Phương pháp quy nạp toán học TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN TIN HỌC TIỂU LUẬN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TRONG TOÁN HỌC Phương pháp quy nạp toán học TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN TIN HỌC TIỂU LUẬN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TRONG TỐN HỌC Tp HỒ CHÍ MINH 12/2014 Phương pháp quy nạp tốn học PHỤ LỤC LỜI NĨI ĐẦU GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP CƠ SỞ LÝ THUYẾT NHỮNG NGUYÊN LÝ QUY NẠP NHẬN XÉT VÀ CHÚ Ý QUAN TRỌNG KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN VÀ HƯỚNG DẪN BÀI TẬP VỀ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp quy nạp toán học LỜI NĨI ĐẦU Phương pháp quy nạp tốn học hình thức suy luận hay hữu dụng, phương pháp đời từ sớm (có số sử gia cho phương pháp đời từ trước công nguyên Plato, Aristotle) Chứng minh quy nạp toán học xuất sách viết Alkaraji khoảng 1000 TCN, người sử dụng để chứng minh định lý nhị thức, tam giác Pascan tổng lập phương nguyên Có thể nói phương pháp chứng minh có hiệu Ngày phương pháp quy nạp áp dụng phổ biến khơng tốn học khoa học tự nhiên xác mà khoa học xã hội nhân văn Sự phát triển khoa học trí nhân tạo đóng góp khơng thành tựu cho toán học (giải tích, đại số, hình học, số học) Việc áp dụng phương pháp quy nạp tốn học chương trình phổ thơng quan trọng giúp học sinh phát triển lực trí tuệ ( tổng hợp, khái qt hóa vấn đề) Ngay từ học THPT (lớp 11) học sinh làm quen với phương pháp Do học sinh khơng có nhiều hội tìm hiểu nên kiến thức kỹ chứng minh quy nạp em học sinh hạn chế, học phương pháp bậc cao em học sinh bỡ ngỡ Dựa nhiều phương diện nêu chúng em định chọn đề tài QUY NẠP TOÁN HỌC với mong muốn làm rõ nghiên cứu sâu thêm phương pháp Tuy cố gắng nhiều q trình làm việc nhóm tìm kiếm tài liệu, tổng hợp kiến thức chỉnh sửa lại nhiều lần…nhưng hạn chế mặt chuyên môn nhiều sai sót nên nhóm chúng em mong đánh giá nhận xét từ thầy bạn để có hiểu biết, kinh nghiệm tiểu luận sau NHÓM BIÊN SOẠN Tốn học ơng vua ngành khoa học _ Albert Einstein GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP Phương pháp quy nạp toán học Phép quy nạp thường bắt đầu quan sát Nhà khoa học tự nhiên quan sát sống lồi chim, nhà tinh thể học quan sát hình dạng tinh thể Nhà toán học, quan tâm tới lý thuyết số, quan sát tính chất số 1, 2, 3, 4, 5,…Nếu muốn quan sát sống loài chim để đạt kết lý thú, chừng mực đó, bạn phải hiểu biết chim, phải thích chim chí yêu chim Cũng vậy, bạn muốn quan sát số bạn phải thích thú với chúng chừng mực phải hiểu biết chúng Bạn phải biết phân biệt số chẵn số lẻ, phải biết số phương số nguyên tố Ngay kiến th�ương n ≥ 2, ta có đẳng thức ……= 1.3 1.4 1.5 Chứng minh n số tự nhiên + 11n chia hết cho Chứng minh đẳng thức sau + + +….+( 3n – ) = 1.6 Cho x>-1 số thực, chứng minh (1+x)n≥1+nx, ∀n∈N* 1.7 1.8 Chứng minh 4007n-1 chia hết cho 2003 ∀n∈N* 1.9 Chứng minh số chẵn ∀n∈N* ∀n≥2, n∈N 20 Phương pháp quy nạp toán học 1.10 Cho n đường thẳng khác qua điểm mặt phẳng, hỏi chúng chia mặt phẳng thành miền? 1.11 Chứng minh chia hết cho với số tự nhiên n ! HƯỚNG DẪN: Tính tổng, áp dụng phương pháp quy nạp cổ điển chứng minh tổng với số tự nhiên n Áp dụng quy nạp cổ điển Áp dụng quy nạp cổ điển Áp dụng quy nạp cổ điển Áp dụng quy nạp cổ điển 1.6 Sử dụng quy nạp cổ điển 1.7 Đặt với Với n=1 ta có u1=6 Với n=2 ta có u2=28 Sau sử dụng quy nạp nhảy cách 1.8 Sử dụng quy nạp cổ điển 1.9 Sử dụng quy nạp cổ điển, với ý áp dụng từ n=2 1.10 Sử dụng quy nạp cổ điển 1.11 Sử dụng quy nạp cổ điển ⋇ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Cho a,b số thực dương.CMR: Cho Đặt CMR: Xét hàm số CMR: ( CMR: CMR: ( ,n>1) với 21 ) Phương pháp quy nạp toán học Cho CMR: (BĐT Bernulli) Chứng minh với số nguyên đồng (tiền Việt Nam) lớn đổi tiền lẻ không dư đồng tiền gồm tờ đồng đồng (1 đồng 1000 đồng thực tế) 10 CMR: số ngun với Hãy lập cơng thức tính F(n) theo n dãy Fibonacci 11 CMR: 12 CMR: 13 CMR: 14 CMR: 15 CMR: 16 CMR: 17 CMR: CMR: bàn cờ có số trắng đen (m chẵn, Chứng minh với tất số lẻ n,m bàn cờ cỡ n×m có bốn vng góc tơ màu Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh 18 19 20 21 22 , tìm hàm số thỏa: ( ) (n>1) ) Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời (n > 2) tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường thẳng nối hai điểm điểm cho tạo số đường thẳng khác không nhỏ n Trong mặt phẳng cho n đa giác lồi (n > 3), ba đa giác có điểm chung Chứng minh tồn điểm nằm tất đa giác 22 Phương pháp quy nạp toán học 23 24 Một người cầm tờ giấy dùng kéo cắt thành mảnh Sau lấy mảnh cắt lại cắt thành mảnh Người tiếp tục số lần Khi dừng lại người đếm tổng cộng tất mảnh cắt 122 mảnh Hỏi người đếm số mảnh giấy cắt hay sai? Ta viết bảng hai số 1.1 Sau viết vào hai số tổng chúng, ta nhận 1.2.1 Lặp lại thao tác lần nhận 1.3.2.3.1 Sau đến lần thứ ba 1.4.3.5.2.5.3.4.1 Hỏi tổng chữ số thể lên bảng sau 100 lần thao tác bao nhiêu? ® HƯỚNG DẪN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Trong tập 6,7,22,23 biến thể đặc biệt quy nạp, chúng ứng dụng phương pháp thơng thường mà phải hội tụ hài hòa để tạo hướng dạng (tìm hàm tổng quát nước bàn cờ) Các phương pháp chưa hoàn tồn đầy đủ cho đa dạng tốn học dạng phổ biến cho tốn thường gặp,ứng dụng phổ biến sống,nếu muốn bạn thầy tìm hiểu thêm tài liệu quy nạp 23 Phương pháp quy nạp toán học BÀI TẬP VỀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP █ BÀI TOÁN PHÉP CHIA HẾT Bài 1: Cho n số nguyên dương Chứng minh: n(2n2 – 3n +1) chia hết cho 11n+1 + 122n-1 chia hết cho 133 n7 – n chia hết cho n5 - n chia hết cho 13n – chia hết cho n3 + 2n chia hết cho 16n - 15n – chia hết cho 225 4.32n+1 + 32n – 36 chia hết cho 64 n3 + 3n2 + 5n chia hết cho █ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH TỔNG Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau ( với n N*) + + 27 + ….+ 3n = (3n+1 – ) 12 + 32 + 52 + ….+ (2n – 1)2 = 13 + 23 + 33 + ….+ n3 = 24 Phương pháp quy nạp toán học 1.2 + 2.5 + 3.8 + ….+ n(3n – 1) = n2(n+1) a b + + + 10 + … + 12 + 22 + 32 + ……+ n2 = + + + ….+ (2n – 1) = n2 Bài 3: Cho tổng Sn = Sn = Tính S1; S2;S3;S4 Dự đốn cơng thức Sn chứng minh phương pháp quy nạp █ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức: 2n+2>2n + (∀ n N*) 3n> n2 + 4n + 5; (∀ n N*, n≥3 ) 3n-1> n(n + 2) ; (∀ n N*, n≥4 ) 2n-3> 3n – 1; (∀ n N*, n≥4 ) ; (∀ n N*) + ; (∀ n N*, n≥2 ) + < n ; (∀ n N*, n≥2 ) Bài 5: Với giá trị số nguyên dương n, ta có: 2n + 1< n2 + 3n 2n> 2n + 2n > n2 + 4n + 3n> 2n + 7n █ QUY NẠP TOÁN HỌC VÀ DÃY SỐ Bài 6: Cho dãy số (un) với un = sin + cos Hãy tính: u1, u2, u3, u4,u5 Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức phương pháp quy nạp Bài 7: Cho dãy số (un) xác định bởi: ∀ n≥1 25 .. .Phương pháp quy nạp toán học TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN TIN HỌC TIỂU LUẬN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TRONG TOÁN HỌC Tp HỒ CHÍ MINH 12/2014 Phương pháp quy nạp. .. GẶP TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp quy nạp toán học LỜI NĨI ĐẦU Phương pháp quy nạp tốn học hình thức suy luận hay hữu dụng, phương pháp đời từ sớm (có số sử gia cho phương pháp đời từ trước công...p dụng phương pháp quy nạp cổ điển chứng minh tổng với số tự nhiên n Áp dụng quy nạp cổ điển Áp dụng quy nạp cổ điển Áp dụng quy nạp cổ điển Áp dụng quy nạp cổ điển 1.6 Sử dụng quy nạp cổ điển 1