Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn (25) Thời gian 180 phút Môn: Toán chung Câu I. ( 3 điểm) Cho biểu thức: 3 1 1 1 1 1 x x A x x x x x = + + a. Rút gọn biểu thức A b. Với giá trị nào của m thì A=4 Câu II. (4 điểm). Cho Parabon (P) có phơng trình 2 y x= và đờng thẳng (dm) có phơng trình: y=2(m-1)x-(2m-4) a. Chứng minh rằng với mọi m thì Parabon luôn cắt đờng thẳng (dm) tại hai điểm phân biệt. b. Gọi x 1 , x 2 là hoành độ giao điểm của (P) và (dm). Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 2 y x x= + Câu III. (). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O. gọi H, i theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC, CD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD, HI. Chứng minh rằng: a. V ABD và V HBI đồng dạng b. ẳ 0 90MNB = . Câu IV. (4,5 điểm). Cho hình chóp SABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với đáy ABCD. a. Chứng minh rằng: SC BD . b. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh rằng: ( )SC AMN . Câu V. Cho phơng trình: 4 3 2 1 0x ax bx ax+ + + + = (1) trong đó: ,a b R a. Biết (1) có ít nhất 1 nghiệm thực. Chứng minh rằng: 4 2 2 5 a b+ . b. Giải hệ phơng trình: 20 8 2005 2165 2005 20 8 2165 x y x y ì + + = + + ì = P N V THANG IM CHM Mụn Toỏn chung thi vo lp 10 chuyờn Lam Sn Câu I Nội dung Điểm a, Đ/K: x>1 0,25 1 1 2 1 ( 1)( 1) x x x x A x x x x x x x = + = + 0,5 ( 1) 2 1 1A x x= + 0,5 2 ( 1 1)A x = 0,25 b, Để 1 1 2 4 1 1 2 x A x = = = 0.5 1 3 1 1 x x = = 0,5 Nhận thấy pt(2) VN. 4 1 3.A x = = 10.x = 0,5 Câu II 4,0 a, Phơng trình hoành độ giao điểm của (p) và (dm) là: 2 2( 1) (2 4) 0(*)x m x m + = có ' 2 ( 1) (2 4)m m = V 2 4 5m m = + 0,75 2 ( 2) 1 0,m m = + > 0,75 Phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt hay parabon (p) luôn cắt đờng thẳng (dm) tại 2 điểm phân biệt 0,5 a, Theo giả thiết x 1, x 2 là hoành độ giao điểm của (p) và (dm) Theo câu a ta có m và theo viet ta có: 2( 1) 1 2 (2 4) 1 2 x x m x x m + = = 0,5 2 2 2 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 y x x x x x x= + = + 0,5 2 4( 1) 2(2 4)y m m = + (1) (2) 2 4 2 1 2 2 4 1 y m m m y m m = + + = 0,5 1 5 1 2 2 4 ( ) 4( ) 5 5 2 4 2 y m m = = y nhận giá trị nhỏ nhất là -5 khi 1 2 m = . 0,5 Câu III 5,0 a, Ta có ẳ 0 90BHC = (gt) ẳ 0 90BIC = (gt) H,I cùng nhìn BC Từ tứ giác BHIC nội tiếp ẳ ABC ẳ BIH = và ẳ ẳ BCH BDA = (góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) ẳ ẳ BIH BDA = (1) Tơng tự tao có ẳ ẳ ABD HBI= (2) Từ (1) và (2) ta có ABD HBIV : V (g.g) b, Theo trên ta có ABD HBIV : V Lại có BM,BN lần lợt là 2 trung tuyến của chúng BM BA BN BH = (3) Lại có: ẳ ẳ ABM HBN = (cặp góc tơng ứng của 2 tam giác đồng dạng) ẳ ẳ ABM MBN = (4) Từ (3) và (4) ta có: ABH MBNV : V ( c.g.c) ẳ ẳ AHB MNB = Mà: ẳ 0 90AHB = (gt) ẳ 0 90MNB = Câu IV 4,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 H D C A B M I N 1 1H a, Theo gt ta có ( )SA ABCD SA BD Mà: AC BD (gt) ( )BD SAC BD SC 0,5 0,5 0,5 0,5 b, Ta có: BC AB (gt) BC SA (gt) ( )BC SAD } ( ) BC AM AM SBC SB AM AM SC (1) Chứng minh tơng tự ta có: AN SC (2) Từ (1) và (2) ta có: ( )SC AMN 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu V a, Giả sử (1) có một nghiệm 0 x R ta có: 4 3 2 1 0(2) 0 0 0 0 0 0 1 1 2 (2) ( ) ( ) 0(3) 0 0 2 0 0 x ax bx ax x x a x b x x + + + + = + + + + = đặt: 1 1 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 x y y x x x + = = + Vậy (3) 2 2 0 0 0 y ay b + + = 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( ) ( )( 1) 0 0 0 y ay b a b y = + + + theo BunhiacôpSki 0,25 0,25 S N D A M B C 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 1,5 Lại có: ( ) 2 2 2 0 2 2 2 1 0 y a b y − ⇒ + ≥ + Nhng 2 1 2 2 4 0 0 2 0 y x x    ÷  ÷  ÷   = + ≥ §Æt: 2 4 , 0 0 y t t= + ≥ ( ) 2 2 9 2 2 1 5 5 4 9 9 4 5 16 2 2 5 5 5 5 5 25 t a onthionline.net đề thi học sinh giỏi Toán -2010 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2đ) Tìm hai số tự nhiên biết ƯSCLN 15 phép chia liên tiếp thuật toán Ơclit thương 2; 15; Bài 2: (2đ) Chứng minh với n ∈ N thì: a (34n + 4)  b (anan-1 a3a2a1a0) - a2a1a0)  2; 4; 5; 25; 125 Bài 3: (1,5đ) Tìm giá trị số tự nhiên a để biểu thức M = 1000- 400: (25-a) có giá trị nhỏ Gía trị nhỏ bao nhiêu? Bài 4: (2,5đ) Người ta viết liền dãy số tự nhiên 1: Hỏi số chữ số thứ 629 chữ số ? Bài 5: (2đ) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia 0A xác định tia ∧ ∧ 0B, 0C cho A0 B = 300 , A0C = 750 ∧ a Tính B0C ; b Gọi tia 0D tia đối tia 0B Tính số đo góc kề bù với góc B0C -Hết đề thi - onthionline.net Đáp án đề Toán Bài 1: (1,5đ) Gọi hai số tự nhiên phải tìm a, b (a>b) 0,25đ Theo đầu ta có phép chia liên tiếp nên số dư phép chia thứ hai cho ta ƯSCLN (a, b) 0,25đ Ta có phép chia sau: a = 2b + r (1) b = 2r + r1 (trong r1=15) (2) 0,5đ r = r1.9 (3) Vậy r = 15.9 = 135 0,5đ b = 3.135 +15 = 420 a = 2.420 + 135 = 975 Hai số cần tìm 975 420 0,5đ Bài 2: (2đ) a 1đ Chứng minh (34n + 4)  Ta biết: 34n = 92n = 81n có chữ số tận ( 1) 0,5đ nên + = Vì (34n + 4) có chữ số tận  Vậy (34n + 4) 0,5đ b 1đ anan-1 a3a2a1a0 - a2a1a0  = anan-1 a3000 1000 0,5đ mà 1000  2; 4; 5; 25; 125 nên (anan-1 a3a2a1a0) - a2a1a0  2; 4; 5; 25; 125 0,5đ onthionline.net Bài 3: (1,5đ) M có giá trị nhỏ 400:(25-a) có giá trị lớn 0,5đ 400:(25-a) có giá trị lớn 25-a có giá trị nhỏ Vì 25-a ≠ nên 25-a có giá trị nhỏ (tức 25-a =1) Suy a=24 0,5đ Lúc giá trị nhỏ M 600 0,5đ Bài 4: (2,5đ) Viết từ số1 đến số phải dùng chữ số, Từ số10 đến số 99 phải dùng 90.2=180 chữ số, Cộng lại viết từ số đến số 99 phải dùng 189 chữ số 0,5đ Viết số có chữ số (100-999) phải dùng 900.3=2700 chữ số, Cộng chữ số viết từ số1 đến số 999 phải dùng 2889 chữ số Nên ta có 189 < 629 < 2889 Vậy chữ số thứ 629 nằm số có chữ số 0,5đ Số chữ số dùng để viết số có chữ số là: 629-189=440 Số có chữ số 440:3=146 (dư 2) 0,5đ Điều có nghĩa người ta viết 146 số có chữ số, viết tiếp đến chữ số thứ hai số liền sau (tức viết chữ số hàng chục số liền sau ứng với chữ số thứ 629) 0,5đ Ta có: 99+146=245 , chữ số liền 245 246, chữ số thứ hai số a Hai tia chữ 0B, 0C thuộc mặt Vậy số nửathứ 629 số ∧ phẳng 0,5đ bờ chứa tia 0A A0 B < ∧ 0 A0C (30