LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận với đề tài “Sử dụng ngơn ngữ lập trình Wolfram Mathematica xấp xỉ hàm số đa thức nội suy”, bên cạnh nỗ lực thân vận dụng kiến thức tiếp thu trường, tìm tòi học hỏi, em nhận giúp đỡ, hướng dẫn tận tình giáo Phạm Hồng Minh Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến – người trực tiếp hướng dẫn, bảo để em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quảng Bình, tồn thể thầy cơ, đặc biệt thầy giáo khoa Khoa học tự nhiên tận tình giảng dạy giúp đỡ em suốt thời gian qua Cũng động viên, giúp đỡ từ gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình thực khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực khóa luận cách hồn chỉnh nhất, song với thời gian khả hạn chế, khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý chân tình từ thầy, bạn bè Cuối cùng, em xin kính chúc quý thầy, cô giáo sức khỏe nhiều thành công Em xin chân thành cảm ơn! Đồng Hới, tháng năm 2017 Sinh viên Hồng Thị Hòa i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đính nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I ĐẶT VẤN ĐỀ II ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE Đa thức nội suy Lagrange với mốc Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách Sai số đa thức nội suy III ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON 11 Tỷ sai phân vài tính chất 11 Đa thức nội suy Newton với mốc 13 Sai phân vài tính chất 15 Đa thức nội suy Newton với mốc cách 17 CHƯƠNG II 25 ỨNG DỤNG CỦA MATHEMATICA 25 ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN NỘI SUY 25 I Tổng quan ngơn ngữ lập trình Mathematica 25 Giới thiệu sơ ngôn ngữ lập trình mathematica: 25 1.1.Giới thiệu 25 1.2.Giao diện tương tác Mathematica 26 ii Các quy tắc ngữ pháp Mathematica: 26 Tính tốn Mathematica 27 3.1 Các phép tính đại số 27 Danh sách Mathematica 30 4.1 Xây dựng danh sách 30 4.2 Đếm phần tử danh sách 31 4.3 Chuyển đổi dạng danh sách 31 4.4 Tính tốn với danh sách: 31 Đồ họa với Mathematica 32 5.1.Vẽ đồ thị mặt phẳng 32 II Lập trình Mathematica giải toán nội suy 35 Phép nội suy Lagrange Mathematica 35 Phép nội suy Newton Mathematica 36 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 iii PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết nội suy – lý thuyết tốn học có lịch sử phát triển lâu dài gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng giới Lagrange, Newton, Chebyshev,… Lý thuyết nội suy sở cho nhiều lý thuyết toán học khác nhau, chẳng hạn việc giải gần phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng nhờ sai phân… Bài toán lý thuyết nội suy dựng hàm đơn giản xấp xỉ hàm cho trước cho bảng có cơng thức giải tích phức tạp Từ ta tính gần đạo hàm, gần tích phân hay giải gần số tốn phương trình nêu Về toán nội suy sử dụng sớm Newton vào năm 1686, Lagrange sử dụng, đề xuất lại năm 1795 ước lượng sai số cổ điển Cauchy thiết lập năm 1840 Các vấn đề lý thuyết nội suy đa dạng, đề tài trình bày chủ yếu cách sử dụng đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton để tính giá trị hàm số f(x) cho dạng bảng số giá trị bảng Song song với tìm hiểu ngơn ngữ lập trình Mathematica lên với ưu điểm vượt trội giao diện thân thiện, khả đồ thị siêu việt khả xử lý số liệu nhanh trở thành công cụ đắc lực cho nhà khoa học Với phiên 7.0 Ngồi ra, Mathematica ứng dụng để giải toán nội suy cách sử dụng thao tác đơn giản mà không cần lập trình nặng nề trước Nên việc tìm hiểu Mathematica cần thiết Chính lý em chọn nghiên cứu đề tài “Sử dụng ngơn ngữ lập trình Wolfram Mathematica xấp xỉ hàm số đa thức nội suy” nhằm cung cấp tài liệu vấn đề liên quan đến nội suy ứng dụng phần mềm Mathematica giải tốn nội suy Mục đính nghiên cứu - Hệ thống lại vấn đề đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton - Nghiên cứu khai thác sử dụng phần mềm Mathematica vào việc giải toán nội suy đơn giản vẽ đồ thị Nhiệm vụ nghiên cứu - Tập trung tư liệu, nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu cấu trúc đa thức nội suy - Nghiên cứu số tốn nội suy, số cơng thức nội suy - Nghiên cứu số ứng dụng lý thuyết nội suy Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton vấn đề liên quan - Ngơn ngữ lập trình Mathematica ứng dụng vẽ đồ thị giải toán nội suy Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tìm hiểu đa thức nội suy, phân tích, làm rõ bước hình thành nên đa thức - Bằng ví dụ cụ thể để áp dụng đa thức nội suy - Thực lập trình để xây dựng đa thức nội suy vẽ đồ thị PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thực tế tính tốn, ta thường phải tính giá trị hàm số y  f ( x) với x đoạn [a, b] , biết giá trị: yi  f ( xi ) , xi  [a, b], i  0,1, , n Ở số trường hợp khác, biểu thức giải tích f ( x) biết, phức tạp Với trường hợp vậy, người ta thường xây dựng hàm số P( x) đơn giản thỏa mãn điều kiện P( xi )  f ( xi ) , i  0,1, , n xi  x j , i  j, xi  [a, b] ; x   a, b , x  xi P( x) xấp xỉ y  f ( x) theo độ xác Hàm số P( x) gọi hàm nội suy f ( x) , xi (i  0,1, , n) gọi mốc nội suy Bài toán xây dựng P( x) gọi tốn nội suy Mục đích phép nội suy nhiều, chủ yếu tìm thuật tốn đơn giản tính giá trị f ( x) cho x không nằm bảng xi , yi , (i  0,1, , n) Một số liệu xi , yi (i  0,1, , n) chương trình ngắn gọn thay bảng dài giá trị xi , f ( xi ) Ngoài sử dụng kết phép nội suy, tìm đạo hàm f '( x) tích phân f ( x) đoạn [a,b] II ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE Đa thức nội suy Lagrange với mốc Bài toán: Cho xi   a, b , i  0,1, , n ; xi  x j , i  j , yi  f ( xi ) i  0,1, , n Hãy xây dựng đa thức nội suy Ln ( x) thỏa mãn deg Ln ( x)  n , Ln ( xi )  yi , i  0,1, , n Trước tiên ta xét: n  (x  x )  j ( x)  i i 0 i j n  (x i 0 i j  j  xi ) ( x  x0 )( x  x1 ) ( x  xi 1 )( x  xi 1 ) ( x  xn ) ( x j  x0 )( x j  x1 ) ( x j  xi 1 )( x j  xi 1 ) ( x j  xn ) Rõ ràng: deg  j ( x)  n, j  0,1, , n : ( xi  x0 )( xi  x1 ) ( xi  xi 1 )( xi  xi 1 ) ( xi  xn )  j ( xi ) = ( x j  x0 )( x j  x1 ) ( x j  xi 1 )( x j  xi 1 ) ( x j  xn ) 0 (i  j )  1 (i  j ) Đặt Ln ( x)  n  y  ( x)  y  ( x)  y  ( x)   y  j 0 j j o 1 n n ( x) Vì y0 , y1 , , yn = const deg 0 ( x) = deg 1 ( x) =…= deg n ( x)  n nên deg Ln ( x)  n và: Ln ( x0 )  y00 ( x0 )  y11 ( x0 )   ynn ( x0 )  y0 , Ln ( x1 )  y00 ( x1 )  y11 ( x1 )   ynn ( x1 )  y1 , … Ln ( xn )  y00 ( xn )  y11 ( xn )   ynn ( xn )  yn Vì vậy, ta có: Ln ( xi )  yi , i  0,1, , n Vậy Ln ( x) thỏa mãn yêu cầu toán đặt Ln ( x) xây dựng gọi đa thức nội suy Lagrange Đặt: n n1 ( x)   ( x  xi )  ( x  x0 )( x  x1 ) ( x  xi 1 )( x  xi )( x  xi 1 ) ( x  xn ) i 0 Ta có:  'n1 ( x)  ( x  x1 )( x  x2 ) ( x  xn )  ( x  x0 )( x  x2 ) ( x  xn )  ( x  x0 )( x  x1 ) ( x  xn 1 ) Thay x x0 , x1 , , x j , ta có:  'n1 ( x0 )  ( x0  x1 )( x0  x2 ) ( x0  xn ),  'n1 ( x1 )  ( x1  x0 )( x1  x2 ) ( x1  xn ), … n  'n1 ( x j )  ( x j  x0 )( x j  x1 ) ( x j  x j 1 )( x j  x j 1 ) ( x j  xn )   ( x j  xi ) i 0 i j Ta có: n (x  x ) n n j 0 j 0 Ln ( x)   y j j ( x)   y j i i 0 i j n n  (x i 0 i j j  xi )   yj j 0 n1 ( x) ( x  x j ) 'n1 ( x j ) (1) Giả sử ngồi có đa thức Ln ( x) thỏa mãn điều kiện gọi  ( x)  [Ln ( x)  Ln ( x)] deg  ( x)  n nhận (n  1) nghiệm x0 , x1 , , xn ,  ( x)  , Ln ( x)  Ln ( x) Như tồn đa thức với điều kiện nêu Ví dụ 1: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange hàm số y  f ( x) cho dạng bảng sau: xi f ( xi )  yi Lời giải: Áp dụng cơng thức (1) Ta có: n  Nên: n1 ( x)  4 ( x)  ( x  0)( x  2)( x  3)( x  5)  x( x  2)( x  3)( x  5)  'n1 ( x)  ( x  2)( x  3)( x  5)  x( x  3)( x  5)  x( x  2)( x  5)  x( x  2)( x  3)   '4 (0)  (0  2)(0  3)(0  5)  '4 (2)  2(2  3)(2  5)   '4 (3)  3(3  2)(3  5)  6  '4 (5)  5(5  2)(5  3)  30 Suy ra: x( x  2)( x  3)( x  5) x( x  2)( x  3)( x  5) x( x  2)( x  3)( x  5) 3 2 ( x  0)(30) ( x  2)6 ( x  3)(6) x( x  2)( x  3)( x  5) 5 ( x  5)30 L3 ( x)   ( x  2)( x  3)( x  5) x( x  3)( x  5) x( x  2)( x  5) x( x  2)( x  3)    (30) (3)  x3  10 x  31x  30 x3  x  15 x  x3  x  10 x x  x  x     30 x  65 x  124 x  30  30 13 62  x3  x  x  10 Vậy đa thức nội suy cần tìm là: L3 ( x)  3 13 62 x  x  x  10 15 Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x) cho bảng sau: xi f ( xi )  yi Hãy tính đa thức nội suy Lagrange L3 ( x) đoạn [0 , 3] tính gần 1 1 f   cách đặt f    L3   2 2     Lời giải: Ta có: n  Nên: n1 ( x)  4 ( x)  x( x  1)( x  2)( x  3)  'n1 ( x)  ( x  1)( x  2)( x  3)  x( x  2)( x  3)  x( x  1)( x  3)  x( x  1)( x  2)   '4 (0)  (0  1)(0  2)(0  3)  6  '4 (1)  1(1  2)(1  3)   '4 (2)  2(2  1)(2  3)  2  '4 (3)  3(3  1)(3  2)   L3 ( x)  x( x  1)( x  2)( x  3) x( x  1)( x  2)( x  3) x( x  1)( x  2)( x  3) 2 1 x(6) ( x  2)(2) ( x  3)6 x3  x  11x  x3  x  3x x3  3x  x    6 1 6 x3  27 x  27 x     x3  9 x  x 1 2 Vậy đa thức nội suy cần tìm là: L3 ( x)   x  9 x  x  2 1 1 1 91 1   Suy ra: f    L3           2 2 2 22 2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách Giả sử xi 1  xi  h , i  0,1, ,(n  1) , x0  a, xn  b Khi dùng phép đổi biến x  x0  th, x j  x0  jh với j  0,1, (n  1) thay vào biểu thức  j ( x)  n 1 ( x) ( x  x j ) 'n 1 ( x) Ta có: n1 ( x)  ( x  x0 )( x  x1 ) ( x  xi 1 )( x  xi )( x  xi 1 ) ( x  xn )  ( x0  th  x0 )( x0  th  x0  h) ( x0  th  x0  (i  1)h) - False: Không sử dụng Ví dụ: In[2]:=Plot[Sin[x]/x,{x,0,20},PlotRange{-0.25,1.2}] 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 Out[2]= 10 15 20 0.2 Giải thích: Tham số PlotRange  {-0.25, 1.2} dùng để giới hạn đồ thị hàm số theo trục dọc từ -0.25 đến 1.2 Một số tham số hay dùng: Axes-> None: Không hiển thị hệ trục tọa độ AxesLabel: Ghi tên trục tọa độ PlotStyle: Chỉnh thông số màu sắc, cách hiển thị đậm nhạt Vẽ đồ thị f(x) có nhiều màu sắc khác nhau, ta dùng lệnh: Plot[f(x),{x,xmin,xmax},PlotStyle  GrayLevel[w]] Trong w PlotStyle  GrayLevel[0] hiển thị màu đen, PlotStyle  GrayLevel[1] hiển thị màu trắng Muốn vẽ nhiều màu nữa, ta dùng lệnh: Plot[f[x], {x, xmin, xmax},PlotStyle  RGBColor[r, g, b] r, g, b Ví dụ: 33 Table[Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},PlotStyleps],{ps,{Red,Thick,Dashed,Directi ve[Red,Thick]}}] 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 , 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 , 1.0 0.5 0.5 , 1.0 1.0 b) Vẽ đồ thị nhiều hàm Plot[{ (x), (x),…}, {x, xmin, xmax}]: Vẽ hệ trục tọa độ hàm , ,…trên đoạn [xmin, xmax] Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm y = sinx, y = sin2x, y = sin3x Plot[{Sin[x],Sin[2x],Sin[3x]},{x,0,2Pi},PlotStyle{Red,Green,Blue}] 1.0 0.5 0.5 1.0 34 II Lập trình Mathematica giải tốn nội suy Ví dụ 1: Xây dựng đa thức nội suy cho bảng sau: X Y 1 Phép nội suy Lagrange Mathematica Ta có chương trình sau: In[1]= Lagrange [XY _ ]: (*Khai báo*) Module [{j, k , n, prod , sum, term, X ,Y }, n = Length [XY ]  1; (*Ðếm số phần tử*) X = Transpose [XY ]1 ; (*Chuyển vị ma trận*) Y = Transpose [XY ]2 ; sum  ; For[ k  0, k  n, k  , , prod  1; For[ j  0, j  n, j  , term  which[ j  k ,1, j k,( x  X [j 1] X [k 1]  X [j 1] ) ]; (*Thực câu lệnh *) prod  prod term;]; sum  sum  Yk 1 prod ;]; Return [sum];]; XY={{0,1},{1,0},{2,2}, {3,1}}; (*Nhập vào phần tử X, Y*) In[2]= Lagrange[XY]; In[3]= Expand[%]; (*Thu gọn biểu thức từ kết trước *) 1 f[x_]= (1  x)(2  x)(3  x)  (3  x)(1  x) x  (2  x)(1  x) x 6 (*Ðặt đa thức hàm f(x)*) 35 In[4]= Print[f [ ]]; Out[2]= (*In kết giá trị x  *) 1 (1  x)(2  x)(3  x)  (3  x)(1  x) x  (2  x)(1  x) x 6 Out[3]=  9 x  x  x3 2 Out[4]=  In[5]= Plot[1  9 x  x  x3 ,{x,-10,10},PlotStyle  Red]; 2 (*In đồ thị hàm nội suy tìm phép nội suy Lagrange*) Out[5]= 1500 1000 500 10 5 500 9 Đồ thị 1: Hàm nội suy Lagrange:  x  x  x3 2 Phép nội suy Newton Mathematica In[1]=NewtonPoly [XY _ ]: (*Khai báo*) Module [{d , j, i, n, X ,Y }, X  Transpose [XY ]1 ; (*Chuyển vị ma trận*) 36 10 Y  Transpose [XY ]2 ; n  Length [XY ]  1; (*Ðếm số phần tử*) d  Table[ "" , {n+1},{n+1} ]; d ALL,1  Y ALL ; For[ j  0, j  n, j   , For[ i  j, i  n, i   , di 1, j 1 = di 1, j   di , j  X i 1  X i 1 j  ]; ]; (*Thực câu lệnh *) For[ i  0, i  n, i   , i p[i  1, x _ ]   ( x  X  j  )] ; j 1 Dtable = d ; n Return [  d i 0 i 1,i 1 p[i  1, x] ]; ]; XY  {0,1},{1,0},{2,2},{3,1}; (*Nhập vào phần tử X, Y*) In[2]=NewtonPoly [XY] In[3]=Expand[%] (*Thu gọn biểu thức từ kết trước *) Out[2]=1  x  (1  x) x  (2  x)(1  x) x Out[3]=1  9 x  x  x3 2 In[4] = Plot[1  9 x  x  x3 ,{x,-10,10},PlotStyle  Black] 2 (*In đồ thị hàm nội suy tìm phép nội suy Newton*) Out[4] = 37 1500 1000 500 10 5 10 500 Đồ thị 2: Hàm nội suy Newton:  9 x  x  x3 2 Ví dụ 2: Tìm hàm xấp xỉ với hàm sinx giá trị 0,    , Bằng phương pháp nội suy Newton, ta có chương trình sau: In[1]=NewtonPoly [XY _ ]: Module [{d , j, i, n, X ,Y }, X  Transpose [XY ]1 ; Y  Transpose [XY ]2 ; n  Length [XY ]  1; d  Table[ "" , {n+1},{n+1} ]; d ALL,1  Y ALL ; For[ j  0, j  n, j   , For[ i  j, i  n, i   , di 1, j 1 = di 1, j   di , j  X i 1  X i 1 j  ]; ]; For[ i  0, i  n, i   , 38 i p[i  1, x _ ]   ( x  X  j  )] ; j 1 Dtable = d ; n Return [  d i 0 i 1,i 1 p[i  1, x] ]; ];      XY  {0,0},{ , },{ ,1}; 2     In[2]=NewtonPoly [XY]; In[3]=Expand[%]; Out[2]= 2x  Out[3]=  2x    2( 2 2x    ) ) x(   x)  4(1    8x2 2  x2 2  p5  Plot [sin[x],{x,0, }]; ) 2  2(  ) x(  x) 2x    p6  Plot[  ,{x,0, }PlotRange  Automatic,   PlotStyle  Orange, Mesh  All ,AspectRatio  Automatic]; 4(1    p7  ListPlot[{{0,0},{ , },{ ,1}},PlotRange  Automatic, 2 PlotStyle  Re d , Mesh  All ,AspectRatio  Automatic]; Show[p5, p6, p7] 39 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 Kí hiệu: 1.0 1.5 Đa thức nội suy Newton hàm sinx Hàm sinx Các mốc nội suy Đồ thị 3: Hàm sinx, hàm nội suy Newton hàm sinx mốc nội suy  Bằng phương pháp nội suy Lagrange, ta có chương trình sau: In[1]= Lagrange [XY _ ]: Module [{j, k , n, prod , sum, term, X ,Y }, n = Length [XY ]  1; X = Transpose [XY ]1 ; Y = Transpose [XY ]2 ; sum  ; For[ k  0, k  n, k  , , prod  1; For[ j  0, j  n, j  , term  which[ j  k ,1, j k,( x  X [j 1] X [k 1]  X [j 1] ) ]; prod  prod term;]; 40 sum  sum  Yk 1 prod ;]; Return [sum];];   XY  {{0,0},{ , },{ ,1}}; 2 In[2]= Lagrange [XY ] In[3]= Expand[%] Out[2]=  Out[3]=  x(    x) 2 2x   2x    8x2 2 x(   x) 2  x2 2  p5  Plot [sin[x],{x,0, }]; p6  Plot[ x(    x)   x)  ,{x,0, }, PlotRange  Automatic,   PlotStyle  Yellow, Mesh  All ,AspectRatio  Automatic];  x(    p7  ListPlot[{{0,0},{ , },{ ,1}},PlotRange  Automatic, 2 PlotStyle  Re d , Mesh  All ,AspectRatio  Automatic]; ) 2  2(  ) x(  x) 2x     p8  Plot[  ,  x,0,  , PlotRange  Automatic,   2  PlotStyle  Green, Mesh  All ,AspectRatio  Automatic]; 4(1  Show[p5,p6,p7] Show[ p5, p6, p7, p8] 41 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 Kí hiệu: 1.0 1.5 Đa thức nội suy Lagrange hàm sinx Hàm sinx Các mốc nội suy Đồ thị 4: Hàm sinx, hàm nội suy Lagrangecủa hàm sinx mốc nội suy 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 Kí hiệu: 1.0 1.5 Đa thức nội suy Newton hàm sinx Hàm sinx Các mốc nội suy Đồ thị 5: Hàm sinx; hàm nội suy Newton, hàm nội suy Lagrangecủa hàm sinx mốc nội suy 42 Nhận xét: - Qua đồ thị 3, 4, ta thấy đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton tìm giống Bởi qua (n + 1) điểm cho trước tìm đa thức nội suy Vì đồ thị chúng trùng nhau, hay nói cách khác đồ thị hai đa thức nội suy (màu xanh cây)   },{ ,1} điểm xác mà đồ thị - Tại ba điểm {0,0},{ , 2 qua Vì đồ thị hàm sinx đồ thị đa thức nội suy hàm sinx cắt   },{ ,1} mốc nội suy ba điểm (Các điểm {x i ,yi }={0,0},{ , 2 đa thức nội suy Ln ( xi )  yi , i  0,1, , n, với {x i ,yi } điểm ban đầu), ngồi điểm mang tính xấp xỉ Do đó, đồ thị đa thức nội suy đồ thị sinx xấp xỉ 43 KẾT LUẬN Trong toán học, ta bắt gặp toán liên quan đến khảo sát tính giá trị hàm y  f ( x) chưa biết biểu thức hàm, ta xây dựng biểu thức hàm nội suy hàm f ( x) biết giá trị rời rạc y0 , y1 , , yn điểm tương ứng x0 , x1 , , xn Hàm nội suy áp dụng trường hợp xác định biểu thức f ( x) phức tạp việc khảo sát hay tính tốn Khi đó, ta tìm hàm nội suy xấp xỉ với để đơn giản phân tích khảo sát Để làm điều đó, ta sử dụng công thức nội suy khác như: đa thức nội suy Lagrange, Newton, cách không cách tùy kiện tốn đưa để tìm hàm nội suy cách nhanh chóng Trong đó, sử dụng đa thức nội suy Newton ưu việt đa thức nội suy Lagrange, khắc phục hạn chế tồn đa thức nội suy Lagrange Nếu thêm vài mốc nội suy để tính đa thức nội suy Newton, ta tính thêm vài số hạng mà khơng phải tính từ đầu đa thức Lagrange Ngày nay, để giải tốn nội suy cách nhanh chóng xác, thay tính tốn cồng kềnh chương trình ngắn gọn máy tính, ngơn ngữ lập trình Mathematica với ưu điểm vượt trội tốc độ tính tốn khả đồ thị siêu việt khơng thua ngơn ngữ lập trình khác, áp dụng cách tối ưu giải tốn nội suy Trong khóa luận này, em trình bày chi tiết cách hình thành nên đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton với tính chất chúng Trình bày ngơn ngữ lập trình Mathematica ứng dụng vài ví dụ đơn giản Tuy nhiên, hạn hẹp so với kiến thức nội suy tốn học Sau khóa luận hồn thành, em mong sẽtrở thành tài liệu bổ ích đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu học tập bạn ngành Từ giúp bạn đọc hiểu sâu hơn, rộng đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton với việc ứng dụng phần mềm Mathematica giải toán nội suy đơn giản 44 Do điều kiện thời gian lực nghiên cứu thân hạn chế nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý quý báu từ thầy, cô giáo bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Đồng Hới, tháng năm 2017 Sinh viên Hồng Thị Hòa 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Minh Chương, Giải tích số, Nhà xuất Giáo Dục, 2007 [2] Dương Thủy Vỹ, Phương pháp tính, Nhà XB Khoa học &kỹ thuật, 2001 [3] Phan Văn Hạp, Giáo trình Cơ sở phương pháp tính tập I, II, Trường ĐH Tổng hợp Hà Nội, 1990 [4] Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, Nhà XB Giáo dục, 1994 [5] Phan Văn Hạp, Bài tập phương pháp tính lập chương trình cho máy tính điện tử, Nhà XB đại học trung học chuyên nghiệp, 1978 46 47 ... cấu trúc đa thức nội suy - Nghiên cứu số tốn nội suy, số cơng thức nội suy - Nghiên cứu số ứng dụng lý thuyết nội suy Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton... điểm đa thức nội suy Newton so với đa thức nội suy Lagrange +) Đa thức nội suy Newton đa thức nội suy Lagrange dạng khác Ví dụ 5: Xét hàm số y  f ( x) cho bảng: xi f ( xi )  yi Hãy tính đa thức. .. suy đa dạng, đề tài trình bày chủ yếu cách sử dụng đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton để tính giá trị hàm số f(x) cho dạng bảng số giá trị bảng Song song với tìm hiểu ngơn ngữ lập trình