Đang tải... (xem toàn văn)
SKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy số
Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số A.đặt vấn đề Một nhiệm vụ trọng tâm giáo dục Tiểu học nâng cao chất lợng đại trà, trọng mũi nhọn, quan tâm đến đối tợng học sinh yếu Vì nâng cao chất lợng dạy học nói chung môn toán nói riêng yếu tố quan trọng trình dạy học, sở để nhà trờng tạo niềm tin địa phơng, phụ huynh học sinh cấp Dạy học nh bồi dỡng học sinh có khiếu đạt chất lợng tốt biểu tính nghề nghiệp ngời thầy xã hội Với ý thức trách nhiệm ngời giáo viên, học hỏi tìm tòi áp dụng phơg pháp dạy học để bồi dỡng cho học sinh giỏi có hiệu hơn, học sinh tiếp thu thực tốt yêu cầu tập nh tìm nhiều cách giải đúng, nhanh, khoa học đồng thời nắm đợc cách học nhận dạng toán lựa chọn phơng pháp để giải Cơ sở lí luận Trong chơng trìnhTiểu học, môn Toán chiếm thời lợng lớn Việc nâng cao hiệu bồi dỡng khiếu toán lớp 4,5 yêu cầu cấp thiết Để đáp ứng với yêu cầu ngời giáo viên nên làm rõ sở khoa học kiến thức môn toán bậc Tiểu học Nhiệm vụ hàng đầu việc bồi dỡng khiếu toán bậc Tiểu học làm cho học sinh nắm đợc hệ thống kiến thức kĩ toán học Hình thành cho phơng pháp dạy toán phù hợp hoàn cảnh khả tiếp thu học sinh, đặc biệt giải toán cần hình thành cho học sinh phơng pháp giải tìm nhiều cách giải Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Chơng trình toán lớp 4,5 đa nhiều toán tính tổng dãy số viết theo quy luật, nhằm phát huy khả t học sinh Khi giải toán đòi hỏi học sinh phải tìm quy luật dãy số Sau tuỳ theo quy luật để có phơng pháp giải thích hợp Cơ sở thực tiễn Các toán dãy số thờng có số dạng sau: - Điền số vào dãy số cho - Điền số vào dãy số - Xác định quy luật dãy số, xét xem số a có thuộc dãy số không - Tìm dãy có số hạng - Tìm tổng dãy số - Đặc biệt chơng trình lớp 4,5 học sinh thờng gặp khó khăn giải toán tính tổng dãy số Học sinh thờng lúng túng không tìm đợc cách giải Ví dụ : bớc đầu cho em tập sau: Tính cách hợp lí : + + + + + + + 19 2.Viết thêm cho đầy đủ số hạng tính tổng 1 1 + + ++ 128 Phần lớn học sinh không viết đợc không nắm đợc quy luật dãy số Khi tính tổng học sinh chủ yếu tìm tổng theo cách tính quy đồng mẫu số tính tập cách ghép cặp tập 1, cha biết cách tính nhanh em cha đợc học phơng pháp tính tổng dãy số cách nhanh Kết khảo sát nhận thấy Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Số học sinh 15 Số Giải 15 Tỷ lệ Giải 33% nhanh Tỷ lệ 13% Trớc thực trạng nói thân trực tiếp bồi dỡng băn khoăn, lo lắng tìm số biện pháp để hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số có hiệu B GIảI vấn đề Biện pháp thực Để giúp học sinh nắm phơng pháp giải cách tốt nhất, giáo viên phân dạng toán tính tổng dãy số sau hớng dẫn phơng pháp giải dạng cụ thể, hớng dẫn học sinh thông qua số ví dụ từ dễ đến khó Dạng 1: Tính tổng dãy số số luôn số liền trớc cộng với lợng không đổi Ví dụ1: Tính nhanh tổng sau: S = 1+2 +3 ++ 98+ 99 +100 Cho học sinh nhận xét đặc điểm dãy số nêu cách tính - Dãy dãy số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 nên có 100 số hạng, hai số tự nhiên liên tiếp đơn vị nên có khoảng cách là1 - GV gợi ý hớng dẫn vận dụng tính chất giao hoán kết hợp để ghép cặp tính S = 1+ +3++ 98+ 99+100 S = (1+100) + (2+99) + (3+98)+ ( 50+51) ( có 100 số hạng nên có 100:2= 50 cặp)) 50 tổng Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số S = 101 + 101 + 101 + + 101 50 số hạng S = 101 ì 50 = 5050 GV hớng dẫn thêm cách S = 1+ +3++ 98+ 99+100 Phép cộng có tính chất giao hoán nên ta viết: S = 100 + 99 + 98 + + + +1 2S= (1+100) + (2+99) + (3+98)+.+ (3+98) +(2+99) + (1+100) 100 tổng 2S =101 + 101 + 101 + + 101 100 số hạng 2S =101 ì 100 =10100 S =10100 : = 5050 Qua cách giải giúp học sinh nắm số kiến thức về: Số hạng, số số hạng, khoảng cách, nhận xét rút cách giải tổng quát: Ta gọi dãy số số luôn số liền trớc cộng với số lợng không đổi dãy số cách thì: Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : khoảng cách + Số cuối = Số đầu + (Số số hạng- 1) x khoảng cách Tổng S = (Số hạng cuối + Số hạng đầu) x Số số hạng Ra thêm số tập cho học sinh vận dụng công thức để tính Bài tập: Tính nhanh tổng sau: S= 100 +101 +102+.+788 + 789 Nhận xét đặc điểm dãy số: Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số - Số hạng đầu 100, số hạng cuối 789 - Các số hạng dãy số tự nhiên liên tiếp nên có khoảng cách là1: - Vậy dãy có số số hạng là: (789 -100 ) : 1+1 = 690 Ta có S = 100 +101 +102+.+788 + 789 (789 + 100) ì 690 = 306705 S = Khi HS nắm đợc phơng pháp giải GV lấy số tập yêu cầu học sinh tự luyện 1.Tìm tổng sau: a Các số có hai chữ số chia hết cho b Các số có hai chữ số chia hết cho c 100 số chẵn Dạng Dạng tính tổng S = ì + ì + ì ++n ì (n +1) Ví dụ2: tính nhanh tổng sau: S = ì + ì + ì ++98 ì 99 + 99 ì 100 Để tách số hạng thành hiệu hai số nhằm loại trừ cặp hai số, ta nhân số hạng S với Thừa số đợc viết dới dạng 3- số hạng thứ nhất, 4-1 số hạng thứ hai, 5-2 số hạng thứ 3;, 101- 98 số hạng cuối Ta có: S ì = ì ì 3+2 ì ì (4-1)+ ì ì (5-2) + +98 ì 99 ì (100- 97)+ 99 ì 100 ì (101- 98) S ì = ì ì + ì ì - ì ì 3+ ì ì - ì ì 4+ + 98 ì 99 ì 100 - 97 ì 98 ì 99 + 99 ì 100 ì 101 - 98 ì 99 ì 100 Loại bỏ tất hiệu sau, chúng 1ì ì - 1ì 2ì Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số 2ì 3ì - 2ì 3ì ì 4ì - ì 4ì v.v 98 ì 99 ì 100 - 98 ì 99 ì 100 S ì = 99 ì 100 ì 101= 999900 S = 999900 : S = 333300 Nhận xét: Trong cách tính ta phân tích số hạng ì2 ì 3; ì ì ; ì ì 3;thành hiệu số bị trừ hiệu sau số trừ hiệu liền trớc Nhờ ta rút gọn số với để làm cho S ì lại số hạng 99 ì 100 ì 101 Ta tính kết đem chia cho đợc S Qua ví dụ ta rút cách tính tổng quát S = ì + ì + ì ++n ì (n +1) = n ì (n + 1) ì (n + 2) Bài tập tự luyện tính nhanh tổng sau a.1 ì + ì + ì ++98 ì 99 b.1 ì + ì + ì ++101 ì 102 Dạng : Tính tổng dãy số mà số hạng số thứ tự nhân với số thứ tự Ví dụ 3: Viết thêm cho đầy đủ tính tổng S = + +9 +16 + .+ 81 +100 Nhận xét: Mỗi số hạng số thứ tự nhân với số thứ tự = ì 1; = ì 2; = ì 3; 81 = ì ; 100 = 10 ì 10 Ta viết Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số S = ì + ì + ì + 4ì + 5ì + ì + 7ì + 8ì + 9ì +10 ì 10 Phân tích thừa số số hạng thành hiệu với S = ì (2-1) + ì ( 3-1 ) + ì (4 -1) + ì (5-1) + ì (6-1) +6 ì (71) + ì (8-1) + ì (9-1) +9 ì (10-1) +10 ì (11-1) S = ì 2-1 + ì - + ì -3 + ì 5- + ì 6- + ì 7- + ì - + ì 9- + ì 10-9 + 10 ì 11-10 S = ì + ì +3 ì 4+ ì +5 ì + ì +7 ì 8+ ì +9 ì 10 +10 ì 11-( 1+2+3 +4+5+6+7+8+9+10) S1 - Vận dụng cách tính ví dụ1 ví dụ 440 ; S2 : ta tính đợc S 1= S 2= 55 S = 440 55 = 385 Cách tính tổng quát: ì + ì +3 ì ++n n = n ì ( n + 1) ì (n + 2) n ì ( n + 1) Bàt tập tự luyện: 1.Tính nhanh tổng sau: + + +16 ++ 169 Dạng Tính tổng dãy số bắt đầu tính từ số hạng trở tổng hai số hạng trớc Ví dụ 4: Viết thêm cho đầy đủ số hạng tính tổng +2 +3+ +8 +13 ++ 233 Nhìn vào dãy số ta thấy kể từ số hạng thứ trở số hạng tổng hai số hạng liền trớc = +3; = + 5; 13 = +8 Vậy viết đầy đủ S = + + + +8 + 13 + 21 +34 + 55 + 89 +144 + 233 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số S = +3+ 13 +13 + 55 + 55 + 233 + 233 S = ì ( +13 +55 +233) S = ì 304 = 608 * Phơng pháp giải dạng ghép cặp Bài tập tự luyện 1Tính nhanh tổng sau: a + + +12 + 20 +32 + 52 + 84 + 136 b + + + 12 + 19 + 31 + 50 +81 + 131 Dạng 5: Tính tổng dãy phân số viết theo quy luật 5.1 Tính tổng dãy số mà tử số phân số bằng1, số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi, mẫu số mẫu số số hạng liền trớc nhân với số (q) không đổi .Ví dụ 5.1: Viết thêm cho đầy đủ số hạng dãy tính tổng: 1 1 + + + + + 128 256 Bớc1: Hớng dẫn học sinh nhận xét rút quy luật - Nhìn vào dãy số ta thấy tất số hạng dãy có tử số -Mẫu số phân số thành phần tổng hai lần mẫu số phân số đứng liền trớc -Từ chỗ tìm đợc quy luật em dễ dàng tìm đợc số hạng để viết thêm cho đầy đủ Số hạng thứ t mẫu số ì = 16 suy số hạng là: 16 Số hạng thứ năm mẫu số 16 ì = 32 suy số hạng là: 32 Số hạng thứ sáu mẫu số 32 ì = 64 suy số hạng là: 64 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Số hạng thứ bảy mẫu số 64 ì = 128 suy số hạng là: 128 Số hạng thứ tám mẫu số 128 ì = 256 suy số hạng là: 256 Dãy số đợc viết đầy đủ là: 1 1 1 1 + + + + + + + 16 32 64 128 256 Bơc 2: Tính tổng Trớc hết cho em nêu cách tính Hầu hết em nêu quy đồng mẫu số phân số tính GV nhận xét cách song với dãy số có nhiều số hạng nhiều thời gian Giáo viên hớng dẫn: Ta thấy 1 =1 - ; 2 1 1 1 1 = - ; = - ; = 4 8 256 128 256 Nên ta viết 1 1 1 1 + + + + + + + 16 32 64 128 256 =1=1= 1 1 1 + - + - + + 2 4 128 256 256 255 256 Từ cách giải cho HS nhận xét rút cách giải tổng quát Cách (1) Phân tích số hạng thành hiệu số bị trừ hiệu sau số trừ hiệu liền trớc tính GV hớng dẫn thêm Cách (2) Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Dãy số có mẫu số số hạng liền sau gấp đôi mẫu số hạng liền trớc nên ta đa dạng tính tổng s = s x 2s Ta có S ì = 1 ì + ì + ì + + 8 S ì2 = + + + + 1 ì2+ ì2 128 256 1 1 + + + + 16 32 64 128 256 S x S = + + + + 1 1 1 1 1 + + + - - + - - 16 32 64 128 16 32 64 1 128 256 S =1- 256 255 256 S = Thông qua bớc cho học sinh nhận xét rút cách giải tổng quát *Cách giải: Gọi tổng S, gọi q khoảng cách Để tính tổng dãy số hạng ta làm nh sau: - Nhân S với q - Sau tính S ì q S - Từ suy S Bài tập1:Tính nhanh tổng sau: S= + + 1 +.+ + 12 192 384 Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm dãy số + Các số hạng có tử số bằng1 +Mẫu số phân số thành phần tổng hai lần mẫu số phân số đứng liền trớc Bớc 2: Giải Từ nhận xét ta thấy toán có dạng ví dụ1, từ áp dụng cách giải ví dụ 10 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Dạng 5.3 Tính tổng dãy số mà tử số phân số bằng1, mẫu số có dạng a1 ì a2; a2 ì a3 an+2 ( a1,a2 a nlà ; a3 ì a4; an ì dãy số cách khoảng cách h) Ví dụ 5.4:Viết thêm cho đầy đủ số hạng tính tổng S= 1 1 + + +.+ 15 35 143 Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm dãy số + Các số hạng có tử số bằng1 + Mẫu số có dạng tích hai số lẻ liên tiếp ( có khoảng cách 2) + Tử không khoảng cách mẫu =1 ì ; 15 = ì ; 35 = ì ;.;143 = 11 ì 13 Vậy dãy tính có số hạng đợc viết đầy đủ là: S= 1 1 1 + + + + + 15 35 63 99 143 Nhận xét: + Các số hạng có tử số bằng1, mẫu số có khoảng cách nên đa dạng ví dụ 5.3 ( Tử khoảng cách mẫu) cách nhân số hạng với Bớc2: Giải Ta có S ì = ì ( = 1 1 1 + + + + + ) 15 35 63 99 143 2 2 2 + + + + + ì 3 ì 5 ì 7 ì 9 ì 11 11 ì 13 =1- 1 1 1 + + + + 3 5 11 13 = 1- 12 = 13 13 S= 12 :2= 13 13 Từ ví dụ rút cách giải tổng quát tính tổng dãy số dạng : 14 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số 1 S = a ì a + a ì a + + a ì a 2 n n Trong a1; a2 ;an dãy số cách có khoảng cách h Cách giải: + Nhân S với h + Phân tích số hạng thành hiệu + Rút S Qua ví dụ sau phân tích học sinh nắm đợc cách giải, GV đa thêm sốví dụ nâng cao để học sinh suy luận biến đổi dạng học để áp dụng phơng pháp học giải Bài tập1 : Tính nhanh tổng sau: S= 1 1 + + + + 1ì ì ì ì ì ì 15 ì 16 ì 17 Học sinh vận dụng cách giải ví dụ để giải: S ì 2= Ta 2 2 + + + + 1ì ì ì ì ì ì 15 ì 16 ì 17 = 1ì ì thấy: 1 ; 1ì 2 ì 1 = ;; = 15 ì 16 ì 17 2ì 3ì 2ì 3ì 1 15 ì 16 16 ì 17 S ì 2= Sì = S= 1 1 1 + + + 1ì 2 ì ì 3 ì 15 ì 16 16 ì 17 1 1 135 = = ì 16 ì 17 272 272 135 135 :2 = 272 544 Bài tập :Tính nhanh tổng sau: 4 4 4 + + + + + + 1ì 3 ì 5 ì 17 ì 19 19 ì 21 21 ì 23 Bớc 1: Nhận xét đặc điểm dãy số Các số hạng có tử số 15 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Mẫu số có dạng a1 ì a2; a2 ì a3 ; a3 ì a4; an ì an+2 ( a1,a2 có khoảng cách 2) Bớc 2: Hớng dẫn học sinh biến đổi dạng có tử số 2( tử khoảng cách mẫu ) để phân tích số hạng hiệu giải Để có tử số 2( khoảng cách mẫu) ta đặt thừa số Ta có : S = 4 4 4 + + + + + + 1ì 3 ì 5 ì 17 ì 19 19 ì 21 21 ì 23 S = ì( S = ì (1- 2 2 2 + + + + + + ) 1ì 3 ì 5 ì 17 ì 19 19 ì 21 21 ì 23 1 1 1 1 1 + + +.+ + + ) 3 5 17 19 19 21 21 23 S = ì ( 1S= 22 )=2ì 23 23 44 23 BT cho học sinh tự giải a 4 4 + + + + + ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tây năm 2ì 4ì6 6ì8 16 ì 18 18 ì 20 1999-2000) b 2 2 + + + + 1ì 2 ì 3 ì 1999 ì 2000 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tây Năm 1998- 1999) 2.Kết Sau hớng dẫn học sinh nắm vững cách giải dạng số tập tơng tự thấy học sinh không bỡ ngỡ làm tốt.Tôi tiến hành khảo sát kết luyện tập giải toán dạng học sinh lớp bồi dỡng kết đạt nh sau: Lần Tổng số Tổng HS số Giải nhanh 16 Tỷ lệ Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số II ( Cuối 15 15 14 94% kì1) Qua sử dụng kinh nghiệm trên, thân giúp học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán dạng tính tổng dãy số viết theo quy luật làm tốt Các em có hứng thú học toán, không chán nản nhìn thấy dãy số dài 3.Bài học kinh nghiệm Muốn cho học sinh học tốt môn toán nói chung luyện tập số tập nâng cao môn toán nh điền số thiếu vào dãy số, tính tổng dãy số nói riêng, ngời giáo viên phải không ngừng tìm tòi học hỏi đúc rút kinh nghiệm cho thân, không ngừng đổi phơng pháp dạy học, phát huy tính tích cực học sinh, phải giúp cho học sinh nắm đợc cách học, hứng thú học toán, không lòng với có, toán tìm nhiều cách giải khác biết cách giải hay Giáo viên phải nắm đợc khó khăn, tình sai lầm xảy với học sinh để có cách hớng dẫn tốt Giáo viên phải giúp học sinh nắm đợc cách học trọng tìm kết toán Không coi hay lạm dụng phơng pháp naò để giải nhiều dạng toán C kết luận- khuyến nghị 1Kết luận: Trên số kinh nghiệm nhỏ mà thân rút công tác giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi lớp 4,5 đạt kết Xin trình bày trớc bạn bè đồng nghiệp với mong muốn góp phần 17 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số nâng cao chất lợng dạy toán nói chung bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng - Rất mong đợc góp ý bạn bè đồng nghiệp Khuyến nghị - Đối với tổ chuyên môn nhà trờng: Cần thờng xuyên tổ chức chuyên đề phơng pháp giải toán để tạo nên phong trào học tập, bồi dỡng lực chuyên môn có chất lợng hiệu cho toàn giáo viên Cần có sách động viên hợp lí, kịp thời với giáo viên có sáng kiến kinh nghiệm hay mạnh dạn đa sáng kiến vào thực tế giảng dạy đạt hiệu tốt, góp phần nâng cao chất lợng dạy học./ 18 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số 19 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh lớp , giải toán tìm tổng dãy số có liên quan đến phân số A.đặt vấn đề Một nhiệm vụ trọng tâm giáo dục Tiểu học nâng cao chất lợng đại trà, trọng mũi nhọn, quan tâm đến đối tợng học sinh yếu Vì nâng cao chất lợng dạy học nói chung môn toán nói riêng yếu tố quan trọng trình dạy học, sở để nhà trờng tạo niềm tin địa phơng, phụ huynh học sinh cấp Dạy học nh bòi dỡng học sinh giỏi có chất lợng tốt biểu tính nghề nghiệp ngời thầy xã hội Với ý thức trách nhiệm ngời giáo viên, học hỏi tìm tòi áp dụng phơg pháp dạy học để bồi dỡng cho học sinh giỏi có hiệu hơn, học sinh tiếp thu thực tốt yêu cầu tập nh tìm nhiều cách giải đúng, nhanh, khoa học đồng thời nắm đợc cách học nhận dạng toánvà lựa chọn phơng pháp để giải Cơ sở lí luận Trong chơng trìnhTiểu học, môn Toán chiếm thời lợng lớn Việc nâng cao hiệu bồi dỡng khiếu toán lớp 4,5 yêu cầu cấp thiết Để đáp ứng với yêu cầu ngời giáo viên nên làm rõ sở khoa học kiến thức môn toán bậc Tiểu học Nhiệm vụ hàng đầu việc bồi dỡng khiếu toán bậc Tiểu học làm cho học sinh nắm đợc hệ thống kiến thức kĩ toán học Hình thành cho phơng pháp dạy toán phù hợp hoàn cảnh khả tiếp thu 20 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số học sinh đặc biệt giải toán cần hình thành cho học sinh phơng pháp giải tìm nhiều cách giải Chơng trình toán lớp 4,5 đa nhiều toán tính tổng dãy số, nhằm phát huy khả t học sinh Khi giải toán đòi hỏi học sinh phải tìm quy luật dãy số Sau tuỳ theo quy luật để có phơng pháp giải thích hợp Cơ sở thực tiễn Các toán dãy số liên quan đến phân số thờng có số dạng sau: - Điền số vào dãy số cho - Điền số vào dẫy số - Xác định quy luật dãy số,xét xem số a có thuộc dãy số không - Tìm dãy có số hạng - Tìm tổng dãy số -Đặc biệt chơng trình lớp 4,5 học sinh thờng gặp khó khăn giảicác toán tính tổng dãy số có liên quan đến phân số Học sinh thờng lúng túng không tìm đợc cách giải Ví dụ: Viết thêm cho đầy đủ số hạng dãy tính tổng: 1 1 + + + + 64 Phần lớn học sinh không viết đợc không nắm đợc quy luật dãy số Khi tính tổng học sinh làm sai không làm đợc Chủ yếu tìm tổng theo cách tính quy đồng mẫu số tính, cha biết cách tính nhanh số giáo viên lúng túng việc cung cấp cho học sinh phơng pháp tính tổng 21 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Vậy làm để giúp học sinh giải bế tắc nói điều làm băn khoăn Vì mà định chọn đề tài: Hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số có liên quan đến phân số B GIảI vấn đề Biện pháp thực - Để học sinh nắm đợc cách giải nhanh hớng dẫn học sinh thông qua số ví dụ từ dễ đến khó Ví dụ 1: Viết thêm cho đầy đủ số hạng dãy tính tổng: 1 1 + + + + + 128 256 - Đầu tiên hớng dẫn học sinh nhận xét rút quy luật - Nhìn vào dãy số ta thấy tất số hạng dãy có tử số - Kể từ số hạng thứ hai mẫu số mẫu số số hạng đứng trớc nhân với -Từ chỗ tìm đợc quy luật em dễ dàng tìm đợc số hạng để viết thêm cho đầy đủ Số hạng thứ t mẫu số ì = 16 suy số hạng là: 16 Số hạng thứ năm mẫu số 16 ì = 32 suy số hạng là: 32 Số hạng thứ sáu mẫu số 32 ì = 64 suy số hạng là: 64 Số hạng thứ bảy mẫu số 64 ì = 128 suy số hạng là: 128 Số hạng thứ tám mẫu số 128 ì = 256 suy số hạng là: Dãy số đợc viết đầy đủ là: 1 1 1 1 + + + + + + + 16 32 64 128 256 22 256 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số - Tính tổng Trớc hết cho em nêu cách tính Hầu hết em nêu quy đồng mẫu số phân số tính GV nhận xét cách song với dãy số có nhiều số hạng nhiều thơi gian Giáo viên hớng dẫn: Ta thấy 1 =1 - ; 2 1 1 1 1 = - ; = - ; = 4 8 256 128 256 Nên ta viết 1 1 1 1 + + + + + + + 16 32 64 128 256 1 1 1 + - + - + + 2 4 128 256 =1256 =1- = 255 256 Từ cách giải cho HS nhận xét rút cách giải tổng quát Cách (1) Phân tích số hạng thành hiệu tính Cách (2) : Gọi tổng S Dãy số có mẫu số số hạng liền sau gấp đôi mẫu số hạng liền trớc nên ta đa dạng tính tổng s= s x s x2+ 1 Sx2 = + + + + Ta có S x = 1 x + x2 + + 1 1 + + + + 16 32 64 128 256 S x S =1 + + + + 1 ì2+ ì2 128 256 1 1 1 1 1 + + + - - + - - 16 32 64 128 16 32 64 1 128 256 =1= 256 255 256 Thông qua bớc cho học sinh nhận xét rút cách giải tổng quát 23 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Cách giải: Gọi tổng S, gọi q khoảng cách Để tính tổng dãy số hạng ta làm nh sau: - Nhân S với q - Tính S x q - S - Suy S Từ dạng toán nâng dần lên dạng 2: Ví dụ 2: Viết thêm cho đầy đủ số hạng dãy tính tổng: S= 1 1 1 + + + +.+ + 12 20 90 110 Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm dãy số + Các số hạng có tử số bằng1 + Mẫu số có dạng tích hai số tự nhiên liên tiếp = ì ; = ì ; 12 = ì ; .; 90 =9 ì 10; 110 = 10 ì 11 Vậy số hạng điền: S= 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + 12 20 30 42 56 72 90 110 áp dụng cách ví dụ 1: Phân tích số hạng thành hiệu Ta thấy 1 2 1 = = = =12 1ì 1ì 1ì 1ì 2 1 32 1 = = = = 2ì3 2ì3 2ì3 2ì3 1 11 10 11 10 1 = = = = 110 10 ì 11 10 ì 11 10 ì 11 10 ì 11 10 11 Do ta viết: 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + 12 20 30 42 56 72 90 110 1 1 = + + +.+ + 1ì 2 ì 3 ì ì 10 10 ì 11 1 1 1 = 1- + - + - + + 2 3 10 11 10 = 1= 11 11 S= Từ dạng 2nâng dần lên dạng Ví dụ 3: Tính tổng sau cách hợp lí S= 2 2 + + +.+ 1ì 3 ì 5 ì 97 ì 99 Bớc1: Nhận xét đặc điểm dãy số + Tử số + Mẫu số tích hai số lẻ liên tiếp ( có khoảng cách là2) 24 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số +Tử khoảng cách mẫu Bớc 2: Phân tích số hạng thành hiệu tính tổng Ta thấy: =1- ; 1ì 3 Vậy ta viết : ì 1 = ; 3ì 5 1 1 = ; = 5ì7 97 ì 99 97 99 1 1 1 + + + + 3 5 97 99 S = 199 98 S= 99 S = 1- Từ dạng nâng dần lên dạng Ví dụ 4:Viết thêm cho đầy đủ số hạng tính tổng S= 1 1 + + +.+ 15 35 143 Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm dãy số + Các số hạng có tử số bằng1 + Mẫu số có dạng tích hai số lẻ liên tiếp ( có khoảng cách 2) =1 ì ; 15 = ì ; 35 = ì ;.;143 = 11 ì 13 Vậy dãy tính có số hạng đợc viết đầy đủ là: S= 1 1 1 + + + + + 15 35 63 99 143 Nhận xét: + Các số hạng có tử số bằng1, mẫu số có khoảng cách nên đa dạng ví dụ ( Tử khoảng cách mẫu) cách nhân số hạng với 1 1 1 + + + + + ) 15 35 63 99 143 2 2 2 + + + + + = ì 3 ì 5 ì 7 ì 9 ì 11 11 ì 13 1 1 1 =1- + + + + 3 5 11 13 = 113 12 = 13 12 S= :2= 13 13 Ta có S ì = ì ( Từ ví dụ rútt cách giải tổng quát tính tổng dãy số dạng : S= 1 + + + aìa aìa aìa Trong a1; a2 ;an dãy số cách có khoảng cách h 25 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Cách giải: + Nhân S với h + Phân tích số hạng thành hiệu + Rút S Từ ví dụ sau phân tích học sinh đắnm đợc cách giải, GV đa thêm sốví dụ nâng cao để học sinh suy luận biến đổi dạng học để áp dụng phơng pháp học giải Ví dụ: Tính nhanh tổng sau S= + + 1 +.+ + 24 192 384 Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm dãy số + Các số hạng có tử số bằng1 + Kể từ số hạng thứ hai mẫu số mẫu số số hạng đứng trớc nhân với Bớc 2: Giải Từ nhận xét ta thấy toán có dạng ví dụ 1, từ áp dụng cách giải ví dụ 1.Có thể chọn hai cách Ví dụ : Giải cách hai 1 +.+ + 24 192 384 1 1 S ì = ì ( + + +.+ + ) 24 192 384 1 1 = + + + +.+ 3 24 192 1 1 1 1 S = S ì 2- S = + + + +.+ - ( + + +.+ + 3 24 192 24 192 S= + + ) 384 = 1 1 1 1 + + + +.+ - - - -.3 24 192 24 192 384 384 275 = 384 = - Hay dạng tập sau: Tính tổng sau: S= 1 1 + + + + 1ì ì ì ì ì ì 15 ì 16 ì 17 Học sinh vận dụng cách giải ví dụ để giải: *Cách giải: + Nhân S với h +Phân tích số hạng thành hiệu 26 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số + Rút S S ì 2= 2 2 + + + + 1ì ì ì ì ì ì 15 ì 16 ì 17 2 1 1 = ; = ;; = 1ì ì 1ì 2 ì 15 ì 16 ì 17 2ì 3ì 2ì 3ì 1 15 ì 16 16 ì 17 1 1 1 S ì 2= + + + 1ì 2 ì ì 3 ì 15 ì 16 16 ì 17 1 1 135 = Sì = = ì 16 ì 17 272 272 135 135 :2 = S= 272 544 Ta thấy: Sau thêm số tập khó hớng dẫn học sinh đa dạng để giải Tính nhanh tổng sau: 4 4 4 + + + + + + 1ì 3 ì 5 ì 17 ì 19 19 ì 21 21 ì 23 Bớc 1: Nhận xét đặc điểm dãy số Mẫu số có dạng a1 ì a2; a2 ì a3 ; a3 ì a4; an ì an+2 ( a1,a2 có khoảng cách 2) Bớc2: Hớng dẫn học sinh biến đổi dạng có tử số để phân tích số hạng hiệu giải Để có tử số ta đặt thừa số 4 4 4 + + + + + + 1ì 3 ì 5 ì 17 ì 19 19 ì 21 21 ì 23 2 2 2 + + + + + + S = ì( ) 1ì 3 ì 5 ì 17 ì 19 19 ì 21 21 ì 23 1 1 1 1 1 S = ì (1- + + +.+ + + ) 3 5 17 19 19 21 21 23 22 S = ì ( 1- ) = ì 23 23 44 S= 23 Ta có : S = Kết Sau hớng dẫn học sinh nắm vững cách giải dạng số tập tơng tự thấy học sinh không bỡ ngỡ làm tốt.Tôi tiến hành khảo sát kết luyện tập giải toán dạng học sinh lớp bồi dỡng kết đạt nh sau: Lần Tổng số HS Tổng số Giải 27 Tỷ lệ Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số I II 10 10 30% 10 10 10 100% Qua sử dụng kinh nghiệm trên, thân giúp học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán dạng tính tổng dãy số có liên quan đến phân số làm tốt Các em có hứng thú học toán, không chán nản nhì thấy dãy số dài 4Bài học kinh nghiệm Muốn cho học sinh học tốt môn toán nói chung luyện tập số tập nâng cao môn toán nhue điền số thiếu vào dãy số, tính tổng dãy số có liên quan đến phân số nói riêng, ngời giáo viên phải không ngừng tìm tòi học hỏi đúc rút kinh nghiệm cho thân, không ngừng đổi phơng pháp dạy học, phát huy tính tích cực học sinh, phải giúp cho học sinh nắm đợc cách học, hứng thú học toán, không lòng với có, toán tìm nhiều cách giải khác biết cách giải hay Giáo viên phải nắm đợc khókhăn, tình sai lầm sexayr với học sinh để có cách hớng dẫn tốt Giáo viên phải giúp học sinh nắm đợc cách học trọng tìm kết toán Không coi hay lạm dụng phơng pháp naò để giải nhiều dạng toán 1Kết luận: Trên số kinh nghiệm nhỏ mà thân rút công tác giảng dạy bồi dỡng hoc sinh giỏi đạt kết Xin mạo muội trình bày trớc bạn bè đồng nghiệp với mong muốn góp phần nâng cao chất lợng dạy toán nói chung bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng - Rất mong đợc góp ý bạn bè đồng nghiệp Khuyến nghị - Đối với tổ chuyên môn nhà trờng: Cần thờng xuyên tổ chứccác chuyen đề phơng pháp giải toán để tao nên phong trào học tập, bồi dỡng lực chuyên môn có chất lợng hiệu cho toàn giáo viên Cần có sách động viên hợp lí, kịp thời với Giáo viên có sáng kiến kinh nghiệm hay mạnh dạn đa sáng kiến vào thực tế giảng dạy đạt hiệu tốt, góp phần nâng cao chất lợng dạy học./ 28 ... gọi dãy số số luôn số liền trớc cộng với số lợng không đổi dãy số cách thì: Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : khoảng cách + Số cuối = Số đầu + (Số số hạng- 1) x khoảng cách Tổng S = (Số. .. 4,5 giải toán tìm tổng dãy số 19 Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4,5 giải toán tìm tổng dãy số Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh lớp , giải toán tìm tổng dãy số có liên quan đến phân số A.đặt... pháp giải thích hợp Cơ sở thực tiễn Các toán dãy số thờng có số dạng sau: - Điền số vào dãy số cho - Điền số vào dãy số - Xác định quy luật dãy số, xét xem số a có thuộc dãy số không - Tìm dãy