Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học PhẦn I: SƠ YẾU LÍ LỊCH Họ tên : Lê Thị Hằng Chức vụ : Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Tam Đa – Phù Cừ- Hưng Yên Tên đề tài SKKN: Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học PHẦN II NỘI DUNG BÀI VIẾT GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học I ĐẶT VẤN ĐỀ THỰC TRẠNG LIÊN QUAN TỚI VẤN ĐỀ ĐANG NGHIÊN CỨU Trước đưa vào thực sáng kiến tiến hành điều tra hiểu có kỹ giải toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ học sinh sau: - Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 8A, 8B THCS Tam Đa năm học 2013-2014 - Thời gian điều tra: Bắt đầu từ ngày : 8/9/2014 - Tổng số học sinh điều tra: 85 - Thống kê điều tra sau: + Số học sinh nắm sơ lược loại đường phụ thường sử dụng giải Toán THCS có: em chiếm % + Số học sinh nắm phép dựng hình thường sử dụng giải toán THCS có: 10 em chiếm 12% + Số học sinh dựng đường kẻ phụ hợp lý giải số toán chương trình toán lớp gồm có: em chiếm % + Số học sinh lúng túng, chưa giải toán hình học có vẽ thêm đường phụ giải Toán THCS có: 63 em chiếm 74 % + Số học sinh thành thạo dạng toán, có kỹ tốt giải toán tương đối khó : em chiếm 0% Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 8A, B Trường THCS Tam Đa II Phương pháp tiến hành GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học 1- Cơ sở lý luận: Trong nhà trường THCS nói môn toán môn học giữ vị trí quan trọng Bởi lẽ Toán học môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logíc đồng thời môn toán môn công cụ hỗ trợ cho môn học khác, có tính thực tiễn phổ dụng Những tri thức kỹ toán học cùng với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập môn khoa học khác Môn toán có khả tư lôgic , phát huy tính linh hoạt , sáng tạo học tập môn toán môn học khó Trong chương trình toán THCS, môn hình học rất quan trọng rất cần thiết cấu thành nên chương trình toán học ở THCS cùng với môn số học đại số Hình học phận đặc biệt của toán học Phân môn hình học có tính trừu tượng cao, học sinh coi môn học khó Với môn hình học môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Đặc biệt toán hình học có lời giải phải vẽ thêm đường phụ toán khó với học sinh THCS Bởi để giải toán dạng không yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà đòi hỏi học sinh cần có kỹ giải toán nhất định, có sáng tạo nhất định Để tạo đường phụ liên kết tường minh mối quan hệ toán học điều kiện cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải toán phải kẻ thêm đường phụ sáng tạo nhỏ Kẻ thêm đường phụ để giải toán hình mặt phương pháp biểu ở mức độ cao của kỹ năng, thể tình hình học phù hợp với định nghĩa, định lý hay gọi quy lạ quen Ở khoảng cách từ lạ đến quen xa mức độ sáng tạo lớn Do việc học tốt toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học của học sinh GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học 2- Cơ sở thực tiễn: Giải toán hình có vẽ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực nhiều thao tác tư Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện mặt tư hình học phát triển Do định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm ví dụ toán ở lớp rất có loại toán dạng Tuy nhiên tập SGK đưa nhiều dạng toán nhất ở tập nâng cao toán khó hay lại toán giải cần phải kẻ thêm đường phụ Trên thực tế, học sinh giải toán dạng cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu Do việc sâu vào nghiên cứu tìm tòi cách giải toán có vẽ thêm đường phụ học sinh rất ít Còn đa số học sinh việc nắm vững mục đích, yêu cầu vẽ đường kẻ phụ kiến thức số loại đường phụ rất hạn chế Các tài liệu viết riêng loại toán rất ít, việc tham khảo học sinh gặp nhiều khó khăn Vì vậy với trình bày của đề tài “Hướng dẫn học sinh phương pháp vẽ thêm đường phụ” nội dung tham khảo cho giáo viên , học sinh để góp phần tạo nên sở cho giáo viên, học sinh dạy, học tốt loại toán hình có vẽ thêm đường phụ III NỘI DUNG GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm: Việc gợi mở lại cho học sinh nội dung kiến thức giải toán có vẽ thêm đường phụ rất cần thiết, sở giáo viên cung cấp đầy đủ kiến thức cho học sinh Với việc phân dạng toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời sâu vào hướng dẫn số toán cụ thể tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho trình độ kiến thức, góp phần gợi phương pháp giải toán cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp của việc kẻ thêm đường phụ Trước hết giáo viên cần giúp học sinh thấy nắm vững yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ 1/ Các yêu cầu vẽ đường phụ - Vẽ đường phụ phải có mục đích: Đường kẻ phụ, phải giúp cho việc chứng minh toán Muốn vậy phải kết của phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo mục đích xác định gắn kết mối quan hệ của kiến thức có với điều kiện cho của toán kết luận phải tìm Do không vẽ đường phụ cách tuỳ tiện (cho dù mày mò, dự đoán) đường phụ không giúp ích cho việc chứng minh làm cho vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm lời giải Vì vậy vẽ đường phụ phải tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ có đạt mục đích muốn không?" Nếu "không" nên loại bỏ - Đường phụ phải đường có phép dựng hình phải xác định -Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ: Đường phụ thường thỏa mãn tính chất , việc lựa chọn đường phụ rất quan trọng.Tuy cùng đường phụ vẽ thêm cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học -Một số loại đường phụ thường sử dụng giải toán hình ở chương trình THCS a) Đường phụ điểm: Vẽ điểm chia hay chia đoạn thẳng cho trước theo tỷ số thích hợp Xác định giao điểm của đường thẳng hoặc đường thẳng với đường tròn b) Đường phụ đường thẳng, đoạn thẳng: Kéo dài đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm xác định Từ điểm cho trước dựng đường song song với đường thẳng xác định Từ điểm cho trước dựng đường vuông góc với đường thẳng xác định Dựng đường phân giác của góc cho trước Dựng đường thẳng qua điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác góc góc cho trước Từ điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước Hai đường tròn giao dựng dây cung chung Hai đường tròn tiếp xúc ta kẻ tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm Vẽ tia đối của tia Dựng đường đặc biệt tam giác ( Trung tuyến , trung bình, phân giác , đường cao ) c) Đường phụ đường tròn: GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học *Vẽ thêm đường tròn hoặc cung chứa góc dựa điểm có *Vẽ đường tròn tiếp xúc với đường tròn hoặc đường thẳng có *Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác Trên sở, yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ, giáo viên cần phân dạng toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ 2/ Các sở để xác định đường phụ : Ta đưa dựa sở sau để xác định đường phụ vễ đường ? vẽ từ đâu ? - Kẻ thêm đường phụ tạo nên hình sử dụng định nghĩa hoặc tính chất hình để giải toán - Kẻ thêm đường phụ để tạo nên tình phù hợp với định lý để giải toán - Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán - Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng - Kẻ thêm đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành mệnh đề tương đương để giải toán 3/ Các biện pháp phân tích tìm cách vẽ đường phụ: a Dựa vào toán biết: Dựa vào toán quen thuộc, định lý tính chất học , học sinh nghiên cứu giả thiết kết luận của toán, tìm điểm tương đồng từ vẽ đường phụ thích hợp để đưa toán cần giải toán quen thuộc Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy AB kéo dài đoạn BD = AB Gọi CE trung tuyến của tam giác ABC GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học A E B C M Chứng minh rằng: CE = CD D Ta phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ Phân tích: Từ kết luận của toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD Muốn chứng tỏ đoạn thẳng nửa đoạn thẳng khác cách làm chia đôi đoan thẳng chuyển toán chứng minh hai đoạn thẳng Gọi M trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE = CM hoặc CE = DM Chọn CE = CM Từ phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy chứng minh ∆ EBC = ∆ MBC ta có CE = CM điều phải chứng minh Đến điều cần chứng minh rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆ MBC( c.g.c) Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào phân tích trên, ta đưa cho học sinh câu hỏi gợi mở, chẳng hạn: - Với M trung điểm của CD, em cho biết CE CM cạnh của tam giác nào? - Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ chứng minh điều gì? - Hoặc với học sinh khá, giỏi ta hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì? Ví dụ 2: GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học Cho hình vuông ABCD, gọi M trung điểm cạnh AB; kẻ AH ⊥ DM ( H∈ DM) Chứng minh tam giác CDH cân Phân tích: M A B H N I D C -Để chứng minh tam giác CDH cân ta cần vẽ thêm đường phụ nào? -Kẻ CI ⊥ DM ( I ∈DM), CI cắt AD N , từ suy N trung điểm của AD -I trung điểm của DH, CI đường cao đường trung tuyến b Vẽ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán: Đối với dạng thường toán chứng minh đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của tam giác, tam giác cân có đường cao đồng thời đường trung tuyến Ví dụ 3: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm đường chéo AC cho ∠BNM =900 Gọi F điểm đối xứng của A qua E N, chứng minh:FB ⊥ AC B C I K GV: Lê Hằng M Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học A F N D Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ gợi ý chứng minh Phân tích: Ta thấy góc BFC góc của ∆BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng góc của tam giác 180O có , FBC + BCF + BFC = 180O ta chưa thể tính BFC + BCF độ nên suy số đo góc BFC Vậy vận dụng định lý để chứng minh - Nhưng toán cho ta giả thiết liên quan đến góc vuông trung điểm của đoạn thẳng , ta liên kết giả thiết lại với để chứng minh toán cách nào? Đó câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt cho học sinh hướng dẫn em tự đặt câu hỏi vậy Liệu BF có đường cao của ∆ BNC không? Để chứng minh BF đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF qua điểm đặc biệt tam giác? Dựa vào ta hiểu phải chứng minh BF qua trực tâm của ∆BNC Do phân tích - tổng hợp ta đến việc dựng NE ⊥ BC E Gọi giao điểm của NE với BF I Ta suy chứng minh CI // MN suy CI vuông góc với BN (Vì MN⊥BN) tức CI đường cao của ∆ BNC Vậy I trực tâm của ∆ BNC (Vì I ≡ NE ∩ CK) Do suy điều phải chứng minh là: BF ⊥ AC GV: Lê Hằng 10 Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học Tóm lại việc kể thêm NE⊥ BC E nhằm tạo điểm I ≡ NE ∩ BF để chứng minh I trực tâm của ∆ BNC Từ phân tích ta dựa vào đề hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn sử dụng câu hỏi như: - Để chứng minh BF vuông góc với AC ta chứng minh BF đường của ∆ BNC? - Để chứng minh BF qua trực tâm của ∆BCN ta phải có điểm nào? - Ta phải kẻ thêm đường phụ để có điểm giao của BF với đường cao của ∆ BNC? - Với NE đường cao của ∆ BNC NE ∩ BF I, ta phải chứng minh I điểm có tính chất gì? Ví dụ 4: Cho ∆ ABC M điểm bất kỳ ∆ Nối M với đỉnh A, B, C cắt cạnh đối diện A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ K H Chứng minh rằng: MK = MH Đây toán tương đối khó với học sinh ? Sau tìm nhiều cách chứng minh kết Ta ý đến giả thiết của toán cho tacác yếu tố đồng quy song song Giả thiết của định lý gần với nhất? Câu trả lời mong ở đâylà định lý Talet - Ở KH // BC Đoạn thẳng BC chia thành mấy đoạn nhỏ ? - Thiết lập quan hệ MH, MK với đoạn BA’ CA’,BC - Cần phải xác định thêm điểm nào? GV: Lê Hằng 11 Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học - Điểm P Q giao của KH với AB AC A B' C' P M K H B Q A' C Ta có lời giải sau Giả sử HK cắt AB, AC P, Q Ta có: Theo định lý Talét MH CA ' MQ BC MP BA ' = ; = ; = MP CB MK BA ' MQ CA ' MH MQ MP CA ' CB BA ' MH => = => = => MH = MK MP MK MQ CB BA ' CA ' MK c Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ Ví dụ 5: Cho ∆ ABC có A =2B Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.AB Hướng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất giúp ta công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ? Câu trả lời định lý Pitago công thức của rất gần với công thức , ở GV cần hướng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago không tạo góc vuông có liên quan đến độ dài của ba cạnh - Ngoài định lý Pitago cách khác không? Câu trả lời mong đội ở định lý ta lét tam giác đồng dạng - Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa dạng tỷ số để gắn 2 vào tam giác đồng dạng BC = AC + AC AB ⇐ BC = AC ( AC + AB ) GV: Lê Hằng 12 Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học Đến GV yêu cầu học sinh đưa toán quen thuộc của việc chứng minh hệ thức ab= cd dự vào tam giác đồng dạng cách tạo đoạn thẳng AB+AC -Từ học sinh đưa hai cách vẽ đường phụ đặt liên tiếp cạnh AB doạn AC hoặc đặt cạnh AC đoạn AB ? Nên đặt dựa điểm ? Chọn đặt kề cạnh đẻ vận dụng giả thiết A = B ? Câu trả lời mong đợi lấy tia đối của tia AC đoạn AB Từ ta có lời giải D A B C Giải: Trên tia đối của tia AC lấy D cho AD = AB Khi ∆ ABC cân A nên: BAC = ABD = ADB Xét ∆ ABC ∆ BDC có: BDC = ABC = BAC : C chung nên ∆ ABC đồng dạng với ∆ BD C (g.g) ⇒ BC AC = = > BC = AC.CD = AC ( AC + AD) = AC ( AC + AB) = AC + AC AB CD BC Như vậy việc dạy cho học sinh biết cách giải toán mà lời giải có kẻ thêm đường phụ không đơn đưa số giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ đường phụ, sau phân dạng toán đưa vào gợi mở học sinh tìm lời giải cho toán cụ thể Trong trình hình thành cho học sinh kỹ vẽ đường phụ giải toán hình học GV: Lê Hằng 13 Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học 4/ Một số tập hướng dẫn học sinh giải Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac tam giác ABC ABD Bài : Cho tam giác nhọn ABC cân A Đường cao BH AB  AC  = Chứng minh : ÷ 2CH  BC  Bài 3: Cho tam giác ABCcân A có A = 20O AB BC + =3 Chứng minh : BC AB Bài : Cho góc nhọn xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm M N cho OM +ON = 2a không đổi a ) Chứng minh : Khi M ,N chạy Ox , Oy trung điểm của MN nằm đoạn thẳng cố định A b ) Xác định vị trí của M N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất Bài 5: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) gọi D;E;F thứ tự trọng điểm của BC;AC AB Kẻ đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC Chứng minh đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy Bài 6: Cho đường tròn (O) điểm A bên đường tròn kẻ cát tuyến BAC bất kỳ Gọi (P) đường tròn qua A tiếp xúc với (O) B (Q) đường tròn qua A tiếp xúc với (O) C a) Tứ giác APOQ hình ? b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) (Q) E; (E ≠ A) Tìm tập hợp điểm E cát tuyến BAC quay quanh A KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : GV: Lê Hằng 14 Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học Qua thời gian áp dụng kiến thức phương pháp dạy vừa trình bày ở (Từ 8/9/2014 đến nay) 85 em học sinh lớp 8A,B trường THCS Tam Đa thu kết sau: + Số học sinh nắm loại đường phụ thường sử dụng giải toán THCS có: 20 em chiếm 23% + Số học sinh nắm phép dựng hình thường sử dụng giải toán THCS có: 25 em chiếm 29% + Số học sinh vẽ (dựng) đường phụ hợp lý giải số toán hình chương trình Toán lớp có: 20 em chiếm 23 % + Số học sinh thành thạo dạng toán, có kỹ tốt giải toán tương đối khó : 20 em chiếm 25% Trong trình dạy học sinh theo phương pháp , thu nhiều kết tốt IV KẾT LUẬN KINH NGHIỆM RÚT RA Các toán hình học có lời giải cần phải vẽ thêm đường phụ toán khó lại toán hay, giúp cho tư logic của học sinh phát triển, giúp rèn luyện cùng lúc nhiều thao tác tư cho học sinh Khi áp dụng đề tài giáo viên cần phải lưu ý trước hết phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ sau phân dạng toán đưa hướng dẫn số toán cụ thể theo dạng chia Việc củng cố kỹ cho học sinh phép dựng hình rất cần thiết nội dung thực GV: Lê Hằng 15 Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu ở phạm vi rộng chưa thể trình bày hết phương pháp dạy dạng toán nêu Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm của thân viết , không chép nội dung của người khác Rất mong đồng nghiệp nghiên cứu tiếp đề tài với nội dung phong phú Tam Đa, ngày 20 tháng năm 2014 Người viết Lê Thị Hằng TÀI LIỆU TAM KHẢO Sách giáo khoa Toán tập 1,2 Nhà xuất giáo dục GV: Lê Hằng 16 Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học Sách giáo viên Toán tập 1,2 Nhà xuất giáo dục Ôn tập hình học Nhà xuất giáo dục MỤC LỤC Nội dung Phần I Lí lịch GV: Lê Hằng Trang 17 Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học Phần II Nội dung I Đặt vấn đề II Phương pháp tiến hành 3-4 III Nội dung 5-15 IV Kết luận kinh nghiệm rút 15-16 GV: Lê Hằng 18 ... sinh tìm lời giải cho toán cụ thể Trong trình hình thành cho học sinh kỹ vẽ đường phụ giải toán hình học GV: Lê Hằng 13 Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học 4/ Một số tập hướng dẫn. .. giác , đường cao ) c) Đường phụ đường tròn: GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học *Vẽ thêm đường tròn hoặc cung chứa góc dựa điểm có *Vẽ đường tròn tiếp xúc với đường. .. việc học tốt toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học của học sinh GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học