ĐỀ CƯƠNG : PHẦN LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG A Lý thuyết (2điểm) Câu 1: Phương trình vi phân tổng quát hệ liên tục tuyến tính Cho hệ điều khiển liên tục tuyến tính thể hình : u (t ) Hệ điều khiển LTTT y(t ) y (t ) = T { u (t )} u (t ) y (t ) Trong đó, tín hiệu vào tín hiệu Ánh xạ thỏa mãn ngun lý xếp chồng Phương trình vi phân có dạng tổng quát sau: d n y (t ) d n −1 y (t ) dy (t ) + a + + a1 + a0 y (t ) n −1 n n −1 dt dt dt d m u (t ) d m−1u (t ) du (t ) = bm + b + + b1 + b0u (t ) m −1 m m −1 dt dt dt an (*) a , a1 , , a n , b0 , b1 , , bm Trong đó: hệ số phương trình vi phân Nếu hệ số phương trình vi phân khơng thay đổi theo thời gian hệ cho hệ dừng ngược lại, hệ số phương trình vi phân thay đổi theo thời gian hệ khơng dừng Thông thường, hệ số xác định từ tham số hệ thống m ≤ n Để phương trình vi phân (*) có lời giải cần phải có điều kiện Bậc phương trình vi phân bậc đạo hàm cao tín hiệu Khi biết tín hiệu vào muốn tìm tín hiệu cần giải phương trình vi phân (*) Có cách sau để giải phương trình vi phân: Phương pháp giải tích: sử dụng cơng cụ biến đổi tốn học để tìm nghiệm tổng qt phương trình Phương pháp cho kết xác lúc giải Phương pháp số: tính tập hợp giá trị rời rạc tín hiệu theo thời điểm dựa thuật tốn (như Euler, Runge Kutta…) Phương pháp thích hợp cho việc lập trình máy tính nhiên kết thu nghiệm gần Câu 2: Trình bày tiêu chuẩn ổn định Routh Điều kiện cần đủ để hệ liên tục tuyến tính ổn định tất hệ số cột thứ bảng Routh dương Giả sử hệ điều khiển liên tục tuyến tính có phương trình đặc tính: A( s ) = a5 s + a4 s + a3 s + a2 s + a1s + a0 = Cách lập bảng Routh sau: a1 − b1 = a0 b2 c2 d1 e1 − c1 = − d1 = a5 a3 a a2 ; b2 = a4 a4 a2 b1 b2 ; c2 = b1 b1 b2 c1 c2 c1 − a1 a4 a0 a4 − − ; e1 = a5 a4 a0 b1 b1 c1 c2 d1 d1 Quy tắc lập bảng Routh: - Hai hàng đầu bảng Routh bao gồm hệ số phương trình đặc tính ban đầu xếp theo chiều mũi tên đến hệ số a0 dừng lại - Từ hàng thứ ba trở hệ số phân thức, tử số định thức bậc hai mang dấu “-”, có cột thứ cột thứ hai hàng đứng sát hệ số tính, cột thứ hai cột đứng bên phải hai hàng đứng sát Mẫu số số hạng hàng đứng sát hệ số tính Như hệ số hàng kể từ hàng thứ ba trở có mẫu số Câu 3: Trình bày tiêu chuẩn ổn định Hurwitz Giả sử hệ điều khiển tự động có phương trình đặc tính: A( s ) = an s n + an −1s n −1 + + a1s + a0 = Điều kiện cần đủ để hệ liên tục tuyến tính ổn định là: số an a n , ∆1 , ∆ , , ∆ n > , nghĩa hệ định thức Hurwitz phải dương Cách xác định định thức Hurwitz sau Xét ví dụ Cho hệ liên tục tuyến tính có phương trình đặc tính: A( s) = a4 s + a3 s + a2 s + a1s + a0 = ∆1 = a3 ∆2 = a3 a1 a4 a2 a3 a1 ∆ = a4 a2 a0 a3 a1 ∆4 = a3 a1 0 a4 a2 a0 0 a3 a1 0 a4 a2 a0 Quy tắc: ∆n an−1 a0 - Định thức có đường chéo phần tử từ đến , từ phần tử đường chéo lên số giảm dần, xuống số tăng dần, số khơng tăng khơng giảm phần tử tương ứng Câu 4: Khái niệm sai lệch tĩnh hệ thống điều khiển Xét hệ điều khiển tự động vòng kín có sơ đồ khối sau: u (t ) e(t ) G (s) h Trong e(t ) = u (t ) − y (t ) sai lệch hệ thống y(t ) Giả sử hệ cho ổn định, nghĩa tín hiệu vào số tín hiệu sau khoảng thời gian độ phải tiến số Khi sai lệch tín hiệu vào e∞ = lim e(t ) tín hiệu chế độ xác lập số gọi sai lệch tĩnh hệ, ký hiệu t →∞ Khái niệm sai lệch tĩnh áp dụng cho hệ ổn định Sai lệch tĩnh nhỏ hệ thống có chất lượng tốt Khi lúc e∞ = hệ gọi hệ vô sai Tuy nhiên thực tế e∞ Gh (s ) Giả sử Gh ( s) = có: Suy ra: hàm truyền đạt hệ hở, biến đổi tín hiệu gốc sang ảnh Laplace ta Y (s) E ( s) Y ( s ) = E ( s).Gh ( s ) e(t ) = u (t ) − y (t ) Mà có: E ( s ) = U ( s) − Y ( s ) ⇒ Y ( s ) = U ( s) − E ( s ) nên , thay vào công thức ta E ( s ).Gh ( s ) = U ( s ) − E ( s ) ⇒ E ( s ).[ Gh ( s ) + 1] = U ( s ) ⇒ E (s) = U (s) (*) Gh ( s ) + Kết luận: Sai lệch hệ phụ thuộc vào cấu trúc mà phụ thuộc vào tín hiệu vào hệ Với tín hiệu vào khác hệ có sai lệch khác Để khảo sát sai lệch tĩnh người ta tác động vào hệ hai loại tín hiệu vào chuẩn tín hiệu bậc u (t ) = 1(t ) u (t ) = t thang tín hiệu tăng Câu 5: Trình bày định lý sai lệch tĩnh hệ liên tục tuyến tính Với hệ thống vòng kín ổn định sai lệch tĩnh hệ hai trường hợp: u (t ) = 1(t ) - Khi tác động vào hệ tín hiệu bậc thang phân Lúc hệ gọi hệ vơ sai cấp hệ hở chứa khâu tích - Khi tác động vào hệ tín hiệu tăng hệ gọi hệ vơ sai cấp u (t ) = t hệ hở chứa hai khâu tích phân, Chứng minh: u (t ) = 1(t ) ⇒ U ( s ) = / s Trường hợp Khi tác động vào hệ tín hiệu có: E (s) = Áp dụng công thức (*) ta s[ Gh ( s) + 1] Vì hệ hở chứa khâu tích phân nên: Gh ( s) = Gh′ ( s ) s E ( s) = Suy ra: 1 =  G′ ( s )  Gh′ ( s ) + s s h + 1  s  e∞ = lim e(t ) = lim s.E ( s) = lim s t →∞ s →0 s →0 Từ đó: =0 G h′ ( s ) + s u (t ) = t → U ( s ) = s Trường hợp Khi tác động vào hệ tín hiệu E (s) = s [ Gh ( s ) + 1] Vì hệ hở chứa hai khâu tích phân nên: Gh ( s ) = Gh′′ ( s ) s2 , ta có: E (s) = Suy ra: 1 =  Gh′′ ( s ) + s 2  G h′′ ( s ) s  + 1  s  e∞ = lim e(t ) = lim s.E ( s ) = lim s t →∞ s →0 Từ đó: s →0 =0 Gh′′ ( s) + s Câu 6: Trình bày thơng số đặc trưng trình độ Khái niệm: Quá trình độ trình chuyển trạng thái từ trạng thái ban đầu sang trạng thái mới, q trình xác lập trình mà hệ thống đạt trạng thái làm việc ổn định trạng thái Tqd * Thời gian độ : lim y (t ) = y xl t →∞ Là thời gian tính từ thời điểm ban đầu đến thời điểm mà đặc tính thời gian đầu bắt ±5% y xl sau khơng khỏi dải Thời gian độ chia miền thời đầu vào dải gian thành hai trình: trình độ trình xác lập * Độ điều chỉnh δ : sai biệt giá trị lớn giá trị xác lập đầu Độ chỉnh tuyệt đối : δ = yMAX − yxl Độ chỉnh tương đối : δ% = yMAX − y xl 100% y xl (n) * Số lần dao động : số lần đặc tính thời gian dao động xung quanh giá trị xác lập tính đến thời điểm kết thúc q trình q độ Có đặc tính thời gian khơng có dao động mà có độ q điều chỉnh Ba thơng số sai lệch tĩnh tạo thành tiêu chất lượng động học hệ Bốn thông số có giá trị nhỏ chất lượng động học tốt Câu 7: Điều kiện tồn độ q điều chỉnh q trình q độ, cho ví dụ Chỉ xét trường hợp tất điểm cực điểm không số thực âm > q1 ≥ q ≥ ≥ q m Giả sử: > p1 ≥ p ≥ ≥ p n Xét m q1 < p1 , q < p , , q m < p m bất đẳng thức: m Nếu bất đẳng thức q trình q độ hệ khơng có độ điều chỉnh Nếu có l bất đẳng thức sai q trình q độ hệ có độ q điều chỉnh có l điểm cực trị Ví dụ : G(s) = ( s + 1)(2 s + 1)(3s + 1) (0.5s + 1)(1.2 s + 1)(2.2 s + 1) Khảo sát hàm độ hệ Giải: Hệ cho ổn định bốn điểm cực hệ số thực âm q trình q độ khơng dao động h(0) = (vì hệ có dạng hợp thức chặt); hxl = b0 / a0 = 1/1 = Các điểm không: q1 = -1/3 ; q2 = -1/2; q3 = -1 Các điểm cực: p1 = -5/11; p2 = -5/11; p3 = -5/6 ; p4 = -2 q1 < p1 , q < p , q3 < p3 Xét: -1/3 < -5/11: sai -1/2 < -5/11: -1 < -5/6: Có bất đẳng thức sai, trình q độ có độ q điều chỉnh có điểm cực trị Câu 8: Khái niệm điều khiển PID Xét cấu trúc vòng kín hệ điều khiển tự động hình w(t ) e(t ) -Trong đó: hiệu w( t ) tín hiệu đặt, e( t ) BĐK u (t ) tín hiệu sai lệch , u( t ) ĐTĐK y(t ) tín hiệu điều khiển y( t ) tín - Đây cấu trúc mạch vòng kín có phản hồi đầu ra, nhiệm vụ đặt phải tổng hợp điều y w khiển cho đối tượng điều khiển có đầu bám vào tín hiệu đặt với sai lệch nhỏ sau khoảng thời gian ngắn Một điều khiển sử dụng rộng rãi điều khiển PID Bộ điều khiển PID có mặt hệ thống điều khiển tự động dây chuyền sản xuất thép, sản xuất giấy, lò luyện xi măng, dây chuyền điều khiển điện, hệ thống điều khiển nước động diezel Cấu trúc điều khiển PID gồm ba thành phần: - Thành phần tỷ lệ (Proportional): P - Thành phần tích phân (Integral): I - Thành phần vi phân (Derivative): D Sơ đồ khối điều khiển PID : kI s I: e(t ) u (t ) P : kp D : k D s Như vậy, điều khiển PID gồm có ba khâu: khâu tỷ lệ, khâu tích phân khâu vi kp phân Các khâu ghép nối song song với nhau, với phân KD hệ số tỷ lệ, kI hệ số tích hệ số vi phân Mối quan hệ vào điều khiển PID biểu diễn theo hai cách sau R( s ) = k p + Biểu diễn theo hàm truyền đạt: kI + k D s s Biểu diễn theo phương trình vi – tích phân: u ( t ) = k p e( t ) + k I ∫ e( t )dt + k D de( t ) dt Ngoài ra, điều khiển PID biểu diễn theo sơ đồ khối thứ hai sau: e(t ) k TI s p TD s u (t ) Với TI - số tích phân, TD - số vi phân TI = k p k I ; TD = k D k p Mối quan hệ hai sơ đồ khối sau: Câu 9: Hãy nêu chức điều khiển PID Ba khâu tỷ lệ, tích phân vi phân tạo nên điều khiển PID với chức khâu sau: - Khâu tỷ lệ: khâu thực vai trò chủ đạo cho điều khiển Mỗi xảy sai lệch đầu sai lệch khuếch đại qua khâu tỷ lệ để tác động trở lại đối tượng làm giảm sai lệch - Khâu tích phân: khâu bổ trợ, có tác dụng làm tăng độ xác cho hệ Chừng sai lệch tĩnh chưa thơng qua khâu tích phân tạo tín hiệu ln thay đổi tác động lên đối tượng để làm giảm dần sai lệch tĩnh - Khâu vi phân: khâu bổ trợ, có tác dụng làm tăng thêm độ nhạy cho hệ thống Chỉ cần thay đổi nhỏ yếu tố bên ngồi tác động lên hệ qua khâu vi phân tạo nên thay đổi lớn tác động lên đối tượng, làm cho đối tượng phản ứng nhanh với thay đổi môi trường bên k p kI kD Nhiệm vụ tốn tổng hợp điều khiển PID xác định ba hệ số , k p TI TD (đối với cấu trúc 1), ba hệ số , (đối với cấu trúc 2) để làm cho đối tượng thỏa mãn yêu cầu đề Trên thực tế, tùy vào đối tượng tùy vào yêu cầu điều khiển, điều khiển PID không thiết phải có đủ ba khâu mà cần khâu hai khâu Chẳng hạn, không u cầu hệ có độ nhạy cao bỏ khâu vi phân, ta có điều khiển PI:    R ( s ) = k p 1 +  TI s  s1 , s , , s n Các nghiệm phương trình đặc tính điểm cực (poles) hệ, B( s ) = q1 , q , , q m nghiệm phương trình gọi điểm không (zeros) hệ Vị trí của điểm cực điểm khơng mặt phẳng phức phản ánh tính chất động học hệ Nghiệm tổng quát phương trình vi phân bao gồm hai thành phần đặc trưng cho trình xác lập trình độ hệ điều khiển tự động y ( t ) = y (t ) + y qđ (t ) y (t ) Trong đó: nghiệm riêng phương trình, đặc trưng cho trình xác lập hệ, y qđ (t ) nghiệm tổng quát phương trình nhất, đặc trưng cho trình độ n y qđ (t ) = ∑ ci e sit hệ có dạng i =1 A( s) = an s n + an −1s n −1 + + a0 = si , nghiệm phương trình đặc tính c1 , c , , c n hệ số Dựa vào dạng thay đổi thành phần độ người ta đưa khái niệm tính ổn định hệ sau: Một hệ điều khiển liên tục tuyến tính gọi ổn định thành phần độ tắt dần theo thời gian Hệ thống khơng ổn định thành phần q độ tăng dần theo thời gian Hệ thống biên giới ổn định thành phần độ khơng biến đổi q trình dao động khơng tắt dần Câu 5: Điều kiện ổn định hệ liên tục tuyến tính miền phức n n lim y qđ (t ) = ⇔ lim ∑ ci e sit = y qđ (t ) = ∑ ci e sit i =1 Ta có: t →∞ Hệ ổn định t →∞ i =1 Xét nghiệm si phương đặc tính hai trường hợp : si = α si Trường hợp Nếu lim ci e t →∞ Khi đó: si t số thực, 0  α =0 = lim ci e = ci t →∞ ∞ α > : hệ biên giới ổn định  : hệ không ổn định Trường hợp Nếu số phức Đặt si = α + jβ , si +1 = α − jβ ci e sit + ci +1 e si +1t = ci e (α + jβ ) t + ci +1 e (α − jβ ) t = Ai e αt cos(βt + ϕ ) lim(ci e + ci +1 e si t t →∞ Khi đó: : hệ ổn định αt si Xét tổng: α