Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File word
CHUYÊN ĐỀ - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Sự tương giao: Cho đồ thị hàm số: y f x , y g x Phương trình hoành độ giao điểm: f x g x f x g x phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao Vơ nghiệm: khơng có điểm chung, nghiệm (đơn): cắt nhau, nghiệm kép: tiếp xúc, nghiệm phân biệt: giao điểm,… Chú ý: 1) Phương trình bậc 3: ax3 bx cx d , a Nếu có nghiệm x x0 phân tích: x x0 Ax Bx C Nếu đặt hàm số f x ax3 bx cx d điều kiện: có nghiệm: đồ thị khơng có cực trị yC Ð yCT , có nghiệm: yC Ð yCT , có nghiệm phân biệt: yCÐ yCT yC Ð yCT Phương trình bậc có nghiệm dương khi: xC Ð , xCT a f 2) Hai điểm nhánh đồ thị y g x , ta thường lấy hai hoành độ k a k b với a, b xk Góc khoảng cách: xx ' yy ' r r - Góc vectơ: cos u, v x y x '2 y ' r ur - Góc đường thẳng: cos cos n, n ' - Khoảng cách AB xB xA yB y A AA ' BB ' A2 B A '2 B '2 - Khoảng cách từ M x0 ; y0 đến : Ax By C : d Ax0 By0 C A2 B - Đồ thị hàm bậc 3: y f x cắt trục hoành điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB BC tức nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng điểm uốn thuộc trục hồnh Trang - Phương trình trùng phương ax bx c 0, a có nghiệm phân biệt lập cấp số cộng t1 t2 , t2 9t1 Tiếp tuyến tiếp xúc: - Tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 đồ thị C : y f x y y0 f ' x0 x x0 , hệ số góc: f ' x k tan x, t - Điều kiện đồ thị y f x y g x tiếp xúc hệ phương trình: f x g x có nghiệm f ' x g ' x - Tiếp tuyến qua điểm K a; b : Lập phương trình tiếp tuyến x0 cho tiếp tuyến qua điểm K a; b tìm x0 Chú ý: Với hai đường thẳng d : y ax b, d ' : y a ' x b ' có: d d ' a a ' , b b ' ; d / / d ' a a ' , b b ' ; d d ' a.a ' 1 Yếu tố đối xứng: - Hàm số chẵn: x D x D f x f x Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung - Hàm số lẻ: x D x D f x f x Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc O uur - Công thức chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI x X x0 y Y y0 Oxy IXY với I x0 ; y0 : - Điều kiện C nhận I x0 , y0 tâm đối xứng y0 f x0 x f x0 x , x0 x, x0 x D , chuyển trục phép tịnh tiến đến gốc I nói hàm số lẻ - Điều kiện C nhận d : x a làm trục đối xứng; f a x f a x , a x, a x D , chuyển trục phép tịnh tiến đến S a;0 hàm số chẵn Quỹ tích điểm M: Tìm tọa độ x, y M, khử tham số x y Trang Giới hạn: Chuyể ndk có tham số điều kiện x (hay y) Đặc biệt: Nếu M x; y V cần tìm x rút tham số để thế, khử tham số CÁC BÀI TỐN Bài tốn 3.1: Chứng minh đồ thị hàm số y x 2m2 x cắt đường thẳng y x hai điểm phân biệt với giá trị m Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x 2m2 x x x x3 2m2 x 1 x x3 2m2 x Xét hàm số f x x3 2m2 x Ta có f 1 f ' x 3x 2m2 nên hàm số đồng biến ¡ Vì lim f x lim x3 2m2 x x x lim f x lim x3 2m2 x x x nên phương trình f x ln có nghiệm x : đpcm Bài tốn 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành điểm phân biệt: a) y x3 2m 1 x 3m x m b) y x3 3mx m Hướng dẫn giải a) Cho y x3 2m 1 x 3m x m x 1 x 2mx m x 1 f x x 2mx m 1 Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 m m ' m 1 m 2, m f m b) D ¡ Ta có y ' 3x2 3m, y ' x m Điều kiện Cm cắt trục hoành điểm phân biệt đồ thị có CĐ, CT yC Ð yCT Trang m m yC Ð yCT f m f m 2m m m 2m m m 1 4m3 4m3 m2 2m m 1 4m2 3m 1 m (vì 16 nên 4m2 3m 0, m ) Bài tốn 3.3: Tìm giá trị m để đường thẳng d m qua điểm A 2;2 có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số: y 2x 1 x 1 a) Tại hai điểm phân biệt? b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị? Hướng dẫn giải Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Phương trình dm : y m x mx 2m Phương trình hồnh độ giao điểm d m đường cong: mx 2m 2x 1 mx 2m x 1 x 1, x 1 x 1 mx 3mx 2m 0, x 1 1 a) Đường thẳng d m cắt đường cong cho hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 m a m m 12 0, g m 12 m b) Hai nhánh đường cong cho nằm hai bên đường tiệm cận đứng x 1 đồ thị Đường thẳng d m cắt đường cong cho hai điểm thuộc hai nhánh phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 x1 1 x2 Trang Đặt x t x1 1 x2 t1 t2 Phương trình trở thành: m t 1 3m t 1 2m mt mt ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu P m Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng a) y m, m cắt đồ thị C hàm số y x 3x hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O x2 b) y 3x m cắt đồ thị C hàm số y điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 x1 x2 đạt x 1 giá trị nhỏ Hướng dẫn giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm: x x m x 3x m Với m đường thẳng y m cắt C hai điểm phân biệt A xA ; m B xB ; m đối xứng qua Oy, xA xB uuur uuur Tam giác OAB vuông O nên OAOB xA xB m2 Mà xA xB nên xA m; xB m Do m4 3m2 m m m3 2m2 m m (vì m ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 3x m x m 3 x m 0, x x 1 Điều kiện có nghiệm phân biệt khác 1: m 2m : Đúng m 1 g 1 Ta có: x1 x2 b b 2a 2a m 2m 4 m 1 8 2 Vậy giá trị x1 x2 nhỏ m 1 Trang Bài tốn 3.5: Tìm giá trị m cho a) Đồ thị hàm số y x m 1 x m cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài b) Đường thẳng d : y x m cắt C : y 2x 1 hai điểm A, B mà AB 10 x 1 Hướng dẫn giải a) Hoành độ giao điểm đường cong trục hồnh nghiệm phương trình: x4 m 1 x2 m x x m Điều kiện m m Khi đó, phương trình có nghiệm x 1, x 1, x m , x m Đường cong cắt trục hoành điểm tạo thành ba đoạn thẳng khi: m m 1 m m (chọn) b) Phương trình hồnh độ giao điểm d C : 2x 1 x m 1 x m x m x 1 x Đường thẳng d cắt C điểm A, B phân biệt phương trình có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác m 6m m m 1 m 1 m 1 0, m 1 m 1 m Khi A x1; x1 m , B x2 ; x2 m x1 x2 m 1; x1.x2 m Ta có AB 10 x2 x1 x2 x1 10 x2 x1 2 x1 x2 x1 x2 m 1 m 1 2 m 1 m (thỏa mãn) m m Vậy m hay m Trang x 3x Bài toán 3.6: Chứng minh đường thẳng d : y m x cắt đồ thị C : y điểm M, N x 1 cắt tiệm cận C P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có trung điểm Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm d C : x 3x m x x m x m 0, x x 1 Ta có x khơng nghiệm m2 16 , m nên d cắt C điểm phân biệt M, N Ta có y x 3x x2 nên TCĐ: x , TCX: y x x 1 x 1 Do xP , hồnh độ giao điểm Q d với TCX: m x x xQ xP xQ m xM xN m2 Do : đpcm 2 2 Bài tốn 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a) y x biết tung độ tiếp điểm y0 b) y x3 x 3x song song với d : y x9 Hướng dẫn giải a) Ta có phương trình tiếp tuyến điểm x0 , f x0 : y f ' x0 x x0 f x0 Vì y0 f ' x x x0 1 nên f ' x0 x2 Thế vào: y 1 x 2 x 4 b) y ' x x Đường thẳng d có hệ số góc k Tiếp tuyến song song với nên y ' x 16 x 15 x0 3 x2 4x 4 x0 2 Trang Với x0 29 37 f x0 nên có tiếp tuyến y x 24 12 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Với x0 3 f x0 nên có tiếp tuyến y x Vậy có tiếp tuyến y 3 37 x y x 4 12 Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị: a) y x3 x có hệ số góc bé b) y f x thỏa mãn f 1 x x f 1 x x Hướng dẫn giải a) Ta có hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm y ' x 12 x 6 x 1 6 , dấu = x0 nên max y ' 6 , tiếp tuyến A 1; 1 y 6 x b) Lấy đạo hàm vế, ta có: f 1 x f ' 1 x f 1 x f ' 1 x Thế x : f 1 f ' 1 f x f ' 1 * Thế x vào f 1 x x f 1 x f 1 f 1 f 1 1 f 1 f 1 f 1 1 Với f 1 * : (loại) Với f 1 * : 4 f ' 1 f ' 1 f ' 1 Vậy phương trình tiếp tuyến y 1 x 1 Trang Bài tốn 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến C hàm số: a) y x 3 biết khoảng cách từ tâm đối xứng C đến tiếp tuyến 2 x 1 b) y x3 3x biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB 9OA Hướng dẫn giải a) Ta có y ' x 1 , x 1 Phương trình tiếp tuyến d M x0 ; y0 C , x0 1 y x0 1 x x0 x0 x0 x x0 1 y x02 x0 3 nên 4 x0 1 x02 x0 3 d I , 2 16 x0 1 2 2 2 x0 1 x0 1 16 x0 1 4 x0 x0 1 x0 3 Với x0 ta có phương trình tiếp tuyến y x Với x0 3 , ta có phương trình tiếp tuyến y x b) Ta có y ' 3x x Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB 9OA nên hệ số góc tiếp tuyến d là: k tan OAB OB 9 OA Do y ' 9 3x x 9 x2 x x0 1 x x VN x0 Với x0 , phương trình d y x Trang Với x0 , phương trình d y x 25 Bài tốn 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến C hàm số: y tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích S x 1 điểm M có hồnh độ âm, biết tiếp x2 Hướng dẫn giải Ta có y ' 3 x 2 ,x Tiếp tuyến d với C M x0 ; y0 , x0 d:y 3 x0 x x0 x0 x0 Gọi A, B giao điểm d với Ox Oy x x0 x02 x0 Ta có A ;0 , B 0; x 1 1 x02 x0 x02 x0 S OA.OB 6 x0 x02 x0 x0 1 x0 x0 3x0 x0 4 x0 Chọn x0 nên có hai tiếp tuyến là: d1 : y 1 x 1 ; d2 : y x 12 Bài tốn 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến C hàm số: a) y x3 5x qua A 0;2 b) y 1 m x m , m qua M mx m 1; 1 Hướng dẫn giải a) Ta có: y ' 3x 10 x Phương trình tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 y f ' x0 x x0 y0 y 3x03 10 x0 x x0 x03 5x02 Trang 10 x0 Dấu đẳng thức xảy x0 x0 Vậy điểm M thỏa mãn M 2;1 , M 2;1 Bài tốn 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị C : y 4x có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé x 3 Hướng dẫn giải Đồ thị y Gọi M x; 4x có TCĐ : x , TCN ' : y x 3 4x C , ta có d M ; d M ; ' x 3 x 3 4x 4 x3 2 6 x 3 x 3 Dấu = xảy x x 3 , có điểm M 6;7 M ' 0;1 x 3 Bài tốn 3.31: Tìm điểm M thuộc đồ thị C : y x 1 có tổng khoảng cách đến trục bé x 1 Hướng dẫn giải Gọi M x; x 1 x 1 , x 1 C , tổng khoảng cách đến trục d x x 1 x 1 Xét điểm A 0;1 C d nên d , xét điểm có: x , x 1 nên x 1 x , đó: d x x 1 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 x 1 x 1 Dấu = xảy x 2 x 1 x 1 x 1 Vậy có điểm M 1 2;1 , M ' 1 2;1 x2 Bài tốn 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị C : y có tổng khoảng cách đến trục bé x2 Hướng dẫn giải Trang 22 Gọi M x; x2 x2 tổng khoảng cách đến trục d x , x C x2 x2 3 2 Xét điểm A 0; C d Khi 3 , d nên xét điểm có hồnh độ x 2 x2 x2 nên d x x2 x2 x2 x2 8x , f ' x Nếu x d f x x 2 x2 x 2 f ' x x Lập BBT d f Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 x2 1 , g ' x 0 Nếu x d g x x x2 x 2 Do g nghịch biến ;0 g x g So sánh d 3 M A 0; 2 Bài tốn 3.33: Tìm hai điểm nhánh đồ thị C : y x2 x có khoảng cách bé x2 Hướng dẫn giải x2 x 1 x 1 ,x Hàm số y x2 x2 Trang 23 Gọi A a;3 a 1 1 , B b;3 b điểm thuộc nhánh với a, b Ta có: a b 2 1 2 BA2 a b a b a b 1 1 a b ab 2 a b 2 4ab 2 ab a b ab a b 2ab 4.2 ab Dấu = xảy a b 2ab Vậy A 1 ab ab 1 ;3 B ;3 2 2 2 Bài tốn 3.34: Tìm điểm M thuộc P : y f x 3x 8x N thuộc P ' : y g x x x 13 cho MN bé Hướng dẫn giải Ta có khoảng cách MN bé tiếp tuyến M N song song với chúng vng góc với đoạn MN Gọi M x; f x , N x1; g x1 f ' x g ' x1 6 x x1 x1 3x Do MN 36 x 192 x3 392 x 352 x 121 h x Ta có h ' x 64 x3 36 x 49 x 22 64 x 1 x 27 x 22 h ' x x Lập BBT h x h 1 Khi M 1;4 , N 3; 2 ; kiểm tra MN vng góc với tiếp tuyến M, N: Vậy M 1;4 , N 3; 2 Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị C : a) y x2 x có tâm đối xứng x3 Trang 24 b) y x x3 x có trục đối xứng Hướng dẫn giải nên C có TCĐ: x TCX: y x , giao điểm tiệm cận I 3;4 x 3 uur x X Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ OI : Thế vào C được: y Y a) Ta có y x Y X 1 5 Y X X 33 X Vì Y F X X hàm số lẻ đpcm X b) y ' x3 12 x x x x 3x y ' x 2 x 1 x uur x X 1 Thế hàm số: y Y Xét điểm I 1;1 Chuyển hệ trục phép tịnh tiến theo vectơ OI : Y X 1 X 1 X 1 Y X X hàm số chẵn đpcm Bài tốn 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số y x2 x đối xứng qua điểm x 1 5 I 0; 2 Hướng dẫn giải Ta có y x Gọi E x1; y1 , F x2 ; y2 theo đề bài: x 1 x1 x2 x1 x2 x x 4 y1 y2 x1 x2 9 x1 x2 x x Do x1 x2 , x12 9 nên E 3; 2 F 3;7 x2 x Bài tốn 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y đối xứng qua đường thẳng x 1 d : y x Hướng dẫn giải Xét đường thẳng d ' vng góc với d d ' : y x b PT hoành độ giao điểm d ' C : x2 x x b, x x 1 Trang 25 x b 3 x b Điều kiện b 3 b b2 2b Hoành độ giao điểm I d d ' : x x b xI I trung điểm đoạn AB: xI b3 x A xB b3 b3 b (chọn) Vậy A 14 14 14 14 ;6 ;6 , B 3 2 2 x2 m 2 x m Bài tốn 3.38: Tìm m để đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y hai điểm đối x 1 xứng qua y x Hướng dẫn giải Điều kiện PT hồnh độ giao điểm có nghiệm phân biệt khác −1: x2 m 2 x m x x m x m 1 x 1 2 1 m m m Đk: m m m 11 104 hay m 11 104 Gọi x1 , x2 hồnh độ hai giao điểm, ta có x1 , x2 nghiệm (1) theo định lí Viet: x1 x2 m7 Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y x vuông góc với đường thẳng y x nên tung độ hai giao điểm x2 , x1 Do x2 x1 x1 x2 4 m m (thỏa mãn) Bài tốn 3.39: Tìm cặp điểm ngun C : y x3 x đối xứng với qua đường thẳng y x khơng nằm đường thẳng Hướng dẫn giải Nếu gọi A x; y điểm đối xứng A qua đường thẳng y x có tọa độ y; x Vì yêu cầu toán tương đương với việc tìm nghiệm nguyên x; y với x y hệ phương trình Trang 26 y x 4x 1 x y y 1 nên x y x xy y x xy y Phương trình x xy y có nghiệm nguyên x y 2; 1 , 1;2 , 2;1 , 1; 2 Thử lại vào hệ, ta chọn nghiệm 2; 1 , 1;2 Vậy cặp điểm nguyên đối xứng với qua đường thẳng y x không nằm đường thẳng 2; 1 1;2 Bài toán 3.40: Cho f x hàm đa thức bậc Chứng minh đồ thị f x có trục đối xứng x a khi: f ' a f ''' a Hướng dẫn giải Ta khai triển f x theo x a : f x a4 x a a3 x a a2 x a a1 x a a0 f a đó: nên đồ thị đa thức f x có trục đối xứng x a i! g x f x a hàm số chẵn: i f 3 a 0 a3 3! f ' a a1 f ''' a f a 1! Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Mở rộng cho đa thức bậc chẵn 2m mà đồ thị có trục đối xứng x a f ' a f ''' a f m1 a Bài tốn 3.41: Tìm điểm cố định của: Trang 27 x m x 6m a) Các đồ thị y x2 b) Các đường thẳng qua CĐ, CT đồ thị: y mx3 3mx 2m 1 x m Hướng dẫn giải a) Gọi M x0 ; y0 tọa độ điểm mà đồ thị qua m Ta có y0 x0 m, m x02 1 m y0 x02 x0 0, m x0 1, y0 x0 x0 1, y0 y0 x0 x0 Vậy đồ thị có hai điểm cố định M 1;0 M ' 1;0 b) y ' 3mx 6mx 2m 1, m m Ta có y y x 1 2m 10 m y ' x nên đường thẳng qua CĐ, CT là: 3 2m 10 m m x 10 x x 1 3 3 Suy đường thẳng qua CĐ, CT qua điểm cố định A ;3 Bài tốn 3.42: Tìm điểm M mà đồ thị sau không qua a) y mx x 9 b) y x3 3mx 2m2 x m2 5m với M thuộc d : x Hướng dẫn giải a) Gọi M x0 ; y0 điểm mà đồ thị không qua: y0 x0 mx0 , m x0 x0 9, mx0 y0 x0 , m x0 Vậy tập hợp điểm cần tìm đường thẳng: x x , bỏ điểm A 0; 1 x 0, y b) Gọi M 1; y d điểm cần tìm: y 3m 2m2 m2 5m 1, m Trang 28 3m2 8m 1 y 16 1 y y Vậy điểm cần tìm M 1; y với y 13 13 Bài toán 3.43: Chứng minh đồ thị y 1 m x3 31 m x 4mx m qua điểm cố định thẳng hàng Hướng dẫn giải Gọi M x0 ; y0 điểm cố định đồ thị: y0 1 m x03 31 m x02 4mx0 m, m y0 x03 3x02 x0 1 m x03 3x02 , m x0 3x0 x0 y0 x0 3x0 1 (2) Ta chứng minh (1) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f x x3 3x x f liên tục ¡ , ta có f 6 85 , f 1 , f 1 , f 11 nên (1) có nghiệm phân biệt thuộc khoảng 6; 1 , 1;0 , 0;2 Từ 1 x03 3x02 x0 nên y0 x0 Vậy điểm cố định thẳng hàng đường thẳng y x Bài toán 3.44: Chứng minh đồ thị hàm số y m 1 x m , m tiếp xúc với đường thẳng cố xm định điểm cố định Hướng dẫn giải Gọi M x0 ; y0 điểm cố định: y0 m 1 x0 m , m x0 m m 1 x0 m y0 x m , x0 m, m x0 y0 m x0 1 y0 0, x0 m, m x0 0, y0 1 Ta có y ' m2 x m , x m y ' 1 Vậy đồ thị luôn tiếp xúc điểm cố định M 0; 1 , có tiếp tuyến chung y x Trang 29 Bài toán 3.45: Trên đồ thị C hàm số y x3 3x có cặp điểm mà tiếp tuyến có hệ số góc p, chứng minh trung điểm đoạn thẳng nối cặp điểm điểm cố định Hướng dẫn giải Tiếp tuyến với C có hệ số góc p, hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: y ' p 3x x p 3x x p 1 ' 3p p Với p C có tiếp tuyến song song với hệ số góc p Gọi x1 , x2 nghiệm (1), với tiếp điểm M1 , M trung điểm M1M có hồnh độ: xI x1 x2 1 yI Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: Vậy trung điểm M1M điểm cố định I 1;0 HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 x mx m2 Bài tốn 3.46: Tìm điểm mặt phẳng cho có hai đường họ Cm : y xm qua Hướng dẫn giải Giả sử x0 ; y0 điểm mặt phẳng mà có hai đường cong Cm qua Khi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x02 mx0 m2 y0 m2 x0 y0 m x0 x0 y0 x0 m Điều kiện x0 y0 y0 3x0 Vậy điểm cần tìm có tọa độ x0 ; y0 thỏa mãn quan hệ x0 y0 y0 3x0 Bài tốn 3.47: Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị Cm : Trang 30 a) y m 1 x m b) y mx 6m xm xm Hướng dẫn giải a) D ¡ \ m Ta có Ta có lim y lim x x lim y , lim y nên TCĐ: x m với m x m x m m 1 x m m nên TCN: xm y m 1 uur x X m Thế vào y Y m 1 Giao điểm tiệm cận I m; m 1 , chuyển hệ trục theo phép tịnh tiến OI : Cm được: m 1 X m m m2 Y m 1 Y X X m m m2 hàm số lẻ nên C có tâm đối xứng I có tọa độ x m ; y m Khử tham X số m quỹ tích tâm đối xứng đường thẳng d : y x 1, x Ta có Y F x b) Đồ thị Cm : y mx 6m , x m có TCĐ: xm x m TCX: y mx 6m nên giao điểm I m; m2 6m 1 uur Chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI tâm đối xứng I có tọa độ: x m , y m2 6m Khử tham số m quỹ tích tâm đối xứng parabol P : y x x Bài tốn 3.48: Tìm quỹ tích điểm: a) Cực đại đồ thị y x 2mx 3m x 1 b) Cực tiểu đồ thị y x3 3mx m2 x m3 3m Hướng dẫn giải a) D ¡ \ 1 , y ' x 2mx 3m ,' m x 1 Điều kiện có cực trị 0,1 m m , hoành độ cực trị x m Lập BBT điểm cực đại A: x m 4, y f x Trang 31 Ta có x m m 1 x P : y 2x 6x 10 , vào y quỹ tích điểm cực đại thuộc x m nên giới hạn x b) D ¡ , y ' 3x 6mx m2 Vì ' , m nên đồ thị ln có CĐ, CT có hồnh độ x m Lập BBT điểm cực tiểu B : x m; y f 1 m 2 Vậy quỹ tích điểm cực tiểu đường thẳng d : y 2 Bài toán 3.49: Với giá trị m đường thẳng y m x cắt đồ thị y x2 x hai điểm phân x 1 biệt A, B Khi đó, tìm tập hợp trung điểm M đoạn AB Hướng dẫn giải x2 x m x 3x m x m 0, x PT hoành độ giao điểm: x 1 Vì x khơng phải nghiệm nên đường thẳng cắt đường cong cho hai điểm phân biệt khi: m 12 m 1 m2 8m m m Hoành độ trung điểm M đoạn thẳng AB là: xM x A xB m Vì điểm M nằm đường thẳng y m x nên yM m xM Khử m, ta có m xM nên yM xM xM 5xM Vậy tập hợp điểm M nằm đường thẳng y 5x Giới hạn: m x x m 6 6x x Bài tốn 3.50: Tim quỹ tích điểm thuộc trục tung mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị y x2 x x 1 Hướng dẫn giải Ta có D ¡ \ 1 , y ' x x 2 x 1 nên phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x0 Trang 32 y x0 x0 x0 1 x x0 Cho x y Xét f x x02 x0 x0 x0 x0 1 2x 1 x 1 2 , x f ' x 2 x x 1 Cho f ' 1 x Bảng biến thiên x − y' y − + −1 Do y 1 , nên quỹ tích điểm thuộc trục tung cần tìm B 0; y với y Bài tốn 3.51: Tìm quỹ tích điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến C : y x x mà tiếp x 1 tuyến vng góc với Hướng dẫn giải Gọi M a; b , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k: y k x a b Điều kiện d tiếp xúc C hệ sau có nghiệm x 1 x k x a b x x 1 1 x 1 k x 1 Do k x a b x 1 k x 1 x 1 2 k 1 a b k 1 a b k x 1 Ta có phương trình bậc theo hệ số góc k: g k a 1 k 1 a b k b2 0, k Yêu cầu toán: a 1, k1k2 1, g 1 a 1, b2 a 1 , a 1 1 a b b2 2 Trang 33 a 1 b2 4, a 1, a b Vậy quỹ tích điểm cần tìm đường tròn x 1 y bỏ điểm A 1;2 , B 1; 2 , C 2; D 2; BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 3.1: Tìm m để đường thẳng x2 x a) y 2 x m cắt đồ thị hàm số y hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn x thẳng AB thuộc trục tung b) y m cắt đồ thị y x x điểm phân biệt có hoành độ tạo thành cấp số cộng Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm 3x 1 m x x 0 Vì a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với m Hoành độ trung điểm I AB: x1 x1 x2 m Kết m b) Kết m 41 25 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Bài tập 3.2: Tìm m cho đường thẳng x2 a) y m x cắt đồ thị hàm số y C hai điểm thuộc hai nhánh x b) y x m cắt đồ thị hàm số y x2 hai điểm phân biệt A, B cho AB x Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm dấu Trang 34 Kết m b) Kết m 2 Bài tập 3.3: Cho hàm số y x có đồ thị C Tìm tọa độ điểm M thuộc C cho tiếp tuyến x 3 C M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B diện tích tam giác OAB Hướng dẫn Các tiếp điểm x0 3 , x0 Bài tập 3.4: Cho hàm số y f x cos2 x m sin x Tìm m để hai tiếp tuyến x x song song trùng Hướng dẫn 32 Kết m f ' 1 4 3 Điều kiện f ' Bài tập 3.5: Tìm m để đồ thị 2m 1 x m2 y x 1 tiếp xúc với đường phân giác góc phần tư thứ Hướng dẫn Đường phân giác góc phần tư thứ y x Điều kiện đồ thị y f x y g x tiếp xúc hệ phương trình: f x g x có nghiệm Kết m f ' x g ' x Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị a) y x x điểm uốn b) y x3 3x có hệ số góc lớn Hướng dẫn a) y ' 4 x3 x, y '' 12 x Kết y 3 x x y 3 3 b) Kết y 3x Trang 35 x 2m x m Bài tập 3.7: Tìm m để đồ thị hàm số y có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc O x 1 Hướng dẫn Điều kiện f x f x có nghiệm x x 1 Kết m 1 m , m 1 2 Bài tập 3.8: Tìm hai điểm nhánh đồ thị C : y 2x có khoảng cách bé x 1 Hướng dẫn Kết A 5;2 , B 5;2 Bài tập 3.9: Tìm điểm mà đồ thị không qua: y x3 m 1 x m2 3m x 2m m2 Hướng dẫn Kết đường thẳng x , bỏ điểm A 1;7 điểm M x; y cho x 1 x 1 x 2 x3 x y Bài tập 3.10: Tìm điểm M đồ thị H : y 4x có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé x 3 Hướng dẫn Kết M 0;1 M 6;7 Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số: y x3 mx m , giao điểm với trục Oy, tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Hướng dẫn Kết m hay m 3 2 Trang 36 ... ; d M ; ' x 3 x 3 4x 4 x 3 2 6 x 3 x 3 Dấu = xảy x x 3 , có điểm M 6;7 M ' 0;1 x 3 Bài tốn 3. 31: Tìm điểm M thuộc đồ thị C : y x 1 có... 3m 2m2 m2 5m 1, m Trang 28 3m2 8m 1 y 16 1 y y Vậy điểm cần tìm M 1; y với y 13 13 Bài toán 3. 43: Chứng minh đồ thị y 1 m x3 3 1... x Bài tốn 3. 48: Tìm quỹ tích điểm: a) Cực đại đồ thị y x 2mx 3m x 1 b) Cực tiểu đồ thị y x3 3mx m2 x m3 3m Hướng dẫn giải a) D ¡ 1 , y ' x 2mx 3m ,'