Onthionline.net Sở giáo dục đào tạo HảI dương Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trãi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Đề thi thức Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phương trình: x2 + y2 + xy =   xy + 3x = 2) Tìm m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên: 4x2 + 4mx + 2m2 − 5m+ = Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: + − x2  ( + x) −  A= + − x2 2) Cho trước số hữu tỉ m cho ( − x)   với −2 ≤ x ≤ m số vô tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a3 m2 + b3 m + c = Câu III (2.0 điểm): 1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số x số nguyên dương biết f(5) − f(3) = 2010 Chứng minh rằng: f(7) − f(1) hợp số 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x2 − 4x + − x2 + 6x + 13 Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lấy D, E cho DE song song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho · · Chứng minh rằng: DMK = NMP 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đường tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Câu V (1.0 điểm): Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đường tròn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn -Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh : Chữ kí giám thị : .Chữ kí giám thị 2: Onthionline.net SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (2,0 điểm) 1) Cho . Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức . 2) Cho trước ; gọi là hai số thực thỏa mãn Chứng minh rằng: . Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình: 1) Tìm các số hữu tỷ và để phương trình (1) có nghiệm . 2) Với giá trị tìm được ở trên; gọi là ba nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức . Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên thỏa mãn điều kiện: . 2) Giải hệ phương trình: Câu 4 (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R). Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A. Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O’ ; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là O’A). Đường thẳng AI cắt (O’ ; R’) tại M (điểm M khác điểm I ). 1) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh: ; từ đó suy ra KB = KD. 2) AO’ cắt BC tại H. Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn. 3) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp . Câu 5 (1,0 điểm) Mọi điểm trên mặt phẳng được đánh dấu bởi một trong hai dấu (+) hoặc (). Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu. -----------Hết------------ 3 3 1 12 135 12 135 1 3 3 3 x   + −  ÷ = + +  ÷   ( ) 2 3 2 M= 9 9 3x x− − ,a b R∈ ,x y 3 3 3 3 x y a b x y a b + = +   + = +  2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + 3 2 1 0 (1)x ax bx+ + − = a b 2 3x = − ,a b 1 2 3 ; ; x x x 5 5 5 1 2 3 1 1 1 S x x x = + + ,x y 2 2 2 2 5 60 37x y x y xy+ + + = ( ) 3 2 4 2 1 5 2 0 x x x y y x x y  − = −   + − + + =   2 KB = KI.KJ Δ IBD − ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2010 - 2011 Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 Đáp án gồm : 04 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Việc chi tiết điểm số (với cách khác, nếu có) phải được thống nhất Hội đồng chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 Cho .Tính . 1,00 Từ 0,25 0,25 0,25 0,25 1 2 Cho trước ; gọi x,y là hai số thực thỏa mãn .Chứng minh rằng: . 1,00 +/Nếu thì => x, y là 2 nghiệm của phương trình Giải ra ta có => . +/Nếu => . Ta có hệ phương trình . =>=> 0,25 0,25 0,25 3 3 1 12 135 12 135 1 3 3 3 x   + −  ÷ = + +  ÷   ( ) 2 3 2 M= 9 -9 -3x x 3 3 1 12 135 12 135 1 3 3 3 x   + −  ÷ = + +  ÷   ( ) 3 3 12 135 12 135 3 1 3 3 x   + −  ÷ ⇒ − = +  ÷   ( ) 3 3 3 3 12 135 12 135 3 1 3 3 x   + −  ÷ ⇔ − = +  ÷   ( ) ( ) 3 3 1 8 3 3 1x x⇒ − = + − 3 2 9 9 2 0x x⇔ − − = ( ) 2 1 1M⇒ = − = ,a b R∈ 3 3 3 3 ( ) x y a b I x y a b + = +   + = +  2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 ( ) 3 3 x y a b I x y xy x y a b ab a b + = +   ⇔  + − + = + − +   (1) (*) ( ) ( ) (2) x y a b xy a b ab a b + = +  ⇔  + = +  0a b+ ≠(*) ⇔ x y a b xy ab + = +   =  2 ( ) 0X a b X ab− + + = ; x b x a y a y b = =     = =   2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + 0a b+ =a b= − 3 3 0 0 x y x y x y + =  ⇔ = −  + =  2011 2011 2011 2011 0 0 a b x y  + =   + =   2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + 0,25 2 1 . Tìm để (1) có nghiệm . 1,00 Thay vào (1)ta có : +/Nếu =>(vô lí vì VT là số vô tỷ , VP là số hữu tỷ). +/ Suy ra Giải hpt ,kết luận : 0,25 0,25 0,25 0,25 2 2 Với a=-5 ;b=5. Tính giá trị của biểu thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (không chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 2 (2 1) ( 3) 10 + + − = x x . 2) Xác định các hệ số m và n biết hệ phương trình 3 5 2 9 − =   + =  x my mx ny có nghiệm là (1; 2) − Câu II ( 2,0 điểm) 1) Rút gọi biểu thức 2 3 1 1 A 1 1 1 − + − = + − + − + + x x x x x x x x với 0 ≥ x . 2) Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ hai là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc. Câu III (2,0 điểm) Cho phương trình 2 2( 1) 2 5 0 − − + − = x m x m 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm 1 2 ,x x với mọi m. 2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 0− + − − + − <x mx m x mx m Câu IV (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN. 1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh 2 OI.OH = R . 3) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu V (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu , ,a b c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 9 S = + + + − + − + − a b c b c a c a b a b c . ĐỀ THI CHÍNH THỨC Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (không chuyên) Câu Ý Nội dung I 1 Giải phương trình 2 2 (2 1) ( 3) 10 + + − = x x Pt 2 2 4 4 1 6 9 10 ⇔ + + + − + = x x x x 2 5 2 0 ⇔ − = x x (5 2) 0 ⇔ − = x x 2 0, 5 ⇔ = = x x I 2 Hệ phương trình 3 5 2 9 − =   + =  x my mx ny có nghiệm là (1; 2) − Thay 1, 2 = = − x y vào hệ ta được 3 ( 2) 5 2 ( 2) 9 − − =   + − =  m m n 3 2 5 4 9 + =  ⇔  − =  m m n Tìm được 1 = m Tìm được 2 = − n . II 1 Rút gọi biểu thức 2 3 1 1 A 1 1 1 − + − = + − + − + + x x x x x x x x với 0 ≥ x . ( ) ( ) 2 3 1 1 A 1 1 1 1 − + − = + − − + + + − + x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 1 1 1 − + + + − − − + = + − + x x x x x x x x x ( ) ( ) 2 3 1 1 1 1 − + + − − + − = + − + x x x x x x x x ( ) ( ) 1 1 1 1 1 − + = = + + − + x x x x x x II 2 Nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm bao nhiêu ngày để xong việc Gọi số ngày người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (x > 9) Khi đó số ngày người thứ hai làm một mình xong công việc là x - 9 Theo bài ra ta có phương trình 1 1 1 9 6 + = − x x 2 21 54 0 ⇔ − + = x x 3, 18 ⇔ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức 3 3 3 ( ) (3 2) (1 2 ) (1 )P x x x x= − + − + − thành nhân tử. 2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 4a b c abc+ + + = . Tính giá trị của biểu thức: (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − − Câu II ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 4 6 2 2 3 2x x x− + = + + − . 2) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 5 ( ) 6 x y xy x y  + =   − =   . Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện 2 2 4 5 2( )x xy y x y− + = − . 2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 3 4 1+ + + +p p p p là số hữu tỷ. Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. 1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 2) Chứng minh AO EF⊥ . 3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất. Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z z zx x S x y z y z x z x y − + − + − + = + + + + + + + + Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Phân tích 3 3 3 ( ) (3 2) (1 2 ) (1 )= − + − + −P x x x x thành nhân tử 1,00 Đặt 3 3 3 3 2, 1 2 , 1 0= − = − = − ⇒ + + = ⇒ = + +a x b x c x a b c P a b c 0,25 3 3 ( ) 3 ( )= + + − +P a b c ab a b 0,25 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( )   = + + + − + + − +   a b c a b a b c c ab a b 0,25 3 ( ) 3 3(3 2)(1 2 )(1 )= − − = = − − −ab c abc x x x 0,25 I 2 (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − − 1,00 4 4 4 4 4 16 (4 )(4 ) (16 4 4 ) + + + = ⇔ + + + = ⇒ − − = − − + a b c abc a b c abc a b c a b c bc 0,25 (4 4 4 4 4 4 ) (4 4 )= + + + − − + = + +a a b c abc b c bc a a abc bc 0,25 2 (2 ) (2 ) 2= + = + = +a a bc a a bc a abc 0,25 Tương tự (4 )(4 ) 2 , (4 )(4 ) 2− − = + − − = +b c a b abc c a b c abc 2( ) 3 2( ) 8⇒ = + + + − = + + + =A a b c abc abc a b c abc 0,25 II 1 Giải phương trình 2 4 6 2 2 3 2− + = + + −x x SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT BÌNH DƯƠNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG Năm học: 2012-2013 Môn thi : TOÁN (Thời gian làm bài : 150 phút) (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( 1 điểm) Cho Biểu thức 2 4 2 2 2 2 x y x y A y x xy y − = − + 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trò của A với 2 trường hợp: x =1, y=-1 ; x=-1, y=1 . Bài 2: ( 1,5 điểm) Chữ số hàng chục của một số có 2 chữ số lớn hơn chữ số hàng đơn vò là 1. Nếu đổi chổ 2 chữ số cho nhau sẽ được một số bằng 5 6 số ban đầu. Tìm số có 2 chữ số ban đầu . Bài 3: ( 2 điểm) 1) Tìm các số a, b, c thỏa : ( ) 1 1 2 2 a b c a b c+ − + − = + + 2) Cho a + 2b = 1. Tìm giá trò lớn nhất của ab . Bài 4: ( 2 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình 1) 2 2 9 29 0x x+ − − = 2) ( ) ( ) 2 4 1 1 4 x xy x y x xy  + + + =   + + =   Bài 5: ( 3,5 điểm): 1) Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các tam giác vuông cân ABE và ACF đỉnh A. Chứng minh rằng trung tuyến AI của tam giác ABC vuông góc với EF và AI = 1 2 EF. 2) Cho đường tròn tâm (O) và dây cung AB không qua tâm. C là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AB, đường thẳng BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở D và tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Gọi I là trung điểm AM. Chứng minh OI song song với phân giác của góc ADB . Hết ĐỀ THI CHÍNH THỨC ...Onthionline.net