Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 HÀM SỐ MŨ−LOGARIT I. Hàm số mũ • y=a x ; TXĐ D=R • Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞ y +∞ 1 −∞ y +∞ 1 −∞ • Đồ thị f(x)=3^x -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y y=3 x f(x)=(1/3)^x -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y x y       = 3 1 II. Hàm số lgarit • y=log a x, ĐK:    ≠< > 10 0 a x ; D=(0;+∞) • Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 0 +∞ x 0 0 +∞ y +∞ 1 −∞ y +∞ 1 −∞ • Đồ thị f(x)=ln(x) /ln(3 ) f(x)=3^x f(x)=x -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y y=x y=3 x y=log 3 x f(x)=ln(x )/ln(1 /3) f(x)=(1/3 )^x f(x)=x -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y x y       = 3 1 xy 3 1 log = y=x III. Các công thức 1. Công thức lũy thừa : Với a>0, b>0; m, n∈R ta có: a n a m =a n+m ; mn m n a a a − = ;( n a 1 =a − m ; a 0 =1; a − 1 = a 1 ); (a n ) m =a nm ; (ab) n =a n b n ; m n n b a b a =       ; n m n m aa = . 2. Công thức logarit : log a b=c⇔a c =b (0<a≠1; b>0) Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x 1 , x 2 >0; α ∈R ta có: Thái Thanh Tùng 1 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 log a (x 1 x 2 )=log a x 1 +log a x 2 ; log a 2 1 x x = log a x 1 −log a x 2 ; xa x a = log ; log a x α = α log a x; xx a a log 1 log α α = ;(log a a x =x); log a x= a x b b log log ;(log a b= a b log 1 ) log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . IV. Phương trình và bất phương trình mũ−logarit 1. Phương trình mũ−logarit a. Phương trình mũ : Đưa về cùng cơ số +0<a≠1: a f(x) =a g(x) (1) ⇔ f(x)=g(x). + 0<a≠1: a f(x) =b ⇔ ( )    = > bxf b a log 0 . Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a x (t>0), để đưa về một phương trình đại số Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3± ), (7 4 3± ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;a x b x } ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x . Phương pháp logarit hóa: a f(x) =b g(x) ⇔ f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c≠1. b. P hương trình logarit : Đưa về cùng cơ số: +log a f(x)=g(x)⇔ ( ) ( )    = ≠< xg axf a 10 +log a f(x)= log a g(x)⇔ ( ) ( ) [ ] ( ) ( )      = >> ≠< xgxf xgxf a 00 10 . Đặt ẩn phụ. 2. Bất phương trình mũ−logarit a. Bất phương trình mũ :  a f(x) >a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) [ ]    >−− > 01 0 xgxfa a ;  a f(x) ≥a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) [ ]    ≥−− > 01 0 xgxfa a . Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)>g(x); a f(x) ≥a g(x) ⇔ f(x)≥g(x). * Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)<g(x); a f(x) ≥a g(x) ⇔ f(x)≤g(x). b. Bất phương trình logarit : log a f(x)>log a g(x)⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]      >−− >> ≠< 01 0,0 10 xgxfa xgxf a ; log a f(x)≥log a g(x)⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]      ≥−− >> ≠< 01 0,0 10 xgxfa xgxf a . Đặt biệt: Thái Thanh Tùng 2 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 + Nếu a>1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( )    > > 0xg xgxf ; + Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( )    > < 0xf xgxf . * * * ĐẠO HÀM I. Quy tắc tính đạo hàm ( ) ( ) nn uuuuuu wvuwvu '''' '''' 2121 ±±±=±±± ±±=±±  ( ) ( ) ( ) ' ' .'.' '.'.'. '.'. wvuwvuwvuwvu vuvuvu ukuk ++= += = ''' 2 ' 2 ' . '1 ; '.'. xux uyy v v v v vuvu v u = −=       − =       II. Công thức tính đạo hàm ( ) ( ) ( ) x x x x α.x'x k αα 2 1 ' 11 0' 2 ' 1 = −=       = = − ( ) ( ) u u u u u u uα.u'u αα 2 ' ' '1 '. 2 ' 1 = −=       = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x xx xx 2 2 2 2 cot1 sin 1 'cot tan1 cos 1 'tan sin'cos cos'sin +−=−= +== −= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uu u u u uu u u u uuu uuu 2 2 2 2 cot1'. sin ' 'cot tan1'. cos ' 'tan sin'.'cos cos'.'sin +−=−= +== −= = ( ) ( ) aaa ee xx xx ln' ' = = ( ) ( ) '.ln' '.' uaaa uee uu uu = = ( ) ( ) ax x x x a ln. 1 'log 1 'ln = = ( ) ( ) au u u u u u a ln. ' 'log ' 'ln = =  ĐỌC THÊM:  ( ) 2 ' dcx bcad y dcx bax y + − =⇒ + + = ; ( ) 2 22 '' '''2' ' '' bxa cabbxabxaa y bxa cbxax y + −++ =⇒ + ++ =  III. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Dạng toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x 0 ;y 0 ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): ( ) ( ) 00 0 ' xxyyy x −=− (*). IV. Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp 2: y’’=(y’)’ Đạo hàm cấp 3: y’’’=(y’’)’ Đạo hàm cấp 4: y (4) =(y’’’)’ ……… Đạo hàm cấp n: y (n) =(y (n − 1) )’. * * * ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Các dạng toán thường gặp về ứng dụng của đạo hàm: 1. Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b):  f(x) đồng biến ⇔ f'(x)≥ 0  f(x) nghịch biến ⇔ f'(x)≤ 0 x a b x a b y' + y' − y y (xem lại các bài toán xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai trong chương trình lớp 10) Thái Thanh Tùng 3 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 2. Quy tắc tìm CĐ, CT: Quy tắc I: 1) Tìm f'(x) 2) Tìm các điểm tới hạn (điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định) 3) Xét dấu đạo hàm 4) Từ bảng biến thiên suy ra cực trị. x a x 0 b x a x 0 b y' + 0 − y' − 0 + y CĐ y CT Quy tắc II: 1) Tính f'(x), giải phương trình f'(x)=0 tìm các nghiệm x i (i=1;2;…) 2) Tính f''(x i ) 3) f''(x i )>0⇒ x i là điểm CT; f''(x i )<0⇒ x i là điểm CĐ. 3. Tính lồi, lõm, điểm uốn: x a x 0 b y'' − 0 + (C) lồi Điểm uốn lõm U(x 0 ;y 0 ) 4. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) a. Tìm GTLN,GTNN trên một khoảng: lập bảng biến thiên trên khoảng (a;b) rồi dựa vào đó để kết luận. Nếu trên khoảng (a; b) hàm số đơn trị thì GTLN hoặc GTNN trùng với giá trị cực trị của hàm số. b. Tìm GTLN,GTNN trên một đoạn [a; b]: 1) Tìm các điểm tới hạn x 1 , x 2 , …, x n của f(x) trên đoạn [a;b] 2) Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), …,f(x n ), f(b) 3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên ( ) ( ) [ ; ] [ ; ] ; min a b a b M max f x m f x= = . * * * TIỆM CẬN 1. Định nghĩa: (d) là tiệm cận của (C) ( )( ) 0lim =⇔ ∈ ∞→ CM M MH 2. Cách xác định tiệm cận a. Tiệm cận đứng: ( ) ( ) 0 :lim 0 xxdxf xx =⇒∞= → . b. Tiệm cận ngang: ( ) ( ) 00 :lim yydyxf x =⇒= ∞→ . c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y= λ x+ µ trong đó: ( ) ( ) [ ] xxf x xf xx λµλ −== ∞→∞→ lim;lim . Các trường hợp đặc biệt: *Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến) nmx bax y + + = +TXĐ: D= R\       − m n +TCĐ: ( ) m n xdy m n x −=⇒∞= −→ :lim * Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ) ( ) nmx A x nmx cbxax y + ++= + ++ = µλ 2 +TXĐ: D= R\       − m n +TCĐ: ( ) m n xdy m n x −=⇒∞= −→ :lim Thái Thanh Tùng 4 (x 0 là nghiệm của phương trình y’’=0) 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 y x (d) (C) h y ( ) = 0 g x ( ) = 0 f x ( ) = 1.7 x H M Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 +TCN: ( ) m a yd m a y x =⇒= ∞→ :lim f(x)=x/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t )=t T?p h ?p 1 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y m a y = m n x −= I +TCX: 0lim = + ∞→ nmx A x ⇒ TCX: y= λ x+ µ f(x)=x^2/(2(x-1)) f(x)=x/2+1/2 x(t)=1 , y(t )=t T?p h?p 1 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y µλ += xy m n x −= I KHẢO SÁT VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUA N ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I. KHẢO SÁT HÀM SỐ 1) Tìm tập xác định D. 2) Xét sự biến thiên:  Tính y’.  Giải phương trình: y’=0 ⇒ nghiệm x i thay vào hàm số⇒y i (i=1,2,3…).  Tính giới hạn. 2a) Đối với hàm phân thức: tìm tiệm cận 2b) Đối với hàm đa thức: Xét tính lồi lõm, điểm uốn.  Tính y’’.  Giải phương trình: y’’=0 ⇒ nghiệm x i thay vào hàm số⇒y i (i=1,2,3…).  Lập bảng xét dấu y’’_kết luận lồi, lõm, điểm uốn.  Lập bảng biến thiên_kết luận CĐ, CT, chiều biến thiên. 3) Vẽ đồ thị:  Cho điểm đặc biệt.  Biểu diễn theo thứ tự: tiệm cận (nếu có); các điểm cực trị; điểm uốn; điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ.  ĐỌC THÊM: Bảng tóm tắt khảo sát bốn hàm số cơ bản 1. Hàm đa thức bậc ba y=ax 3 +bx 2 +cx+d (a≠0) 1/ TXĐ: D= . 2/ Đạo hàm y'=3ax 2 +2bx+c; y''=6ax+2b. Đồ thị luôn có một tâm đối xứng trùng với điểm uốn U. y’=0 có hai nghiệm phân biệt y’=0 có nghiệm kép y’=0 vô nghiệm a>0 Thái Thanh Tùng 5 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 f(x)=x ^3-3x ^2+2 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y f(x)=x ^3-3x^2+3x-1 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y f(x)=x^3-3x^2+3.5x -1. 5 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y a<0 f(x)=-x^3+3x^2-2 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y f(x)=-x^3+3x^2-3x+1 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y f(x)=-x^3+3x^2-3.5 x+1.5 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y 2. Hàm đa thức (hàm trùng phương) y=ax 4 +bx 2 +c (a≠0) 1/ TXĐ: D= . 2/ Đạo hàm y'=4ax 3 +2bx=2x(2ax 2 +b); y''=12ax 2 +2b. Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. y’=0 có ba nghiệm y’=0 có một nghiệm a>0 f(x)=x^4-3x^2+1 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y f(x) =x^4+3x^2- 1 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y a<0 f(x)=-x ^4+3x^2-1 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y f(x) =-x^4-3x ^2+1 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y 3. Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến) nmx bax y + + = : +TXĐ: D= \       − m n ; ( ) ( ) 22 ' nmx D nmx bman y + = + − = +TCĐ: ( ) m n xdy m n x −=⇒∞= −→ :lim +TCN: ( ) m a yd m a y x =⇒= ∞→ :lim D>0 D<0 Thái Thanh Tùng 6 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 f(x)=x/(x+1) f(x)=1 x(t)=-1 , y(t )=t T?p h ?p 1 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y m a y = m n x −= I f(x)=x/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t )=t T?p h ?p 1 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y m a y = m n x −= I 4. Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ) ( ) nmx A x nmx cbxax y + ++= + ++ = µλ 2 : +TXĐ: D= \       − m n +TCĐ: ( ) m n xdy m n x −=⇒∞= −→ :lim +TCX: 0lim = + ∞→ nmx A x ⇒ TCX: y= λ x+ µ am>0 y'=0 có hai nghiệm phân biệt Các giới hạn: +∞=−∞= −=⇒∞=⇒ +∞=−∞= +∞→−∞→ −→ −→−→ +− yy m n xTCĐy yy xx m n x m n x m n x lim;lim* :lim lim;lim* f(x)=x^2 /(2( x-1 )) f(x)=x/2 +1/2 x(t )=1 , y (t )=t T ?p h?p 1 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y µλ += xy m n x −= I y'=0 vô nghiệm Các giới hạn: +∞=−∞= −=⇒∞=⇒ +∞=−∞= +∞→−∞→ −→ −→−→ +− yy m n xTCĐy yy xx m n x m n x m n x lim;lim* :lim lim;lim* f(x)=(x+1)/2-1/(2 (x- 1)) f(x)=x/2+1/2 x(t )=1 , y (t )=t T ?p h?p 1 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y µλ += xy m n x −= I am'<0 y'=0 có hai nghiệm phân biệt Các giới hạn: −∞=+∞= −=⇒∞=⇒ −∞=+∞= +∞→−∞→ −→ −→−→ +− yy m n xTCĐy yy xx m n x m n x m n x lim;lim* :lim lim;lim* y'=0 vô nghiệm Các giới hạn: −∞=+∞= −=⇒∞=⇒ −∞=+∞= +∞→−∞→ −→ −→−→ +− yy m n xTCĐy yy xx m n x m n x m n x lim;lim* :lim lim;lim* Thái Thanh Tùng 7 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 f(x)=-x^2/(2(x-1) ) f(x)=-x/2-1/2 x(t)=1 , y(t)=t T ?p h?p 1 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y µλ += xy m n x −= I f(x)=-(x+1)/2+1/(2( x-1)) f(x)=-x/2-1/2 x(t)=1 , y(t )=t T ?p h?p 1 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y µλ += xy m n x −= I Các bảng xét dấu thường gặp:  II. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUA N ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).  f’(x 0 )_hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 .  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x 0 ;y 0 )∈(C) là: y−y 0 =f’(x 0 )(x−x 0 )  Điều kiện để đường thẳng y=kx+b tiếp xúc với (C): ( ) ( )    = += kxf bkxxf ' 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: a. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x 0 ;y 0 )∈(C). b. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) khi biết hệ số góc k. c. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x A ;y A ): +Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k: y=k(x−x A )+y A (d). Thái Thanh Tùng 8 f(x )=-x^3 -3 x^2+3 y=2. 25 x+3.5 T ?p h ?p 1 x y (C) M(x 0 ;y 0 ) f(x)=-x^3+3x ^2-1 f(x)=-x+2 T ?p h ?p 1 x(t )=-1 , y (t )=t x(t )=1 , y (t) =t x(t )=3 , y (t) =t x y x 3 x 2 nghieäm x 1 giao ñieåm A B C O Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 +Giải phương trình ( ) ( ) ( )    = +−= kxf yxxkxf AA ' ⇒k rồi thay vào (d) ta được phương trình tiếp tuyến. 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C 1 ) và y=g(x) có đồ thị (C 2 ). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) =g(x) (1). Số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1). (1) vô nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung. (1) có n nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung. (1) có nghiệm đơn x 1 ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại N(x 1 ;y 1 ). (1) có nghiệm kép x 0 ⇔ (C 1 ) tiếp xúc (C 2 ) tại M(x 0 ;y 0 ). * * * TÍCH PHÂN−ỨNG DỤNG 1. Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx ( ) 0ln ≠+= ∫ xCx x dx Cedxe xx += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa x x Cxxdx += ∫ sincos Cxxdx +−= ∫ cossin Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 ( ) ( ) Cbax a baxd ++=+ ∫ 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ≠+ + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ≠++= + ∫ xCbax abax dx Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 Cudu += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C u duu ( ) 0ln ≠+= ∫ uCu u du Cedue uu += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa u u Cuudu += ∫ sincos Cuudu +−= ∫ cossin Cudu u += ∫ tan cos 1 2 Cudu u +−= ∫ cot sin 1 2 2. Tích phân a. Tính chất a. Công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) aFbFxFdxxf b a b a −== ∫ ; trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x). b.Tính chất: Thái Thanh Tùng 9 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 • ( ) 0 = ∫ a a dxxf • ( ) ( ) ∫∫ −= a b b a dxxfdxxf • ( ) ( ) ∫∫ = b a b a dxxfkdxxkf • ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ∫∫∫ +=+ b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf • ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf • f(x)≥0 trên đoạn [a;b]⇒ ( ) 0 ≥ ∫ b a dxxf • f(x)≥g(x) trên đoạn [a;b]⇒ ( ) ( ) ∫∫ ≥ b a b a dxxgdxxf • m≤f(x)≤M trên đoạn [a;b]⇒ m(b−a)≤ ( ) ∫ b a dxxf ≤M(b−a) • t biến thiên trên đoạn [a;b]⇒G(t)= ( ) ∫ t a dxxf là một nguyên hàm của f(t) và G(a)=0. b. Các phương pháp tính i. Phương pháp đổi biến số Đổi biến loại 1 ∗ĐẶt x=u(t)⇒dx=u’(t)dt ∗Đổi cận: a=u( α ),b=u( β ) Khi đó: ( ) ( ) [ ] ( ) ∫∫ = β α dttutufdxxf b a ' . Chú ý: Phương pháp đổi biến loại 1 thường áp dụng cho các tích phân có dạng sau: ∫       − dxxaxR n 222 , :đặt x=asint (hoặc x=acost); (n∈N). ∫       − dxaxxR n 222 , : đặt x=a/sint (hoặc x=a/cost). ∫       + + dx xa k axxR n 22 222 ,, : đặt x=atant (hoặc x=acott). Đổi biến loại 2 ∗ĐẶt t=v(x)⇒dt=v’(x)dx ∗Đổi cận: x=a⇒t=v(a), x=b⇒t=v(b) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) dttfdxxvxvf bv av b a ∫∫ = ' ii. Phương pháp tích phân từng phần ∫∫ −= b a b a b a vduuvudv Chú ý: Nếu tích chứa tích của p(x) với hàm logarit trong đó p(x)≠1/x ta đặt u=logarit, dv=p(x)dx; các dạng khác đặt ngược lại. c. Tích phân hàm phân thức Thái Thanh Tùng 10 [...]... bởi {(C): x=ξ(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy O a b d được tính bởi công thức: V =π ∫[ξ( y )] 2 x c x O dy c Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x),y=g(x) quay quanh Ox (f(x)≥g(x), ∀x∈[a;b]) đơực tính bởi công thức: V =π ∫{[ f ( x )] b 2 } −[ g ( x )] 2 dx a * * * SỐ PHỨC (z=a+bi; i2=−1) I Định nghĩa Trong toán học, trường số phức, ký hiệu là C Có nhiều phương pháp xây dựng... giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức: y f(x) b S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a g(x) O Chú ý: a Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b b x ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b b Thể tích Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox được tính bởi công thức: V =π y y b d f(x) 2 ∫[ f ( x )] dx ξ(x) a Thể tích do hình phẳng...Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 b p( x ) ∫ q( x ) dx a • • Nếu def p(x)>defq(x) thì chia đa thức trước khi lấy tích phân Các dạng khác thông thường ta dùng phương pháp đổi biến số hoặc phân tích thành tích các phân thức tối giản Chú ý: p( x ) p( x ) A B C = = + + q( x ) ( x − a )( x − b )( x − c ) x − a x − b... số phức một cách chặt chẽ bằng phương pháp tiên đề Gọi R là trường số thực Ký hiệu C là tập hợp các cặp (a; b) với a, b∈R Trong C, định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau: (a;b)+(c;d)=(a+c;b+d) (a;b)*(c;d)=(ac−bd;ad+bc) Thái Thanh Tùng 11 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 thì C là một trường Ta có thể lập một đơn ánh từ tập số thực R vào C bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp (a;0)∈C Khi đó... Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo i đặc trưng bởi biểu thức i2=−1 Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng: z=a+bi trong đó a, b là các số thực Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý rằng i2 = –1 Như vậy, ta có: (a+b.i)+(c+d.i)=(a+c)+(b+d).i... 2 III Dạng lượng giác của số phức Thái Thanh Tùng 12 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008−2009 1 Định nghĩa   a b 2 2 + i ÷ hay, khi Số phức z=a+bi có thể viết dưới dạng z = a + bi = a + b  2  ÷ 2 a 2 + b2   a +b đặt r =| z |, ϕ = arg ( z ) , ta có z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức z 2 Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác Phép nhân và... i sin ϕ ) , z ' = r ' ( cos ϕ'+i sin ϕ') Khi đó zz ' = rr ' ( cos ( φ + φ ' ) + i sin ( φ + φ ' ) ) z r = ( cos(ϕ − ϕ') + i sin (ϕ − ϕ') ) z' r ' Lũy thừa tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác (công thức Moirve) z n = r n ( cos( nϕ ) + i sin ( nϕ ) ) Khai căn số phức dưới dạng lượng giác Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng ω k = n r ( cosψ k + i sin ψ k ) trong đó ψk = . (xem lại các bài toán xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai trong chương trình lớp 10) Thái Thanh Tùng 3 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 2009 2. Quy tắc. Thái Thanh Tùng 5 Bộ môn Toán LT ĐSGT 12 2008 2009 f(x)=x ^3-3x ^2+2 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5