H PHNG TRèNH I XNG LOI (KIU) II 1. Dng 1: ỡ ù ù ớ ù ù ợ f(x, y) = 0 f(y, x) = 0 (i v trớ x v y cho nhau thỡ phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh kia) Phng phỏp gii chung Cỏch gii 1 Tr hai phng trỡnh cho nhau, a v phng trỡnh tớch, gii x theo y (hay ngc li) ri th vo mt trong hai phng trỡnh ca h. Vớ d 1. Gii h phng trỡnh 3 3 x 2x y (1) y 2y x (2) ỡ ù + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . Gii Tr (1) v (2) v theo v ta c: 3 3 2 2 x y 3x 3y 0 (x y)(x y xy 3) 0- + - = - + + + = 2 2 y 3y (x y) x 3 0 y x 2 4 ộ ự ổ ử ờ ỳ ữ ỗ - + + + = = ữ ỗ ờ ỳ ữ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Th y = x vo (1) hoc (2) ta c: 3 x x 0 x 0+ = = Vy h phng trỡnh cú nghim duy nht x 0 y 0 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . Vớ d 2. Gii h phng trỡnh 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2) ỡ ù + + - = ù ù ớ ù + + - = ù ù ợ Gii iu kin: 3 x 4 2 3 x 4 2 ỡ ù ù - Ê Ê ù ù ớ ù ù - Ê Ê ù ù ợ . Tr (1) v (2) ta c: ( ) ( ) 2x 3 2y 3 4 y 4 x 0+ - + + - - - = (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0 2x 3 2y 3 4 y 4 x + - + - - - + = + + + - + - 2 1 (x y) 0 x y 2x 3 2y 3 4 y 4 x ổ ử ữ ỗ ữ - + = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + + - + - . Thay x = y vo (1), ta c: 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - = 2 2 9 x 0 11 2 2x 5x 12 9 x x 3 x 9x 38x 33 0 9 ỡ - ù ù - + + = - = = ớ ù - + = ù ợ (nhn). Vy h phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit 11 x x 3 9 y 3 11 y 9 ỡ ù ù = ỡ ù = ù ù ù ớ ớ ù ù = ù ù ợ = ù ù ợ . Cỏch gii 2 (nờn dựng khi cỏch 1 khụng gii c) Cng v tr ln lt hai phng trỡnh a v h phng trỡnh mi tng ng gm hai phng trỡnh tớch (thụng thng tng ng vi 4 h phng trỡnh mi). Vớ d 3. Gii h phng trỡnh 3 3 x 2x y (1) y 2y x (2) ỡ ù = + ù ù ớ ù = + ù ù ợ Gii Tr v cng (1) vi (2), ta c: 3 2 2 3 2 2 x 2x y (x y)(x xy y 1) 0 y 2y x (x y)(x xy y 3) 0 ỡ ỡ ù ù = + - + + - = ù ù ù ù ớ ớ ù ù = + + - + - = ù ù ù ù ợ ợ 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 0 x y 0 x y 0 x xy y 1 x y 0 x xy y 3 x xy y 1 x xy y 3 ỡ ỡ ỡ ỡ ù - = + = ù ù - = + + = ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ớ ù ù ù ù + = - + = + + = - + = ù ù ù ù ợ ợ ợ ù ợ + x y 0 x 0 x y 0 x 0 ỡ ỡ - = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = = ù ù ợ ợ + 2 2 2 x y 0 y x x 3 x 3 x xy y 3 x 3 y 3 y 3 ỡ ỡ ỡ ỡ ù ù - = = ù ù = = - ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ớ ù ù ù ù - + = = = = - ù ù ù ù ợ ợ ù ù ợ ợ + 2 2 2 x y 0 y x x 1 x 1 y 1 y 1 x xy y 1 x 1 ỡ ỡ ỡ ỡ + = = - ù ù = - = ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ớ ù ù ù ù = = - + + = = ù ù ù ù ợ ợ ợ ợ + 2 2 2 2 2 2 xy 1 x xy y 1 xy 1 x 1 x 1 x y 0 y 1 y 1 x y 2 x xy y 3 ỡ ỡ ỡ ỡ ỡ ù = - ù + + = = - = = - ù ù ù ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ớ ớ ù ù ù ù ù + = = - = + = - + = ù ù ù ù ù ợ ợ ợ ợ ù ợ Vy h phng trỡnh cú 5 nghim phõn bit: x 0 x 1 x 1 x 3 x 3 x 0 y 1 y 1 y 3 y 3 ỡ ỡ ỡ ỡ ỡ ù ù = = - = = = - ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ớ ớ ù ù ù ù ù = = = - = = - ù ù ù ù ù ợ ợ ợ ù ù ợ ợ . Cỏch 3. S dng hm s n iu suy ra x = y Vớ d 4. Gii h phng trỡnh 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2) ỡ ù + + - = ù ù ớ ù + + - = ù ù ợ Gii iu kin: 3 x 4 2 3 x 4 2 ỡ ù ù - Ê Ê ù ù ớ ù ù - Ê Ê ù ù ợ . Tr (1) v (2) ta c: 2x 3 4 x 2y 3 4 y+ - - = + - - (3) Xột hm s 3 f(t) 2t 3 4 t, t ; 4 2 ộ ự ờ ỳ = + - - ẻ - ờ ỳ ở ỷ , ta cú: / 1 1 3 f (x) 0, t ; 4 2 2t 3 2 4 t ổ ử ữ ỗ = + > " ẻ - ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ + - (3) f(x) f(y) x yị = = . Thay x = y vo (1), ta c: 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - = 2 11 2 2x 5x 12 9 x x 3 x 9 - + + = - = = (nhn). Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 11 x x 3 9 y 3 11 y 9 ì ï ï = ì ï = ï ï ï Ú í í ï ï = ï ï î = ï ï î . Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 3 3 x 2x y y 2y x ì ï + = ï ï í ï + = ï ï î . Giải Xét hàm số 3 / 2 f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t= + Þ = + > " Î ¡ . Hệ phương trình trở thành f(x) y (1) f(y) x (2) ì = ï ï í ï = ï î . + Nếu x y f(x) f(y) y x> Þ > Þ > (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn). + Nếu x y f(x) f(y) y x< Þ < Þ < (mâu thuẩn). Suy ra x = y, thế vào hệ ta được 3 x x 0 x 0.+ = Û = Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 0 y 0 ì = ï ï í ï = ï î . Chú ý: Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1! Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x 2 3x y y 2 3y x ì ï + ï = ï ï ï í ï + ï ï = ï ï î Giải Nhận xét từ hệ phương trình ta có x 0 y 0 ì > ï ï í ï > ï î . Biến đổi: 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 3x 3xy x 2 (1) y 3yx y 2 (2) y 2 3y x ì ï + ï = ï ì ï = + ï ï ï ï Û í í ï ï = + + ï ï ï î ï = ï ï î Trừ (1) và (2) ta được: (x y)(3xy x y) 0 x y (3xy x y 0).- + + = Û = + + > Với 3 2 x y : (1) 3x x 2 0= Û - - = 2 (x 1)(3x 2x 2) 0 x 1.Û - + + = Û = Vậy hệ có 1 nghiệm x 1 y 1 ì = ï ï í ï = ï î . 2. Dạng 2: ì ï ï í ï ï î f(x, y) = 0 g(x, y) = 0 , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng Phương pháp giải chung Cách giải 1 Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 1 1 x y (1) x y 2x xy 1 0 (2) ì ï ï - = - ï ï í ï ï - - = ï ï î . Giải Điều kiện: x 0, y 0¹ ¹ . Ta có: 1 1 (1) (x y) 1 0 y x y . xy x æ ö ÷ ç Û - + = Û = Ú = - ÷ ç ÷ ÷ ç è ø + Với y = x: 2 (2) x 1 0 x 1Û - = Û = ± . + Với 1 y x = - : (2) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 x 1 y 1 y 1 ì ì = = - ï ï ï ï Ú í í ï ï = = - ï ï î î . Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Đưa phương trình đối xứng về dạng f(x) f(y) x y= Û = với hàm f đơn điệu. Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2 x y cosx cosy (1) x y 3y 18 0 (2) ì - = - ï ï í ï - - = ï î . Giải Tách biến phương trình (1), ta được: (1) x cosx y cosyÛ - = - (3). Xét hàm số / f(t) t cost f (t) 1 sint 0, t= - Þ = + > " Î ¡ . Suy ra (3) f(x) f(y) x yÛ = Û = . Thay x = y vào (2), ta được: 3 2 x 3x 18 0 (x 3)(x 3x 6) 0 x 3.- - = Û - + + = Û = Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 3 y 3 ì = ï ï í ï = ï î . Chú ý: Cách giải sau đây sai: 2 1 1 x y (1) x y 2x xy 1 0 (2) ì ï ï - = - ï ï í ï ï - - = ï ï î . Giải Điều kiện: x 0, y 0¹ ¹ . Xét hàm số / 2 1 1 f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0} t t = - Î Þ = + > " Ρ ¡ . Suy ra (1) f(x) f(y) x yÛ = Û = ! Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0). BÀI TẬP Gii cỏc h phng trỡnh sau 1) 2 2 x 3y 2 0 y 3x 2 0 ỡ ù - + = ù ù ớ ù - + = ù ù ợ . ỏp s: x 1 x 2 y 1 y 2 ỡ ỡ = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù = = ù ù ợ ợ . 2) 2 2 x xy x 2y y xy y 2x ỡ ù + = + ù ù ớ ù + = + ù ù ợ . ỏp s: 3 x x 0 2 y 0 3 y 2 ỡ ù ù = ỡ ù = ù ù ù ớ ớ ù ù = ù ù ợ = ù ù ợ . 3) x 1 y 7 4 y 1 x 7 4 ỡ ù + + - = ù ù ớ ù + + - = ù ù ợ . ỏp s: x 8 y 8 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . 4) x 1 y 2 3 y 1 x 2 3 ỡ ù + + - = ù ù ớ ù + + - = ù ù ợ . ỏp s: x 3 y 3 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . 5) x 3 2 y 3 y 3 2 x 3 ỡ ù + + - = ù ù ớ ù + + - = ù ù ợ . ỏp s: x 1 x 2 y 1 y 2 ỡ ỡ = = - ù ù ù ù ớ ớ ù ù = = - ù ù ợ ợ . 6) 3 3 x x 2y y y 2x ỡ ù = + ù ù ớ ù = + ù ù ợ . ỏp s: x 0 x 3 x 3 y 0 y 3 y 3 ỡ ỡ ỡ ù ù = = = - ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ù ù ù = = = - ù ù ù ợ ù ù ợ ợ . 7) 2 2 3 2x y x 3 2y x y ỡ ù ù + = ù ù ù ớ ù ù + = ù ù ù ợ . ỏp s: x 1 y 1 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . 8) 2 2 1 2x y y 1 2y x x ỡ ù ù = + ù ù ù ớ ù ù = + ù ù ù ợ . ỏp s: x 1 y 1 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . 9) 2 2 2 2 x y 4 y xy 4 x ỡ ù - = ù ù ớ ù - = ù ù ợ . ỏp s: x 2 y 2 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . 10) 3 2 3 2 x x x 1 2y y y y 1 2x ỡ ù - + + = ù ù ớ ù - + + = ù ù ợ . ỏp s: x 1 x 1 y 1 y 1 ỡ ỡ = = - ù ù ù ù ớ ớ ù ù = = - ù ù ợ ợ . 11) (trớch thi H khi A 2003) 3 1 1 x y (1) x y 2y x 1 (2) ỡ ù ù - = - ù ù ớ ù ù = + ù ù ợ . Hng dn gii iu kin: x 0, y 0.ạ ạ x y 1 1 (1) x y 0 (x y) 1 0 x y y . xy xy x ổ ử - ữ ỗ - + = - + = = = - ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ + Vi x y= : (2) 1 5 x 1 x . 2 - = = + Vi 4 1 y : (2) x x 2 0. x = - + + = Xột hm s 4 / 3 3 1 f(x) x x 2 f (x) 4x 1 0 x . 4 - = + + ị = + = = 3 3 x 1 3 f 2 0, lim f(x) 0, x 4 4 4 đƠ ổ ử - ữ ỗ = - > = +Ơ ị > " ẻ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ Ă 4 x x 2 0ị + + = vụ nghim. Cỏch khỏc: + Với 4 x 1 x 2 0 x x 2 0< Þ + > Þ + + > . + Với 4 4 x 1 x x x x x 2 0³ Þ ³ ³ - Þ + + > . Suy ra (2) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt 1 5 1 5 x x x 1 2 2 y 1 1 5 1 5 y y 2 2 ì ì ï ï - + - - ï ï = = ï ï ì = ï ï ï ï ï ï Ú Ú í í í ï ï ï = - + - - ï ï ï î = = ï ï ï ï ï ï î î . 12) x siny (1) y sinx (2) ì = ï ï í ï = ï î Hướng dẫn giải Trừ (1) và (2) ta được: x y siny sinx x sinx y siny (3).- = - Û + = + Xét hàm số / f(t) t sint f (t) 1 cost 0, t= + Þ = + ³ " Î ¡ . (3) f(x) f(y) x y (1) x sinx 0 (4).Û = Û = Þ Û - = Xét hàm số / g(x) x sinx g (x) 1 cosx 0, x= - Þ = - ³ " Î Þ¡ (4) có không quá 1 nghiệm. Do g(0) 0 (4) x 0.= Þ Û = Vậy hệ có 1 nghiệm x 0 y 0 ì = ï ï í ï = ï î . . y, thế vào hệ ta được 3 x x 0 x 0.+ = Û = Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 0 y 0 ì = ï ï í ï = ï î . Chú ý: Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1,. tớch, gii x theo y (hay ngc li) ri th vo mt trong hai phng trỡnh ca h. Vớ d 1. Gii h phng trỡnh 3 3 x 2x y (1) y 2y x (2) ỡ ù + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . Gii Tr