Một số bài toán tính giá trị lớn nhất hoặc bé nhất của biểu thức hình học Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) : x 1 2t y 3 t z 2 3t = −   = +   = − −  ; A(1;−1;4) và B(2;0;−3) a) Tìm N thuộc (d) sao cho NA ngắn nhất b) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MA 2 +3MB 2 nhỏ nhất c) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho 2MA 2 −5MB 2 lớn nhất Giải : a) Vì N ∈ (d) suy ra N(1−2t;3+t; −2−3t) Cách 1: ta có NA 2 =(2t) 2 +(−4−t) 2 +(6+3t) 2 =14t 2 +44t +52 =14 2 11 t 7   +  ÷   + 122 7 ≥ 122 7 NA ngắn nhất <=> NA 2 nhỏ nhất bằng, khi t=− 11 7 Vậy tọa độ N( 29 7 ; 10 7 ; 19 7 ) Cách 2: NA ngắn nhất <=> NA là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng (d) Hay N là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) + véc tơ =(−2t;4+t;−6−3t) ; d u uur =(−−2;1;−3) AN uuur ⊥ d u uur <=> AN uuur . d u uur =0 <=> 4t +4+t+18+9t =0 <=> t=− 11 7 Suy ra N( 29 7 ; 10 7 ; 19 7 ) và khi đó NA= 2 2 2 29 10 19 1 1 4 7 7 7       − + − − + −  ÷  ÷  ÷       = 122 7 b) Từ M ∈ (d) => M(1−2t;3+t; −2−3t) MA 2 =(2t) 2 +(−4−t) 2 +(6+3t) 2 =14t 2 +44t +52 MB 2 = (2t+1) 2 + (−t−3) 2 +(3t−1) 2 = 14t 2 +4t +11 Biểu thức MA 2 + 3MB 2 = 56t 2 +56t +85 = 56( t+ 1 2 ) 2 +71 ≥ 71 Do đó MA 2 + 3MB 2 nhỏ nhất bằng 71 khi t=− 1 2 và M(2; 5 2 ;− 1 2 ) Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(1;2;−1), N(7;−2;3) và đường thẳng (d) : x 1 y 2 z 2 3 2 2 + − − = = − . Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IM +IN nhỏ nhất. Giải : Viết lại đường thẳng (d) dưới dạng tham số : x 1 3t y 2 2t z 2 2t = − +   = −   = +  Vì I ∈ (d) => I(−1+3t;2−2t; 2+2t) Ta có IM= 2 2 2 (3t 2) ( 2t) (2t 3)− + − + + = 2 17t 13+ = ( ) ( ) 2 2 17.t 13+ IN= 2 2 2 ( 3t 8) (2t 4) (1 2t)− + + − + − = 2 17t 68t 81+ + = ( ) ( ) 2 2 17.t 17 13− + Chuyển về bài toán trong mặt phẳng Oxy, chọn A(0; 13 ), B( 2 17 ;− 13 ) và K( t 17 ;0) . Khi đó IM= KA, IN =KB ; A và B nằm về hai phía của trục hoành , điểm K nằm trên trục hoành . Ta luôn có : IM+IN=KA+KB ≥ AB Dấu “=” xảy ra khi A,N,K thẳng hàng và K nằm ở giữa A và B => hai véc tơ AB uuur =( 2 17 ;− 2 13 ) và AK uuur =( t 17 ;− 13 ) cùng phương Suy ra t= 1 và I(2;0;4) Bài toán 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(3;1;1), N(4;3;4) và đường thẳng (d) : x 7 y 3 z 9 1 2 1 − − − = = − . Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IM +IN nhỏ nhất. Giải : Viết lại đường thẳng (d) dưới dạng tham số : x 7 t y 3 2t z 9 t = +   = −   = +  Vì I thuộc (d) => I(7+t;3−2t;9+t) IM= 2 2 2 ( t 4) (2t 2) ( t 8)− − + − + − − = 2 2 4 6 220 6.t 3 3     + +  ÷  ÷     IN= 2 2 2 ( t 3) (2t) ( t 5)− − + + − − = 2 2 4 6 70 6.t 3 3     + +  ÷  ÷     Chuyển về bài toán trong mặt phẳng Oxy, chọn A(− 4 6 3 ; 220 3 ), B(− 4 6 3 ;− 70 3 ) và K( t 6 ;0) . Khi đó IM= KA, IN =KB ; A và B nằm về hai phía của trục hoành , điểm K nằm trên trục hoành . Ta luôn có : IM+IN=KA+KB ≥ AB Dấu “=” xảy ra khi A,N,K thẳng hàng và K nằm ở giữa A và B => hai véc tơ AB uuur =(0 ;− 70 3 − 220 3 ) và AK uuur =( 4 6 t 6 3 + ;− 220 3 ) cùng phương Suy ra t= − 4 3 vaø I( 17 3 ; 17 3 ; 23 3 ) . Một số bài toán tính giá trị lớn nhất hoặc bé nhất của biểu thức hình học Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho đường. ngắn nhất <=> NA là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng (d) Hay N là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) + véc tơ =(−2t;4+t;−6−3t) ; d u uur =(−−2;1;−3)