1.9 Định lí 1.1.10 Định lí 1.1.11 Định nghĩa 1.1.12 Định nghĩa 1.2 Điểm siêu hữu hiệu đóng 1.2.1.Định nghĩa 1.2.2 Định nghĩa 10 1.2.3 Định nghĩa 10 1.2.4 Định nghĩa 11 1.2.5 Định nghĩa 14 Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iv 1.2.6 Định nghĩa 14 1.2.7 Định nghĩa 14 1.2.8 Định nghĩa 14 1.3 Các tính chất đặc trưng điểm siêu hữu hiệu tập đóng 15 1.3.1 Định lý 15 1.3.2 Nhận xét 19 1.3.3 Ví dụ 19 1.3.4 Định lý 21 1.3.5 Nhận xét 22 1.3.6 Định lý 22 Chƣơng TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ 24 2.1 Kiến thức chuẩn bị 24 2.1.1 Định nghĩa 25 2.1.2 Định nghĩa 25 2.2 Các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ 26 2.2.1 Bổ đề 26 2.2.2 Định lý 26 2.2.3 Hệ 28 2.2.4 Nhận xét 28 2.2.5 Mệnh đề 28 2.2.6 Định lý 30 2.2.7 Hệ 31 2.2.8 Định lý 32 2.2.9 Định lý 32 2.2.10 Hệ 32 2.2.11 Hệ 32 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán cân vectơ (VEP) đưa vào nghiên cứu Ansari, Oettli Schlager 3 Bianchi, Hadjisavvas Schaible  4 vào năm 1997 Gần toán cân vectơ nghiên cứu rộng rãi, bao gồm nhiều tốn khác, trường hợp đặc biệt như: toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán tối ưu vectơ bao gồm tối ưu hóa tập, toán cân Nash vectơ, Trong lý thuyết toán cân vectơ lý thuyết tối ưu vectơ người ta thường xét nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Pareto, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig nghiệm siêu hữu hiệu Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Zheng – Yang – Teo (2007) thiết lập tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu tối ưu vectơ Gong (2011) chứng minh điều kiện đủ tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ Đây đề tài nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Chính mà tơi chọn đề tài: “ Nghiệm siêu hữu hiệu toán tối ưu toán cân vectơ ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày kết tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu tập đóng Zheng – Yang – Teo (2007) tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ Gong (2001) Sử dụng kết hai báo để viết luận văn Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi kiến thức lí thuyết tối ưu Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chƣơng Tính chất đặc trƣng điểm siêu hữu hiệu tập đóng Trình bày tính chất đặc trưng điểm siêu hữu hiệu tập đóng không gian Banach Zheng – Yang – Teo ([10], 2007) ngơn ngữ nón pháp tuyến Clarke, nón thứ tự khơng phải giả thiết có sở bị chặn Chú ý toán tối ưu hóa tập trường hợp riêng tốn cân vectơ Chƣơng Tính chất đặc trƣng nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ Trình bày điều kiện đủ tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ không gian Banach Gong ([7], 2001) cách sử dụng định lí phạm trù Baire Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chƣơng TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU CỦA MỘT TẬP ĐĨNG Trình bày tính chất đặc trưng điểm siêu hữu hiệu tập đóng khơng gian Banach ngơn ngữ nón pháp tuyến Clarke, nón thứ tự khơng phải giả thiết có sở bị chặn Các kết trình bày chương Zheng – Yang – Teo ([10], 2007) 1.1 Một số kiến thức giải tích Lipschitz Giả sử X khơng gian Banach X* không gian đối ngẫu X f hàm Lipschitz địa phương x  X 1.1.1 Định nghĩa Đạo hàm suy rộng hàm f theo phương v  X  x , kí   hiệu f0 x, v xác định sau:   f x, v  limsup x x t  f ( y  tv)  ( x) t (1.1) x  X , t  1.1.2 Định lí Giả sử f hàm Lipschitz địa phương với số Lipschitz K x Khi đó, (i) Hàm v  f ( x, v) hữu hạn , dương, cộng tính X f ( x; v)  K v (ii) f ( x, v) nửa liên tục theo  x, v  , f  x,. Lipschitz với số K X Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (iii) f ( x; v)  ( f )0 (u, v) Chứng minh: (i) Do f Lipschitz địa phương với số Lipschitz K, tồn lân cận U x cho với y, z U , f ( y)  f  z   K y  z Do đó, từ (1.1) ta có f ( x, v)  limsup x x t  K tv K v t với t đủ nhỏ, y U y  tv U Từ suy tính chất hữu hạn hàm f  x,. Với   , ta có f  x, v   limsup yx t  =  limsup yx t  f ( y  t v)  f ( y ) t f ( y  t  v)  f ( y )   f ( x, v) t  hàm f  x,. dương Bây ta kiểm tra tính cộng tính: f  x, v     limsup yx t   limsup yx t  f ( y  tv  t )  f ( y) t f ( y  tv  t )  f ( y  tv) f ( y  tv)  f ( y )  limsup yx t  t t  f ( x,  )  f ( x, v) Bởi y  tv  x y  x t  (ii) Lấy dãy xi  vi  hội tụ đến x v tương ứng, với i, yi , ti  cho yi  xi  ti  , i Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 21 an   0,0  yn  n 1    1    n     2  n 1  1        n     Do  0,0  SEL  , C  1.3.4 Định lý Giả sử  lồi Khi đó, phát biểu sau tương đương: (i) a  SEL  , C  (ii) a  SE  , C  (iii) Tồn M,   (0, ) cho x  a  M  y  d  x,    với  x, y   B  a,   X với x  a C y (iv) Tồn số M   0,  cho x  a  M  y  d  x,    với  x, y   X  X với x  a C y (v)  int  C   N c  , a   Chứng minh: (i)  (iii)  (v) suy từ định lý 1.3.1 (ii)  (i) (iv)  (iii) tầm thường Ta phải (i)  (ii) (iii)  (iv) Giả sử (i) Lấy M ,   O cho (1.7) Giả sử x y  X thỏa mãn x  a C y Lấy t   0,1 đủ nhỏ cho a  t  x  a     a   BX  Chú ý a  t  x  a   a C ty , từ (1.7) ta suy x  a  M y Từ (1.6) suy a  SE  , C  Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 22 Vì vậy, (i)  (ii) Tương tự ta có (iii)  (iv) Định lý chứng minh 1.3.5 Nhận xét Lấy X  l2 , C  x l2 : tọa độ x không âm}   C Như vậy, với kết Borwein Zhuang, ta kiểm tra liệu có điểm siêu hữu hiệu  theo C hay không Mặt khác, ý  int  C   N c  ,0   , Nc  ,0   C   C l2  C  C Từ Định lý 1.3.4 suy  SE  , C  Cuối cùng, ta xét trường hợp  compact địa phương a (tức tồn   , cho    a   BX  compact) Ta biết  compact địa phương điểm  X hữu hạn chiều 1.3.6 Định lý Giả sử  compact địa phương a  quy a theo nghĩa Clake Khi đó, phát biểu sau tương đương: (i) a  SEL  , C  (ii)  SE T  , a  , C  (iii)  E T  , a  , C  (iv)  int  C   N c  , a   Chứng minh: Ta có (i)  (iv) suy từ nhận xét 1.3.1 Bởi  quy a , ta có Nc T  , a  ,0   Nc Tc  , a  ,0   Nc  , a  Từ Định lý 1.3.4 suy (ii)  (iv) Bởi (ii)  (iii) tầm thường, ta cần (iii)  (i) Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 23 Giả sử a  SEL  , C  Khi đó, tồn dãy  x , y  n n   X cho xn   a, xn  a C yn xn  a  n yn , n (1.18) Bởi  compact địa phương a , khơng tính chất tổng quát ta giả sử xn  a  h  T  , a  \ 0 xn  a Từ (1.18) suy h  C Do đó,  E T  , a  , C  Định lý chứng minh Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 24 Chƣơng TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Chương trình bày điều kiện đủ tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu tốn cân vectơ khơng gian Banach cách sử dụng định lý phạm trù Baire, nón thứ tự khơng phải giả thiết có sở bị chặn Các kết trình bày chương sở Gong ([7], 2011) 2.1 Kiến thức chuẩn bị Giả sử X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y không gian vectơ tôpô lồi địa phương thực, A tập X F : A A  Y song hàm Xét tốn cân vectơ (viết tắt VEP): tìm x  A cho F  x, y  K \ 0, y  A , K nón lồi Y Trong chương này, sử dụng định lý phạm trù Baire chúng tơi trình bày tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu tốn cân vectơ khơng gian Banach khơng phải giả thiết nón thứ tự có sở bị chặn Giả sử X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực Y không gian Banach thực, C nón nhọn lồi đóng Y giả sử Y* không gian đối ngẫu tôpô trongY nón C sinh thứ tự phận Y định nghĩa y1  y2  y2  y1  C C gọi chuẩn tắc U  C   U  C  bị chặn, U hình cầu đơn vị đóng Y Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 25 Giả sử   C*  y* Y : y* , y  0, y  C nón đối ngẫu C Với x  A , ta ký hiệu F  x, A   F  x, y  yA Giả sử D tập khác rỗng Y Bao nón D định nghĩa cone  D   td : t  0, d  D Ký hiệu nón đối ngẫu D   D* : y* Y * : y* , d  0, d  D Ký hiệu phần D int D 2.1.1 Định nghĩa Một vectơ x  A gọi nghiệm siêu hữu hiệu toán (VEP) tồn số thực M  cho cone  F  x, A   U  C   MU Ký hiệu VS  A, F  tập nghiệm siêu hữu hiệu (superefficient solution) toán (VEP) 2.1.2 Định nghĩa Một vectơ x  A gọi nghiệm siêu hữu hiệu nón (conesuperefficient solution) toán (VEP) tồn số thực M  cho cone  F  x, A  C   U  C   MU Ký hiệu VCS  A, F  tập nghiệm siêu hữu hiệu nón toán (VEP) Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 26 Bài toán (VEP) bao gồm toán tối ưu vectơ trường hợp đặc biệt F  x, y   y  x, ( x, y  A ), nghiệm siêu hữu hiệu (VEP) điểm siêu hữu hiệu tập A Y trình bày chương 2.2 Các tính chất đặc trƣng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ Giả sử X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực Y không gian Banach thực Giả sử C nón nhọn lồi đóng Y Từ định nghĩa nghiệm siêu hữu hiệu, ta dễ dàng nhận bổ đề sau 2.2.1 Bổ đề x0 VS  A, F  tồn số M  cho với x  A y  Y , F  x0 , x   y F  x0 , x   M y 2.2.2 Định lý  Nếu  int C *   F  x0 , A   *  x V  A, F  S Chứng minh:   Bởi  int C *   F  x0 , A   , tồn   cho * U  C*   F  x0 , A  , * (2.1) U hình cầu đơn vị đóng Y * Do C *  F  x , A nón lồi (2.1), ta suy * Y *  C*   F  x0 , A  * Ta có Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 27    Y   C *  nU   F  x0 , A   nU * n 1 * (2.2) Chú ý C *  F  x0 , A  đóng yếu * U compact yếu * , * C*  nU   F  x0 , A   nU compact yếu * đóng yếu * * lồi Ta thấy C*  nU   F  x0 , A   nU đóng theo tôpô * chuẩn Y * Từ (2.2) định lý phạm trù Baire ta suy tồn y* Y * ,  , số tự nhiên n1 cho 0 y*  U  C*  nU   F  x0 , A   nU 1 * (2.3) Do (2.2) tồn số tự nhiên n2 cho  y*  C*  n2U   F  x0 , A   n2U * (2.4) Chú ý C *  F  x0 , A  nón lồi, từ (2.3) (2.4) ta suy * 0 U  C *  nU   F  x0 , A   nU  C *  n2U   F  x0 , A   n2U 1 * *  C *   n1  n2 U   F  x0 , A    n1  n2 U Như vậy, *  n1  n2 U  C *  U   F  x0 , A   U Đặt r  *  n1  n2 Ta có rU  C*  U   F  x0 , A   U * (2.5) Bây ta x0 VS  A, F  Với x  A y  Y , F  x0 , x   y , ta xét trường hợp Trường hợp (i): Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 28 F  x0 , x   Theo định lý Hahn – Banach tồn y* Y * , cho y*  y* , F  x0 , x   F  x0 , x  (2.6) Ta có ry* , F  x0 , x   r F  x0 , x  (2.7) Do (2.5), tồn c*  C*  U , d *   F  x0 , A   U cho * ry*  c*  d * Từ (2.7) ta suy r F  x0 , x   c*  d * , F  x0 , x   c* , F  x0 , x   d * , F  x0 , x   c* , F  x0 , x   c* , y  y Vì vậy, F  x0 , x   y r Trường hợp (ii): F  x0 , x   Rõ ràng F  x0 , x   y r Theo Bổ đề 2.2.1, ta có x0 VS  A, F  Điều kết thúc chứng minh Từ Định lý 2.2.2, ta nhận hệ sau 2.2.3 Hệ Nếu Y *  C*   F  x0 , A  x0 VS  A, F  * 2.2.4 Nhận xét Nếu Y không gian Banach, so sánh với hệ 8 kết trình bày đây bỏ điều kiện C có sở bị chặn 2.2.5 Mệnh đề (i) VCS  A, F   VS  A, F ; Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 (ii) Nếu C chuẩn tắc VS  A, F   VCS  A, F  Chứng minh: (i) Bởi  C , theo định nghĩa ta có VCS  A, F   VS  A, F  (ii) Nếu x0 VS  A, F  tồn số thực M  cho cone  F  x0 , A   U  C   MU (2.8) Giả sử y  cone  F  x0 , A  C   U  C  \ 0 Khi đó, y  t  F  x0 , x   c   b  c ' , t  0, x  A, c  C, b U , c '  C Như vậy, y  tF  x0 , x   tc  b  c ' Từ (2.8) suy tF  x0 , x   cone  F  x0 , A   U  C   MU Ta có y   MU  C   U  C  (2.9) Nếu M  Do C chuẩn tắc, tồn số thực M '  cho  MU  C   U  C   U  C   U  C   M 'U Ta có y '  M 'U (2.10) Nếu M  (2.9) ta có y   MU  C   U  C  Như vậy, Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 y  U  C   U  C   M 'U , M Vì vậy, y  MM 'U (2.11) Từ (2.10) (2.11) ta suy cone  F  x0 , A  C   U  C   MM 'U Như vậy, x0 VC S  A, F  Bây ta trình bày tính chất đặc trưng nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ khơng gian Banach với nón thứ tự khơng cần có sở bị chặn 2.2.6 Định lý Nếu C chuẩn tắc F  x0 , A tập C  lồi ( tức F  x0 , A  C tập lồi )  F  x , A  * x0 VS  A, F   C*  Y * Chứng minh: Nếu x0 VS  A, F  , theo Mệnh đề 2.2.5, x0 VCS  A, F  Do Định lý 8 , ta có  F  x , A  C  *  C*  Y * (2.12) Chú ý F  x, A  C  F  x, A , ta có  F  x , A  C    F  x , A   * * Kết hợp điều với (2.12), ta nhận  F  x , A  *  C*  Y * Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31   Ngược lại,  F  x0 , A   C*  Y * 0 int C *   F  x0 , A   * * Theo Định lý 2.2.2, ta có x0 VS  A, F  Định lý chứng minh 2.2.7 Hệ F  x0 , A tập C  lồi,thì Nếu C chuẩn tắc x0 VS  A, F  với g  Y * , tồn f   F  x0 , A  cho * g C* f  f , F  x0 , y  , y  A Chứng minh: Nếu x0 VS  A, F  , theo Định lý 2.2.6, ta có  F  x , A  *  C*  Y * Như vậy, với g  Y * , tồn f   F  x0 , A  h  C * cho * g  f  h Vì vậy, g C* f  f , F  x0 , y  , y  A Ngược lại, với g  Y * , tồn f   F  x0 , A  cho * g C* f  f , F  x0 , y  , y  A, (2.13) đó, tồn h  C * cho g  f  h Do (2.13) ta có, f   F  x0 , A  * Như vậy, ta có g   F  x0 , A   C* * Do g  Y * bất kỳ, ta có Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 32  F  x , A  *  C*  Y * Theo định lý 2.2.6, ta có x0 VS  A, F  Hệ chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 8 , ta có định lý sau 2.2.8 Định lý Nếu x0 VS  A, F  F  x0 , A tập lồi,  F  x , A  *  C*  Y * Từ Hệ 2.2.3 Định lý 2.2.8 ta nhận định lý sau 2.2.9 Định lý Nếu F  x0 , A tập lồi x0 VS  A, F   F  x , A  *  C*  Y * 2.2.10 Hệ Giả sử Y khơng gian Banach Nếu nón nhọn lồi đóng C chuẩn tắc A  Y tập C lồi ( tức A  C tập lồi ), x0  A điểm siêu hữu hiệu toán tối ưu vectơ  A  x0  *  C*  Y * Chứng minh: Lấy F  x, y   y  x, x, y  A Theo định lý 2.2.6 ta nhận kết luận 2.2.11 Hệ Giả sử Y không gian Banach, A  Y tập lồi C nón nhọn lồi đóng Khi đó, x0  A điểm siêu hữu hiệu toán tối ưu vectơ  A  x0  *  C*  Y * Chứng minh: Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 Lấy F  x, y   y  x, ( x, y  A ) Theo định lý 2.2.9, ta nhận kết luận KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết nghiệm siêu hữu hiệu toán tối ưu tập toán cân vectơ Zheng – Yang – Teo (2007) Gong (2011), bao gồm: - Khái niệm điểm siêu hữu hiệu tập nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ; - Các tính chất đặc trưng điểm siêu hữu hiệu tập đóng Chú ý nón thứ tự khơng phải giả thiết có sở bị chặn, tập hợp giả thiết bán trơn - Điều kiện đủ cho nghiệm siêu hữu hiệu tốn cân vectơ tính chất đặc trưng chúng có giả thiết lồi thích hợp Lý thuyết nghiệm siêu hữu hiệu toán tối ưu toán cân vectơ đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội II Tiếng Anh [3] Q.H Ansari, W Oettli, D Schlager (1997), “A generalizatinon of vector equilibrium”, Math Methods Oper Res 46, 147 - 152 [4] M Bianchi, N Hadjisavvas, S Schaible (1997), “Vector equilibrium problems with generalized monotone bifunctions”, J Optim Theory Appl 92, 527 – 542 [5] J.M Borwein, D Zhuang (1993), “Super-efficiency in vector optimization”, Trans Am Math Soc 338, 105 – 122 [6] F.H Clarke (1983), “Optimization and Nonsmooth Analysis”, Wiley, New York [7] X.H Gong (2011), “A characterization of super-efficiency in vector equilibrium problems”, Optim Lett 5, 683 - 690 [8] X.H Gong, W.T Fu, W Liu (2000), “Super-efficiency for a vector equilibrium in locally convex topological vector spaces”, In: Giannessi, F (ed.) Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria: Mathematical Theories, pp 233 – 252 Kluwer Academic Publishers, Netherlands [9] Y.D Hu, C.Ling (2000), “Connectedness of cone super-efficient point sets in locally convex topological vector spaces”, J Optim Theory Appl 107, 433 – 446 Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 35 [10] X.Y Zheng, X.M Yang, K.L Teo (2007), “Super-efficiency of vector optimization in Banach spaces”, J Math Anal Appl 327, 453 – 460 Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... như: toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán tối ưu vectơ bao gồm tối ưu hóa tập, toán cân Nash vectơ, Trong lý thuyết toán cân vectơ lý thuyết tối ưu vectơ người ta thường xét nghiệm hữu hiệu. .. nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Pareto, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig nghiệm siêu hữu hiệu Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú nhiều nhà toán học quan tâm nghiên... tốn tối ưu hóa tập trường hợp riêng tốn cân vectơ Chƣơng Tính chất đặc trƣng nghiệm siêu hữu hiệu tốn cân vectơ Trình bày điều kiện đủ tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu tốn cân vectơ