Tự chọn toán 9-2009 tự chọn 9: Phần hình học Tuần 19-22: Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn. ( 4 tiết ) I. Phơng pháp. 1. C/m đờng thẳng đó vuông góc với bán kính tại đầu mút bán kính nằm trên đờng tròn. 2. Chứng minh đờng thẳng qua A và lập với dây cung AC một góc bằng góc nội tiếp chắn cung AC. ( ã ã xAC AMC= mà góc AMC là góc nội tiếp => góc xAC là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có AC là dây cung nên Ax là tiếp tuyến. II. Bài tập. 1. Cho đờng tròn (O) 2 đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, M là điểm bất kỳ trên cung BC. Dây AM cắt OC tại N. a. C/m AC 2 =AM.AN. b. C/m AC tiếp xúc với đờng tròn qua 3 điểm C, M, N. 2. Cho (O) nội tiếp ABCV và các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, AC lần lợt là M, N, S. a. Chứng minh AB+AC-BC=2AM. b. Cho AB=c, AC=b, BC=a . Tính các đoạn thẳng AM, BN, CS theo a, b, c. 3. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB. Vẽ nửa đờng tròn tâm O đờng kính OA trong cùng nửa mặt phẳng bờ là AB với nửa đờng tròn tâm O. Vẽ cát tuyến AC của đờng tròn O nó cắt (O ) tại D. Vẽ tiếp tuyến Dx với nửa (O ) và tiếp tuyến Cy với nửa (O). a. C/m DA=DC. b. C/m Dx//Cy. c. Từ C hạ CH ^ AB và giả sử 3OH=OB . C/m BD là tiếp tuyến của (O ). 4. Cho đờng tròn tâm O đờng kính BA. Vẽ tiếp tuyến Ax, By. Từ M trên đờng tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3 , nó cắt Ax tại C, cắt By tại D và cắt đờng thẳng AB tại E . Gọi N là giao điểm của BC và AD. a. C/m : CN CM NB MD = . Suy ra MN AB^ . b. C/m : ã 90COD = o . c. C/m : DM CM DE CE = . Tuần 23 - 26. Chứng minh hai đờng tròn tiếp xúc nhau. ( 4 tiết ) Nguyễn Hồng Chiên-THCS Vinh Quang Trang 1 x C M A Tự chọn toán 9-2009 I. Phơng pháp. 1. C/m khoảng cách giữa hai tâm đờng tròn bằng */ Tổng hai bán kính (tiếp xúc ngoài): d=R+r. */ Hiệu hai bán kính (tiếp xúc trong) : d=R-r. 2. C/m hai đờng tròn có tiếp tuyến chung tại cùng1điểm. 3. C/m hai đờng tròn có chung một điểm nằm trên đờng nối tâm. II. Bài tập. 1. Cho ABCV , Â=90 0 , đờng cao AH, gọi M, N là hai điểm đối xứng của H qua AB, AC a. C/m 3 điểm M, A, N thẳng hàng. b. C/m BC tiếp xúc với đờng tròn đờng kính MN. c. C/m hai đờng tròn tâm B và tâm C có bán kính lần lợt là BM, CN tiếp xúc nhau. 2. Cho đờng tròn kính AB. Kẻ dây AC rồi kéo dài một đoạn CD=AC. a. C/m ABDV cân. b. Kẻ dây AE AC^ , kéo dài một đoạn EF=AE. C/m 3 điểm B, D, F thẳng hàng. c. C/m đờng tròn ngoại tiếp DAFV tiếp xúc với đờng tròn đã cho tại A. d. Chọn góc BAC sao cho DF tiếp xúc với đờng tròn đã cho tại B. 3. Cho ABCV , Â=90 0 a. Vẽ một đờng tròn tâm (O) qua A tiếp xúc tại B với BC và đờng tròn tâm I qua A và tiếp xúc với BC tại C. b. C/m hai đờng tròn ấy tiếp xúc nhau. c. M là trung điểm của BC. C/m tam giác IMO vuông góc tại M. d. AB kéo dài cắt (I) tại D và AC kéo dài cắt (O) ở E. C/m 3 điểm B, O, E thẳng hàng và 3 điểm C, I, D thẳng hàng. Tuần 27 32 . Chứng minh tứ giác nội tiếp. ( 6 tiết ) I. Phơng pháp. 1. Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện có tổng =180 0 . 2. Chứng minh tứ giác có 1 góc bằng góc ngoài của góc đối diện. 3. Chứng minh rằng có hai đỉnh liền kề của tứ giác cùng nhìn cạnh đối diện dới 2 góc bằng nhau. Chú ý: Để chứng minh 1 điểm nằm trên một đờng tròn là chứng minh điểm ấy là đỉnh thứ t của một tứ giác nội tiếp trong đờng tròn ấy. 4. C/m tứ giác đó là hình thang cân, hcn, hv. II. Bài tập. 1. Cho ABCV vuông tại A và M là một điểm trên AC . Đờng tròn đờng kính MC cắt BC tại N; BM cắt đờng tròn tại D; AD cắt đờng tròn tại S . a. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. b. C/m CA là phân giác của góc SCB. c. CD cắt AB tại J. C.m 3 điểm J, M, N thẳng hàng. 2. Cho đờng tròn (O) có một dây BC cố định, A là một điểm di động trên cung lớn BC. Hai đờng cao AE và BF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a. Chứng minh CE.CB=CF.CA. b. AE kéo dài cắt đờng tròn tâm O tại H . C/m H và H đối xứng nhau qua BC. c. Gọi O là điểm đối xứng của O qua BC . C/m tứ giác AHO O là hình bình hành. Nguyễn Hồng Chiên-THCS Vinh Quang Trang 2 Tự chọn toán 9-2009 3. Cho (O;R) đờng kính AB cố định; CD là đờng kính di động. Gọi d là tiếp tuyến của đờng tròn tại B; các đờng thẳng AC, AD cắt d lần lợt tại P, Q. a. C/m CPQD nội tiếp. b. C/m trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD. c. Xác định vị trí của CD để diện tích CPQD bằng 3 lần diện tích tam giác ACD. 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (O), và ã ã DAB ABC> . Giả sử phân giác góc DAB và phân giác góc ABC cắt nhau tại E trên cạnh DC. Vẽ tia AF ở trong góc DAE sao cho ã ã FAD ABE= (F ở trên DC). Chứng minh. a. Tam giác DAF cân. b. Tứ giác ABEF nội tiếp. c. DC=AD+BC . 5. Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC. Lấy điểm A trên đờng tròn sao cho AB>AC. Dựng hình vuông ABED ở miền ngoài tam giác ABC. Gọi F là giao điểm của AE với đờng tròn , K là giao điểm của CF và ED. C/minh: a. B, K, D, C cùng thuộc một đờng tròn. b. AC=EK. 6. Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M trên cạnh AB kẻ đờng thẳng song song với AC cắt BC ở H và kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AC ở K. Chứng minh: a. Tứ giác AMHC nội tiếp. b. AH=BK. c. Gọi I, J lần lợt là trung đỉêm của AH, BK. C/minh MIJV đều. 7. Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O) . Các đờng chéo AC, BD cắt nhau tại E. Các cạnh bên AD, BC kéo dài cắt nhau tại F. Chứng minh: a. A, D, E, O cùng nằm trên một đờng tròn. b. Tứ giác AOCF nội tiếp. c. MNCP là hình bình hành trong đó M, N lần lợt là trung điểm của BD , AC và P là chân đờng cao hạ từ B xuống CD. 8. Cho C là điểm cố định trên đờng thẳng xy. Cz là tia vuông góc với xy. Gọi A, B là hai điểm theo thứ tự trên tia Cz tính từ C, M là điểm di động trên xy. Tia vuông góc với AM tại A và tia vuông góc với BM tại B cắt nhau tại P. a. C/m MABP nội tiếp , xác định tâm? b. C/m hình chiếu vuông góc của P xuống Cz là điểm cố định c. Tia BM cắt tia AP tại H, tia PB cắt MA tại K . C/m KH PM^ . d. Gọi N là trung điểm của KH, E là trung điểm AB. C/m 3 điểm N, E, O thẳng hàng. 9. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong (O;R), I là điểm đối xứng của A qua O. Trên BA từ B đến A và trên đờng kéo dài của AC về phía C lấy 2 đoạn BM=CN=a. a. Chứng tỏ rằng IB=IC; IM=IN. b. Tính góc MIN và chứng tỏ tứ giác AMIN nội tiếp . c. Đờng thẳng MN cắt BC tại K. C/minh tứ giác MBIK nội tiếp , và chứng tỏ K là trung điểm của MN. 10. Qua trung điểm C của 1 dây cung tuỳ ý AB của một đờng tròn (O) ta dựng hai dây cung KL và MN (K và M ở cùng phía đối với AB), Q là giao điểm của AB và KN, AB cắt ML tại P. Chứng minh QC=PC. 11. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (O), AD cắt BC tại I , qua I dựng đờng thẳng d vuông góc với OI, đờng thẳng này cắt 2 đờng chéo AC và BD kéo dài tại M và N. C/m IM=IN. 12. Cho tam giác ABC, đờng cao AH, gọi M; N là trung điểm của AB và AC. Chứng minh 3 đờng tròn ngoại tiếp các tam giác HBM, HCN, AMN đồng quy tại điểm K và đờng HK kéo dài cắt MN tại trung điểm của nó. Nguyễn Hồng Chiên-THCS Vinh Quang Trang 3 Tự chọn toán 9-2009 I. Diện tích tam giác. ( 3 tiết ) Phơng pháp: (Các kiến thức áp dụng) *) Các công thức tính diện tích tam giác. 1. S = 1 1 1 . . . 2 2 2 a b c ah bh ch= = 2. S = 1 sin 2 ab a = . 3. S = 4 abc R ( R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác). 4. S = p.r (p là nửa chu vi , r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ). Chú ý: 1- Nếu ABC là tam giác đều có cạnh là a thì a. Chiều cao h= 3 2 a . b. Diện tích S = 2 3 4 a . 2- Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng. 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ABC A B C S a b c S a b c ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = = = ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ V V =k 2 (k là tỉ số đồng dạng). 3- Cho ABCV có AH, AD, AM là đờng cao , phân giác, trung tuyến khi đó. A. a. ABH ACH S BH S CH = b. ABD ACD S BD AB S CD AC = = c. S ABM = S ACM . *) Diện tích tứ giác. 1. Hình thang. ( ) 1 . 2 S h a b MN h= + = (với MN là đờng trung bình của hình thang). 2. Hình bình hành. S = ah hoặc S = ab sin a 3. Hình thoi . S = 1 2 d 1 .d 2 (d 1, d 2 là độ dài 2 đờng chéo ). S = a.h hoặc S = a 2 sin a . 4. Hình chữ nhật. S = a.b. 5. Hình vuông. S = a 2 . hoặc S = 1 2 d 2 . 6. Tứ giác có 2 đờng chéo d 1 , d 2 vuông góc với nhau. S = 1 2 d 1 .d 2 Nguyễn Hồng Chiên-THCS Vinh Quang Trang 4 A b h a c B H C a A B H D M C A B b h D C a a d 1 h d 2 a Tự chọn toán 9-2009 7. Tứ giác ngoại tiếp đờng tròn bán kính r. S = p.r ( p- là nửa chu vi của tứ giác). 8. Diện tích hình tròn và hình quạt tròn a. Diện tích hình tròn : S = 2 Rp . b. Diện tích hình quạt tròn : S = 2 360 R np hoặc S = l. 2 R (với l= 180 Rnp là độ dài cung tròn n 0 ) B ài tập: 1. Cho hình thang ABCD , gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Kí hiệu S 1 , S 2 ,S 3 , S 4 là diện tích của tam giác AOB, DOC, AOD, BOC. a. Chứng minh. S 1 . S 2 = S 3 . S 4 . b. Chứng minh . 3 1 2 S S S= . c. Gọi S là diện tích của hình thang ANCD. Chứng minh ( ) 2 1 2 S S S= + . 2. Cho tam giác ABC vuông ở A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lợt là điểm đối xứng của H qua AB, AC. a. C hứng minh 3 điểm E, A, F thẳng hàng . b. Xác định vị trí của H để diện tích tứ giác BEFC bằng AH . BC. Lúc đó BEFC là hình gì ? c. Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất. 3. Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB=2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC=R, vẽ dây cung BD=R . Từ C kẻ đờng vuông góc với AB cắt AD tại K. a. Tính AD.AK theo R. b. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ADB và ACK. c. Tính chu vi và diện tích của tam giác ACK rồi suy ra chu vi và diện tích của tam giác ADB. d. Tính diện tích của phần hình tam giác ACK nằm ngoài đờng tròn (O;R). Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học 2007-2008 Môn: Toán --120 phút ( điểm chuẩn: 25,24 ) Phần I: Trắc nghiệm khách quan (2đ) Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trớc kết quả đúng. 1. ( ) 2 3 4x + bằng: A. (3x+4) B. 3x+4 C. ( ) 3 4 . 3 4x D x- + - + 2. Cho hàm số bậc nhất : y= x+2 (1) ; y=x-2 ; y=0,5x. Kết luận nào sau đây là đúng? A. Đồ thị của 3 hàm số trên là những đờng thẳng song song với nhau. B. Đồ thị của 3 hàm số trên là những đờng thẳng đi qua gốc toạ độ. Nguyễn Hồng Chiên-THCS Vinh Quang Trang 5 Tự chọn toán 9-2009 C. Cả ba hàm số trên đồng biến. D. Hàm số (1) đồng biến , hai hàm số còn lại nghịch biến. 3. Cho phơng trình x+y=1 (1). Phơng trình nào sau đây có thể kết hợp với (1) để đợc 1 hệ hai ph- ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất? A. 3y=-3x+3 B. 0x+y=1 C. 2y= 2-2x D. y+x=-1. 4. Cho hàm số y=-0,5x 2 . Kết luận nào sau đây là đúng ? A. Hàm số trên luôn đồng biến; B. Hàm số trên đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0; C. Hàm số trên luôn nghịch biến; D. Hàm số trên luôn đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0; 5. Nếu x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình x 2 +x-1=0 thì tổng lập phơng hai nghiệm là. A. -12 B.4 C. 12 D. -4. 6. Cho tam giác vuông MNP (góc M=90 0 ) có MH là đờng cao, cạnh MN= à 3 , 60 2 P = o . Kết luận nào sau đây là đúng ? a. độ dài đoạn thẳng 3 2 MP = b. Độ dài đoạn MH= 3 4 c. Số đo góc MNP bằng 60 0 d. Số đo góc NMH bằng 30 0 . 7. Cho tam giác MNP (nh hình 1). Gọi (C) là đờng tròn nhận MN làm đờng kính . Khẳng định nào sau đây không đúng ? a. Ba điểm M,N, H cùng nằm trên đờng tròn (C). b. Ba điểm M,N, K cùng nằm trên đờng tròn (C). c. Bốn điểm M,N, H , K không cùng nằm trên đờng tròn (C). d. Bốn điểm M,N, H, K cùng nằm trên đờng tròn (C). 8. Cho (O;1)AB là một dây cung của đờng tròn có độ dài bằng 1. Khoảng cách từ tâm đến AB là: 3 1 .0,5 . 3 . . 2 3 a b c d Phần II: Tự luận. Câu 1: (1,5đ). Cho phơng trình x 2 -mx+m-1=0 (1) . 1. Giải pt khi m=1. 2. Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m. Câu 2: (1,5). Cho hệ phơng trình 3 1 1 2 mx y x y ỡ - = - ù ù ù ớ ù - = ù ù ợ 1. Giải hệ phơng trình khi m =-1,5. 2. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x;y)=(-2;-2) Câu 3: (4đ). Cho hai đờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) tại E và F. 1. Chứng minh AE = AF. 2. Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB ( C thuộc (O 1 ) ; D thuộc (O 2 )). Gọi P là giao điểm của CE, FD. Chứnh minh rằng a. Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp đợc đờng tròn. b. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 3 điểm A, I, P thẳng hàng. c. Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên đờng nào ? Câu 4: (1đ). Nguyễn Hồng Chiên-THCS Vinh Quang Trang 6 M K N H P Hình1 Tự chọn toán 9-2009 Gọi x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phơng trình 2x 2 +2(m+1)x+m 2 +4m+3=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= 1 2 1 2 2 2x x x x- - . Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học 2008-2009 Môn: Toán --- 120 phút (điểm chuẩn : 23,5 điểm ) (tỉ lệ đỗ: %) Phần I: Trắc nghiệm khách quan (2đ). Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trớc kết quả đúng. 1. Biểu thức 2 1 4x x - xác định với giá trị nào sau đây của x ? A. x 1 4 B. x 1 4 C. x 1 4 và x 0 D. x 0 2. Các đờng trhẳng sau đây, đờng nào song song với đờng thẳng y = 1- 2x? A. y = 2x-1 B. y = ( ) 2 1 2x- C. y = 2-x D. y = 2(1-2x). 3. Hai hệ phơng trình ỡ ỡ + = - = - ù ù ù ù ớ ớ ù ù - =- = ù ù ợ ợ 3 3 3 3 3 ; 11 x y kx y x yx y là tơng đơng khi k bằng: A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 . 4. Điểm Q( 1 2; 2 - ) thuộc đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây ? A. 2 2 y x 2 = B. 2 2 y x 2 =- C. 2 2 y x 4 = D. 2 2 y x 4 =- 5. Tam giác GEF vuông tại E, có EH là đờng cao. Độ dài đoạn GH = 4, HF = 9. Khi đó độ dài EF bằng ? A. 13 B. 13 C. 2 13 D. 3 13 6. Tam giác ABC vuông tại A, có AC = 3a, AB = 3 3 a, khi đó sinB bằng : A. 3 2 a B. 1 2 C. 3 2 D. 1 2 a 7. Tam giác ABC vuông tại A, có AC = 24cm, AB = 18cm, khi đó bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng : A. 30 cm B. 15 2 cm C. 20 cm D. 15 cm 8. Tam giác ABC vuông tại A, có AC = 6cm, AB = 8cm. Quay tam giác một vòng quanh cạnh AC cố định đợc một hình nón. Diện tích toàn phần của hình nón đó bằng: A. 96 p cm 2 B. 100 p cm 2 C. 144 p cm 2 D. 150 p cm 2 Phần II : Tự luận (8 điểm). Bài 1: 1,5 điểm. Cho phơng trình bậc hai , ẩn số x: x 2 - 4x + m + 1 = 0 1. Giải phơng trình với m = 3. Nguyễn Hồng Chiên-THCS Vinh Quang Trang 7 Tự chọn toán 9-2009 2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm. 3. Tìm giá trị nào của m sao cho phơng trình đã cho có hai nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn điều kiện : 2 2 1 2 x x 10+ = Bài 2: 1,0 điểm. Giải hệ phơng trình : 3 x 2 y 2 1 x 2 y 2 3 ỡ ù - - + = ù ớ ù - - + = ù ợ Bài 3: 1,5 điểm. Rút gọn biểu thức 1. A = 6 3 3 6 3 3+ + - 2. B = ( ) ( ) 5 2 6 49 20 6 5 2 6 9 3 11 2 + - - - Bài 4: 4,0 điểm. Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B . Trên một nửa mặt phẳng bờ là AB, kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cát IK tại P. 1. Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đợc. 2. Chứng minh AI . BK = AC . BC . 3. Chứng minh APB vuông. 4. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất. Gợi ý (Bài 4/4): dt ABKI = AB(AI + BK):2 = 1 2 AB.AI + 1 2 BK.AB . . dt ABKI lớn nhất khi BK lớn nhất mà BK = AC.BC AI Mà AI không đổi nên BK lớn nhất khi AC. BC lớn nhất lại có AC và BC là độ dài các đoạn thẳng tức là AC, BC >0. Nên AC. BC lớn nhất khi AC = BC tức là C là trung điểm của AB. Nguyễn Hồng Chiên-THCS Vinh Quang Trang 8