ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN VIỆT HƯNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ SẮP XẾP LẬP KẾ HOẠCH GIA CƠNG TỐI ƯU TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN VIỆT HƯNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ SẮP XẾP LẬP KẾ HOẠCH GIA CƠNG TỐI ƯU TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHẠM HỒNG TRƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời nói đầu Chương Một số vấn đề lý luận vấn đề trình tự xếp 1.1 Vấn đề trình tự xếp 1.1.1 Lời dẫn 3 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Phân loại vấn đề trình tự xếp 10 1.2 Tìm lời giải (giải quyết) vấn đề trình tự xếp 12 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Trình tự khả thi trình tự tối ưu 12 Trình tự xếp khơng trì hỗn 13 Sơ lược thuật toán độ phức tạp thuật toán 14 1.2.4 Thuật toán độ phức tạp vấn đề trình tự xếp 15 Chương Vấn đề trình tự xếp máy đơn 18 2.1 Vấn đề tổng thời gian hoàn thành gia cơng nhiệm vụ có trọng số khác 18 2.1.1 2.1.2 Vấn đề wj Cj (xem [2]) 18 Vấn đề 1|chain| wj Cj (xem [2]) 20 2.1.3 Vấn đề | rj | Cj (xem [3]) 25 2.2 Vấn đề trễ cực đại 28 2.2.1 Vấn đề Lmax (xem [1]) 28 2.2.2 2.2.3 2.2.4 Vấn đề | rj , prmp | Lmax (xem [3]) 29 Vấn đề | rj | Lmax (xem [1]) 31 Vấn đề | rj , pj = | Lmax (xem [2]) 34 ii 2.2.5 Vấn đề | prec | Lmax (xem [3]) 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Lời nói đầu Tổ hợp tối ưu hóa lĩnh vực kinh điển tốn học có ảnh hưởng đến hầu hết lĩnh vực khoa học – công nghệ kinh tế – xã hội Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho vấn đề chiếm vai trò quan trọng Trong luận văn tơi xin trình bày vấn đề xếp lập kế hoạch gia công tối ưu số vấn đề xếp mơ hình máy đơn Lập kế hoạch gia công phần ứng dụng tối ưu hố Đó hoạt động q trình quản lý cấp cơng ty, xét mặt chất hoạt động nhằm mục đích xem xét mục tiêu, phương án kinh doanh, bước trình tự cách cải tiến hành hoạt động sản xuất kinh doanh Trong phạm vi doanh nghiệp hay tổ chức, lập kế hoạch gia công khâu đầu tiên, chức quan trọng trình quản lý sở để thúc đẩy hoạt động kinh doanh có hiệu cao, đạt mục tiêu đề Các nhà lý cần phải lập kế hoạch lập kế hoạch cho biết phương hướng hoạt động tương lai, làm giảm tác động thay đổi từ mơi trường, tránh lãnh phí dư thừa nguồn lực, thiết lập tiêu chuẩn thuận tiện cho công tác kiểm tra Lập kế hoạch gia công làm giảm chồng chéo hoạt động làm lãng phí nguồn lực doanh nghiệp để sử dụng nguồn lực cách có hiệu quả, cực tiểu hóa chi phí nhằm đạt mục tiêu lựa chọn Chính việc nghiên cứu lập kế hoạch gia công tối ưu số vấn đề gia công tối ưu số vấn đề gia cơng máy sản xuất đơn hình kinh tế đóng vai trò quan trọng Việc tìm thiết lập kế hoạch gia công tối ưu giúp cho nhà sản xuất đảm bảo điều kiện: Đáp ứng kì hạn giao hàng, tối thiểu hóa chậm trễ (nếu có) cơng việc tham gia vào q trình gia cơng, tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc Luận văn phân tích, tìm hiểu, thiết lập phương pháp gia cơng ngun liệu đầu vào trình sản xuất để đạt q trình gia cơng tối ưu số vấn đề gia công máy sản xuất đơn sản xuất kinh tế Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Hồng Trường, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp tơi trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K8A (khóa 2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 30 tháng 06 năm 2016 Tác giả Nguyễn Việt Hưng Chương Một số vấn đề lý luận vấn đề trình tự xếp 1.1 1.1.1 Vấn đề trình tự xếp Lời dẫn Vấn đề trình tự xếp đời chủ yếu lĩnh vực chế tạo máy, sau phát triển lĩnh vực hệ thống máy tính, lập kế hoạch giao thông vận tải, quản lý sản xuất Từ xếp kế hoạch sống hàng ngày, lập kế hoạch nhân viên, xây dựng thời khóa biểu nhà trường, từ tính toán kế hoạch bay cho chuyến bay cho sân bay lớn cần dùng đến phương pháp lý luận vấn đề trình tự xếp Trước đưa định nghĩa vấn đề trình tự xếp, xem xét vài ví dụ ứng dụng thực tế lĩnh vực Ví dụ 1.1.1 Gia cơng phân xưởng khí Xưởng khí cần gia cơng lơ linh kiện, linh kiện có trình tự gia cơng giống nhau, nghĩa dựa vào thứ tự gia công gia công máy khác thời gian gia công linh kiện máy khơng giống Mục tiêu đặt xếp thứ tự gia công linh kiện để thời gian hồn thành lơ linh kiện Ví dụ 1.1.2 Sắp xếp chuyến bay sân bay Một sân bay, có vài chục cửa máy bay, ngày có vài trăm chuyến bay cất cánh hạ cánh Cửa sân bay có kiểu kích cỡ khơng giống nhau, kích cỡ máy bay khác (số lượng hành khách chứa khác nhau) vài cửa cho phép xếp máy bay cỡ lớn vài cửa cho phép xếp với máy bay cỡ nhỏ Các máy bay có thời gian biểu để hạ cánh cất cánh Do ảnh hưởng thời tiết nhân tố khác sân bay, thời gian biểu có tính ngẫu nhiên lớn Khi máy bay vào đến cửa vào để hành khách lên xuống, máy bay cần bơm dầu, kiểm tra kỹ thuật, sửa chữa (nếu có), xếp hành lý Nếu có máy bay hạ cánh ảnh hưởng đến máy bay khác sân bay, ảnh hưởng đến việc chiếm hữu cửa vào, thời gian lên máy bay bị lùi lại máy bay khác đưa vào sử dụng Nhân viên phụ trách điều động sân bay cần đưa phương pháp xếp cửa vào cho máy bay hạ cánh cất cánh cho hiệu suất sử dụng sân bay cao nhất, số máy bay bị trễ thời gian cất cánh Đây vấn đề xếp trình tự có ứng dụng lớn 1.1.2 Định nghĩa Vấn đề trình tự xếp vấn đề tổ hợp tối ưu hóa quan trọng, sử dụng số máy xử lý, máy móc, nguồn lực để hồn thành tối ưu số lượng nhiệm vụ công việc cho Khi thực giải nhiệm vụ công việc này, cần thỏa mãn số điều kiện giới hạn như: thời gian đạt đến, thời gian hạn định phải hoàn thành, thứ tự thực nhiệm vụ, Mục đích làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu, hàm mục tiêu thông thường khoảng thời gian gia công, cách thức hiệu suất sử dụng máy xử lý Trong vấn đề trình tự xếp, số lượng, chủng loại máy xử lý, thứ tự công việc (nhiệm vụ), thời gian đạt đến, hạn chế hồn thành cơng việc, nhân tố rắc rối phức tạp, khó dùng tốn học mơ tả xác để đưa định nghĩa thứ tự thông thường Trong luận văn này, ta dùng cách thức sau để mơ tả vấn đề trình tự xếp: Cho tập hợp n nhiệm vụ Tập hợp m máy xử lý T = {T1 , , Tn} P = {P1 , , Pm } Tập hợp s loại nguồn lực R = {R1, , Rs } Mục đích vấn đề trình tự xếp xếp điều kiện đưa định để hoàn thành hạng mục nhiệm vụ đưa ra, xếp máy xử lý nguồn lực (nếu có) phân phối xếp nhiệm vụ để làm cho hàm mục tiêu đạt tối ưu ∗ Máy xử lý: Vấn đề máy đơn : Vấn đề trình tự xếp có máy xử lý Nếu số máy xử lý nhiều một, ta gọi vấn đề trình tự xếp đa máy Trong vấn đề trình tự xếp đa máy, tất máy xử lý có cơng ta gọi vấn đề trình tự xếp song song Máy song song phân thành loại dựa vào tốc độ xử lý: + Đồng tốc độ: Tất máy xử lý có tốc độ + Hằng tốc độ: Tốc độ máy không giống nhau, tốc độ xử lý máy số, không phụ thuộc vào nhiệm vụ gia công + Biến tốc độ : Tốc độ máy phụ thuộc vào nhiệm vụ gia công Một trường hợp khác đa máy xử lý đa loại hình Mục đích loại vấn đề sử dụng máy có công khác Trong trường hợp xử lý đa máy, nhiệm vụ cần gia công cần gia công xử lý máy khác Trong trường hợp nhiệm vụ gọi cụ thể cơng việc Giả sử có tập cơng việc J = {J1 , , Jn } Mỗi cơng việc Jj có nj q trình gia cơng T1j , T2j , Tnj Nếu công việc cần xử lý gia công máy xử lý, tức nj = m, j = 1, 2, , n mà trình gia cơng cơng việc nhau, tức thứ tự gia công máy giống vấn đề gọi đồng thứ tự Nếu công việc cần xử lý gia công máy xử lý, cơng việc có q trình xử lý khơng giống gọi thứ tự khác Nếu công việc cần xử lý gia cơng máy xử lý, cơng việc có thứ tự gia cơng xử lý gọi thứ tự gia cơng mở ∗ Nhiệm vụ công việc: Những điều kiện ràng buộc vấn đề trình tự xếp chủ yếu hạn định, u cầu q trình gia cơng tính chất nhiệm vụ cơng việc (1) Véctơ thời gian gia công Vectơ thời gian gia công nhiệm vụ pj (p1j , p2j , , pnj ) pij thời gian gia công cần thiết nhiệm vụ Tj máy pi Đối với máy đồng tốc, ta có pij = pj với i = 1, 2, , m Đối với máy tốc, ta có pij = pj /bi với i = 1, 2, , m Trong pj thời gian gia công tiêu chuẩn (thông thường thời gian gia công máy xử lý có tốc độ chậm nhất), bi tốc độ máy xử lý pi Trong vấn đề trình tự xếp, vectơ thời gian gia công công việc Ji pj = (p1j , p2j , , pnj ) Trong pij thời gian gia công tương ứng máy xử lý q trình gia cơng Tij (2) Thời gian đạt đến hay thời gian chuẩn bị rj thời gian chuẩn bị xong để tham gia vào q trình gia cơng nhiệm vụ Tj Nếu tất nhiệm vụ có thời gian chuẩn bị nhau, ta quy ước rj = 0, ∀j = 1, 2, , n (3) Kỳ hạn hạn định kết thúc Kỳ hạn dj biểu thị thời gian hoàn thành hạn định nhiệm vụ Tj , khơng hồn thành kỳ hạn bị “phạt” Mốc thời gian tuyệt đối không kéo dài gọi hạn định kết thúc (4) Yếu tố ưu tiên Yếu tố ưu tiên wj trọng số biểu thị mức độ ưu tiên quan trọng 26 vấn đề thuộc vấn đề NP-hard Phương pháp thường dùng để giải vấn đề tổng thời gian hoàn thành | rj | Cj thuật toán Heuristics Dưới thuật toán Heuristics thường dùng + Quy tắc ưu tiên thời gian hoàn thành sớm (Earliest Completion Time first, ký hiệu ECT) + Quy tắc ưu tiên thời gian bắt đầu sớm (Earliest Start Time first, ký hiệu EST) ∗ Thuật toán ECT (1) Giả sử thời gian gia cơng nhiệm vụ máy xử lý bắt đầu t, nhiệm vụ dãy chưa gia cơng, ta định nghĩa thời gian gia công bắt đầu sớm sj thời gian hoàn thành Cj nhiệm vụ sau: sj = max{rj , t}, Cj = sj + pj (2) Trong nhiệm vụ dãy chưa gia cơng, chọn nhiệm vụ có thời gian hồn thành gia cơng Cj nhỏ để gia cơng (nếu có nhiều nhiệm vụ lựa chọn nhiệm vụ có thời gian bắt đầu gia công sj nhỏ nhất) (3) Nếu hồn thành xong tất dừng lại, chưa xong quay lại bước (1) 27 ∗ Thuật tốn EST (1) Giả sử thời gian gia công nhiệm vụ máy xử lý bắt đầu t, nhiệm vụ dãy chưa gia cơng, ta định nghĩa thời gian gia cơng bắt đầu sớm sj thời gian hồn thành Cj nhiệm vụ sau: sj = max{rj , t}, Cj = sj + pj (2) Trong nhiệm vụ dãy chưa gia cơng, chọn nhiệm vụ có thời gian gia cơng sớm sj nhỏ gia cơng (nếu có nhiều nhiệm vụ lựa chọn nhiệm vụ có thời gian hồn thành gia cơng Cj nhỏ nhất) (3) Nếu hồn thành xong tất dừng lại, chưa xong quay lại bước (1) Đối với hai thuật toán trên, trường hợp tồi tệ đến chưa xác định Ước tính mức độ khó chủ yếu trường hợp tồi tệ chỗ chuỗi khơng trì hỗn Ví dụ 2.1.6 Xét vấn đề trình tự xếp | rj | Cj với n = 5, p = (3, 18, 17, 21, 25), r = (35, 22, 34, 37, 66) Phân biệt giải tìm trình tự ECT EST với tổng thời gian hoàn thành tương ứng Tìm trình tự ECT t = 0, C1 = min{Cj |j = 1, 2, 3, 4, 5}, s1 = 35, C1 = 38 Do từ thời gian t = 35 bắt đầu gia công nhiệm vụ T1 t = 38, C3 = min{Cj |j = 2, 3, 4, 5}, s3 = 38, C3 = 55 Do từ thời gian t = 38 bắt đầu gia công nhiệm vụ T3 t = 55, C2 = min{Cj |j = 2, 4, 5}, s2 = 55, C2 = 73 Do từ thời gian t = 55 bắt đầu gia công nhiệm vụ T2 t = 73, C4 = min{Cj |j = 4, 5}, C4 = 94 Do từ thời gian t = 73 bắt đầu gia công nhiệm vụ T4 t = 94, s5 = 94, C5 = 119 Do từ thời gian t = 94 bắt đầu gia cơng nhiệm vụ T5 Ta có trình tự ECT [T1, T3, T2 , T4, T5 ] Cj = 379 28 Tìm trình tự EST t = 0, s2 = min{sj |j = 1, 2, 3, 4, 5}, s2 = 22, C2 = 40 Do từ thời gian t = 22 bắt đầu gia công nhiệm vụ T2 t = 40, s1 = s3 = s4 = 40, C1 = min{Cj |j = 1, 3, 4}, C1 = 43 Do từ thời gian t = 40 bắt đầu gia công nhiệm vụ T1 t = 43, s3 = s4 = 43, C3 = min{Cj |j = 3, 4}, C3 = 60 Do từ thời gian t = 43 bắt đầu gia công nhiệm vụ T3 t = 60, s4 = 60, C4 = 81 Do từ thời gian t = 60 bắt đầu gia công nhiệm vụ T4 t = 81, s5 = 81, C5 = 106 Do từ thời gian t = 81 bắt đầu gia công nhiệm vụ T5 Ta có trình tự EST [T2, T1, T3 , T4, T5 ] Cj = 330 2.2 Vấn đề trễ cực đại Trong phần sau ta thảo luận vấn đề trình tự có quan hệ với kỳ hạn gia cơng, tức nhiệm vụ có kỳ hạn riêng Kỳ hạn dj biểu thị thời gian hoàn thành hạn định nhiệm vụ Tj Nếu không dựa vào kỳ hạn để thực hiện, bị chậm trễ công đoạn khác, bị phạt mức độ định 2.2.1 Vấn đề Lmax (xem [1]) Vấn đề trình tự trễ tối đa nhiệm vụ có thời gian đến nhau: Lmax (2.7) vấn đề tương đối đơn giản Vấn đề giải cách xếp nhiệm vụ theo quy tắc ưu tiên kỳ hạn sớm (Earliest Due Date first, gọi tắt EDD) ta thu trình tự tối ưu Theo quy tắc này, nhiệm vụ xếp theo trình tự không giảm dj Định lý 2.2.1 Quy tắc EDD giải vấn đề tìm trình tự tối ưu vấn đề (2.7) 29 Chứng minh Ta chứng minh trình tự khơng thoả mãn quy tắc EDD chuyển hố thành trình tự thoả mãn quy tắc EDD mà hàm mục tiêu khơng tăng Giả sử trình tự tối ưu π không thoả mãn quy tắc EDD Khi đó, trình tự này, nất có nhiệm vụ cạnh Tj Tk Tj đứng trước Tk dj > dk Giả sử nhiệm vụ Tj bắt đầu gia cơng thời điểm t Khi đó, Lj = t + pj − dj Lk = t + pj + pk − dk Trong trình tự π ta thay đổi sau: thay đổi vị trí hai nhiệm vụ Tj Tk , giả sử ngồi vị trí tất nhiệm vụ khác Ta thu ′ trình tự π đó, thời gian bắt đầu gia công nhiệm vụ Tk t Tj , gia công sau thúc Tk Do ′ Lj = t + pj + pk − dj ′ Lk = t + pk − dk ′ ′ dj > dk nên Lk > Lj Lk > Lk ′ Vì Lmax > Lmax Điều rằng, trình tự khơng thoả mãn quy tắc EDD chuyển hố thành trình tự thoả mãn quy tắc EDD mà hàm mục tiêu không tăng Điều phải chứng minh Ví dụ 2.2.2 Xét vấn đề Lmax , n = 6, p = (3, 1, 4, 1, 3, 2), d = (2, 10, 6, 4, 11, 12) Theo quy tắc EDD ta tìm trình tự tối ưu [T1, T4 , T3 , T2, T5 , T6] Trễ tối đa Lmax = 2.2.2 Vấn đề | rj , prmp | Lmax (xem [3]) Đối với nhiệm vụ có thời gian chuẩn bị khơng giống nhau, vấn đề xếp nhiệm vụ gia cơng gián đoạn: 30 | rj , prmp | Lmax (2.8) ta có thuật tốn đa thức tối ưu sau: Thuật toán 2.4 (1) Trong nhiệm vụ đạt đến, chọn nhiệm vụ có kỳ hạn nhỏ để gia cơng (nếu có nhiều nhiệm vụ vậy, chọn tuỳ ý nhiệm vụ) (2) Mỗi gia công xong nhiệm vụ có nhiệm vụ đạt đến, quay trở lại bước (1) Xác định lại nhiệm vụ để gia công đến gia gia công xong tất nhiệm vụ Ví dụ 2.2.3 Xét vấn đề trình tự xếp | rj , prmp | Lmax , n = 4, p = (4, 2, 6, 5), r = (0, 1, 3, 5), d = (8, 12, 11, 10) Áp dụng thuật tốn 2.4 ta tìm trình tự tối ưu trễ tối đa sau: t = 0, T1 đến, t = gia công T1 t = 1, T2 đến, d1 = min{d1 , d2} nên tiếp tục gia công T1 t = 3, T3 đến, d1 = min{d1 , d2, d3 } nên tiếp tục gia công T1 t = 4, T1 gia công xong, T2 T3 đến, d3 = min{d2 , d3 } nên từ t = 4, bắt đầu gia công T3 t = 5, T4 đến, d4 = min{d2 , d3, d4 } nên từ t = 5, bắt đầu gia công T4 t = 10, T4 gia công xong, T2 T3 đến, d3 = min{d2 , d3 } nên từ t = 10, bắt đầu tiếp tục gia công T3 t = 15, T3 gia công xong, từ t = 15, bắt đầu gia công T2 t = 17, T2 gia cơng xong Trình tự tối ưu hình 2.3 trễ tối đa Lmax = 31 T1 T3 T4 T3 10 T2 15 17 Hình 2.3: Trình tự tối ưu theo ví dụ 2.5 2.2.3 Vấn đề | rj | Lmax (xem [1]) Nhiệm vụ có thời gian chuẩn bị khác nhau, vấn đề trình tự gia cơng mà nhiệm vụ gia công không gián đoạn | rj | Lmax (2.9) Đây vấn đề NP-Hard, mà trình tự tối ưu khơng thiết trình tự khơng trì hỗn Định lý 2.2.4 Vấn đề | rj | Lmax NP-Hard Chứng minh Để chứng minh điều ta cần vấn đề 3−phân hoạch quy vấn đề (2.9) chứng minh xong Cho số nguyên xác định a1 , a2, , a3t , b cho b/4 < aj < b/2 mà 3t j=1 aj = tb Ta xây dựng ví dụ vấn đề | rj | Lmax sau Số nhiệm vụ n = 4t − 1, lại có rj = jb + (j − 1), pj = 1, dj = jb + j, j = 1, , t − rj = 0, pj = aj−t+1, dj = tb + (t − 1), j = t, , 4t − đặt z = 0, trình tự xếp làm cho Lmax tồn nhiệm vụ Tj (1 j t − 1) gia cơng khoảng (rj , dj = rj + pj ), có nghĩa nhiệm vụ lại xếp gia cơng khoảng thời gian t, có độ dài b Tức vấn đề 3−phân hoạch có lời giải (xem hình 2.4) Như định lý chứng minh Một phương pháp thường dùng vấn đề (2.9) phương pháp phân hoạch xác định 32 r1 b d1 r2 b+1 2b+1 2b+2 rt−1 d2 dt−1 tb+t-1 Hình 2.4: Biểu đồ chứng minh Định lý 2.2.4 Dưới ta đưa điểm phương pháp phân nhánh xác định sau: Đối với vấn đề trình tự xếp có n nhiệm vụ, tìm kiếm đầy đủ có n tầng điểm Tầng điểm gốc, từ điểm gốc phân nhánh sinh n điểm tầng 1, điểm tương ứng với trình tự phận nhiệm vụ vị trí xếp sẵn Từ điểm tầng thứ phân nhánh sinh (n − 1) điểm tầng 2, điểm tương ứng với trình tự phận nhiệm vụ hai vị trí xác định sẵn phía trước Thơng thường, từ điểm tầng thứ (r − 1) phân nhánh sản sinh (n − r + 1) điểm tầng thứ r, điểm tương ứng trình tự phận nhiệm vụ r vị trí xác định phía trước “xác định giới hạn điểm” Do điểm tầng (n − 1) xác định trình tự khả thi, giá trị hàm mục tiêu giá trị hàm mục tiêu giới hạn giá trị hàm mục tiêu trình tự tối ưu n n-1 n-2 n-1 Hình 2.5: Cây tìm kiếm phân nhánh xác định giới hạn 33 Trong q trình phân nhánh, khơng phải thời điểm phân nhánh, điểm tầng thứ k − 1, tương ứng với nhiệm vụ T1 , T2, , Tk−1 xếp k vị trí (sinh tầng điểm thứ k) rk < min{max{t, rl } + pl }, Tl ∈ℑ ℑ tập nhiệm vụ chưa xếp, t thời gian hồn thành gia cơng nhiệm vụ Tk−1 Do đó, quy tắc phân nhánh thực đơn giản Phương pháp xác định giới hạn có nhiều loại, phương pháp thường dùng dựa vào quy tắc EDD vấn đề xếp gián đoạn (thuật toán 2.4) xác định giới hạn điểm Ví dụ 2.2.5 Xét vấn đề trình tự xếp | rj | Lmax n = 4, p = (4, 2, 6, 5), r = (0, 1, 3, 5), d = (8, 12, 11, 10) Tầng thứ tìm kiếm có điểm: T1 , T2, T3 , T4 Do T3 có thời gian chuẩnbị t = 3, nên T2 bắt đầu gia công thời điểm t = T3 vấn bắt đầu gia cơng thời điểm t = 3; T4 đạt đến thời điểm t = 5, T1 bắt đầu gia cơng thời điểm t = 0, T4 gia công thời điểm t = 5, điểm T3, T4 xố Tính tốn giới hạn T1 , áp dụng quy tắc EDD trường hợp gián đoạn, ta có trình tự biểu diễn hình 2.3 Tương ứng với Lmax = 5, giới hạn điểm T1 Tương tự, giới hạn điểm T2 34 (5) T1 (7) T2 T2 (6) T3 T4 T3 (5) T4 (5) Hình 2.6: Cây tìm kiếm ví dụ 2.6 (các kí hiệu số bên cạnh điểm giới hạn tương ứng) Xem xét điểm T2 tầng 2, giới hạn trình tự khơng thẻ gián đoạn T1 −→ T2 −→ T4 −→ T3 định Giới hạn T3 tầng thứ 5, trình tự khơng thể gián đoạn T1 −→ T3 −→ T4 −→ T2 định Do giới hạn T1 tầng thứ giới hạn T2 lớn nên trình tự [T1, T3, T4 , T2] trình tự tối ưu trễ lớn Lmax = Vấn đề | rj , prep | Lmax dùng thuật tốn để giải Có thể thấy vấn đề giải dễ vấn đề ràng buộc ưu tiên, sử dụng ràng buộc ưu tiên xố vài trình tự đặc biệt 2.2.4 Vấn đề | rj , pj = | Lmax (xem [2]) Đối với nhiệm vụ có thời gian chuẩn bị khơng giống nhau, nhiệm vụ gia công gián đoạn thời gian gia công nhiệm vụ thời gian đơn vị (pj = 1) | rj , pj = | Lmax (2.10) ta có thuật toán đa thức tối ưu sau Thuật toán 2.5 (1) Trong nhiệm vụ đến, chọn nhiệm vụ có kỳ hạn nhỏ gia cơng trước (nếu có nhiều nhiệm vụ, chọn tuỳ ý nhiệm vụ) 35 (2) Mỗi gia công xong nhiệm vụ, quay lại bước (1), lặp lại q trình gia cơng với nhiệm vụ đến gia công xong tất nhiệm vụ Chú ý rằng, thời gian gia công nhiệm vụ giống nhau, tức pj = p mà p khơng thể chia hết tất rj , thuật tốn 2.5 chưa sinh trình tự tối ưu (xem ví dụ 2.2.6) Ví dụ 2.2.6 Xét vấn đề | rj , pj = | Lmax , n = 2, p = (2, 2), r = (0, 1), d = (7, 5) Theo thuật tốn (2.5) sinh trình tự [T1, T2 ] mà trình tự tối ưu lại [T2, T1 ] 2.2.5 Vấn đề | prec | Lmax (xem [3]) Đối với vấn đề trễ tối đa nhiệm vụ khơng có ràng buộc ưu tiên Lmax , áp dụng quy tắc EDD ta tìm trình tự tối ưu Nếu nhiệm vụ tồn ràng buộc ưu tiên, vấn đề khơng thể dùng quy tắc EDD để giải quyết, trình tự tối ưu tìm theo quy tắc EDD chưa thoả mãn ràng buộc ưu tiên nhiệm vụ Đối với trường hợp có ràng buộc ưu tiên nhiệm vụ, ta thảo luận vấn đề rộng sau: Xét vấn đề: | prec | Lmax (2.11) đó, hmax = max {hj (Cj )}, hj (Cj ) hàm không giảm Cj i j n n Hiển nhiên, nhiệm vụ cuối hoàn thành vào thời điểm Cmax = pj , nhiệm vụ trình tự gia cơng nhiệm vụ khác không phụ j=1 thuộc lẫn Tiếp theo ta dùng Γ để biểu thị tập hợp nhiệm vụ xếp, tập hợp bổ sung Γc Γ biểu thị tập nhiệm vụ chưa ′ xếp Tập Γ tập nhiệm vụ mà dựa vào ràng buộc ưu tiên xếp gia cơng sau Thuật tốn thuật tốn tối ưu để tìm Lmax nhỏ mà có hạn chế ràng buộc ưu tiên Thuật tốn 2.6 36 (1) Đặt Γ = ∅, Γc = {T1, T2 , , Tn } pj , tìm Tj ∗ cho hj ∗ (t) = min{hj (t)} Lấy Tj ∗ thêm (2) Ký hiệu t = Tj Tj ∈Γ ∈Γc vào Γ, xoá Tj ∗ khỏi Γc , lấy Tj ∗ xếp vị trí sau Sắp xếp lại ′ Γ (3) Nếu Γc = ∅ dừng lại; Nếu khơng, quay lại bước (2), đến xếp xong tất nhiệm vụ Định lý 2.2.7 Thuật tốn 2.6 đưa trình tự tối ưu vấn đề (2.11) Chứng minh Giả sử π trình tự thoả mãn ràng buộc ưu tiên giả sử trình tự gia cơng nhiệm vụ π trình tự gia cơng nhiệm vụ thuật tốn 2.6 đưa khác Khơng tính tổng qt, ta giả sử nhiệm vụ cuối không giống Giả sử trình tự π π = [A, Tj ∗ , B, Tj ∗∗ ] hj ∗∗ (t) > hj ∗ (t), A B thứ tự gia công phận (n − 2) nhiệm vụ lại tạo thành, chúng vị trí trống Do Tj ∗ xếp vị trí cuối cùng, π ta lấy Tj ∗ chọn để xếp trị trí cuối, ta có trình tự π = [A, B, Tj ∗∗ , Tj ∗ ] ′ Trong trình π thay đổi thành π , ngoại trừ Tj ∗ , thời gian hoàn thành nhiệm vụ khác thay đổi, hj hàm không giảm ′ Cj , nên giá trị hj (Cj ) nhiệm vụ không tăng, hj (t) = min{hj (t)} hj ∗∗ (t) Tj ∈Γ Do giá trị max hj (Cj ) π không cao giá trị max hj (Cj ) ′ j n j n π nhiệm vụ cuối π nhiệm vụ cuối trình tự thuật tốn 2.6 sinh giống Đối với nhiệm vụ khác ′ lại xử lý tương tự Do vậy, trình tự mà thuật tốn 2.6 đưa trình tự tối ưu Ví dụ 2.2.8 Xét vấn đề | prec | Lmax , với n = 3, p = (2, 3, 5), h = (1 + C1 , 1.2C2, 10) Giữa nhiệm vụ khơng có ràng buộc ưu tiên, dùng thuật tốn (2.6) để tìm trình tự tối ưu sau: khơng có ràng buộc ưu tiên nên 37 ba nhiệm vụ xếp sau Tức Γ = {T1, T2 , T3} ′ (1) Đầu tiên, cần xác định nhiệm vụ vị trí cuối Γ = ∅, Γc = pj = p1 +p2+p3 = 10 Từ h1(10) = 11, h2(10) = {T1, T2 , T3}, t = Tj ∈Γc 12, h3(10) = 10 Do h3(10) < h1(10) < h2(10) nên ta có j ∗ = Nhiệm vụ T3 xếp cuối (2) Xác định nhiệm vụ vị trí thứ Lúc Γ = {T1, T2 }, Γc = {T1, T2 }, t = pj = p1 + p2 = ′ Tj ∈Γc Do h1(5) = = h2(5) nên j ∗ nhận giá trị 2, tức T1, T2 xếp vị trí thứ 2, từ trình tự tối ưu [T1, T2, T3 ] [T2, T1 , T3] Ví dụ 2.2.9 Xét vấn đề | prec | Lmax , với n = 6, p = (2, 3, 4, 3, 2, 1), d = (3, 6, 9, 7, 11, 10) Ràng buộc ưu tiên nhiệm vụ hình sau T1 T2 T3 T6 T4 T5 Hình 2.7: Ràng buộc ưu tiên nhiệm vụ (1) Tìm nhiệm vụ vị trí cuối (vị trí thứ 6) ′ Γ = ∅, Γc = {T1 , T2, T3 , T4, T5 , T6 }, Γ = {T3 , T4, T5 } t= pj = Tj ∈Γc pj = + + + + + = 15 j=1 Lj ∗ (15) = min{Lj } = {15 − dj } Tj ∈Γ j 38 = min{15 − 9, 15 − 7, 15 − 11} = j ∗ = T5 xếp cuối (2) Tìm nhiệm vụ vị trí thứ ′ Γ = {T5 }, Γc = {T1, T2 , T3, T4 , T6}, Γ = {T3 , T4} t= pj = Tj ∈Γc pj − p5 = 15 − = 13 j=1 Lj ∗ (13) = min{13 − d3 , 13 − d4 } = min{13 − 9, 13 − 7} = j ∗ = T3 xếp vị trí thứ (3) Tìm nhiệm vụ vị trí thứ ′ Γ = {T3 , T5}, Γc = {T1 , T2, T4 , T6}, Γ = {T2 , T4} t= pj = p1 + p2 + p4 + p6 = + + + = Tj ∈Γc Lj ∗ (9) = min{9 − d2 , − d4 } = min{9 − 6, − 7} = j ∗ = T4 xếp vị trí thứ (4) Tìm nhiệm vụ vị trí thứ ′ Γ = {T4 , T3, T5 }, Γc = {T1, T2 , T6}, Γ = {T2 , T6} t= pj = p1 + p2 + p6 = + + = Tj ∈Γc Lj ∗ (6) = min{6 − d2 , − d6 } = min{6 − 6, − 10} = −4 j ∗ = T6 xếp vị trí thứ (5) Tìm nhiệm vụ vị trí thứ Vì lại nhiệm vụ T1 T2 , vào ràng buộc ưu tiên T1 phải trước T2 vậy, ta có trình tự gia cơng tối ưu [T1, T2, T6 , T4, T3 , T5], Lmax = 39 Kết luận Đề tài chủ yếu dựa vào việc phân tích số liệu nguyên liệu đầu vào trình sản xuất để thiết lập kế hoạch thực gia công nguyên liệu đầu vào vấn đề gia công máy sản xuất đơn (như : tối thiểu hóa thời gian hồn thành gia cơng với ngun liệu đầu vào có tầm quan trọng khác , tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa nguyên liệu đầu vào, tối thiểu hóa thời gian giao hàng ) để đạt q trình gia cơng tối ưu mơ hình sản xuất kinh tế Nội dung đề tài phát triển số vấn đề lập kế hoạch thực gia công khác mô hình máy đơn mơ hình máy song song 40 Tài liệu tham khảo [1] Pham Hong Truong, Lu Xi Wen (2014), “The inverse Parallel Machine Scheduling Problem With Minimum Total Completion Time”, Journal of Industrial and Management Optimization Vol 10(2), 613-620 [2] Brucker P (2011), Scheduling algorithms, Berlin: Springer [3] Pinedo M (1995), Scheduling: Theory, Algorithm, and Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ ... pháp tối ưu cho vấn đề chiếm vai trò quan trọng Trong luận văn tơi xin trình bày vấn đề xếp lập kế hoạch gia công tối ưu số vấn đề xếp mơ hình máy đơn Lập kế hoạch gia công phần ứng dụng tối ưu. .. nghiên cứu lập kế hoạch gia công tối ưu số vấn đề gia công tối ưu số vấn đề gia cơng máy sản xuất đơn hình kinh tế đóng vai trò quan trọng Việc tìm thiết lập kế hoạch gia công tối ưu giúp cho... Một số vấn đề lý luận vấn đề trình tự xếp 1.1 1.1.1 Vấn đề trình tự xếp Lời dẫn Vấn đề trình tự xếp đời chủ yếu lĩnh vực chế tạo máy, sau phát triển lĩnh vực hệ thống máy tính, lập kế hoạch giao