Bài tập Nâng cao Đai số 7 --------------------------------------------------------------- Bài 1. Tìm các phân số: ( 1, 12, 13/4, 5 KTCB Và NC TOáN 7) a) Có mẫu số là 30, lớn hơn 2 5 và nhỏ hơn 1 6 . b) Có tử số là -15, lớn hơn 5 6 và nhỏ hơn 3 4 . c) Có mẫu số là 20, lớn hơn 11 23 và nhỏ hơn 7 23 . d) Có tử số là 4, lớn hơn 5 11 và nhỏ hơn 5 12 . Bài 2. (14/6). a) Cho 2 số hữu tỉ & a c b d ( b > 0, d > 0 ). Chứng minh rằng nếu a c b d > thì a a c c b b d d + > > + b) Viết 3 số hữu tỉ xen giữa 2 số 1 1 & 2 3 c) Viết 5 số hữu tỉ xen giữa 2 số 1 1 & 5 5 Bài 3. (16/6). Rút gọn ( 1) 1 2 2 1 1 ) ( , ; 1; 1) ) ( , ; ; 1). ( 1) 1 3 (2 1) 6 3 2 a b b a ab b a a b a b b a b a b b a a b a a + + + + Ô Ô Bài 4. (10/15). Cho 3 số a, b, c thoả mãn: abc = 1. Chứng minh: 1 1 1 1 1 b ab a bc b abc bc b + + = + + + + + + Bài 5. ( 5/25). Thực hiện phép tính: 4 5 8 9 5 5 4 5 8 8 5 1 2 1 1 7 4 .5 4 1:1 4 :13 11 .6 11 9 .3 9 10 10 .3 2 3 4 15 8 ) ) ) : ) : : 3 1 1 1 2 7 11 11 9 .5 9 .7 10 .11 6 11 .5 3 :6 5 :1 4 3 4 8 3 8 a b c d + Bài 6. ( 14, 15/26). a) Tìm số nguyên a để: 5 : 4 1 a a + là 1 số nguyên. 19 1 . 5 1a là 1 số nguyên. b) Tìm phân số dơng a b nhỏ nhất sao cho khi chia a b cho 7 9 , khi chia a b cho 5 12 đợc mỗi thơng là số tự nhiên. Bài 7. ( 2/ 5 NC và các CĐ) Cho số hữu tỉ a b với b > 0. Chứng tỏ rằng: a) Nếu a b > 1 thì a > b và ngợc lại nếu a > b thì a b > 1 b) Nếu a b < 1 thì a < b và ngợc lại nếu a < b thì a b < 1. Bài 8. ( 6/ 6). a) Cho a, b, n  và b > 0, n > 0. Hãy so sánh 2 số hữu tỉ & a a n b b n + + . b) áp dụng kết quả trên hãy so sánh: 2 4 17 14 31 21 & ; & ; & 7 9 25 28 19 29 Bài 9. ( VD2 / 7, 14/ 9) Thực hiện phép tính 1 cách hợp lí: 3 3 1 1 1 1 0,375 0,3 0,25 0,2 1,5 1 0,75 6 11 12 3 7 13 3 ; 5 5 5 2 2 2 1 7 0,625 0,5 2,5 1,25 1 0,875 0,7 11 12 3 3 7 13 6 A B + + + + = + = ì + + + + Bài 10. ( 12 / 9 ) Tổng của 2 phân số tối giản là 1 số nguyên. Chứng tỏ rằng mẫu của 2 phân số đó là 2 số bằng nhau hoặc đối nhau. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009 Bài tập Nâng cao Đai số 7 --------------------------------------------------------------- Bài 11. ( VD 3 / 10 ) Tính giá trị của biểu thức: a) A = 2x + 2xy y với x = 2,5 và y = 3 4 ; b) B = 3a 3ab b và C = 5 3 3 a b với 1 ; 0,25 3 a b= = Bài 12. ( VD 4/ 11) Cho x, y Ô . Chứng tỏ rằng: a) )x y x y b x y x y+ + Bài 13. ( 22/ 12). Tìm x, y biết: ) 2 2 3 0,5a x = ) 7,5 3 5 2 4,5b x = ) 3 4 3 5 0c x y + + = Bài 14. Tính ( 31,30,33,vd6/15,16) 14/ 47 KTCB & NC a) A = 1 1 1 1 1 0 3 (2 3 ):(2 3 ) (2 .2 ):2 + + g) G = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 3 2 5 1 0 2 1 6 1 ) :2 3 7 2 b B = + ữ ữ ữ ( ) ( ) 2 1 0 3 2 2 5 1 1 ) 0,1 2 :2 7 49 c C = + ì ì ữ d) 6 5 9 2 2 4 12 11 2 4 .9 6 .120 1 1 3 . .81 . 8 .3 6 243 3 D + = + e) ( ) 5 3 1 1 1 1 1 4.2 : 2 . 1 1 16 1 1 1 2 1 2 E = + + ữ + + h) ( ) 0 2 2 3 1 1 1 2 3. . .4 2 : :8 2 2 2 + + ữ ữ 5 9 101 2 3 4 5 6 7 8 97 98 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) .3 .3 . .3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 i + + + + + + + + + + + + ữ ữ ữ Bài 15 ( 15,16/47 KTCB & NC) Tìm các cặp số (x,y) thoả mãn: a) x(x + y ) = 1 48 & y( x + y) = 1 24 b) 2006 2008 3 5 3 0,4 0 9 3 x y + + = ữ ữ c) ( ) 4 2 1 2 1 0 3 k k x y + = ữ Bài 16. ( 38/16 TNC & CCĐ) Tìm x Ô biết a) ( 2x 3 ) 2 = 16 b) ( 3x 2 ) 5 = - 243 c) ( ) 1 2 7 2 3x + = Bài 17 ( 10,11 / 46 KTCB & NC) Tìm x Ô biết 8 4 3 2 ) 4 3 x a = ữ ( ) 2 2 2 1 1 1 ) 2 1 : 0 ( , 0) 2 2 2 m m d x x x x m x + = Ơ 16 ) 81 n h x = b) ( x + 2 ) 2 = 36 e) ( ) ( ) 2 3 5 1 x x + = i) ( 2x 3 ) 6 = ( 2x 3 ) 8 c) ( ) 2 2 1,78 1,78 :1,78 0 x x x = g) (x 2 ) 8 = (x 2 ) 6 Phần nguyên, phần lẻ của 1 số hữu tỉ: Cho x Ô , phần nguyên của 1 số x kí hiệu là [ ] x là số nguyên lớn nhất không vợt quá x: [ ] x x < [ ] 1x + Ví dụ: [ ] [ ] 3 4 0,5 0; 1; 2; 3 3; . 2 3 = = = = Phần lẻ của số hữu tỉ x kí hiệu là { } x : { } x = x - [ ] x Bài 17. a) Tìm 7 85 195 ết ; ; 13 271 1996 x bi x x x = = = b) Tìm [ ] x trong các số x nói trên? c) Tìm [ ] x biết: 1, x 1 < 5 < x 2, x < 17 < x + 1 3, x < -10 < x + 0,2 d) Tìm { } X biết: x = 3 2 ; x = -3,75; x = 0,45 Bài 18. Chứng minh rằng: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ) 1 , ếu x không là số nguyên. )a x x n b x y x y = + + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009 Bài tập Nâng cao Đai số 7 --------------------------------------------------------------- Hớng dẫn: a) Ta có : [ ] x x < [ ] 1x + vì x không nguyên nên: [ ] x < x < [ ] 1x + [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 ( 1) 1x x x hay x x x x + < < < + = + . Theo định nghĩa phần nguyên ta có: [ ] [ ] ( ) 1 1x x = + b) [ ] x x , [ ] y y nên [ ] x + [ ] y x + y do đó [ ] x + [ ] y [ ] x y+ Bài 19. ( 40/21- 23 chuyên đề Q1) Cho x, y, z Ô thoả mãn: x 2 + 2y + 1 = 0 y 2 + 2z +1 = 0 z 2 + 2x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức: x 2007 + y 2007 + z 2007 Bài 20. ( 41/ 21) Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + x + y = 3 yz + y + z = 8 zx + z + x = 15 Tính giá trị của biểu thức: x + y + z Bài 21 ( 45/ 23 ) Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn : x + xy + y = 1 y + yz + z = 3 z + zx + x = 7 Tính giá trị của biểu thức : M = x + y 2 + z 3 Bài 22. ( NCPT tập 1: bài 1- 20) B i 23. ( 6/ 8 - BTNC & 1 Số CĐToán 7- Bùi Văn Tuyên). Cho các số hữu tỉ x, y, z. a+c ; ; đó m = ; . ết x y, hãy so sánh x với z;y với z? 2 2 a c m b d x y z trong n Chobi b d n + = = = = m ài 24. (7 / 8) Cho các số hữu tỉ ; à z = . ết ad- bc 1; 1; , , 0 n ) ãy so sánh các số x,y, z? a +m b) So sánh y với t biết t = ới b + n 0 b+ n a c B x y v Bi cn dm b d n b d a H v = = = = > a + c+ m 1 ài 25. ( 8/8) Cho 6 số nguyên dương a < b < c < d < m < n. Chứng minh rằng a + b 2 B c d m n < + + + + B i 26. ( 28/ 14). Cho 100 hữu tỉ trong đó tích của bất kì 3 số nào cũng là 1 số âm. Chứng minh rằng: a) tích của 100 số đó là 1 số dơng? b) tất cả 100 số đó đều là số âm. Bài 27. ( 57 / 23) Cho x + y = 2. Chứng minh rằng: xy 1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009 Bài tập Nâng cao Đai số 7 --------------------------------------------------------------- Ngày tháng 9 năm 2007 Tuần Kí duyệt Tỉ lệ thức dãy tỉ số bằng nhau I. Kiến thức cơ bản: 1 Tỉ lệ thức: * ĐN: * TC: + a c ad bc b d = = + ad = bc và a, b, c, d 0 ; ; ; a c a b d c d b b d c d b a c a = = = = Tóm lại: Vơí a, b, c, d 0 thì ad = bc a c a b d c d b b d c d b a c a = = = = 2. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: Từ 2 3 4 . 2 3 4 a c e a c e a c e a c e a c e a c e a c e b d f b d f b d f b d f b d f b d f b d f + + + + + + + + = = = = = = = = = = + + + + + + + + ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) II. Bài tập. Dạng 1. Chứng minh tỉ lệ thức. B i 1/56; 4,5,6/57;13/58 ; 8/70( KTCB & NC TON 7) Bài 1. Cho tỉ lệ thức: a c b d = . Chứng minh rằng: 1) 2) 3) 4) ( ) 5) 6) n n n n n n n n a b c d a b c d a b a b a b a b a b c d a c n b d b d c d c d c d c d a c a b c d + + + + + + = = = = = = + + + + Ơ Bài 2. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 a ( ới k )ta có thể suy ra được: b k k k k k k k k a b a b c v c d c d d + = = + Ơ . B i 3. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức: a a ( ), ó thểsuy ra được: ếu n lẻ và ếu n chẵn. b b n n n n n a a b c c n ta c n n c c d d d + = = = ữ + Ơ B i 4. Chứng minh rằng nếu ta có dãy tỉ số bằng nhau: 2003 1 2 3 2003 1 1 2 3 2003 2 3 4 2004 2004 2 3 4 2004 . . ì ta có thể suy ra được đẳng thức: . a a a a a a a a a th a a a a a a a a a + + + + = = = = = ữ + + + + B i 5. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức a b b c a b ta suy ra a b b c b c = = + + . B i 6. (54/21 TON NC & CC C TON 7). Chứng minh rằng nếu 2 2 2 2 2 2 5a +3b 5 3 7 3 7 3 ì a) ) 5a 3b 5 3 11 8 11 8 a c c d a ab c cd th b b d c d a b c d + + + = = = B i 7. ( 53/21) Cho 4 số khác không thoả mãn điều kiện: 2 1 a = a 1 a 3 & 2 3 a = a 2 a 4 . Chứng minh: 3 3 3 1 2 3 1 3 3 3 2 3 4 4 a a a a a a a a + + = + + Bài 8. ( 52/21). Biết ' 1& 1 ' ' ' a b b c a b b c + = + = . Chứng minh rằng: abc + abc = 0. Bài 9. ( 55/21) Cho 4 số nguyên dơng a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a & c và 1 1 1 1 2c b d = + ữ . Chứng minh rằng 4 số đó lập nên 1 tỉ lệ thức. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009 Bài tập Nâng cao Đai số 7 --------------------------------------------------------------- Bài 10. ( 87/28) Chứng minh rằng nếu: a b b c = thì 2 2 2 2 a b a b c c + = + với b, c 0 Bài 11.( 88/29). Biết ( ới a, b, c 0). Chứng minh rằng bz cy cx az ay bx x y z v a b c a b c = = = = . B i 12 . (55, 56,57/18; 58/19; 64,65/21- NCPT T 1 ) D ạng 2. Tìm x, y , trong tỉ lệ thức Bài 1. ( 2,4/54 KTCB) Tìm số hạng cha biết trong tỉ lệ thức: a) x: 15 = 8: 24 b) 36 : x = 54 : 3 d) 1,56 : 2,88 = 2,6 : x 2,5 : 4x = 0,5 : 0,2 c) 1 3 2 : 0,4 = x : 1 1 7 1 2 :3 :0,25 5 3 x = 3 2 3 1 5 7 5 1 x x x x + = + + 1 0,5 2 2 1 3 x x x x + + = + + Bài 2. ( 2/50; 7,8,9/57) Tìm x, y biết: a) 7 3 x y = và 1) x + y = 110 2) x y = 50 b) 4 4 & . 16 2 4 x y x y= = c) 2 2 2 2 10 10 & . 1024 3 5 y x x y x y + = = d) 2 1 3 2 2 3 1 5 7 6 x y x y x + + = = e) & 21 3 4 x y x y= + = f) & 32 3 5 x y x y= + = g) 3x = 7y & x- y = -16 h) 5x = 7y & y x =18 i) 4x = 3y & xy = 192 k) 4x = 5y & x 2 y 2 = 1 i) x : y = 5 : 7 & x 2 + y 2 = 4376 Bài 3. ( 10,11/ 57- KTCB; 50/26- ÔT; 43/19, 44/20, 50/20) Tìm 3 số x, y, z biết: a) 3 3 3 2 2 2 & 14 8 64 216 x y z x y z= = + + = b) 4 2 3 & 12 1 2 2 xyz x y z = = = + + c) & 90 2 3 5 x y z x y z= = + + = d) 2x = 3y = 5z & x y + z = -33 e) x:y:z = 3:5: (- 2) & 5x- y+3z = 124 f) 2x = 3y; 5y =7z & 3x 7y+5z = -30 g) 2x = y; 3y = 2z & 4x-3y+ 2z = 36 h) x:y:z = 3:4:5 &2x 2 +2y 2 3z 2 = -100 Bài 4. (45/20TNC & CĐ). Tìm các số a 1 , a 2 , a 3 , , a 9 biết: 9 1 2 3 9 1 2 3 . 9 8 7 1 a a a a = = = = & a 1 + a 2 + a 3 + + a 9 = 90 Bài 5. 53/18; 61/20; 62/21 NCPTT 1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009 Bài tập Nâng cao Đai số 7 --------------------------------------------------------------- Ngày tháng 9 năm 2007 Tuần Kí duyệt Hàm số và đồ thị Đại lợng tỉ lệ thuận - Đại lợng tỉ lệ nghịch Bài 1.( 2/74 ktcb&nc) Cho x và y là 2 đại lợng tỉ lệ thuận, hãy điền vào ô trống: x 3 6 12 24 18 x 24 54 15 81 36 y 8 16 y 8 12 Bài 2 (2/79 ktcb&nc) Cho x và y là 2 đại lợng tỉ lệ nghịch, hãy điền vào ô trống: x 3 12 48 x 27 12 81 y 16 8 4 y 6 4 9 Bài 3. 6/74. Hai ô tô khởi hành cùng 1 lúc từ A & B, đi ngợc chiều nhau. Sau khi gặp nhau lần thứ nhất, ô tô xuất phát từ A tiếp tục đi đến B và quay trở lại ngay, ô tô xuất phát từ B tiếp tục đi đến A và quay trở lại ngay. Hai ô tô gặp nhau lần thứ 2 ở C, thì quãng đờng AC dài hơn quãng đờng BC là 50km. Tính quãng đờng AB biết vận tốc ô tô đi từ A và vận tốc ô tô đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5. Bài 4. 7/74. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong 1 thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau khi đi đợc 1/2 quãng đ- ờng AB thì ô tô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đờng còn lại do đó ô tô đến B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quãng đờng AB? Bài 5. 8/74. Một trờng THCS có 3 lớp 7. Tổng số học sinh hai lớp 7A và 7B là 85 học sinh. Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh 3 lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7, 8, 9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? Bài 6. 9/75. Anh hơn em 8 tuổi. Tuổi của anh cách đây 5 năm băng 3/4 tuổi của em sau 8 năm nữa. Tính tuổi hiện nay của mỗi ngời? Bài 7. ( VD 13 /30 NC &CĐ) Cho x & y là 2 đại lợng tỉ lệ thuận, biết rằng với 2 giá trị bất kì x 1 , x 2 của x có tổng bằng 1 thì 2 giá trị tơng ứng y 1 , y 2 của y có tổng bằng 5. a) Hãy biểu diễn y theo x? b) Tính giá trị của y khi x= -4 ; x = 10; x = 0,5? c) Tính giá trị của x khi y = -4 ; y = -1,5; y = 0,7? Bài 8. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009 Bµi tËp N©ng cao §ai sè 7 --------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trêng THCS Minh T©n - N¨m häc 2008 – 2009 . nhất sao cho khi chia a b cho 7 9 , khi chia a b cho 5 12 đ c m i thơng là số tự nhiên. B i 7. ( 2/ 5 NC và c c CĐ) Cho số hữu tỉ a b v i b > 0. Chứng. nghĩa) II. B i tập. Dạng 1. Chứng minh tỉ lệ th c. B i 1/56; 4,5,6/57;13/58 ; 8/70( KTCB & NC TON 7) B i 1. Cho tỉ lệ th c: a c b d = . Chứng minh rằng: