Đang tải... (xem toàn văn)
de thi hsg tinh ha tinh mon toan khoi 9 15104 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tấ...
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN -Bảng A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,5 điểm). a) Cho A= 4 3 2 2 16 2 15k k k k+ − − + với k Z ∈ . Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16. b) Cho 2 số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho 2 2 2 a b c+ + là số chính phương. Câu 2 (5,5 điểm). a) Giải phương trình: 2 2 1 16 2x x x− − + = b) Cho ,x y thoả mãn: 3 2 2 2 2 2 4 3 0 2 0 x y y x x y y + − + = + − = Tính Q = 2 2 x y+ Câu 3 (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 1 1 1 1 1 3 3 3 a b b c c a + + + + + + ÷ ÷ ÷ Trong đó các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện 3 2 a b c+ + ≤ Câu 4 (5,5 điểm). Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB VÀ CD vuông góc với nhau.E là một điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N. a) Chứng minh rằng: AM.ED = 2 OM.EA. b) Xác định vị trí điểm E để tổng OM ON AM DN + đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC, lấy điểm 1 C thuộc cạnh AB, 1 A thuộc cạnh BC, 1 B thuộc cạnh CA. Biết rằng độ dài đoạn thẳng 1 1 1 AA , ,BB CC không lớn hơn 1. Chứng minh rằng: 1 3 ABC S ≤ ( ABC S là diện tích tam giác ABC). - - - - -Hết- - - - - onthionline.net ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TĨNH LỚP Bài 1: Cho phương trình x − 1 − ( m+ 1) x− ÷+ m− = 0(*) x x a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 1 1 1 Bài 2: a) Cho a, b, c ∈ Z thỏa mãn điều kiện + + ÷ = + + a b c a b c Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho b) Giải phương trình x3 + ax2 + bx + = 0, biết a, b, c số hữu tỉ + nghiệm phương trình Bài 3: Cho x, y ∈ N* thỏa mãn x + y = 2011 Tìm GTNN GTLN biểu thức P = x( x + y) + y( y + x) Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB E Qua N kẻ đường thẳng song song OM cắt đường thẳng AB F a) CMR: ∆MNE ∼ ∆NFM b) Gọi K giao điểm EN FM Hãy xác định vị trí dây MN để chu vi tam giác MKN lớn Bài 5: Cho a, b, c > abc = 2 a3 b3 c3 + + ≥ Chứng minh ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ c) ( 1+ a) ( 1+ a) ( 1+ b) HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1Lời giải tóm tắt: ĐKXĐ: x ≠ Đặt x− = t phương trình (*) trở thành ( t− 1) ( t + t+ 3− m) = x a) m = (Tự giải) b) Với t = ⇒ x2 – x – = phương trình có nghiệm dương (vì ac < 0) Để phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt phương trình t2 + t + – m = phải có nghiệm kép khác Hay m = 11 Bài :Lời giải tóm tắt: a) ĐK: a, b, c ≠ Từ gt suy a + b + c = Mà a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hết cho a + b + c = chia hết a + b3 + c3 chia hết cho b) Vì + nghiệm phương trình nên ta có 2( 2a+ b+ 5) + ( 3a+ b+ 8) = a, b số hữu tỉ nên 2a+ b+ = a = −3 ⇔ Thay vào a,b vào pt giải tiếp 3a+ b+ = b = Bài 3:Lời giải tóm tắt: onthionline.net Cách 1: Vì x, y ∈ N* nên 1≤ x− y ≤ 2009 ⇔ 1≤ ( x− y) ≤ 20092 Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy Do –xy = 1 ( x− y) − 4044121 Vậy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031 ( x− y) − 4044121 4 Ta có 20113 + 6031 1 − 4044121 ≤ P ≤ 20113 + 6031 20092 − 4044121 4 ( ) ( ) Hay 2035205401 ≤ P ≤ 8120605021 Vậy GTNN P 2035205401 Dấu “=” xảy x = 1006 y = 1005 x = 1005 y = 1006 GTLN P 8120605021 Dấu “=” xảy x = 2010 y = x = y = 2010 Cách 2: P = 20113 - 6031xy theo ta có ≤ x, y ≤ 2010 Ta chứng minh 2010 ≤ xy ≤ 1005 1006 Thật xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010 = (2010 – x)(x – 1) ≥ (vì ≤ x, y ≤ 2010) Ta có xy ≥ 2010 Do P ≤ 8120605021 Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x) ≥ Ta có 1005.1006 – xy ≥ Do 2035205401 ≤ P Bài 4:Lời giải tóm tắt: · · a) Dễ dàng chứng minh EMN = FNM = 1200 ME MO ME MN = ⇒ = (vì ∆MON đều) NO NF MN NF · · · b) ∆MNE ∼ ∆NFM ⇒ MNE = NFM = FMO · · · · · MKN = 1800 − MNE + NMF = 1800 − FMO + NMF = 1800 − 600 = 1200 Mặt khác ∆EMO ∼ ∆ONF ⇒ mà ( ) ( ) không đổi K thuộc cung tròn chứa góc 1200 dựng đoạn thẳng MN = R không đổi Từ suy K điểm cung MKN hay MK = NK Kéo dài EM FN cắt I ta chứng minh MN vị trí cho AM = MN = NB = R Bài 5:Lời giải tóm tắt: Áp dụng BĐT CauChy ta có a3 1+ b 1+ c a3 1+ b 1+ c 3a + + ≥ 33 = ( 1+ b) ( 1+ c) 8 ( 1+ b) ( 1+ c) 8 a3 b3 c3 a+ b+ c + + ≥ − tương tự cộng lại ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ c) ( 1+ a) ( 1+ a) ( 1+ b) Mà a+ b+ c ≥ 33 abc = ruy đpcm Dấu “=” xảy a = b = c = SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (6,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 x 1 x 1 2 x x 2− + + + − = + b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: (m 2)x m x 1+ − ≥ + có nghiệm thuộc đoạn [-2;2] . Câu 2. (2,0 điểm): Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 y y x 3x 4x 2 1 x y 2 y 1 − − + = + + + − = − Câu 3. (5,0 điểm) a) Cho x,y là các số thực thỏa mãn: 4 4 log ( 2 ) log ( 2 ) 1x y x y+ + − = . Chứng minh rằng: 2x y 15− ≥ . b) Cho a,b,c là ba số thực không đồng thời bằng 0, thỏa mãn: 2 2 2 2 (a b c) 2(a b c )+ + = + + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 a b c P (a b c)(ab bc ca) + + = + + + + . Câu 4. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là: 2 2 x y 2x 4y 4 0+ − + + = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 5. (5,0 điểm) a) Cho tứ diện ABCD. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Gọi S C , S D theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh: D C 2S .S .sin V 3AB α = , với V là thể tích của khối tứ diện ABCD. b) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ (khác điểm S). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 Q SA'.SB' SB'.SC' SC'.SA' = + + . - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: Đề chính thức SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: 3 2 2 y x 3mx m= + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Câu 2. (6,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x x 2010 2010 12 12+ + = . b) Giải hệ phương trình : 2 2 2 1 y(x 1) x x 1 y(x y) x x − + = − − = . Câu 3. (5,0 điểm) a) Cho x,y là các số thực thỏa mãn: 4 4 log (x 2y) log (x 2y) 1+ + − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2x y= − b) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: a b c 1+ + = . Chứng minh rằng: ab bc ca 3 ab c bc a ca b 2 + + ≤ + + + Câu 4. (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Gọi S C , S D theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng: D C 2S .S .sin V 3AB α = , với V là thể tích của khối tứ diện ABCD Câu 5. (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy điểm N, trên cạnh CD lấy điểm P sao cho AN = 2NC, DP = 2PC. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . Đề chính thức SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC VIÊN GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN LỚP 12 GDTX CẤP THPT Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (5,0 điểm) a) Cho hàm số: y = ( ) ( ) 2 x 1 x mx m− + + (1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 2 x 1 x 1 + + trên đoạn [ ] 1;2− . Câu 2. (5,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 2 2 2 cos 12 cos 16 sin 4 sin 8 2x x x x+ = + + b) Giải hệ phương trình: 2 2 x 3x 4y y 3y 4x = − = − Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm hệ số của 8 x trong khai triển nhị thức Niutơn n 5 3 1 x , x 0 x ÷ + > . Biết: n 1 n 4 n n 3 C C 7n 21 0 + + + − − − = , n ∈ N * b) Tìm giới hạn: 2 x 0 cosx cos2x lim x → − Câu 4. (5,0 điểm) Cho khối chóp S.ABC CẤU TRÚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010 Môn TOÁN lớp 5 I. Phần trắc nghiệm khách quan: (4,0 điểm) gồm 8 câu - Nội dung: Bao gồm nội dung kiến thức học sinh đã được học trong chương trình môn Toán cấp Tiểu học. II. Phần tự luận: (16,0 điểm) gồm 3 bài 1) Bài 1 và bài 2: (từ 10 đến 11 điểm) - Nội dung: + Tính giá trị của biểu thức bằng cách thuận tiện; + Các bài toán phát triển từ các dạng toán cơ bản trong chương trình tiểu học. (Không kể dạng toán chuyển động đều) 2) Bài 3. Hình học: (từ 5,0 đến 6,0 điểm) - Nội dung: Bao gồm nội dung kiến thức thuộc phân môn hình học mà học sinh đã được học trong chương trình Tiểu học. Chú ý: Đề thi được in riêng, không nằm trong tờ giấy làm bài thi của học sinh. ___________________ SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG B Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm). Giải phương trình: 3 2 (5 3 ) 5 3 2 5 3 .x x x x x + = − − + − Câu 2 (4,0 điểm). Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: ( ) 2 ( 1) 1 x y m y x xy m x + = + + = + Câu 3 (2,0 điểm). Cho ba số dương , ,x y z . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9x y z x y y z x z + + ≥ + + + Câu 4 (2,0 điểm). Tính ( ) 2 1 2 1 os( 1) lim . 2 1 x x e c x x x − → − − − + Câu 5 (3,0 điểm). Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Đường thẳng qua M song song với AD cắt mặt phẳng (BCD) tại A’, đường thẳng qua M song song với BD cắt mặt phẳng (ACD) tại B’, đường thẳng qua M song song với CD cắt mặt phẳng (ABD) tại C’. Chứng minh tổng ' ' 'MA MB MC DA DB DC + + không phụ thuộc vị trí điểm M. Câu 6 (3,0 điểm). Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Trên cạnh AB lấy điểm P sao cho 1 . 3 AP AB = Tính thể tích khối tứ diện AMNP. Câu 7 (2,0 điểm). Tìm hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn: f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x, y. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi chính thức Đề thi HSG Toán 9 Tĩnh Hà tĩnh năm học 2010-2011 ài 1: Cho phương trình a) Giải phương trình khi b) T“m m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt Bài 2: a. Cho là những số thỏa mãn điều kiện: CMR: chia hết cho 3. b. Giải phương trình biết rằng là các số hữu tỉ và là 1 nghiệm của phương trình. Bài 3: Cho là các số nguyên ương, thỏa mãn T“m giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R, một dây cung MN = R di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song với ON cắt đường thẳng AB tại E. Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường thẳng AB tại F. a. CMR 2 tam giác MNE và NFM đ “ng dạng� b. Gọi K là giao của EN , FM. Xác định vị trí của dây MN để tam giác MKN có diện tích lớn nhất. Bài 5: Cho là những số dương thỏa mãn CMR: ...onthionline.net Cách 1: Vì x, y ∈ N* nên 1≤ x− y ≤ 20 09 ⇔ 1≤ ( x− y) ≤ 20 092 Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy Do –xy = 1 (... + 6031 ( x− y) − 4044121 4 Ta có 20113 + 6031 1 − 4044121 ≤ P ≤ 20113 + 6031 20 092 − 4044121 4 ( ) ( ) Hay 2035205401 ≤ P ≤ 8120605021 Vậy GTNN P 2035205401 Dấu “=” xảy x = 1006 y = 1005... 2035205401 ≤ P Bài 4:Lời giải tóm tắt: · · a) Dễ dàng chứng minh EMN = FNM = 1200 ME MO ME MN = ⇒ = (vì MON đều) NO NF MN NF · · · b) ∆MNE ∼ ∆NFM ⇒ MNE = NFM = FMO · · · · · MKN = 1800 − MNE + NMF = 1800