TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA: TOÁN-TIN HỌC MƠN: SỐ HỌC VÀ LOGIC TỐN HỌC Tiểu luận: SỐ NGUYÊN TỐ TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA: TỐN-TIN HỌC MƠN: SỐ HỌC VÀ LOGIC TỐN HỌC Tiểu luận: SỐ NGUYÊN TỐ MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Số nguyên tố khái niệm xưa toán học, với học sinh, khái niệm số nguyên tố khái niệm biết đến đầu tiên.Tưởng biết tất điều cần biết số nguyên tố Vậy mà thực tế người biết q số nguyên tố, việc nghiên cứu số nguyên tố khó dường câu hỏi đặt cho số nguyên tố câu hỏi vĩnh cửu toán học Mặc dù vậy, sau hàng kỷ biết đến vấn đề toán học lý thuyết, khoảng 30 năm trở lại đây, số nguyên tố tham gia vào ứng dụng thiết thực xã hội đại: vấn đề bảo mật thông tin Và đó, người nhận rằng, chưa thật biết nhiều số nguyên tố! I LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN, VAI TRÒ VÀ CHỖ ĐỨNG I.1 Giai đoạn (Trước công nguyên): Số ngun tố tính chất lần nghiên cứu rộng rãi nhà toán học Hylạp cổ đại Các nhà toán học trường học Pythagoras (500 TCN đến 300 TCN) quan tâm đến tính chất số nguyên tố Họ quan tâm đến hoàn hảo thân thiện số Cho đến thời gian xuất "Nguyên lý" Euclid (Khoảng 300TCN), số kết quan trọng số nguyên tố chứng minh Trong sách Nguyên lý IX chứng minh có vô hạn số nguyên tố Đây chứng biết từ sớm sử dụng phương pháp phản chứng Trong khoảng 200 TCN Eratosthenes (Hylạp) nghĩ thuật tốn để tính số nguyên tố, gọi sàng Eratosthenes Sàng Eratosthenes, mặc ta thuật toán xác định số nguyên tố không vượt số cho trước, sử dụng để xác định xem số cho có phải số ngun tố hay khơng Ngun nhân thuật tốn có độ phức tạp lớn I.2 Giai đoạn (Trước kỷ 17): Sau kết đạt việc nghiên cứu lý thuyết số nguyên tố nhà toán học Hylạp (Trước cơng ngun) Thì sau khoảng cách dài lịch sử lý thuyết số nguyên tố không đạt thành tựu đáng kể, thường gọi thời kỳ đen tối I.3 Giai đoạn (Sau kỷ 17): Những phát triển quan trọng thực Fermat vào đầu kỷ 17 Ông chứng minh suy đoán Albert Giard số nguyên tố có dạng 4n − viết theo cách dạng tổng bình phương Ơng nghĩ phương pháp để tìm thừa số số lớn khai triển số 2027651281 = 44021.46061 Ơng lần đầu thơng báo định lý thư đề ngày 18/10/1640 cho bạn ông Frénicle de Bessy Như thường lệ Fermat không chứng minh Euler lần công bố chứng minh vào 1736 báo, Leibniz có chứng minh với ý tưởng tương tự thảo không công bố vào khoảng trước năm 1683 Điều mà ngày biết đến Định lý Fermat bé (để phân biệt với định lý cuối Ông) Định lý Fermat bé sở cho nhiều kết khác lý thuyết số sở cho phương pháp kiểm tra nguyên tố, sử dụng MTĐT ngày II GIỚI THIỆU CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN II.1 Định nghĩa: Số nguyên tố số nguyên lớn 1, không chia hết cho số nguyên dương ngồi Số ngun lớn số nguyên tố gọi hợp số II.2 Tính chất số nguyên tố: II.2.1 Định lý (Euclid, kỉ III trước công nguyên) Tập hợp số nguyên tố vô hạn *Bổ đề Euclid Nếu số nguyên tố p chia hết tích a.b số nguyên a b p phải chia hết số a b Chứng minh: Giả sử tích a1a2…an chia hết cho p, ta phải có số a1,a2,…,an chia hết cho p Thật giả sử trái lại tất s a1, a2,…,an khơng chia hết cho p theo bổ đề chúng nguyên tố với p ta có ƯCLN (a1a2…an ,p) = Ðiều mâu thuẫn với giả thuyết II.2.2 Định lý (Fermat bé) Nếu p số nguyên tố a số khơng chia hết cho p ap−1 ≡ (mod p) Chứng minh : Xét số: a, 2a, …, (P -1)a i, J ∈ { 1; 2; ( p − 1)}, ( i ≠ J ) Giả sử tồn ⇒ (i − J )a ≡ ⇒i−J ≡0 để ia ≡ Ja (modp) (modp) (modp), (a; P) = 0≤ i−J < P ⇒i−J =0 ⇒ i = J (vơ lý) Vì thế, chia số a, 2a, …, (P -1)a cho P có dư số đôi khác khác ⇒ a.2a ( P − 1) a ≡ ( P − 1) ! (modp) ⇒( P − 1) !a P −1 ≡ ( P − 1) ! (modp) ⇒ a P −1 ≡ ( P; ( P − 1)!) = (modp), vì: II.2.3 Định lý (Wilson) Số p số nguyên tố (p − 1)! ≡ −1 (mod p) Theo gt, p\(p − 1)! + 1, từ suy a = ước chung p (p − 1)! Vậy p số nguyên tố Định lý chứng minh II.2.4 Định lý (Định lý số học) Mọi số nguyên lớn phân tích cách thành tích số nguyên tố, thừa số viết với thứ tự khơng giảm A / Sự phân tích: Từ có dạng phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên là: Trong p1,.p2, ,.pm, số nguyên tố đôi khác Ta có n chia hết cho (k1+1).(k2+1) (km+1) số tự nhiên B / Tính Giả sử ta có a = p1p2…pn = q1q2…qn hai dạng phân tích số tự nhiên a thành thừa số nguyên tố Ðẳng thức chứng tỏ p1 ước q1q2…qn nên p1 trùng với qi (1 i m) ta không kể đến thứ tự thừa số nên coi p1 = q1 từ ta p2…pn = q2…qn Lấy p2 lập lại lí luận ta p2 = q2 Lí luận lặp lại lúc vế khơng thứa số nguyên tố nữa, lúc vế lại củng khơng thừa số ngun tố ngược lại sẻ xãy Hoặc = qn+1qn+2…qn Hoặc pm+1pm+2…pm = Là Vậy phải có m = n pi = qi i = 1, 2, 3,…n nghĩa tính dạng phân tích số a thành tích thừa số nguyên tố dược chứng minh Ví dụ: phân tích 1960 thành tích thừa số nguyên tố Trong thực hành ta thực q trình phân tích phép chứng minh định lí cách tìm ước nguyên tố a = 1960 từ nhỏ đến lớn Ta viết sau: 1960 980 490 245 49 77 Vậy 1960 = 2.2.2.5.7.7 = 23.5.72 Chú ý: Bằng cách phân tích số thừa số Ta tìm tất ước số mọt cách nhanh, không bỏ sót ước • Người ta chứng minh rằng, số A có dạng phân tích thừa số nguyên tố a1, a2,…,an số ngun tố, ước A sử dụng điều để kiểm tra xem tìm ước số, ta tìm đủ số ước chưa • Thơng thường , viết phân tích thừa số nguyên tố số, ta củng viết dạng tiêu chuẩn, tức dạng ma thừa số nguyên tố xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn • Phân tích thừa số ngun tố số phương chứa thứa số nguyên tố với số mũ chẵn II.2.5 Định lý Mọi hợp số n có ước nguyên tố nhỏ *Sàng Eratosthenes: _ Ta viết dãy số tự nhiên từ đến n _ Trong dãy gạch số (vì khơng phải số nguyên tố) _ Bỏ số bội số ngun tố ≤ trừ số _ Các số lại dãy tất số nguyên tố không vượt n II.2.6 Định lý Nếu phân tích tắc số n số tất ước số dương n (bao gồm n) τ(n) = (e1 + 1)(e2 + 1)…(ek + 1) II.2.7 Định lý (Số nguyên tố) II.2.8 Định lý Nếu số nguyên n có dạng phân tích tiêu chuẩn: Thì để số nguyên d ước n, cần đủ d có dạng: Với ≤ βi ≤ αi, i = 1,2, ,k *Quy tắc tìm ước chung lớn Cho số nguyên a, b,…, c có số nguyên tố khác p1, p2,…, pk cho …… Trong αi ≥ 0, βi ≥ 0, γi ≥ với i = 1, 2,…,k Khi (a,b,…,c) = D với *Quy tắc tìm bội chung nhỏ Cho số nguyên a, b, , c với giả thiết nhứ Quy tắc tìm ước chung lớn nhất, [a, b,…,c] = m với *Số nguyên tố Mersenne Giả sử m số nguyên dương, Mm = 2m − gọi số Mersenne thứ m Nếu p số nguyên tố M p số nguyên tố, Mp gọi số nguyên tố Mersenne II.2.9 Định lý Nếu p số nguyên tố lẻ , ước nguyên tố số Mersenne M p có dạng 2kp + , k số nguyên dương *Số giả nguyên tố Giả sử b số nguyên dương Nếu n hợp số nguyên dương bn ≡ b (mod n), n gọi số giả nguyên tố sở b Trong trường hợp (a,b) = , ta thường dùng định nghĩa tương đương bn−1 ≡ (mod n) 10 III CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG III.1 Ví dụ 1: Tìm số nguyên tố p cho 2p+1 lập phương số tự nhiên *Lời giải: 2p+1=k3↔2p = (k−1)(k2+k+1) Nếu k=2 tự thay vào loại Nếu k=3 p=32+3+1=13 Nếu k>3 suy p tích số nên khơng ngun tố Vậy p=13 III.2 Ví dụ 2: áp dụng định lý Fermat bé Tìm số dư chia 22014 cho 17 *Lời giải: Vì 17 số nguyên tố nên theo Định lý nhỏ Fermat ta 216≡ (mod17) (1) Lấy 2014 chia cho 16 ta thương 125 số dư 14, suy 22014≡2125×16+14≡1125×214≡13 (mod17) Vậy 13 số dư chia 22014 cho 17 III.3 Ví dụ 3: Một số nguyên tố P chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm r? *Lời giải: Đặt P=42.k+r P nguyên tố nên gcd(42,r)=1→r lẻ r hợp số nên r khác 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41 Mà n không chia hết cho 3,7 nên r=25 Vậy r=25 III.4 Ví dụ 4: Chứng minh: Mọi hợp số phải có ước nguyên tố nhỏ hay bậc hai *Lời giải: Giả sử n = a b (1 < a, b < n) 11 Nếu a b lớn số khơng vượt q n n n = ab > n (vơ lý) phải có thừa hay có ước ngun tố khơng vượt q n III.5 Ví dụ 5: Tìm số ngun tố n8−1 với n số nguyên *Lời giải: Vì n nguyên tố nên n8−1>0 nên n>2 n< −2 (1) n8−1=(n4−1)(n4+1) thấy từ (1) →n4−1>1; n4+1>1 n8−1 không nguyên tố Vậy khơng có n thỏa đề III.6 Ví dụ 6: Tìm số nguyên tố p cho p+2, p+6, p+8, p+14 số nguyên tố? Đặt: p = 5k+r (0 ≤ r < 5) * r = => p+6 = 5k+10 = 5(k+2) chia hết cho (loại) * r = => p+2 = 5k+5 = 5(k+1) chia hết cho (loại) * r = => p+8 = 5k+10 = 5(k+2) chia hết cho (loại) * r = => p+14 = 5k+15 = 5(k+3) chia hết cho (loại) * r = => p = 5k nguyên tố k = p = 5, số là: 7,11,13,19 số nguyên tố (thỏa điều kiện đề bài) Vậy p = III.7 Ví dụ 7: Tìm số nguyên tố x cho x2 +1 số nguyên tố? Ta xét trường hợp: TH1: x=2 Do số nguyên tố x2 +1 = số nguyên tố nên x=2 thoả TH2: x>2 Do x số nguyên tố nên x chia dư => x2 chia dư => x2 +1 chia hết cho Mà x2 +1 > ∀ x >2 => x2 +1 khơng số ngun tố (loại) Vậy x=2 III.8 Ví dụ 8: 12 Giải phương trình nghiệm nguyên với p số nguyên tố lẻ xp + yp = p[(p-1)!]p *Lời giải: Theo định lí Fermat nhỏ x + y ≡ xp + yp (mod p) Theo phương trình ta suy p| xp + yp x + y ≡ (mod p) p lẻ nên: xp + yp ≡ p(x+y)yy-1 (mod p2) Mà p|x+y nên: p2 | xp + yp Cho nên: p | [(p-1)!]p Hiển nhiên vơ lí Vậy khơng tồn x, y thoả mãn III.9 Ví dụ 9: Chứng minh số a, a+k, a+2k đồng thời số nguyên tố phân biệt > k chia hết cho *Lời giải: a+k−a=k số chẵn nên k⋮2(1) Theo gt a+k;a+2k⋮̸3(∗) Giả sử k⋮̸3 nên k=3m+1 k=3m+2 với m∈N Lại có: a nguyên tố lớn nên a=3t+1 a=3t+2 với t∈N TH1: a=3t+1 Nếu k=3m+1 a+2k=3t+1+6m+2⋮3:trái (∗) Nếu k=3m+2 a+k=3t+1+3m+2⋮3: trái (∗) TH2: a=3t+2 Nếu k=3m+1 a+k=3t+2+3m+1⋮3: trái (∗) Nếu k=3m+2 a+2k=3t+2+6m+4⋮3: trái (∗) Do đó, k⋮3 Kết hợp với (1) (2;3)=1 nên ta có đpcm III.10 Ví dụ 10: 13 Tìm số ngun tố có chữ số, biết viết số theo thứ tự ngược lại ta lập phương số tự nhiên *Lời giải: Gọi số cần tìm abc với abc ∈ ℙ; a, b, c ∈ ℕ a ≠ Ta có: cba = n3 (n ∈ ℕ*) Vì 100 ≪ n3 ≪ 999  ≪ n ≪ Thử lại ta thu n = Vậy số cần tìm 521 IV CÁC LƯU Ý KHI ÁP DỤNG • Hiểu rõ khái niệm số nguyên tố ( số có ước nó) • • • • • • • • V Đối với tốn mang tính áp dụng, nên thử số nguyên tố vào đề xem thử đưa cách giải Hiểu tính chất số nguyên tố Từ Định lý Fermat bé ta hệ là: Cho n∈Z>1, tồn a∈Z>1 cho (a,n)=1 an−1−1 không chia hết cho n n hợp số Định lý số có hệ quả: Nếu số nguyên n > khơng có ước ngun tố n nhỏ hay n số ngun tố 211 Ví dụ: 211 số nguyên tố tất số nguyên tố nhỏ 2,3,5,7,11,13 không ước 211 Đối với chứng số số nguyên tố, ta dùng phương pháp phản chứng để giả sử số hợp số Trong tập hợp số nguyên tố có số số chẵn, tất số lại số lẻ Để chứng minh toán mà khó cm trực tiếp ta có thể, giả sử điều ngược lại đúng, suy mâu thuẫn BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ HƯỚNG DẪN CHO BÀI TẬP V.1 Ví dụ 1: 14 Tìm tất số nguyên tố p cho số tổng, hiệu hai số nguyên tố khác? Hướng dẫn: Ta biết tất số nguyên tố có số chẵn số 2: • • • • • • Ta xét p=2 trước (Loại) Từ suy p số lẽ, mà p = m+n suy m, n có số chẵn số lẽ Tương tự a b lẽ chẵn Số chẳn + nguyên tố suy m n Tương tự a b Ta lý luận suy b=2; m=2 n=2 Chọn trường hợp thích hợp n=3 Ta tiếp tục lý luận n>3 Bài giải cụ thể gợi ý: p=m+n; p=a−b Nếu p=2 suy loại m+n>2 Suy p lẻ m, n có lẻ chẵn giả sử m=2 Suy p=2+n (1) Th1: a=2 suy loại 2−b3 suy p≡1, 2(mod3) Nếu p≡1(mod3) a chia hết cho suy p=1 (loại) Nếu p≡2 (mod3) n chia hết cho quay lại trường hợp n=3 V.2 Ví dụ 2: Cho P, P+4 số nguyên tố (P>3) CMR: P+8 hợp số Hướng dẫn chung: • • • Giả thuyết: P>3 mà P SNT nên P không chia hết cho Rút dạng tổng quát P Xét P+4, P+8 xem nào? Bài giải cụ thể gợi ý: Vì P số nguyên tố lớn nên P không chia hết cho ⇒P = 3k + p = 3k + Nếu P = 3k + P + = 3k + + = 3k + chia hết cho lớn nên P + hợp số (loại) 15 Nếu P = 3k + P + = 3k + + = 3k + chia hết cho lớn nên P + hợp số (đpcm) V.3 Ví dụ 3: Tìm tất số nguyên tố p để 2p+p2 số nguyên tố Hướng dẫn chung: • Ta xét p=2 khơng nhận được, ta phải suy nghĩ tìm thêm p=3 xem sao? Ta thấy nhận rồi, yên tâm ta bắt đầu xét p > • Điểm ý nên ta thêm bớt vô • Với số chia hết cho tổng lại số chẵn suy khơng phải số nguyên tố Bài giải cụ thể gợi ý: xét hai trường hợp : • + + • Vì p lẽ nên Và Vậy V.4 Ví dụ 4: Tìm tất giá trị số nguyên tố p để p+10 p+14 số nguyên tố Hướng dẫn chung: dùng phương pháp chứng minh • Xét p=2 (loại) 16 • • • Xét p=3 (nhận) Xét p P có dạng 3k + 1, 3k - Thay vào p + 10, p + 14 Bài giải cụ thể gợi ý: • • • • Nếu p=3 số nguyên tố (Nhận) Nếu p3, p có dạng 3k + 1, 3k - Nếu p=3k + Nếu p=3k – Vậy p3 p + 14 p + 10 hợp số  Không thỏa mãn đề cho  Vậy p=3 giá trị có V.5 Ví dụ 5: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố số chẳn hay số lẻ Hướng dẫn chung: • • • Trong 25 số nguyên tố có số số chẳn Tổng hai số lẻ số chẳn 24 số lẻ có tổng số chẳn + số chẳn V.6 Ví dụ 6: Cho p, p + số nguyên tố (p>3) CMR: p + Hướng dẫn chung: • • • Xem xét giả thuyết p nguyên tố p>3 Xét trường hợp p = 3k + p = 3k + Giao với điều kiện Xem xét toàn điều kiện Cẩn thận Bài giải gợi ý: Vì P số nguyên tố lớn nên P không chia hết cho ⇒P = 3k + p = 3k + • P = 3k + => p + = 3k + = 3(k + 1) (Loại) • P= 3k + => p + = 3k + = 3(k + 1) Ta có: p số nguyên tố p>3 nên p số lẻ p = 3k +  p – = 3k mà p lẻ => p - lẻ => k lẻ => k + chẳn => k + 17  P = 3(k + 1) ( dpcm ) VI ỨNG DỤNG THỰC TIỄN  Vấn đề bảo mật thông tin: Trong lịch sử mật mã học, khóa dùng vấn đề mã hóa giải mã, chúng phải giữ bí mật Mật mã hóa khóa cơng khai thể hiện: khóa cá nhân phải giữ bí mật khóa cơng khai phổ biến cơng khai Trong hai khóa khóa dùng để mã hóa khóa lại dùng để giải mã Điều quan hệ thống khơng thể tìm khóa bí mật biết khóa cơng khai William S Jevons phát nhiều phép toán dễ thực theo chiều khó theo chiều ngược lại Một ví dụ chứng tỏ mã hóa dễ dàng giải mã khơng Tác giả đề cập đến nguyên lý: ta dễ dàng nhân số tự nhiên phân tích kết thừa số ngun tố khơng đơn giản  Vấn đề khác: Số nguyên tố số chia cho Chúng số quan tự nhiên chúng “nguyên tử” toán học, Hidro oxy giới số Mỗi số xây dựng cách nhân nhiều số nguyên tố với Đối với nhiều văn hóa Tây Ban Nha Trung Quốc họ coi số nguyên tố số may mắn TBN cho việc cầu thủ họ chọn số nguyên tố làm số áo mang chiến thắng TQ cho số chẵn nữ, số lẽ nam số lẽ nguyên tố nam tính Hoặc số nguyên tố thể sinh tồn loài động vật ví dụ: ve sầu ẩn lòng đất 17 năm, sau ngoi lên, sống, sinh sản, chết 17 năm sau có đàn ve sầu Nhưng chúng lại chọn 17 năm? Chúng cho kẻ thù chúng xuất định kỳ vòng năm Ve sầu thấy việc chúng chọn chu kỳ môt số nguyên tố, chúng tránh xa động vật ăn thịt thường xuyên Mỗi bạn sử dụng thẻ tín dụng mạng, tài khoản bạn giữ bí mật tin tặc nhờ vào sức mạnh số nguyên tố Số nguyên tố trở thành ổ khóa bảo vệ bí mật mà sử dụng thông qua trung tâm mua sắm điện tử TỔNG KẾT 18 Dù cố gắng với thời gian hạn hẹp, nhóm chúng tơi tìm hiểu, tổng hợp số định lý, nêu bật vài dạng tập ngân hàng kiến thức số nguyến tố Với đề tài tiểu luận này, hi vọng cung cấp vài điều cần thiết trình học, trình tham khảo bạn Mặc dù số nguyên tố phát hiện, biết đến từ lâu rồi, chưa có tài liệu cơng bố tìm quy ước, thuật tốn để dễ dàng tìm số nguyên tố vô số số tự nhiên.Các nhà tốn học lao vào nghiên cứu vai trò muốn phát thêm nhiều điều thú vị số nguyên tố TÀI LIỆU THAM KHẢO Theo http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/65676-cm-n%E1%BA %BFu-aaka2k-d%E1%BB%93ng-th%E1%BB%9Di-nguyen-t%E1%BB%91-l %E1%BB%9Bn-h%C6%A1n-3-thi-k-vdots-6/> [Ngày truy cập 1/12/2014] Theo [Ngày truy cập 2/12/2014] Theo < http://d.violet.vn//uploads/resources/619/2808761/preview.swf> [Ngày truy cập 01/12/2014] Theo [Ngày truy cập 01/12/2014] Theo [Ngày truy cập 01/12/2014] 19 20 ... *Số nguyên tố Mersenne Giả sử m số nguyên dương, Mm = 2m − gọi số Mersenne thứ m Nếu p số nguyên tố M p số nguyên tố, Mp gọi số nguyên tố Mersenne II.2.9 Định lý Nếu p số nguyên tố lẻ , ước nguyên. .. MƠN: SỐ HỌC VÀ LOGIC TỐN HỌC Tiểu luận: SỐ NGUYÊN TỐ TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA: TỐN-TIN HỌC MƠN: SỐ HỌC VÀ LOGIC TỐN HỌC Tiểu luận: SỐ NGUYÊN TỐ MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Số nguyên tố khái... Tổng 25 số nguyên tố số chẳn hay số lẻ Hướng dẫn chung: • • • Trong 25 số nguyên tố có số số chẳn Tổng hai số lẻ số chẳn 24 số lẻ có tổng số chẳn + số chẳn V.6 Ví dụ 6: Cho p, p + số nguyên tố (p>3)