Thể tích khối đa diện 1/ cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b và hợp với đáy một góc . a/ tính thể tích khối chóp V= 3 2 3 cos .sin 4 b b/ tính diện tích xung quanh của khối chóp đó. 2 2 3 cos 3(4 3cos ) 4 xq b S = 2/ cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc . a/ tính thể tích khối chóp 3 2 3 4 tan 3 (1 tan ) V a = + b/ tìm giá trị lớn nhất của thể tích của khối chóp 3 max 4 3 27 a V = , = 45 0 . 3/ cho kối chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = a, SA (ABCD), SC hợp với đáy một góc và hợp Với mặt bên (SAB) một góc . a/ cmr : 2 2 2 cos sin a SC = b/ / ? cho p V = 3 2 2 1 sin .sin . 3 cos sin a V = 4/ cho khối chóp S.ABCD có hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy; SA = a , đáy là hình thoi cạnh a và góc A = 120 0 . a/ cmr hai tam giác SBC và SDC bằng nhau. b/ tính diện tích xung quanh của khối chóp 2 7 (1 ) 2 xq S a= + c/ tính V khối chóp, từ đó suy ra khoảng cách từ D đến mặt (SBC). 3 3 , 12 a V = 21 ( ,( )) 7 a d D SBC = . 5/ cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là . gọi M là trung điểm của SC , mặt phẳng (MAB) cắt SD tại N. tính thể tích khối chóp S.ABMN theo và a. 3 1 tan 16 V a = 6/ cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thang, ã ã 0 90 , , 2 .ABC BAD BA BC a AD a= = = = = cạnh bên SA vuô ng góc với đáy và SA = a 2 .gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Cmr tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD). Đs: a/3. 7/ cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE,N là trung điểm của BC. cm MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đờng thẳng MN và AC. 8/ cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.chứng minh AM vuông góc với BP và tính CMNP V 9/ : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O cnh bng a. SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SA=a. Tớnh khong cỏch gia ng thng AC v SD 10/Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh bng a; SA vuụng gúc vi mt phng (ABC), gi I l trung im cnh BC. Mt phng qua A vuụng gúc vi SI ct SB,SC ln lt ti M,N. Bit rng SABCSAMN VV 4 1 = . Hóy tớnh V SABC 11/ Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng 6 a . Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ 12/ cho l¨ng trô ABC.A’B’C’, cã ®é dµi c¹nh bªn b»ng 2a , ®¸y tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A , , 3AB a AC a= = vµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A’ trªn mp(ABC) laf trung ®iÓm cña c¹nh BC. tÝnh theo a thÓ tÝnh khèi chãp A’.ABC vµ tÝnh cosin cña gãc gi÷a hai ®êng th¨ng AA’ , B’C’. 13/ Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng 6 a . Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. 14/ Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo 1 thiết diện có diện tích bằng 8 3 2 a . Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’. 15/ Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 2aSA = . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC, (P) cắt các cạnh SB,SC,SD lần lựơt tại M,N,K. Tính diện tích tứ giác AMNK 16/: Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh biết SO=3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho 17/ Cho hình trụ có đáy là hình tròn tâm O và O’. Gọi A, B là hai điểm lần lượt thụôc 2 đường tròn (O),(O’). Dựng đường sinh BB’. Biết thể tích của hình trụ là 3 a π ; 3 32a AB = ; khảong cách từ tâm O’ đến AB’ là 6 33a . Tính bán kính đáy và đường cao của hình trụ đã cho. 18/ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a °= ∧ 60BAD và A’A=A’B=A’D=a. 1) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ 2) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABD 19/ Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a; AA’= 2a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và A’C’ và gọi (P) là mặt phẳng qua MN và vuông góc với (BCC’B’). Tính diện tích thiết diện của (P) và lăng trụ. 20/ Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC vuông góc nhau từng đôi một và OA=OB=OC=a. Gọi K,M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN) 1) Chứgn minh CE vuông góc mặt phẳng (OMN) 2) Tình diện tích tứ giác OMIN theo a 21/ Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác cân có AB=AC=3a, BC=2a. Các mặt bên đều hợp với đáy 1 góc 60 0 , hình chiếu H của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC) ở trong tam giác ABC. 1) Chứng minh H là tâm đừơng tròn nội tiếp tam giác ABC 2) Tính thể tích hình chóp S.ABC 22/ : Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Cạnh bên 5aSA = . Một mặt phẳng (P) chứa AB và vuông góc mặt phẳng (SCD). (P) lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’ 1) Tính diện tích tứ giác ABC’D’ 2) Tính thể tích của hình đa diện ABCDD’C’ 23/ Cho lng tr ng ABCA 1 B 1 C 1 cú AB = a, AC = 2a, AA 1 2a 5= v o 120BAC = . Gi M l trung im ca cnh CC 1 . Chng minh MBMA 1 v tớnh khong cỏch d t im A ti mt phng (A 1 BM). 24/ / Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, cnh SA vuụng gúc vi ỏy, ã ACB = 60 0 , BC= a, SA = a 3 . Gi M l trung im cnh SB. Chng minh (SAB) (SBC). Tớnh th tớch khi t din MABC. 25/ Cho khi lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú cnh ỏy bng 2a, cnh bờn AA = a 3 . Gi E l trung im ca AB. Tớnh khang cỏch gia AB v mp(CEB) 26/ Cho hỡnh S.ABC cú SA (ABC), ABC vuụng ti B, SA = AB = a, BC = 2a. Gi M, N ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB v SC. Tớnh din tớch AMN theo a. 27/ Cho khi chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng ti B. Bit SA vuụng gúc vi mt phng (ABC). AB = a, BC = a 3 v SA = a. Mt mt phng qua A vuụng gúc SC ti H v ct SB ti K. Tớnh th tớch khi chúp S.AHK theo a. 28/ Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , SD = a. 1. Chứng minh rằng tam giác SBC vuông. Tính diện tích tam giác SBC. 2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). 29/ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, SA (ABCD). H,I,K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SC,SD. a/. Chứng minh rằng BC (SAB); HK (SAC). b/. Tính diện tích tứ giác AHIK biết SA=2a. 30/ Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC với (SAB) là 30 0 . 1. Tính thể tích khối chóp. 2. Tìm tâm và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 31/ Cho tứ diện SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A, SB vuông góc với mặt phẳng đáy. 1. CMR: AC SA. 2. Dựng qua B mặt phẳng vuông góc với SC, cắt SA, SC tại A, C. CMR : BA (ACS). 3. CMR : A, B, C, A, C cùng nằm trên một mặt cầu. 4. Nếu thêm vào ABC cân (AB = AC) và SA = AB = AC = a. Tính các cạnh của ABC và V BAACC . 32/ Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A, D. SA mp đáy. AB = SA = 2a, AD = DC = a. 1. CMR tam giác SBC vuông và (SBC) (SAC). 2. Dựng mặt phẳng (P) qua AC cắt SA tại M, N. Tứ giác MNCD là hình gì. Khi nào là hình chữ nhật. Lúc đó tính thể tích khối chóp S.MNCD 33/ Cho hỡnh lng tr tam giỏc u . ' ' 'ABC A B C , cú cnh AB a= . Tớnh th tớch ca khi lng tr, bit rng ' 'AB BC a/Cho hỡnh lng tr tam giỏc . ' ' 'ABC A B C ,cú ỏy l tam giỏc vuụng cõn A , mt bờn ' 'BB C C l hỡnh b/ vuụng cú din tớch bng 2 2a . Tớnh th tớch ca khi lng tr 34/ Cho hỡnh chúp t giỏc u .S ABCD cú cnh ỏy l a . Gi SH l ng cao ca hỡnh chúp . Khong cỏch t trung im I ca SH n mt phng ( ) SBC bng b . Tớnh : 1. Th tớch ca hỡnh chúp .S ABCD 2. Th tớch mt cu ngoi tip hỡnh chúp .S ABCD 35/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2. Qua A dựng mặt phẳng () vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng () và hình chóp. 36/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a. Chứng minh rằng: a) Đáy ABCD là hình vuông. b) Năm điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên một mặt cầu. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó 37/ Trên các tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc, lầnlợt lấy các điểm khác O là M, N và S với OM m,ON n,OS a.= = = Cho a không đổi, m và n thay đổi sao cho m n a+ = 1. a) Tính thể tích của hình chóp S.OMN. b) Xác định vị trí của các điểm M và N sao cho thể tích trên đạt giá trị lớn nhất. 2. Chứng minh: ã ã ã 0 OSM MSN NSO 90= = = . 38/ Cho hai hình chóp SABCD và S ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S nằm về cùng một phía với mp(ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lợt là trung điểm H của của AD và trung điểm K của BC .Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = SH = h. 39/ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ng cao SB= 2a , ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Gi M l hỡnh chiu ca B trờn SD, mt phng (BCM) ct SA ti N. Tớnh th tớch ca khi chúp S.BMN. 40/ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a, ã o BAD 60 ,= SA vuụng gúc vi mt phng ( ) ABCD , SA a = . Gi C' l trung im ca SC . Mt phng ( ) P i qua AC' v song song vi BD, ct cỏc cnh SB, SD ca hỡnh chúp ln lt ti B', D'. Tớnh th tớch ca khi chúp S.AB'C'D'. 41/ Cho lng tr ABC.A 'B'C' cú A'.ABC l hỡnh chúp tam giỏc u, cnh ỏy AB a,= cnh bờn A'A b. = Gi l gúc gia hai mt phng ( ) ABC v ( ) A'BC . Tớnh tg v th tớch ca khi chúp A '.BB'C'C. 42/ Cho hỡnh hp ng ABCD.A 'B'C'D' cú cỏc cnh a 3 AB AD a, AA' 2 = = = v gúc ã o BAD 60 .= Gi M v N ln lt l trung im ca cỏc cnh A'D' v A'B'. Chng minh AC' vuụng gúc vi mt phng ( ) BDMN . Tớnh th tớch khi chúp A.BDMN. 44/ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB a, AD 2a,= = cnh SA vuụng gúc vi ỏy, cnh SB to vi mt phng ỏy mt gúc o 60 . Trờn cnh SA ly im M sao cho a 3 AM 3 = . Mt phng ( ) BCM ct cnh SD ti im N . Tớnh th tớch khi chúp S.BCNM. 45/ Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng a, gi SH l ng cao ca hỡnh chúp. Khong cỏch t trung im I ca SH n mt bờn (SBC) bng b. Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABCD 46/ Cho hỡnh lp phng ABCD.A 'B'C'D' cú cnh bng a v im K thuc cnh CC' sao cho 2 CK a 3 = . Mt phng ( ) i qua A, K v song song vi BD chia khi lp phng thnh hai khi a din. Tớnh th tớch ca hai khi a din ú. 47/ Cho hình chóp S.ABC có SA =3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tam giác ABC có AB=BC=2a, góc ABC bằng 120 0 .Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). 48/ Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, cnh SA vuụng gúc vi ỏy, ã ACB = 60 0 , BC= a, SA = a 3 . Gi M l trung im cnh SB. Chng minh (SAB) (SBC). Tớnh th tớch khi t din MABC. . điểm của SC , mặt phẳng (MAB) cắt SD tại N. tính thể tích khối chóp S.ABMN theo và a. 3 1 tan 16 V a = 6/ cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thang, ã ã. .gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Cmr tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD). Đs: a/3. 7/ cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD