Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2016 i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, thầy, cô giáo khoa Toán - Tin trường, Đại học Khoa học- Đại học Thái Ngun tận tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh đạo trường Trung học phổ thơng Gang Thép, tồn thể đồng nghiệp, quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu ii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề khơng gian Banach trơn tốn tử j-đơn điệu 1.1.1 Không gian Banach trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Toán tử j-đơn điệu 1.2 Giới hạn Banach 10 1.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết 14 1.3.2 Phương pháp đường dốc 15 1.4 Phương pháp điểm gần kề cho tốn xác định khơng điểm toán tử đơn điệu số cải tiến 17 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 19 Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép 21 2.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định khơng điểm tốn tử j-đơn điệu 21 2.2 Ví dụ số minh họa 36 Kết luận 40 ii Tài liệu tham khảo 41 iii Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M o(t) vô bé bậc cao t Mở đầu Cho H không gian Hilbert, tốn xác định khơng điểm lớp tốn tử đơn điệu A với tập xác định D(A) ⊆ H có vai trò quan trọng lĩnh vực giải tích phi tuyến lĩnh vực tối ưu hóa Chẳng hạn, f : H −→ R ∪ {+∞} hàm lồi, thường, nửa liên tục tốn tử vi phân ∂f : H −→ 2H xác định ∂f (x0 ) = {u ∈ H : f (x) − f (x0 ) ≥ u, x − x0 , ∀x ∈ H} toán tử đơn điệu cực đại [16] Ta biết điểm x ∈ H làm cực tiểu phiếm hàm lồi f θ ∈ ∂f (x) Như vậy, toán cực tiểu hóa phiếm hàm lồi f tương đương với tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại ∂f Bài toán nghiên cứu mở rộng cho tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu hay tốn tử j-đơn điệu khơng gian Banach Ta biết rằng, T : D(T ) ⊆ E −→ 2E ánh xạ khơng giãn, A = I − T toán tử j-đơn điệu, I tốn tử đồng E Do đó, tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn T đưa tốn xác định khơng điểm tốn tử j-đơn điệu A = I − T Ngược lại, A toán tử j-đơn điệu thỏa mãn điều kiện miền, tức D(A) ⊂ ∩λ>0 R(I + λA), tốn xác định khơng điểm A tương đương với tốn tìm điểm bất động tốn tử giải Jr = (I + rA)−1 với r > Do đó, vấn đề nghiên cứu tìm phương pháp tìm khơng điểm tốn tử kiểu đơn điệu mang nhiều ý nghĩa quan trọng thu hút quan tâm đơng đảo người làm tốn ngồi nước Mục đích luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết Ceng L.C., Ansari Q H Yao J C tài liệu [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc cho toán xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu không gian Banach Luận văn chia làm hai chương chính: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, đề cập đến khái niệm không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử j-đơn điệu; giới hạn Banach; phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc Ngồi chương trình bày phương pháp điểm gần kề số cải tiến cho tốn xác định khơng điểm tốn tử kiểu đơn điệu Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép Chương này, chúng tơi trình bày lại kết Ceng L.C., Ansari Q H Yao J C tài liệu [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc cho tốn xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu khơng gian Banach Ngồi ra, chúng tơi xây dựng ví dụ số chạy thử nghiệm phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm mục Mục 1.1 giới thiệu không gian Banach trơn tốn tử j-đơn điệu Mục 1.2 trình bày giới hạn Banach số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày nội dung chương Mục 1.3 giới thiệu sơ lược phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.4 đề cập đến phương pháp điểm gần kề cho tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu số cải tiến Mục 1.5 trình bày số bổ đề bổ trợ cần sử dụng chứng minh định lý chương sau luận văn 1.1 Một số vấn đề khơng gian Banach trơn tốn tử j-đơn điệu 1.1.1 Không gian Banach trơn Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1 Một không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn phần tử x thuộc E cho x, x∗ = x∗ , x∗∗ với x∗ ∈ E Chú ý 1.1 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu x, x∗ để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ x ∈ E Mệnh đề 1.1 [1] Cho E khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho y, x∗ ≤ x, x∗ − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn x, nên xn , x∗ → x, x∗ Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận x, x∗ ≤ x, x∗ − ε, điều vô lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.2 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục không gian Banach phản xạ 28 ≤ αn xn − u + (1 − αn ) Jrn xn − Jrn u ≤ xn − u Do đó, từ Bổ đề 1.3, ta có xn+1 − u = βn f (xn ) + (1 − βn )[Jrn yn − λn µn F (Jrn yn )] − u ≤ βn f (xn ) − u + (1 − βn ) λn (I − µn F )Jrn yn + (1 − λn )Jrn yn − u ≤ βn β xn − u + βn f (u) − u + (1 − βn )[λn (I − µn F )Jrn yn − u + (1 − λn ) Jrn yn − u ] ≤ βn β xn − u + βn f (u) − u + (1 − βn )[λn (I − µn F )Jrn yn − (I − µn F )u + λn µn F (u) + (1 − λn ) Jrn yn − u ] ≤ βn β xn − u + βn f (u) − u + (1 − βn ) λn − µn − 1−δ λ Jrn yn − u + λn µn F (u) + (1 − λn ) Jrn yn − u = βn β xn − u + βn f (u) − u + (1 − βn ) − λn µn − 1−δ λ Jrn yn − u + λn µn F (u) ≤ βn β xn − u + βn f (u) − u + (1 − βn ) max Jrn yn − u , (1 − 1−δ λ −1 F (u) ≤ βn β xn − u + βn f (u) − u + (1 − βn ) max xn − u , (1 − 1−δ λ −1 F (u) ≤ βn f (u) − u + (1 − (1 − β)βn ) max ≤ max xn − u , xn − u , (1 − f (u) − u , (1 − 1−β 1−δ λ 1−δ λ −1 −1 F (u) F (u) 29 Bằng qui nạp, ta nhận xn − u ≤ max x0 − u , f (u) − u , (1 − 1−β 1−δ λ −1 F (u) , ∀n ≥ Do đó, {xn } {yn } dãy bị chặn Vì Jrn ánh xạ khơng giãn, f ánh xạ co F ánh xạ Lipschitz, nên {Jrn xn , {f (xn )} {F (Jrn yn )} dãy bị chặn Từ điều kiện (i) (ii), ta có xn+1 − Jrn yn ≤ βn f (xn ) − Jrn yn + (1 − βn ) Jrn yn − λn µn F (Jrn yn ) − Jrn yn (2.7) ≤ βn f (xn ) − Jrn yn + (1 − βn )λn µn F (Jrn yn ) → Bước Ta xn+1 − xn → 0, n → ∞ (2.8) Từ (2.6), ta có yn = αn xn + (1 − αn )Jr xn , n yn−1 = αn−1 xn−1 + (1 − αn−1 )Jrn−1 xn−1 Từ đó, suy yn − yn−1 = (1 − αn )(Jrn xn − Jrn−1 xn−1 ) + αn (xn − xn−1 ) (2.9) + (xn−1 − Jrn−1 xn−1 )(αn − αn−1 ) Do yn − yn−1 = (1 − αn ) Jrn xn − Jrn−1 xn−1 + αn xn − xn−1 + xn−1 − Jrn−1 xn−1 |αn − αn−1 | Từ Bổ đề 1.1, ta có Jrn xn = Jrn−1 rn−1 rn−1 xn + (1 − )Jrn xn rn rn (2.10) 30 Nếu rn−1 ≤ rn , ta nhận rn−1 rn−1 xn + − Jrn xn − Jrn−1 xn−1 rn rn rn−1 rn−1 ≤ xn + − Jrn xn − xn−1 rn rn rn−1 rn−1 = xn − xn−1 + − Jrn xn − xn−1 rn rn rn − rn−1 Jrn xn − xn−1 ≤ xn − xn−1 + ε Jrn xn − Jrn−1 xn−1 = (2.11) Tương tự, ta nhận Jrn yn − Jrn−1 yn−1 ≤ yn − yn−1 + rn − rn−1 Jrn yn − yn−1 ε (2.12) Từ (2.10) (2.11), ta nhận yn − yn−1 ≤ (1 − αn ) xn − xn−1 + rn − rn−1 Jrn xn − xn−1 ε + αn xn − xn−1 + xn−1 − Jrn−1 xn−1 |αn − αn−1 | (2.13) ≤ xn − xn−1 + M1 (|rn − rn−1 | + |αn − αn−1 |, M1 số cho M1 > max Jrn xn − xn−1 , xn−1 − Jrn−1 xn−1 ε Mặt khác, từ (2.6), ta có xn+1 = βn f (xn ) + (1 − βn )[Jr yn − λn µn F (Jr yn )], n n x = β f (x ) + (1 − β )[J y −λ µ n n−1 n−1 n−1 rn−1 n−1 n−1 n−1 F (Jrn−1 yn−1 )] Từ đó, suy xn+1 − xn = (βn − βn−1 )f (xn−1 ) + βn (f (xn ) − f (xn−1 )) + (βn − βn−1 )(I − λn−1 µn−1 F )Jrn−1 yn−1 + (1 − βn )[(I − λn µn F )Jrn yn − (I − λn−1 µn−1 F )Jrn−1 yn−1 ] = (βn − βn−1 )f (xn−1 ) + βn (f (xn ) − f (xn−1 )) (βn − βn−1 )(I − λn−1 µn−1 F )Jrn−1 yn−1 31 + (1 − βn )[(I − λn µn F )Jrn yn − (I − λn µn F )Jrn−1 yn−1 + (λn−1 µn−1 − λn µn )F (Jrn−1 yn−1 )] Do đó, xn+1 − xn = |βn − βn−1 | f (xn−1 + βn f (xn ) − f (xn−1 ) + |βn − βn−1 | (I − λn−1 µn−1 F )Jrn−1 yn−1 + (1 − βn )[ (I − λn µn F )Jrn yn − (I − λn µn F )Jrn−1 yn−1 + (λn−1 µn−1 − λn µn )F (Jrn−1 yn−1 ) ] ≤ |βn − βn−1 | f (xn−1 + βn β xn − xn−1 + |βn − βn−1 | (I − λn−1 µn−1 F )Jrn−1 yn−1 + (1 − βn ) − λn µn − 1−δ λ × Jrn yn − Jrn−1 yn−1 + (λn−1 µn−1 − λn µn )F (Jrn−1 yn−1 ) ≤ |βn − βn−1 | f (xn−1 + βn β xn − xn−1 + |βn − βn−1 | (I − λn−1 µn−1 F )Jrn−1 yn−1 + (1 − βn ) × − λn µ n − yn − yn−1 + 1−δ λ rn − rn−1 Jrn yn − yn−1 ε + (λn−1 µn−1 − λn µn )F (Jrn−1 yn−1 ) ≤ βn β xn − xn−1 + |βn − βn−1 |( f (xn−1 ) + (I − λn−1 µn−1 F )Jrn−1 yn−1 ) rn − rn−1 + (1 − βn ) yn − yn−1 + Jrn yn − yn−1 ε + (λn−1 µn−1 − λn µn )F (Jrn−1 yn−1 ) ≤ βn β xn − xn−1 + 2M2 |βn − βn−1 | + (1 − βn ) yn − yn−1 (2.14) 32 + M2 (|rn − rn−1 | + |λn−1 µn−1 − λn µn |), M2 số thỏa mãn điều kiện M2 > max f (xn−1 ) , (I − λn−1 µn−1 F )Jrn−1 yn−1 , Jrn yn − yn−1 , F (Jrn−1 yn−1 ) , M1 ε Từ (2.13) (2.14), ta nhận xn+1 − xn ≤ βn β xn − xn−1 + 2M2 |βn − βn−1 | + (1 − βn )[ xn − xn−1 + M1 (|rn − rn−1 | + |αn − αn−1 |] + M2 (|rn − rn−1 | + |λn−1 µn−1 − λn µn |) (2.15) ≤ (1 − (1 − β)βn ) xn − xn−1 + 2M2 [|αn − αn−1 | + |βn − βn−1 | + |rn − rn−1 | + |λn − λn−1 | + |µn − µn−1 |] Hoàn toàn tương tự, ta nhận bất đẳng thức (2.15) rn−1 ≥ rn Từ điều kiện (i) (iv), suy ∞ n=0 (1 − β)βn = ∞ ∞ 2M2 [|αn − αn−1 | + |βn − βn−1 | + |rn − rn−1 | n=0 + |λn − λn−1 | + |µn − µn−1 |] < ∞ Áp dụng Bổ đề 1.4, ta nhận lim xn+1 − xn = n→∞ Bước Ta lim sup f (p) − p, j(xn − p) ≤ 0, n→∞ p xác định Định lý 2.1 Từ điều kiện (iii) (2.6), ta có yn − xn = (1 − αn ) Jrn xn − xn (2.16) 33 ≤ (1 − a)( Jrn xn − Jrn yn + Jrn yn − xn+1 + xn+1 − xn ), suy 1−a ( Jrn yn − xn+1 + xn+1 − xn ) a Do đó, từ (2.7)-(2.8), ta nhận x n − yn ≤ xn − yn → Từ đó, ta có xn − Jrn xn ≤ xn − yn + yn − Jrn xn = xn − yn + αn xn − Jrn xn ≤ xn − yn + b xn − Jrn xn , suy xn − Jrn xn ≤ xn − yn , 1−b lim xn − Jrn xn = (2.17) n→∞ Thật vậy, đặt xt,n = tf (xt,n ) + (1 − t)[Jrn xt,n − θt F (Jrn xt,n )] Khi đó, từ Định lý 2.1, xt,n hội tụ mạnh nghiệm toán VI∗ (I − f, C), t → Ta có xt,n − xn = t(f (xt,n ) − xn ) + (1 − t)(Jrn xt,n − xn ) − (1 − t)θt F (Jrn xt,n ) Do đó, Từ Bổ đề 1.3, suy xt,n − xn ≤ (1 − t)2 Jrn xt,n − xn + 2t f (xt,n ) − xn , j(xt,n − xn ) − 2(1 − t)θt F (Jrn xt,n ), j(xt,n − xn ) ≤ (1 − t)2 ( Jrn xt,n − Jrn xn + Jrn xn − xn ) + 2t f (xt,n ) − xt,n , j(xt,n − xn ) + 2t xt,n − xn + 2θt F (Jrn xt,n ) xt,n − xn ≤ (1 + t2 ) xt,n − xn + Jrn xn − xn (2 xt,n − xn + Jrn xn − xn ) 34 + 2t f (xt,n ) − xt,n , j(xt,n − xn ) + 2θt F (Jrn xt,n ) xt,n − xn Suy f (xt,n ) − xt,n ,j(xt,n − xn ) t ≤ xt,n − xn 2 Jr xn − xn (2 xt,n − xn + Jrn xn − xn ) + 2t n θt + F (Jrn xt,n ) xt,n − xn t (2.18) Từ (2.17) (2.18) cho n → ∞, ta nhận lim sup f (xt,n ) − xt,n , j(xt,n − xn ) n→∞ t lim sup xt,n − xn n→∞ t θt ≤ + M1 , t ≤ + lim sup n→∞ θt F (Jrn xt,n ) xt,n − xn t (2.19) M1 = max{supn { xt,n − xn }, supn { F (Jrn xt,n ) xt,n − xn }} < ∞ với t ∈ (0, a] (Định lý 2.1) Lấy lim sup t → (2.19) ánh xạ đối ngẫu j norm-to-norm liên tục tập bị chặn, nên ta nhận (2.16) Bước Ta lim xn − p = n→∞ Trước hết, dễ thấy yn − p = αn xn + (1 − αn )Jrn xn − p ≤ αn xn − p + (1 − αn ) Jrn xn − p ≤ xn − p Do đó, từ Bổ đề 1.3, ta có xn+1 − p ≤ (1 − βn )2 Jrn yn − p + 2βn f (xn ) − p, j(xn+1 − p) − 2(1 − βn )λn µn F (Jrn yn ), j(xn+1 − p) = (1 − βn )2 yn − p + 2βn f (xn ) − f (p), j(xn+1 − p) 35 + 2βn f (p) − p, j(xn+1 − p) − 2(1 − βn )λn µn F (Jrn yn ), j(xn+1 − p) ≤ (1 − βn )2 xn − p 2 + βn β( xn − p + xn+1 − p ) + 2βn f (p) − p, j(xn+1 − p) + 2λn µn F (Jrn yn ) xn+1 − p Suy xn+1 − p − (2 − β)βn + βn2 2βn xn − p + f (p) − p, j(xn+1 − p) − ββn − ββn 2λn µn F (Jrn yn ) xn+1 − p + − ββn − (2 − β)βn 2βn ≤ xn − p + f (p) − p, j(xn+1 − p) − ββn − ββn M M βn2 + λn µ n , 1−β 1−β ≤ M số thỏa mãn M > max{ xn − p , F (Jrn yn ) xn+1 − p } Do đó, ta nhận xn+1 − p bn = cn = ≤ (1 − bn ) xn − p + bn cn , (2.20) 2(1 − β)βn − ββn M (1 − ββn ) λn µn βn + 2(1 − β) βn + f (p) − p, j(xn+1 − p) 1−β Từ điều kiện (i), (ii) (2.16), ta có ∞ bn = ∞ lim sup cn ≤ n=0 n→∞ Áp dụng Bổ đề 1.4 vào (2.20), ta nhận xn − p → Định lý chứng minh Chú ý 2.2 Các dãy số λn = n−5/6 , µn = 1, αn = 1 + , βn = n−2/3 , n ≥ 2n thỏa mãn đầy đủ giả thiết Định lý 2.2 Bằng chứng minh tương tự, Ceng cộng thu định lý đây: 36 Định lí 2.3 [8] Cho E không gian Banach trơn đều, A toán tử m-j-đơn điệu E với C = A−1 (0) = ∅ f : E −→ K = D(A) ánh xạ co Giả sử F : E −→ E toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh δ λ-giả co chặt với δ + λ > Cho {λn } dãy số nằm [0, 1], {αn }, {βn } dãy số nằm (0, 1] {rn } ⊂ [ε, ∞) với ε > thỏa mãn điều kiện sau: (i) limn→∞ βn = (ii) limn→∞ ∞ n=0 βn = ∞; λn µ n = 0; βn (iii) {αn } ⊂ [a, b], với a, b ∈ (0, 1); (iv) ∞ n=0 |αn+1 − αn | < ∞, ∞ n=0 |rn+1 − rn | < ∞ ∞ n=0 |βn+1 − βn | < ∞, ∞ n=0 |λn+1 − λn | < ∞ Khi đó, với x0 ∈ E, dãy {xn } xác định yn = αn xn + (1 − αn )Jr xn , n (2.21) xn+1 = βn f (xn ) + (1 − βn )[yn − λn F (yn )], ∀n ≥ 0, hội tụ mạnh không điểm A, đồng thời nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (I − f, C) 2.2 Ví dụ số minh họa Tiếp theo, chúng tơi đưa ví dụ nhằm minh họa thêm cho tính đắn phương pháp lặp trình bày Ví dụ 2.1 Xét tốn tìm phần tử x∗ ∈ S = argminx∈R3 g(x), g xác định g(x) = Ax, x + B, x + C, với −1 , B = −4 −4 , C số tùy ý A= 1 −1 −1 −1 1 37 Ta có g = 2A Do A ma trận nửa xác định dương nên g hàm lồi R3 Ngồi ra, g hàm thường, liên tục R3 , nên ∂g toán tử đơn điệu cực đại Như vậy, toán tương đương với toán sau: Tìm phần tử x∗ ∈ R3 = (∂g)−1 = ∅ Dễ dàng kiểm tra tập nghiệm toán S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 2} x ánh xạ co F (x) = x với x ∈ R3 ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số , -giả co chặt, đồng thời chọn λn = n−5/6 , µn = 1, 1 αn = + , βn = n−2/3 rn = với n ≥ 1, dãy {xn } xác định 2n (2.6) Định lý 2.2, hội tụ mạnh nghiệm p ∈ C bất đẳng - Nếu f (x) = thức biến phân V I(I − f, C), tức p, p − u ≤ 0, ∀u ∈ C (2.22) Giả sử p = (p1 , p2 , p1 + p2 − 2) ∈ C Khi đó, p thỏa mãn bất đẳng thức (2.22) p1 (p1 − a) + p2 (p2 − b) + (p1 + p2 − 2)(p1 + p2 − a − b) ≤ 0, với a, b ∈ R Bất đẳng thức tương đương với (−2p1 − p2 + 2)a + (−p1 − 2p2 + 2)b + p21 + p22 + (p1 + p2 )2 − 2(p1 + p2 ) ≤ 0, (2.23) với a, b ∈ R Bất đẳng thức (2.23), tương đương với 2p1 + p2 = p1 + 2p2 = p2 + p2 + (p1 + p2 )2 − 2(p1 + p2 ) ≤ (2.24) Suy p1 = p2 = 2/3 Như vậy, dãy {xn } hội tụ nghiệm p = (2/3, 2/3, −2/3) 38 Chú ý 2.3 Ta viết bất đẳng thức (2.22) dạng tương đương sau: − p, u − p ≤ 0, ∀u ∈ C Do đó, từ tính chất đặc trưng phép chiếu mêtric1 , suy p = PC 0, hay p phần tử C có chuẩn nhỏ Dưới hình vẽ mơ tả kết tính tốn máy tính, sau 500 bước lặp, với x0 = (−2, 3, 5), nhằm minh họa thêm cho kết luận Hình 2.1: x500 = (0.658092, 0.658092, −0.658092) - Nếu f (x) = v, với v = (−2, 0, −1), ánh xạ co F (x) = x với 3 x ∈ R ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số , -giả co chặt, đồng thời chọn 1 −5/6 −2/3 λn = n , µn = 1, αn = + , βn = n rn = với n ≥ 1, 2n dãy {xn } xác định (2.6) Định lý 2.2, hội tụ mạnh nghiệm p ∈ C bất đẳng thức biến phân V I(I − f, C), tức p − v, p − u ≤ 0, ∀u ∈ C (2.25) Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Ánh xạ PC : H −→ C phép chiếu mêtric từ H lên C x − PC x, y − PC x ≤ 0, ∀x ∈ H, ∀y ∈ C 39 Từ đặc trưng phép chiếu mêtric, suy p = PC v, hay p phần tử C gần v Do đó, dễ dàng kiểm tra p = (−1, 1, −2) Dưới hình vẽ mơ tả kết tính tốn máy tính sau × 106 bước lặp, với x0 = (1, 1, 1), nhằm minh họa thêm cho kết luận Hình 2.2: x5×106 = (−0.909555, 0.981866, −1.927577) 40 Kết luận Luận văn trình bày lại có hệ thống phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc tìm khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu không gian Banach tài liệu [6] Cụ thể là: • Trình bày lại cách có hệ thống về: không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử j-đơn điệu; giới hạn Banach với số tính chất quan trọng nó; phương pháp xấp xỉ gắn kết cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn phương pháp đường dốc cho toán cực tiểu phiếm hàm khả vi không gian hữu hạn chiều Rn ; phương pháp điểm gần kề số cải tiến nó; • Trình bày lại Định lý 3.1 Định lý 3.2 tài liệu [6] tác giả Ceng L.C., Ansari Q H Yao J C., cho tốn xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu khơng gian Banach trơn 41 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Alber Ya I (2007), "On the stability of iterative approximations to fixed points of nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 328, pp 958-971 [3] Barbu V (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, Noordhoff, Leiden, The Netherlands [4] Bauschke H H., Matousková E., Reich S (2004), "Projection and proximal point methods: convergence results and counterexamples", Nonlinear Anal., 56, pp 715-738 [5] Browder F.E., Petryshyn W.V (1967), "Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space", J Math Anal Appl., 20, pp 197228 [6] Ceng L C., Ansari Q H and Yao J C (2008), "Mann-type steepest descent and modified hybrid steepest-descent methods for variational inequalities in Banach spaces", eNumerical Functional Analysis and Optimization, 29(910), pp 987-1033 [7] Ceng L C., Khan A R., Ansari Q H., and Yao J C (2009), "Strong convergence of composite iterative schemes for zeros of m-accretive operators in Banach spaces", Nonlinear Analysis, 70(5), pp 1830-1840 42 [8] Ceng L.C., Ansari Q.H, Schaible S Yao J.C (2012), "Hybrid viscosity approximation method for zeros of m-accretive operators in Banach spaces", Numerical Functional Analysis and Optimization, 33(2), pp 142-165 [9] R D Chen, Z C Zhu (2008), "Viscosity approximation method for accretive operator in Banach space", Nonlinear Analysis, 69, pp 1356-1363 [10] J Diestel, Geometry of Banach space-Selected topics, Springer-Verlag, 1970 [11] Goebel K., Kirk W A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory,Cambridge University Press, Cambridge [12] Guler O (1991), "On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization", SIAM Journal on Control and Optimization, 29(2), pp 403-419, [13] Hundal H (2004), "An alternating projection that does not converge in norm" Nonl Anal TMA, 57(1), pp 35-61 [14] Martinet B (1970), "R´egularisation d’in´equation variationnelles par approximations successives", Rev Franc Informat Rech Op´er., 4, pp 154159 [15] Moudafi A (2000), "Vicosity approximation methods for fixed point problems", J Math Anal Appl., 241, pp 45-55 [16] Rockafellar R T (1970), "On the maximal monotonicity of subdifferential mappings", Pacific J Math., 33, pp 209-216 [17] Rockaffelar R T (1976), "Monotone operators and proximal point algorithm" SIAM J Contr Optim., 14:887-897 [18] Xu H.-K (2006), "Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive operators", J Math Anal Appl., 314(2), pp 631-643 ... xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc nhât 2.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định không điểm tốn tử j- đơn điệu Cho E khơng gian Banach trơn, F : E −→ E toán tử j- đơn điệu. .. C 1.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 1.3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết Năm 2000, Moudafi [15] đề xuất phương pháp xấp xỉ gắn kết để... trợ 19 Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép 21 2.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định khơng điểm tốn tử j- đơn điệu 21 2.2 Ví