Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳngChuyên đề Phương trình mặt phẳng
Chủ đề 8.3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng Vectơ n vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n vng góc với mặt phẳng ( ) Chú ý: Nếu n VTPT mặt phẳng ( ) k n (k 0) VTPT mặt phẳng ( ) Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT Nếu u, v có giá song song nằm mặt phẳng ( ) n [u, v] VTPT ( ) II Phương trình tổng qt mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng có dạng phương trình: Ax By Cz D với A2 B2 C Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax By Cz D có VTPT n( A; B; C ) Phương trình mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n( A; B; C ) khác VTPT là: A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D với A2 B2 C Nếu D mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng ( ) song song chứa trục Ox Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oy Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oz Nếu A B 0, C mặt phẳng ( ) song song trùng với Oxy Nếu A C 0, B mặt phẳng ( ) song song trùng với Oxz Nếu B C 0, A mặt phẳng ( ) song song trùng với Oyz Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng x y z Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : Ở ( ) cắt trục tọa độ a b c điểm a;0;0 , 0; b;0 , 0;0;c với abc III Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm M (x ; y0 ; z0 ) mặt phẳng : Ax By Cz D Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính: | Ax0 d ( M , ( )) By0 A Cz0 B C D| IV Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng : A1 x B1 y C1z D1 : A2 x B2 y C2 z D2 Góc bù với góc hai VTPT n , n Tức là: cos , cos n , n n n n n A1 A2 B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 V Một số dạng tập viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 song song với mặt phẳng : Ax By Cz D cho trước Phương pháp giải Cách 1: Thực theo bước sau: VTPT n A; B; C // nên VTPT mặt phẳng n n A; B; C Phương trình mặt phẳng : A x x0 B y y0 C z z0 Cách 2: Mặt phẳng // nên phương trình P có dạng: Ax By Cz D (*), với D D Vì P qua điểm M x0 ; y0 ; z0 nên thay tọa độ M x0 ; y0 ; z0 vào (*) tìm D Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A , B , C không thẳng hàng Phương pháp giải Tìm tọa độ vectơ: AB, AC Vectơ pháp tuyến : n AB, AC Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C ) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT n Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng Phương pháp giải Tìm VTCP u Vì nên có VTPT n u Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT n Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng , vng góc với mặt phẳng Phương pháp giải Tìm VTPT n Tìm VTCP u VTPT mặt phẳng là: n n ; u Lấy điểm M Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A , B vng góc với mặt phẳng Phương pháp giải Tìm VTPT n Tìm tọa độ vectơ AB VTPT mặt phẳng là: n n , AB Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng song song với ( , chéo nhau) Phương pháp giải Tìm VTCP u u ' VTPT mặt phẳng là: n u , u Lấy điểm M Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng điểm M Phương pháp giải Tìm VTCP u , lấy điểm N Tính tọa độ MN VTPT mặt phẳng là: n u ; MN Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng cắt Phương pháp giải Tìm VTCP u u ' VTPT mặt phẳng là: n u ; u ' Lấy điểm M Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa song song Phương pháp giải Tìm VTCP u u , lấy M , N VTPT mặt phẳng là: n u ; MN 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo cho trước Phương pháp giải Tìm VTCP ’ u u ' VTPT mặt phẳng là: n u ; u 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng P , Q cho trước Phương pháp giải Tìm VTPT P Q nP nQ VTPT mặt phẳng là: n nP ; nQ 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng : Ax By Cz D khoảng song song với mặt phẳng k cho trước Phương pháp giải Trên mặt phẳng chọn điểm M Do // nên có phương trình Ax By Cz D ( D D ) Sử dụng công thức khoảng cách d , d M , k để tìm D cách Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng : Ax By Cz D cho trước cách điểm M song song với mặt phẳng khoảng k cho trước Phương pháp giải Do // nên có phương trình Ax By Cz D ( D D ) Sử dụng công thức khoảng cách d M , k để tìm D Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S Phương pháp giải Tìm tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu S Nếu mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S M S mặt phẳng qua điểm M có VTPT MI Khi tốn khơng cho tiếp điểm ta phải sử dụng kiện tốn tìm VTPT mặt phẳng viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax By Cz D ( D chưa biết) Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I , R để tìm D Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng tạo với mặt phẳng : Ax By Cz D cho trước góc cho trước Phương pháp giải Tìm VTPT n Gọi n ( A; B; C) (n ; n ) Dùng phương pháp vô định giải hệ: n u n Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT VI Các ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm A(1;0; 2) có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2) Lời giải Mặt phẳng ( P) qua điểm A(1;0; 2) có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2) có phương trình là: 1( x 1) 1( y 0) 2( z 2) x y z Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x y z Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M (0;1;3) song song với mặt phẳng (Q) : x 3z Lời giải Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x 3z nên mặt phẳng ( P) có phương trình dạng: x 3z D ( D 1) Mặt phẳng ( P) qua điểm M (0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn Ta được: 2.0 3.3 D D (thỏa mãn D ) Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x 3z Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1;0; 2), B(1;1;1), C (0; 1; 2) Lời giải Ta có: AB (0;1;3), AC (1; 1: 4) AB, AC (7; 3;1) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) ta có n AB nên n phương với AB, AC n AC Chọn n (7; 3;1) ta phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: 7( x 1) 3( y 0) 1( z 2) 7x 3y z Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm O vng t x góc với đường thẳng d : y 1 2t z t Lời giải Đường thẳng d có vectơ phương là: ud (1; 2;1) Mặt phẳng ( ) vng góc với đường thẳng d nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n ud (1; 2;1) Đồng thời ( ) qua điểm O nên có phương trình là: x y z Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng x t d : y 1 2t vng góc với : x y z z t Lời giải Đường thẳng d qua điểm A 0; 1; có VTCP là: ud (1; 2;1) Mặt phẳng có VTPT n 1; 2; 1 Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d vng góc với nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n ud , n 4;0; 4 4 1;0;1 Phương trình mặt phẳng là: x z Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm A(1;2; 2), B(2; 1;4) vng góc với : x y z Lời giải Có AB 1; 3;6 Mặt phẳng có VTPT n 1; 2; 1 Mặt phẳng ( ) chứa A , B vng góc với nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n AB, n 15;7;1 Phương trình mặt phẳng là: 15x z 27 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x 1 x 1 y z 1 d1 : y 2t song song với đường thẳng d : 2 z 1 t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M1 (1;1;1) vectơ phương u1 (0; 2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1;0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2) Ta có u1 , u2 (6;1; 2) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có: n u1 nên n phương với u1 , u2 n u Chọn n (6;1; 2) Mặt phẳng ( P) qua điểm M1 (1;1;1) nhận vectơ pháp tuyến n (6;1; 2) có phương trình: 6( x 1) 1( y 1) 2( z 1) 6 x y z Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( P) thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: 6 x y z Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng x 1 d : y 2t điểm M (4;3;2) z 1 t Lời giải Đường thẳng d qua điểm N (1;1;1) vectơ phương ud (0; 2;1) MN 5; 2; 1 Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d điểm M nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n ud , MN 4;5;10 Phương trình mặt phẳng là: x y 10 z 19 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x 1 x 3t d1 : y 2t d : y 2t z 1 t z 1 t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M1 (1;1;1) vectơ phương u1 (0; 2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u2 (3; 2;1) Ta có u1 , u2 0;3;6 , M1M 0;0;0 Do M1M u1 , u2 nên đường thẳng d1 , d cắt Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d1 , d cắt nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n u1 , u2 0;3;6 0;1; Phương trình mặt phẳng là: y z Ví dụ 10 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng x 1 x4 d1 : y 2t d : y 4t z 1 t z 1 t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M1 (1;1;1) vectơ phương u1 (0; 2;1) Đường thẳng d qua điểm M 4;3;1 vectơ phương u2 0; 4; Ta có u1 , u2 , M1M 3; 2;0 Do u1 , u2 nên đường thẳng d1 , d song song Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d1 , d song song nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n u1 , M1M 2;3;6 2; 3; 6 Phương trình mặt phẳng là: x y z Ví dụ 11 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm x 1 x 1 y z 1 A(1;0; 2) ( P) song song với hai đường thẳng d1 : y 2t d : 2 z 1 t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M1 (1;1;1) vectơ phương u1 (0; 2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1;0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2) Ta có u1 , u2 (6;1; 2) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có: n u1 nên n phương với u1 , u2 n u2 Chọn n (6;1; 2) ta phương trình mặt phẳng ( P) là: 6( x 1) 1( y 0) 2( z 2) 6 x y z 10 Ví dụ 12 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M(1; 2; 5) vuông ( R) : x y z góc với hai mặt phẳng (Q) : x y 3z Lời giải VTPT (Q) nQ (1; 2; 3) , VTPT ( R) nR (2; 3;1) Ta có nQ , nR (7; 7; 7) nên mặt phẳng ( P) nhận n(1;1;1) VTPT ( P) qua điểm M(1; 2; 5) nên có phương trình là: x y z Ví dụ 13: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x y z cách (Q) khoảng Lời giải Trên mặt phẳng (Q) : x y z chọn điểm M(1; 0; 0) Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng x y z D với D Vì d (( P), (Q)) (P) có dạng: d (M ,( P)) | D| 12 22 ( 2)2 | D D| D 10 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x y z x y z 10 Ví dụ 14 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x y z ( P) cách điểm M(1; 2;1) khoảng Lời giải Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng x y z D với D Vì d (M ,( P)) |1 12 (P) có dạng: 22 D| ( 2)2 | D D| D 14 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x y z x y z 14 Ví dụ 15: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x y z tiếp xúc với mặt cầu (S) : x y z2 x 4y 2z Lời giải Mặt cầu (S ) có tâm I ( 1; 2;1) bán kính R ( 1)2 22 12 3 Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng x y z D với D Vì d ( I ,( P)) R xúc tiếp ( P) | 12 (P) có dạng: 22 D| ( 2)2 với mặt |1 D | cầu D D (S ) nên 10 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x y z 10 x y z Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng P đường thẳng d có phương trình P : x y z d : Q chứa đường thẳng x 1 y z Viết phương trình mặt phẳng d tạo với mặt phẳng P góc 600 Lời giải Giả sử mặt phẳng (Q) có dạng Ax By Cz D A2 B C Chọn hai điểm M 1; 1;3 , N 1;0; d A 1 B 1 C.3 D C 2 A B Mặt phẳng Q chứa d nên M , N Q A.1 B.0 C.4 D D A 4B Suy mặt phẳng có phương trình Ax By 2 A B z A 4B có VTPT nQ A; B; 2 A B Q tạo 60 với mặt A 2B A B A B (2 A B) 2 (1) 2 A (4 3) B Cho B ta A (4 3) Vậy có phương trình mặt phẳng 3) x y 9 z 32 14 (4 3) x y 9 z 32 14 (4 P phẳng 30 cos(600 ) góc Vậy x 2y 5z Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng qua A 2; 1; , B 3; 2; 1 vng góc với mặt phẳng Q : x y z Phương trình mặt phẳng là: A 5x y z B x y 5z 21 C x y z D 5x y z Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận AB 1;3; 5 , nQ 1;1; Mặt phẳng A 2; 1; qua có vectơ pháp tuyến AB, nQ 10; 6;8 2 5;3; 4 có phương trình: 5x y z Vậy 5x y z Phương pháp trắc nghiệm Do Q n nQ , kiểm tra mp có n nQ Vậy chọn A Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng qua M 0; 2;3 , song song với đường thẳng d : x y 1 z vng góc với mặt phẳng : x y z có phương 3 trình: A x y 5z B x y 5z C x y 5z D x y 5z Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Ta có ud 2; 3;1 , n 1;1; 1 Mặt phẳng qua M 0; 2;3 có vectơ pháp tuyến n ud , n 2;3;5 : x y 5z Phương pháp trắc nghiệm n knQ / / d Do kiểm tra mp thỏa hệ n n Q Q Vậy chọn A Câu 29 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Tọa độ giao điểm M mặt phẳng P : x y z với trục Ox A M 0, 0, ? B M 0, , C M 3, 0, D M 2, 0, Hướng dẫn giải: Gọi M a, 0, điểm thuộc trục Ox Điểm M P 2a a Vậy M 2, 0, giao điểm P , Ox Phương pháp trắc nghiệm 2 x y z Giải hệ PT gồm PT (P) (Ox): y ; bấm máy tính z Câu 30 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi mặt phẳng qua hình chiếu A 5; 4;3 lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng A 12 x 15 y C x y 20 z z 60 là: B 12 x 15 y 0 D x y z 20 z 60 60 0 Hướng dẫn giải Gọi M , N , P hình chiếu vng góc điểm A trục Ox, Oy, Oz Ta có: M 5;0;0 , N 0; 4;0 , P 0;0;3 Phương trình mặt phẳng x y z qua M 5;0;0 , N 0; 4;0 , P 0;0;3 là: 12 x 15 y Vậy 12 x 15 y 20 z 20 z 60 0 60 Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng B qua hai điểm A 5; 2;0 , 3; 4;1 có vectơ phương a 1;1;1 Phương trình mặt phẳng là: A 5x y 14 z C 5x y 14 z B x y D 5x y 14 z Hướng dẫn giải Ta có: AB 8;6;1 Mặt phẳng qua hai điểm A 5; 2;0 , B nên có VTPT là: n AB, a 3; 4;1 có vectơ phương a 1;1;1 5;9; 14 Mặt phẳng qua điểm A 5; 2;0 có VTPT n 5x y 14 z Vậy 5x y 14 z 5;9; 14 có phương trình là: Câu 32 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có mặt phẳng song song với mặt phẳng ( P) : x y z tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x y z 12 ? A B Khơng có C D Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng ( P) có dạng: x y z D ( D 6) +) Do mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x y z 12 nên d ( I ;(Q)) R với I tâm cầu, R bán kính mặt cầu Tìm D D 6 (loại) Vậy có mặt phẳng thỏa mãn Câu 33 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 4x , Q x y 8z , R : 3x y 12z 10 , W : x y 8z 12 Có cặp mặt phẳng song song với A.2 B C.0 D.1 Hướng dẫn giải: Hai mặt phẳng song song a b c d a' b' c' d ' Xét P Q : 2 3 P 2 8 Q Xét P R : 2 3 P 6 12 10 R Q R Xét P W : 2 8 Xét Q W : 2 8 8 Xét R W : 6 12 8 Vậy có cặp mặt phẳng song song Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : 3x m 1 y z , : nx m 2 y z Với giá trị thực A m 3; n 6 B m 3; n m, n để song song C m 3; n D m 3; n 6 Hướng dẫn giải: Để song song m 1 4 m 3; n n m 2 2 Vậy m 3; n Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x my m 1 z , Q : x y 3z Giá trị số thực B m A m 1 m để hai mặt phẳng P , Q vuông góc C m D m Hướng dẫn giải: Để mặt phẳng P , Q vng góc n p nQ 1.2 m 1 m 1 m Vậy m Câu 36 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng : x y z , : x y z Khoảng cách hai mặt phẳng , ? A d , B d , 11 C d , D d , Hướng dẫn giải: Lấy M 1, 0,1 thuộc mặt phẳng Ta có d , d M , 2 22 Vậy d , Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z Gọi mặt phẳng Q mặt phẳng đối xứng mặt phẳng P qua trục tung Khi phương trình mặt phẳng Q ? B x y z A x y z C x y z D x y z Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y, z ) điểm thuộc mặt phẳng P Điểm M ' x, y, z điểm đối xứng M qua trục tung Q : x y z mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng P Vậy x y z Câu 38 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 5z Gọi mặt phẳng Q mặt phẳng đối xứng mặt phẳng P qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng Q ? A P : x y 5z B P : x y 5z C P : x y 5z D P : x y 5z Hướng dẫn giải Gọi M ( x, y, z ) điểm thuộc mặt phẳng P Điểm M ' x, y, z điểm đối xứng M qua trục tung Q : x y 5z mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng P Vậy P : x y 5z Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , với hai mặt phẳng P : 3x y phẳng z mặt phẳng qua điểm A 2; 1;5 vng góc Q : 5x y 3z Phương trình mặt là: A x 2y z C x 4y z 10 B x y D x Hướng dẫn giải Mặt phẳng (P) có VTPT nP 3; 2;1 2y z 10 z 0 Mặt phẳng (Q) có VTPT nQ 5; 4;3 Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng P : 3x y z , Q : 5x y 3z nên có VTPT nP nP , nQ 2; 4; 2 Phương trình mặt phẳng là: x 2y z Câu 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trục Oy cách hai mặt phẳng: P : x y z Q : x y z là: A M 0; 3;0 C M 0; 2;0 B M 0;3;0 D M 0;1;0 Hướng dẫn giải Ta có M Oy M 0; m;0 Giả thiết có d M , P d M , Q m 1 m m 3 Vậy M 0; 3;0 Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi mặt phẳng qua G 1; 2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C (khác gốc O ) cho G trọng tâm tam giác ABC Khi mặt phẳng có phương trình: A 3x y z 18 B x y z 18 C x y 3z D x y z Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Gọi A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c giao điểm mặt phẳng trục Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng : x y z a, b, c a b c Ta có G trọng tâm tam giác ABC a 3 1 a x y z b b : x y z 18 3 c c 3 Câu 42 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi mặt phẳng song song với mặt phẳng : 2x y 4z phẳng là: cách điểm A 2; 3; khoảng k Phương trình mặt A x y z x y z 13 B x y z 25 C x y z D x y z 25 x y z Hướng dẫn giải Vì / / : x y z m m 3 Giả thiết có d A, 32 m m 14 3 m 50 Vậy : x y z , : x y z 25 Câu 43 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 , d có phương trình x 2 y 2 z 3 x 1 y z 1 , d2 : Phương trình mặt phẳng cách hai 2 1 đường thẳng d1 , d là: d1 : A x y z B x y z C x y 3z D 14 x y 8z Hướng dẫn giải Ta có d1 qua A 2; 2;3 có ud1 2;1;3 , d qua B 1; 2;1 có ud 2; 1; AB 1;1; 2 ; ud1 ; ud2 7; 2; 4 ; ud1 ; ud2 AB 1 nên d1 , d chéo Do cách d1 , d nên song song với d1 , d n ud1 ; ud2 7; 2; 4 có dạng x y z d Theo giả thiết d A, d B, d 2 69 d 1 69 d :14 x y 8z Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A 1;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c , b 0, c mặt phẳng P : y z Xác định b c biết mặt phẳng ABC vuông góc với mặt phẳng P khoảng cách từ O đến ABC A b 1 ,c 2 B b 1, c 1 C b , c 2 D b , c Hướng dẫn giải Phương trình mặt phẳng ABC có dạng x y z bcx cy bz bc b c c b bc ABC P bc 1 Theo giả thiết: b2 1 d O, ABC 2 3 b 2b bc c b 3b2 b4 2b2 8b4 2b2 b 1 c 2 Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng Ox, Oy, Oz đoạn có phương trình là: qua điểm M 5; 4;3 cắt tia A x y C 5x z 12 4y 3z 50 B x y z D x y z Hướng dẫn giải Gọi A a;0;0 , B 0; a;0 , C 0;0; a a giao điểm mặt phẳng tia Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng Mặt phẳng Ta có x 12 qua A, B, C là: qua điểm M 5;4;3 y 12 z 12 x y a x a y a z a 12 z 12 Câu 46 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng chứa trục Oy tạo với mặt phẳng y z góc 600 Phương trình mặt phẳng (P) là: x z A x z x z C x z x y B x y x 2z D x z Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên có dạng: Ax Cz ( A2 C 0) +) Mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng y z góc 600 nên cos 600 n( P ) n(Q ) n( P ) n(Q ) AC A2 C C A2 C A2 C A C C x z Phương trình mặt phẳng (P) là: x z Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên loại đáp án B, C +)Còn lại hai đáp án A, D chung phương trình thứ hai nên ta thử điều kiện góc phương trình thứ đáp án A thấy thỏa mãn S : x 1 y 2 z 3 tiếp xúc với S Câu 47 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu Phương trình mặt phẳng chứa trục Oz A : x y B : 3x y C : 3x y D : x y Hướng dẫn giải: Mặt phẳng chứa trục Oz có dạng : Ax By A2 B Ta có : d I , A 2B A2 B 1 AB B2 A B Chọn A 3, B 4 : 3x y 2 Câu 48 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có A 1, 2, 1 , B 2,1,0 , C 2,3, Điểm G trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng OGB ? A 174 29 B 174 29 C 174 29 D 174 29 Hướng dẫn giải 1 1 Do G trọng tâm tam giác ABC G , 2, 3 3 13 Gọi n vtpt mặt phẳng OGB n OG OB , , 3 3 Phương trình mặt phẳng OGB : x y 13z d A, OGB Câu 49 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu 174 29 S : x 1 y 2 z 3 2 16 Phương trình mặt phẳng chứa Oy cắt hình cầu S theo thiết diện đường trịn có chu vi 8 A : 3x z B : 3x z C : 3x z D : x 3z Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng : Ax Cz A2 C Ta có : 2 r 8 r Mà S có tâm I 1, 2,3 , R Do R r I A 3C Chọn A 3, C 1 : 3x z Câu 50 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz cắt mặt cầu ( x 1)2 ( y 2)2 z 12 theo đường trịn có chu vi lớn Phương trình (P) là: A x y B y C y D y Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu ( x 1)2 ( y 2)2 z 12 theo đường trịn có chu vi lớn nên mặt phẳng (P) qua tâm I (1; 2;0) Phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng Oxz có dạng : Ay B Do ( P) qua tâm I (1; 2;0) có phương trình dạng: y Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên lọai đáp án D +) Mặt phẳng (P) qua tâm I (1; 2;0) nên thay tọa độ điểm I vào phương trình loại đáp án B,C Câu 51 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Gọi ( ) mặt phẳng chứa trục Oy cách M khoảng lớn Phương trình ( ) là: A x 3z B x z D x C x 3z Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Gọi H , K hình chiếu vng M góc M mặt phẳng ( ) trục Oy Ta có : K (0; 2;0) d (M ,( )) MH MK H K Oy Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ) lớn mặt phẳng ( ) qua K vng góc với MK Phương trình mặt phẳng: x 3z Câu 52 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y z 3 , 2 điểm A 0;0; Phương trình mặt phẳng P qua A cắt mặt cầu S theo thiết diện hình trịn C có diện tích nhỏ ? A P : x y 3z B P : x y z C P : 3x y z D P : x y 3z Hướng dẫn giải: Mặt cầu S có tâm I 1, 2,3 , R Ta có IA R nên điểm A nằm mặt cầu Ta có : d I , P R r Diện tích hình trịn C nhỏ r nhỏ d I , P lớn Do d I , P IA max d I , P IA Khi mặt phẳng P qua A nhận IA làm vtpt P : x y z Câu 53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N 1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng P cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A P : x y z B P : x y z C P : x y z D P : x y z Hướng dẫn giải: Gọi A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c giao điểm P với trục Ox, Oy, Oz P : x y z 1 a, b, c a b c 1 1 a b c 1 N P Ta có: NA NB a b a b c x y z NA NC a 1 c 1 Câu 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P qua hai điểm A(1;1;1) , B 0; 2; đồng thời cắt tia Ox, Oy hai điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) cho OM 2ON A P : x y z B P : x y z C P : x y z D P : 3x y z Hướng dẫn giải: Gọi M a;0;0 , N 0; b;0 giao điểm P với tia Ox, Oy a, b Do OM 2ON a 2b MN 2b; b;0 b 2; 1;0 Đặt u 2; 1;0 Gọi n môt vectơ pháp tuyến mặt phẳng P n u, AB 1; 2;1 Phương trình măt phẳng P : x y z Câu 55 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A 1; 2;1 , B 2;1;3 , C 2; 1;3 D 0;3;1 Phương trình mặt phẳng qua A, B đồng thời cách C , D A P1 : x y z 15 0; P2 : x y z 10 B P1 : x y z 0; P2 : 3x y 5z 10 C P1 : x y z 0; P2 : x 3z D P1 : 3x y z 20 0; P2 : x y 3z 10 Hướng dẫn giải: Trường hợp 1: CD P nP AB CD 6; 10; 14 2 3;5;7 P : 3x y z 20 Trường hợp 2: P qua trung điểm I 1;1; CD nP AB AI 1;3;3 P : x y 3z 10 D C C I P P D Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2;1;3 ; B 3;0;2 ; C 0; 2;1 Phương trình mặt phẳng P qua A, B cách C khoảng lớn ? A P : 3x y z 11 B P : 3x y z 13 C P : x y 3z 12 D P : x y Hướng dẫn giải: C Gọi H , K hình chiếu C lên mp P doạn thẳng AB Ta có : CH d I , P CK d C , P lớn P H K Khi mặt phẳng P qua A, B vuông với mặt B H K phẳng ABC A Ta có n p AB, AC AB 9, 6, 3 P : 3x y z 11 Câu 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng qua điểm M 1; 2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng A x 2y C 3x 2y có phương trình là: x 3z 14 B z 10 D x y z 2y 3z 14 0 Hướng dẫn giải Cách 1:Gọi H hình chiếu vng góc C AB , K hình chiếu vng góc B AC M trực tâm tam giác ABC M Ta có : AB CH AB CO AB COH Chứng minh tương tự, ta có: AC Từ (1) (2), ta có: OM AB BK CH C OM (1) (1) K OM (2) M ABC A O H Ta có: OM 1; 2;3 Mặt phẳng x B qua điểm M 1; 2;3 có VTPT OM 1; 2;3 nên có phương trình là: y z x 2y 3z 14 Cách 2: +) Do A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz nên A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) ( a, b, c ) Phương trình đoạn chắn mặt phẳng (ABC ) là: x y z 1 a b c AM BC +) Do M trực tâm tam giác ABC nên BM AC Giải hệ điều kiện ta a, b, c M ( ABC ) Vậy phương trình mặt phẳng: x y 3z 14 Câu 58 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm G(1;4;3) Viết phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC ? x y z A 16 12 B x y z 16 12 C x y z 12 D x y z 12 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Do A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz nên A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) xO x A xB xC x G y y A yB yC +) Do G trọng tâm tứ diện OABC nên yG O yO y A yB yC zG suy a 4, b 16, c 12 +) Vậy phương trình đoạn chắn mặt phẳng (ABC ) là: x y z 16 12 Câu 59 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Mặt phẳng (P) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ có phương trình là: A x y z B x y z 18 C x y 3z 14 D x y z Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P) cắt tia Ox, Oy, Oz A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) ( a, b, c ) Phương trình mặt phẳng (P) x y z 1 a b c +) Mặt phẳng (P) qua M nên Ta có a b c 33 abc 162 a b c abc +) Thể tích khối tứ diện OABC V abc 27 Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ suy a 3, b 6, c a b c A, B, C nên Phương trình mặt phẳng (P) x y z hay x y z 18 Câu 60 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình P x y 2z 1 Q : x y z mặt cầu S : x 1 y 2 phẳng vuông với mặt phẳng P , Q đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S A x y 0;2 x y B x y 0;2 x y C x y 0; x y D x y 0; x y z Mặt Hướng dẫn giải Mặt cầu S : x 1 y z có tâm I 1; 2;0 bán kính R 2 Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng Ta có : n nP nQ n 6;3;0 3 2; 1;0 3n1 Lúc mặt phẳng có dạng : x y m Do mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S d I , m 1 m 9 m4 Vậy phương trình mặt phẳng : x y x y Câu 61 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z , điểm A 1;0;0 , B(1;2;0) S : x 1 y z 25 Viết phương trình mặt phẳng vuông 2 với mặt phẳng P , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu S theo đường trịn có bán kính r 2 A x y 3z 11 0; x y 3z 23 B x y 3z 11 0; x y 3z 23 C x y 3z 11 0; x y 3z 23 D x y 3z 11 0; x y 3z 23 Hướng dẫn giải Mặt cầu S : x 1 y z có tâm I 1; 2;0 bán kính R 2 Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng Ta có : n nP , AB n 4; 4;6 2; 2;3 2n1 Lúc mặt phẳng có dạng : x y 3z m Gọi J hình chiếu I lên mặt phẳng Ta có : R2 r IJ IJ 17 d I , 17 m 17 m 11 m 23 Vậy phương trình mặt phẳng : x y 3z 11 x y 3z 23 Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho điểm A 1;1; 1 , B 1;1; , C 1; 2; 2 mặt phẳng P : x y z Lập phương trình mặt phẳng qua A , vng góc với mặt phẳng P cắt đường thẳng BC I cho IB 2IC biết tọa độ điểm I số nguyên A : x y z B : x y z C : x y z D : x y z Hướng dẫn giải : I 3;3; 6 IB IC Do I , B, C thẳng hàng IB 2IC IB 2 IC I ; ; 3 3 Vì tọa độ điểm I số nguyên nên I 3;3; 6 Lúc mặt phẳng qua A, I 3;3; 6 vng góc với mặt phẳng P : x y z P x y z , A 1;0;1 chứa giao Câu 63 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng Q : x y 4z 1 Lập phương tuyến hai mặt phẳng P , Q ? trình mặt phẳng qua A : x y z B : x y z 16 C : x y z 17 D : x y z Hướng dẫn giải: Gọi M , N điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng P , Q x y z 3 M , N thỏa hệ phương trình : 2 x y z y z 4 y 3 Cho x M (7; 3; 1) 3 y z 13 z 1 y 1 y z 3 N 6; 1; 2 Cho x z 2 3 y z 11 Lúc mặt phẳng chứa điểm A, N , M : x y z 16 Câu 64 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho đường thẳng x y 1 z x 1 y z d2 : Viết phương trình mặt phẳng vng góc với d1 ,cắt 1 1 Oz A cắt d B ( có tọa nguyên ) cho AB d1 : A :10 x y 5z B : x y z C : x y z D : x y z Hướng dẫn giải Do mặt phẳng vuông góc với d1 x y z m Mặt phẳng cắt Oz A 0;0; m , cắt d B m 1, 2m, m 1 AB m 1, 2m, 2m 1 9m2 2m 9m2 2m m 1, m Vậy mặt phẳng : x y z Câu 65 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A 1;1;1 , B 2;0; , C 1; 1;0 , D 0;3;4 Trên cạnh AB, AC, AD lấy điểm AB AC AD Viết phương trình mặt phẳng B ' C ' D ' biết tứ diện AB ' AC ' AD ' AB ' C ' D ' tích nhỏ ? B ', C ', D ' thỏa : A 16 x 40 y 44 z 39 B 16 x 40 y 44 z 39 C 16 x 40 y 44 z 39 D 16 x 40 y 44 z 39 Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có : AB AC AD AB AC AD 33 AB ' AC ' AD ' AB ' AC ' AD ' V AB ' AC ' AD ' 27 AB ' AC ' AD ' 27 27 VAB 'C ' D ' VABCD AB 'C ' D ' VABCD AB AC AD 64 AB AC AD 64 64 Để VAB 'C ' D ' nhỏ AB ' AC ' AD ' 7 7 AB ' AB B ' ; ; AB AC AD 4 4 4 7 7 Lúc mặt phẳng B ' C ' D ' song song với mặt phẳng BCD qua B ' ; ; 4 4 B ' C ' D ' :16 x 40 y 44 z 39 Câu 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho P : x y z , Q : x y z Lập phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến P , Q cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho hình chóp O ABC hình chóp A x y z B x y z C x y z D x y z Hướng dẫn giải Chọn M 6;0;0 , N 2;2;2 thuộc giao tuyến P , Q Gọi A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c giao điểm với trục Ox, Oy, Oz : x y z 1 a, b, c a b c 1 a chứa M , N 2 1 a b c Hình chóp O ABC hình chóp OA OB OC a b c Vây phương trình x y z ... viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 2: Viết phương trình mặt. .. với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 5z Gọi mặt phẳng Q mặt phẳng đối xứng mặt phẳng P qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng Q ? A P : x y... với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 5z Gọi mặt phẳng Q mặt phẳng đối xứng mặt phẳng P qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng Q ? A P : x y