dcq Phương pháp chứng minh qui nạp 1.Chứng minh rằng : a) 1 + 2 + 3 + … + n = b) 1 2 + 2 2 + 3 2 + …+ n 2 = c) 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n 2 d) 1 2 + 3 2 + 5 2 + …+ (2n – 1) 2 = e) 1 3 + 2 3 + 3 3 + …+ n 3 = f) + + + .+ = g) 1 + + + .+ = 1 – h) (1 – )(1 – )…(1 – ) = h) 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1) = i) 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n 2 (n + 1) n ∈ N i) + + + .+ = j) 1.2 + 2.5 + 3.7 + …+ n(3n – 1) = n 2 (n + 1) k) 1.4 + 2.7 + 3.10 + …+ n(3n + 1) = n(n + 1) 2 l) 1 + 4 + 7 + …+ (3n + 1) = l) 2 + 5 + 8 + …+ (3n – 1) = m) + + + .+ = n) + + + .+ = – p) 1 + 3 + 6 + 10 + . + = q) + + + .+ = 2.Chứng minh rằng : a)n 3 – n chia hết cho 6 ∀ n > 1 b) n 3 + 11n chia hết cho 6 ∀ n c) 4 2n +2 – 1 chia hết cho 15 ∀ n d) 2 n+2 > 2n + 5 d) n 3 + 3n 2 + 5n chia hết cho 3 e) 4 n + 15n – 1 chia hết cho 9 e) 3 n – 1 > n ∀ n > 1 f) 3 n > 3n + 1 g) 2 n – n > f)11 n +1 + 12 2n – 1 chia hết cho 133 g) 5.2 3n – 2 + 3 3n – 1 chia hết cho 19 g) 2n 3 – 3n 2 + n chia hết cho 6 g) 3 n > n 2 + 4n + 5 f) ∀ n >1 g) ∀ n ≥ 1 h) … < i) 1 + + + …+ > ∀n ≥ 2 j) 1 + + + …+ < 2 ∀n ≥ 2 k) 1 + + + …+ < n 3. Chứng minh rằng = 2cos ( n dấu căn) 4. Chứng minh rằng (1 + a) n ≥ 1 + na với a > – 1 5. Chứng minh rằng a) sinx + sin2x + sin3x + …+ sinnx = b) 1 + cosx + cos2x + cos3x + …+ cosnx = c) cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + …+ cos 2 nx = + 6.Cho n số thực dương x 1 ,x 2 ,…,x n thỏa mãn điều kiện x 1. x 2. …x n = 1 Chứng minh rằng: x 1 + x 2 + …+ x n ≥ n 7.Cho n số thực x 1 ,x 2 ,…,x n ∈ (0;1) n ≥ 2 . Chứng minh rằng: (1 – x 1 )(1– x 2 )…(1 – x n ) > 1 – x 1 – x 2 – …– x n Dãy số 1.Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau : a) u n = b) u n = c) u n = d) u n = e) u n = b) u n = c) u n = (1 + ) n d) u n = 2.Cho dãy số u n = a) Xác định 5 số hạng đầu tiên b) số là số hạng thứ mấy của dãy số c) số là số hạng thứ mấy của dãy số 2.Cho dãy số (u n ) với u n = 5.4 n – 1 + 3 Chứng minh rằng: u n + 1 = 4u n – 9 ∀ n ≥ 1 3.Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) u 1 = 3 ; u n +1 = u n + 4 b) u 1 = 4 ; u n +1 = 3u n + 2 c) u 1 = 2 ; u n +1 = u n d) u 1 = ; u n +1 = e) u 1 = ; u n +1 = f) u 1 = ; u n +1 = g) u 1 = 1 ; u n +1 = u n + 1 g) u 1 = 1 ; u n +1 = u n + () n 4.Cho dãy số (u n ) xác định bởi : u 1 = 0 ; u 2 = 1 ; u n + 2 = a)Chứng minh rằng: u n + 1 = – u n + 1 b)Xác định công thức tính u n .Từ đó tính limu n 4.Cho dãy số (u n ) xác định bởi : u 1 = 2 ; u 2 = 1 ; u n = a)Chứng minh rằng: 2u n + u n–1 = 4 và u n – u n– 1 = 3(– ) n– 2 b) Tính limu n 4.Tìm số hạng thứ 2005 của dãy số: a) u 1 = 1 ; u 2 = – 2 ; u n = 3u n – 1 – 2u n – 2 b) u 1 = 1 ; u 2 = 2 ; u n = 4u n – 1 – 3u n – 2 5.Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 1 và u n + 1 = u n + 7 ∀ n ≥ 1 a)Tính u 2 , u 4 và u 6 b)Chứng minh rằng: u n = 7n – 6 ∀n ≥ 1 6.Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 1 và u n + 1 = – u n 2 + u n + 1 ∀ n ≥ 1 a)Tính u 2 , u 3 và u 4 b)Chứng minh rằng: u n = u n + 3 ∀n ≥ 1 7.Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 2 và u n + 1 = 5u n ∀ n ≥ 1 a)Tính u 2 , u 4 và u 6 b)Chứng minh rằng: u n = 2.5 n – 1 ∀n ≥ 1 8.Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 2 và u n + 1 = 3u n + 2n – 1 ∀ n ≥ 1 dcq Chứng minh rằng: u n = 3 n – n ∀n ≥ 1 9.Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 2 và u n + 1 = ∀ n ≥ 1 Chứng minh rằng: (u n ) là một dãy không đổi 9. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = và u n + 1 = 4u n + 7 ∀ n ≥ 1 a)Tính u 2 , u 3 và u 4 b)Chứng minh rằng: u n = ∀n ≥ 1 10.Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) u n = b) u n = c) u n = n – d) u n = 3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) u n = b) u n = n 2 – 5 c) u n = d) u n = (– 1) n .n e) u n = 2 n f) u n = g) u n = h) u n = i) u n = n + cos 2 n h) u n = 1 – 4. Xét tính đơn điệu của các dãy Onthionline.net DÃY SỐ u1 = a 1, Xét dãy số (un) định  ; a số khác Dùng phép quy nạp ta u n = u n −1 + a chứng minh : A, un = na B,un = (n + 1)a C, un = (n + 2)a D, un = (n -1)a 2n 2, Xét dãy số (un) xác định un = Chọn câu sai : n +1 A, u1 = B, u2 = C, u3= D, u4 = 5 Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình Trần Nam Dũng – ĐH KHTN Tp HCM Trong toán học, có rất nhiều trường hợp ta không xác định được giá trị cụ thể đối tượng mà chúng ta đang xét (ví dụ số, hàm số) nhưng vẫn có thể thực hiện các phép toán trên các đối tượng đó. Ví dụ ta có thể không biết giá trị các nghiệm của một phương trình, nhưng vẫn biết được tổng của chúng: “Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos 5 x – 5cos 3 x + 3cosx – 1 = 0 trên đoạn [0, 2π]”. hay là tính tích phân của một hàm mà ta không có biểu thức tường minh: “Chứng minh rằng với mọi t ≥ 0, phương trình x 3 + tx – 8 = 0 luôn có 1 nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x(t). Tính .)]([ 7 0 2 ∫ dttx ” Trong bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ đề cập đến một tình huống căn bản khác, đó là khảo sát những dãy số xác định bởi dãy các phương trình: “Cho dãy các hàm số f n (x) xác định bởi công thức tường mình hoặc truy hồi thoả mãn điều kiện: các phương trình f n (x) = 0 có nghiệm duy nhất x n ∈ D. Cần khảo sát các tính chất của x n như khảo sát sự hội tụ, tìm giới hạn …” Chúng ta bắt đầu từ một bài toán thi tuyển sinh vào khoa Toán trường Đại học Độc lập Matxcơva năm 2000 Bài toán 1. Ký hiệu x n là nghiệm của phương trình 0 1 1 11 = − ++ − + nxxx thuộc khoảng (0, 1) a) Chứng minh dãy {x n } hội tụ; b) Hãy tìm giới hạn đó. Bình luận: x n được xác định duy nhất vì hàm số nxxx xf n − ++ − += 1 1 11 )( liên tục và đơn điệu trên (0, 1). Tuy nhiên, ta không thể xác định được giá trị cụ thể của x n . Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ của x n , ta không cần đến điều đó. Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu và bị chặn là đủ. Với tính bị chặn, mọi thứ đều ổn vì 0 < x n < 1. Với tính đơn điệu, ta chú ý một chút đến mối liên hệ giữa fn(x) và f n+1 (x): f n+1 (x) = f n (x) + 1 1 )()( 1 −− += + nx xfxf nn . Đây chính là chìa khoá để chứng minh tính đơn điệu của x n . Lời giải: Rõ ràng x n được xác định 1 cách duy nhất, 0 < x n < 1. Ta có f n+1 (x n ) = f n (x n ) + 1/(x n -n-1) = 1/(x n -n-1) < 0, trong khi đó f n+1 (0 + ) > 0. Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0, x n ) có ít nhất 1 nghiệm của f n+1 (x). Nghiệm đó chính là x n+1 . Như thế ta đã chứng minh được x n+1 < x n . Tức là dãy số {x n } giảm. Do dãy này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn. Ta sẽ chứng minh giới hạn nói trên bằng 0. Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quả quen thuộc sau: 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln(n) (Có thể chứng minh dễ dàng bằng cách sử dụng đánh giá ln(1+1/n) < 1/n) Thật vậy, giả sử lim x n = a > 0. Khi đó, do dãy số giảm nên ta có x n ≥ a với mọi n. Do 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n  ∞ khi n  ∞ nên tồn tại N sao cho với mọi n ≥ N ta có 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > 1/a. Khi đó với n ≥ N ta có 0 = 0 111 2 1 1 111 1 11 =−< − ++ − + − +< − ++ − + aanxnxxx nnnn Mâu thuẫn. Vậy ta phải có lim x n = 0. Bài toán 2. Cho n là một số nguyên dương > 1. Chứng minh rằng phương trình x n = x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x n . Chứng minh rằng x n dần về 1 khi n dần đến vô cùng và tìm )1(lim − ∞→ n n xn . Lời giải: Rõ ràng x n > 1. Đặt f n (x) = x n – x – 1. Khi đó f n+1 (1) = - 1 < 0 và f n+1 (x n ) = x n n+1 – x n – 1 > x n n – x n – 1= f n (x n ) = 0. Từ đó ta suy ra 1 < x n+1 < x n . Suy ra dãy {x n } có giới hạn hữu hạn a. Ta chứng minh a = 1. Thật vậy, giả CHUYÊN ĐỀ: HIĐROCACBON THƠM I. PHẦN TỰ LUẬN Bài 1: Viết công thức cấu tạo và gọi tên các đồng phân hiđrocacbon thơm có công thức phân tử C 8 H 10; C 9 H 12. Bài 2: Viết công thức cấu tạo các hiđrocacbon có công thức cấu tạo sau: a, 3-etyl-1-isopropylbenzen b, 1,2-đibenzyleten c, 2-phenylbutan d, điphenylmetan Bài 3: Viết các phương trình hoá học xảy ra khi cho isopropylbenzen lần lượt tác dụng với các chất sau: a, Br 2 /ánh sáng b, Br 2 /Fe c, H 2 /Ni, t 0 d, dung dịch KMnO 4, t o . Bài 4: Viết phương trình hoá học (nếu có) khi cho stiren lần lượt tác dụng với các chất sau: dung dịch brom, dung dịch KMnO 4 loãng, đậm đặc đun nóng, H 2 (xúc tác Pb ở 25 0 C), đồng trùng hợp với butađien. Bài 5: Từ axetilen viết phuơng trình hoá học điều chế stiren. Bài 6: Chất hữu cơ A có công thức phân tử C 9 H 8. A có khả năng làm mất màu dung dịch Br 2 , tác dụng với dung dịch AgNO 3 /NH 3 và tác dụng với dung dịch KMnO 4 đun nóng được axit benzoic. Xác định công thức cấu tạo và gọi tên A. Viết các phương trình hoá học minh hoạ. Bài 7: Từ toluen viết phương trình hoá học tạo thành: a, metylxiclohexan b, axit m-nitrobenzoic c, axit- nitrobenzoic Bài 8: Viết phương trình hóa học của phản ứng: a, Isopropylbenzen + Br 2 /Fe b, Propylbenzen + KMnO 4 Bài 9: Bằng phương pháp hoá học hãy phân biệt các chất lỏng : stiren, phenylaxetilen, toluen, bezen Bài 10: Cho 3 chất : benzen, toluen và stiren a, Nêu cách nhận ra các lọ mất nhãn đựng từng chất riêng biệt. b, tinh chế benzen có lẫn một lượng nhỏ toluen và stiren. C, Tách stiren ra khỏi hỗn hợp với toluen và benzen. Bài 11: Đốt cháy hoàn toàn 2,9 gam hỗn hợp 2 hidrocacbon đồng dẳng lien tiếp X và Y thu được 4,928 lít CO 2 (đktc). Hơi của 7,25 gam hỗn hợp này chiếm thể tích của 2,4 gam khí oxi (đo ở cùng điều kiện t o , p) A, Xác định công thức phân tử và % khối lượng từng chất trong hỗn hợp. B, Viết công thức cấu tạo và gọi tên các chất có thể có. Biết X không làm mất màu nước Brom C, Xác định công thức cấu tạo đúng của Y, biết khi Y tác dụng với dd KMnO 4 đun nóng thu được axit benzoic. D, Từ benzen viết phương trình hoá học điều chế Y theo 2 cách. Cho biết cách nào thuận lợi hơn. Bài 12(7.1) Hiđrocacbon X tác dụng với nước brom dư tạo thành dẫn xuất tetrabrom chứa 75,8% brom về khối lượng. Còn khi cộng với brom theo tỉ lệ mol 1:1 thì thu được một cặp đồng phân cis-trans. 1. Xác định công thức phân tử và công thức cấu tạo của X 2. Viết các phương trình phản ứng khi cho X tác dụng với : a. Dung dịch KMnO 4 trong H 2 SO 4 loãng. b. Hiđrat hoá trong môi trường H 2 SO 4 lõang. Bài 13(7.2): A, B là hai hiđrocacbon có cùng CTPT . Đốt cháy hoàn toàn một ít chất A thu được CO 2 và hơi H 2 O theo tỉ lệ thể tích là 5:2. Cho m gam chất A bay hơi thì thu được một thể tich hơi bằng ¼ thể tích của m gam khí O 2 (đo ở cùng điều kiện). Xác đinh CTCT của A và B biết A tác dụng với dung dịch brom theo tỉ lệ 1:3, B không tác dụng với dung dịch brom. Bài 14(7.4): Có một hợp chất hữu cơ A chỉ chứa hai nguyên tố, A có phân tử khối 150< M A < 170. Đốt cháy hoàn toàn m gam A sinh ra m gam H 2 O. A không làm mất màu nước brom cũng không tác dụng với brom khi có mặt bột sắt, nhưng lại phản ứng với brom khi chiếu sángtạo thành một dẫn xuất monobrom duy nhất. Đun nóng A với một lượng dư dung dịch KMnO 4 , rồi axit hoá bằng axit HCl. a. Xác định công thức đơn giản nhất và công thức phân tử của A b. Xác đinh công thức cấu tạo của A, viết các phương trình phản ứng c. Nêu phương pháp điều chế A xuất phát tùe khí thiên nhiên và các chất vô cơ cần thiết. Bài 15 (7.6): Đốt cháy hoàn toàn một hiđrocacbon A, tỉ lệ mol của CO 2 và H 2 O tạo thành sau phản ứng là 9:4. Khi hoá hơi 116 gam A thì thể tích hơi chiếm 22,4 lit nếu quy về điều kiện tiêu chuẩn. Mặt khác A tác dụng với dung dịch Brom theo tỉ lệ 1: 2 về số mol, tạo kết tủa khi tác dụng với dung dịch AgNO 3 /NH 3 và khi oxi hoá A bằng dung dịch KMnO 4 trong H 2 SO 4 loãng thì tạo được axit thơm chứa 26,23% oxi về khối lượng. Tìm CTPT, CTCT. Víêt phương 1 ĐI TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT DÃY SỐ 2 2 2   lim x * ˆ n n n u u u  1 1 2 1 2 n n n u     TRẦN DUY SƠN Xuân kỷ sửu 2009 Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn 2 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Giới thiệu Dãy số là một phần của Đại số cũng như Giải tích toán học. Dãy số đóng một vai trò cực kì quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong các kì thi HSG quốc gia, IMO (Olympic toán học quốc tế), hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học các bài toán về dãy số được xuất hiện khá nhiều và được đánh giá ở mức độ khó. Các bạn học sinh cũng đã được làm quen với dãy số từ rất sớm, từ hồi tiểu học chúng đã được làm quen với các bài toán về dãy số như: tìm quy luật của một dãy số đơn giản,… Đây không phải một giáo trình về lí thuyết dãy số mà chỉ là một chuyên đề nhỏ trình bày một vấn đề nhỏ trong lĩnh vực dãy số. Tập tài liệu này gần như một bài viết mở, như một cuộc trao đổi, trò chuyên, trình bày con đường đi tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số cơ bản, từ đó ứng dụng để giải một số bài toán. Do đây là chuyên đề đầu tay của tôi, nên nội dung cũng như cách trình bày trong tài liệu này chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong bạn đọc thông cảm và có ý kiến đóng góp để bài viết được hoàn thiện. Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi về địa chỉ hòm thư: ibelieveicanfly@ymail.com Trần Duy Sơn Xuân kỷ sửu 2009 Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn 3 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Một số kí hiệu dùng trong tập tài liệu  CSN – Cấp số nhân  CSC – Cấp số cộng  CTTQ – Công thức tổng quát Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn 4 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Mục lục Trang Đi tìm công thức tổng quát dãy số……………………………………………………… 5 Phương trình sai phân tuyến tính…………………………………………………………. 14 Sử dụng phép thế lượng giác để xác định CTTQ dãy số………………………………… 16 Các bài toán dãy số chọn lọc…………………………………………………………… 18 Bài tập đề nghị……………………………………………………………………………. 20 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………………… 21 Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn 5 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trong phần này, tôi và các bạn sẽ cùng nhau tìm hiểu và nêu ý tưởng tìm CTTQ của một số dạng dãy số bản. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một bài tập đơn giản trong sách giáo khoa sau: Ví dụ 1: (Bài 45, trang 123, Đại số & Giải tích 11 nâng cao) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi: 1 2u  và 1 1 2 n n u u    2.n  Chứng minh rằng 1 1 2 1 2 n n n u     Với mọi số nguyên dương .n Ý tưởng: Khi gặp dạng bài chắc hẳn nhiều bạn sẽ nghĩ ngay đến việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nhưng làm như thế thì chẳng có gì thú vị, vậy tại sao chúng ta không thử đi tìm một cách giải khác cho bài toán này! Ta nhận thấy đề bài cho một công thức truy hồi xác định dãy ( ) n u và cho số hạng đầu tiên 1 2u  nên ý tưởng của chúng ta sẽ là tìm cách đưa ( ) n u về một CSC hoặc CSN để dễ dàng liên hệ với 1 u đã cho. Giải: Ta viết lại 1 ( ):2 1 n n n u u u    từ đó ta sẽ tìm cách đưa về CSN. Nhưng một rắc rối nhỏ là ở vế phải của công thức truy hồi có số 1. Bây giờ nếu đặt n n u v d  và thay vào dãy ta được: 1 2( ) 1. n n v d v d      Từ đó nếu 2 1 1d d d    thì ( ) n v sẽ là một CSN với công bội 1 1 1 1 . 2 2 n n q v v     Mà Bài tập về hàm số 1. Cho hàm số 1 2 2 − −+ = mx mxx y . Xác đònh m để hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn 2121 4 xxxx =+ 2. Cho hàm số 122 24 +−+−= mmxxy . Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm có các hoành độ lập thành một cấp số cộng. 3. Cho hàm số : y = 3x - x 3 có đồ thò là (C). Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thò (C) . 4. Cho hàm số 1 2 − − = x x y (1) có đồ thò là (C). Tìm tất cả các điểm trên (C) cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2) 5. Cho hàm số 1 8 2 − +−+ = x mmxx y . Xác đònh m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thò hàm số ở về hai phía đường thẳng 0179:)( =−− yxd 6. Cho hàm số : 2 2 (1 ) 1x m x m y x m + − + + = − . Đònh m để hàm số đồng biến trong khoảng (1; +∞ ) 7. Cho họ đường cong 2 54 :)( 2 − ++ = x mmxx yC m . Tìm m để trên (C m ) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O(0;0). 8. Cho hàm số 1 32 2 + +− = x xx y (1). Hãy tìm m để đường thẳng y= -2x+m cắt đồ thò tại hai điểm A, B sao cho AB<2 9. Cho hàm số )1(2)14()1(2 2223 +−+−+−+= mxmmxmxy . Tìm m để y đạt cực đại, cực tiểu tại hai điểm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện )( 2 111 21 21 xx xx +=+ 10. Tìm m để 2 x (2m 3)x 6 y x 2 − + + = − có CĐ, CT và tìm quỹ tích CĐ, CT. 11. Cho hàm số 1 24)1( 22 − −+−+− = x mmxmx y (1). Xác đònh các giá trò của m để hàm số có cực trò. Tìm m để tích các giá trò cực đại và cực tiểu đạt giá trò nhỏ nhất 12. Xác đònh m để hàm số 424 22 mmmxxy ++−= có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều 13. Cho hàm số : 2 4)6(2 2 + +−+ = mx xmx y . Chứng minh rằng với mọi giá trò của m đồ thò của hàm số luôn luôn đi qua một điểm cố đònh. Xác đònh tọa độ điểm đó 14. Cho hàm số : mx mmxm y + −−+ = )()13( 2 (m 0 ≠ ). Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà đồ thò không thể đi qua khi m thay đổi 15. Cho hàm số : y = 1x 4x4x 2 − −+− có đồ thò (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x = 2, x = m (m > 2). Tìm m để diện tích này bằng 3. §Ị lun thi Câu I . ( 2 điểm ) . Cho hàm số 2x 1 y = x 1 − − , (C) . 1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C) . 2. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM . Câu II . ( 2 điểm ) . 1. Giải bất phương trình : − − − ≥ − + − x 14 x 5 x 6 3 x 5 2. Tìm tất cả các giá trò của tham số m để phương trình : sin 2x m s inx 2m cos x + = + có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 3 0; 4 π       Câu III .( 2 điểm ) . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. cho mặt phẳng (P) : x+2y-z+5=0 và đường thẳng (d): x 2y 1 0 y z 4 0 − + =   − + =  . 1. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) . 2. Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ nằm trên mặt phẳng (P) đi qua giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc với (d) . Câu IV. ( 2 điểm ) . 1. Tính tích phân : ( ) ln 2 x x 0 I e ln e 1 dx= + ∫ . 2.a (Khối A) Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn : x y z 1+ + = . Xác đònh giá trò nhỏ nhất của biểu thức : P = 2 2 2 1 1 x y z xyz + + + 2.b (Khối B) Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn : x.y.z 1= . Xác đònh giá trò nhỏ nhất của biểu thức : P = 2 2 2 2 2 2 yz zx xy x y x z y z y x z x z y + + + + + Câu V . ( 2 điểm ) . 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển   +  ÷   n 3 15 28 1 x x x , biết : 3 3 n n 1 4 3 2 n 1 n 1 n 2 4C 5C 3C 18.C 22A 0 − − − −  ≥   − + =   ( n là số nguyên dương, x > 0 , k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k n C là số tổ hợp chập k của n phần Onthionline.net 1.Tìm miền xác định hàm số sau: a) y =