Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân: Một số dạng tích phân thờng gặp 1 I - Tích phân các hàm đa thức, hàm số luỹ thừa Chú ý : 1 1 b b a a u u du + = + với 0 và -1, 1 ln ; 0. b b a a du u ab u = > * ; 0, m n m n u u u n N = > , 1 n n u u = , du = u(x)dx I 1 = 5 4 0 (3 ) 5 x dx I 2 = 1 5 3 6 0 (1 )x x dx I 3 = 1 11 0 (1 )x x dx I 4 = 1 2 0 (1 ) n x x dx I 5 = 5 2 3x dx I 6 = 2 2 1 2 3x x dx + I 7 = 8 3 1 1 ( )x x dx x I 8 = 4 2 3 1 1 2 x x dx x + I 9 = 3 1 1 1 1 dx x x+ + I 10 = 3 1 1 2 2 3 3 0.125 1x x dx ữ I 11 = { } 2 2 0 max 3 2;x x dx II- Tích phân các hàm hữu tỉ I 12 = 2 4 1 4 (3 2 ) dx x I 13 = 1 1 2 1 2 x dx x + I 14 = 1 0 2 2 3 1 x dx x ữ + I 15 = + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx I 16 = + 1 0 3 2 )13( dx x x I 17 = ++ b a dx bxax ))(( 1 I 18 = dx xx + 2 0 2 22 1 I 19 = 1 2 0 4 11 5 6 x dx x x + + + I 20 = + 4 2 23 2 1 dx xxx I 21 = 1 2 1 ( 2) x dx x + I 22 = 1 2 2 2 7 3 5 4 x x dx x x + + I 23 = 2 4 2 1 2 x dx x ữ + I 24 = 1 2 2 2 5 4 7 x dx x x + + + I 25 = 3 2 1 3 dx dx x+ I 26 = ( ) 1 3 2 2 0 1 x dx x+ I 27 = ( ) 1 2 3 2 0 1 x dx x+ I 28 = 1 3 0 3 1 dx x + I 29 = 2009 1 2 1 2 1 1 1 dx x x + ữ I 30 = 3 3 1 1 dx x x + I 31 = 1 3 3 3 4 1 ( )x x dx x I 32 = 1 2 0 4 2 ( 2)( 1) x dx x x + + I 33 = 2 2 2 0 ( ) b a x dx a x + I 34 = + 1 0 32 )1( dx x x I 35 = + 2 1 4 2 1 1 dx x x I 36 = + + 1 0 6 4 1 1 dx x x I 37 = 1 5 2 2 4 2 1 1 1 x dx x x + + + + I 38 = 5 2 2 2 3 1 ( 5 1)( 3 1) x dx x x x x + + + III- Tích phân hàm chứa căn thức Chú ý: b a dxxfxR ))(,( Trong đó R(x, f(x)) có các dạng: +) R(x, xa xa + ) Đặt x = a cos2t, t ] 2 ;0[ +) R(x, 22 xa ) Đặt x = ta sin hoặc x = ta cos -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nguyễn Trung Kiên THPT Minh Khai Hà Nội. Mail: ntkmk2hn@gmail.com Chuyªn ®Ò Nguyªn hµm TÝch ph©n: Mét sè d¹ng tÝch ph©n thêng gÆp 2 +) R(x, n dcx bax + + ) §Æt t = n dcx bax + + +) R(x, f(x)) = γβα +++ xxbax 2 )( 1 Víi ( γβα ++ xx 2 )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = γβα ++ xx 2 , hoÆc ®Æt t = bax + 1 +) R(x, 22 xa + ) §Æt x = tgta , t ] 2 ; 2 [ ππ −∈ +) R(x, 22 ax − ) §Æt x = x a cos , t } 2 {\];0[ π π ∈ +) R ( ) 1 2 i n n n x x x; ; .; Gäi k = BCNH(n 1 ; n 2 ; .; n i ), §Æt x = t k I 39 = 1 3 3 2xdx − − ∫ I 40 = 1 0 1x xdx− ∫ I 41 = 1 3 2 1 1x x dx − + ∫ I 42 = 2 2 3 4 0 3 1x x dx+ ∫ I 43 = 2 1 1 1 2 dx x − + + ∫ I 44 = 4 0 2 1 x dx x + ∫ I 45 = 2 1 1 1 x dx x+ − ∫ I 46 = 7 3 0 2 1 x dx x + + ∫ I 47 = 3 2 0 1 1 x dx x + + ∫ I 48 = 2 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ I 49 = 2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫ I 50 = ∫ + 32 5 2 4xx dx I 51 = dxxxx ∫ +− 4 0 23 2 I 52 = ∫ + + 3 0 2 35 1 dx x xx I 53 = 1 2 0 1 x dx x x+ + ∫ I 54 = ∫ ++ 1 0 2 3 1xx dxx I 55 = ∫ − 3 0 23 10 dxxx I 56 = ∫ + 2 1 3 1xx dx I 57 = 2 2 0 4 x dx− ∫ I 58 = 1 2 2 0 2 x dx x − ∫ I 59 = 1 2 2 0 1x x dx− ∫ I 60 = ∫ − 2 2 0 32 )1( x dx I 61 = 3 2 0 1 1 dx x+ ∫ I 62 = 7 2 2 1 3 dx x − ∫ I 63 = 3 2 2 1x dx− ∫ I 64 = 1 2 0 2 3x x dx− + + ∫ I 65 = 1 1 2 2 x dx x − − + ∫ I 66 = 1 1 3ln ln e x xdx x + ∫ I 67 = ln3 0 1 1 x dx e+ ∫ I 68 = ln 2 2 0 1 x x e dx e+ ∫ I 69 = ln 2 2 1 ln 1 ln x dx x x+ ∫ I 70 = ∫ + 2 0 2cos7 cos π x xdx I 71 = ∫ − 2 0 2 coscossin π dxxxx I 72 = ∫ + 3 0 2cos2 cos π x xdx I 73 = ∫ − 2 0 56 3 cossincos1 π xdxxx I 74 = ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx -------------------------------------------------------------------------------------------------------- NguyÔn Trung Kiªn – THPT Minh Khai Hµ Néi. Mail: ntkmk2hn@gmail.com Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân: Một số dạng tích phân thờng gặp 3 I 75 = + 3 0 2 2 cos 32 cos 2cos dx x tgx x x IV- Tích phân hàm số lợng giác Chú ý: Các công thức lợng giác Tích thành tổng : 2sinax.cosbx = sin(a+b)x + cos(a-b)x 2cosax.cosbx = cos(a+b)x + cos(a-b)x 2sinax.sinbx = cos(a-b)x cos(a+b)x Hạ bậc: 2sinax.cosax = sin2ax; 2sin 2 ax =1- cos2ax; 2cos 2 ax = 1+ cos2ax. Biểu diễn theo t = tan 2 x ; sinx = 2 2 1 t t+ ; cosx = 2 2 1 1 t t + ; tanx = 2 2 1 t t Các vi phân: d(sinx) = cosxdx; d(cosx) = -sinxdx; d(tanx) = 2 dx cos x =(1+tan 2 x)dx. I 76 = xdxx 4 2 0 2 cossin I 77 = 2 0 32 cossin xdxx I 78 = 4 4 0 1 dx cos x I 79 = 2 5 0 sin xdx I 80 = + 2 0 44 )cos(sin2cos dxxxx I 81 = 2 3 sin 1 dx x I 82 = + 2 0 2 3 cos1 sin dx x x I 83 = 3 6 4 cos.sin xx dx I 84 = + 4 0 22 coscossin2sin xxxx dx I 85 = + 2 0 3 cos1 cos dx x x I 86 = 46 0 tan 2 x dx cos x I 87 = 2 3 2 )cos1( cos x xdx I 88 = ++ + 2 2 3cos2sin 1cossin dx xx xx I 89 = 4 0 3 xdxtg I 90 = dxxg 4 6 3 cot I 91 = + 4 0 1 1 dx tgx I 92 = + 4 0 ) 4 cos(cos xx dx I 93 = ++ ++ 2 0 5cos5sin4 6cos7sin dx xx xx I 94 = + 4 0 4 3 cos1 sin4 dx x x I 95 = + ++ 2 0 cossin 2sin2cos1 dx xx xx I 96 = + 2 0 cos1 3sin dx x x I 97 = 2 4 sin2sin xx dx I 98 = 4 0 2 3 cos sin dx x x I 99 = + 2 0 32 )sin1(2sin dxxx -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nguyễn Trung Kiên THPT Minh Khai Hà Nội. Mail: ntkmk2hn@gmail.com Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân: Một số dạng tích phân thờng gặp 4 I 100 = 3 4 3 3 3 sin sinsin dx xtgx xx I 101 = + 3 6 ) 6 sin(sin xx dx I 102 = dxxtgxtg ) 6 ( 3 6 + I 103 = + 3 0 3 )cos(sin sin4 xx xdx I 104 = + 4 6 2cot 4sin3sin dx xgtgx xx I 105 = + 2 0 2 6sin5sin 2sin xx xdx I 106 = + 4 0 2 )cos2(sin xx dx I 107 = 2 6 1 3 sin cos dx x x + I 108 = 4 6 6 0 sin 4 sin cos xdx x x + I 109 = 3 2 2 6 tan cot 2x x dx + I 110 = 3 2 0 sin tanx xdx V- Tích phân tổng hợp các hàm số Chú ý : Công thức tích phân từng phần: b b b a a a udv uv vdu = I 111 = 1 2 0 x xe dx I 112 = 2 0 (2 ) sx inxdx I 113 = 2 0 sin xdx I 114 = 1 2 1 ( 1) x x e dx + I 115 = 2 1 ln e x xdx I 116 = 3 2 2 ln( )x x dx I 117 = 2 2 1 ln(1 )x dx x + I 118 = 3 3 1 1 ln e x xdx x + I 119 = 4 0 ln(1 tan )x dx + I 120 = 1 (ln ) e cos x dx I 121 = 0 1 ( 1) x x e x dx + + I 122 = ln8 2 ln3 1 x x e e dx+ I 123 = 3 6 2 cos )ln(sin dx x x I 124 = 2 4 ln(1 cot )x dx + VI Một số tích phân đặc biệt I 125 . ++ 1 1 2 )1ln( dxxx I 126 + + 1 1 2 4 1 sin dx x xx I 127. 2 2 2 cos 4 sin + x x dx x I 128 . + + 3 3 2 21 1 dx x x I 129 . + 2 2 1 5cos3sinsin dx e xxx x I 130 . + 2 0 cossin sin dx xx x I 131 . + 0 cos2 sin dx x xx I 132 . + 0 2 cos1 sin dx x xx I 133 . + 4 0 )1ln(4sin dxtgxx I 134 . ++ 1 1 2 )1)(1( xe dx x I 135 . + 2 2 5 cos1 sin dx x x -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nguyễn Trung Kiên THPT Minh Khai Hà Nội. Mail: ntkmk2hn@gmail.com Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân: Một số dạng tích phân thờng gặp 5 CMR Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], thì += aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)( áp dụng cho f(x) liên tục trên [- 2 3 ; 2 3 ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = x2cos22 , Tính: I 136 = 2 3 2 3 )( dxxf . VII Bài tập bổ sung -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nguyễn Trung Kiên THPT Minh Khai Hà Nội. Mail: ntkmk2hn@gmail.com . = ta sin hoặc x = ta cos -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - Nguyễn Trung Kiên THPT. cos31 sin2sin π dx x xx -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - NguyÔn Trung Kiªn – THPT