Chủ đề :Tứ giác nội tiếp Chủ đề :TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN A) Mục tiêu:Sau khi học xong chủ đề này học sinh có thể : -Nắm vững các phương pháp chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn và tứ giác nội tiếp đường tròn -Vận dụng thành thạo 4phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp -Có khả năng trình bày lô gic bài toán chứng minh hình học B)Thời lượng :6tiết C)Nội dung: -1) Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Ta đã biết qua ba đỉnh của một tam giác, bao giờ cũng vẽ được một đường tròn.Nhưng không phải bao giờ cũng vẽ được một đường tròn qua bốn đỉnh của một tứ giác. Trong trường hợp bốn đỉnh của cùng một tứ giác thuộc cùng một đường tròn, tứ giác đó đượcgọi là tứ giác nội tiếp. Đối với một tứ giác nội tiếp, ta cộng sản thể vậndụng đợc nhiều tính chất của đờng tròn, nhất là các tính chất về góc. Vì thế, việc phát hiện được những tứ giác nội tiếp trong bài toán (nếu có) có ý nghĩa rất quan trọng - Chứng minh tồn tại một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác - Chứng minh tứ giác đó có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau. -Nếu một tứ giác có hai góc đối bù nhau thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn. -Nếu một tứ giác có một góc bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn. Bài tập 1: Cho tam giác ABC nột tiếp đường tròn (O), AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Trên tia AC lấy điểm K sao cho AK = AB. Chứng minh rằng : a/ ∆ABD = ∆AKD; b/ DKCE là tứ giác nội tiếp Giải (hình 3.21) a/ Xét ∆ ABD và ∆AKD ta có AD là cạnh chung µ 1 A = ¶ 2 A (giả thiết) AB = AK (giả thiết) Do đó ∆ABD = ∆AKD (c.g.c) b/ · AEC = · ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) => · DEC = · ABD (1) ∆ABD = ∆AKD => · ABD = ¶ 1 K (2) Từ (1) và (2) suy ra · DEC = ¶ 1 K Tứ giác DKCE có góc DEC bằng góc ngoài K 1 nên là tứ giác nội tiếp Lưu ý: Cũng có thể chứng minh tứ giác DKCE nội tiếp bằng cách chứng minh ¶ 2 E = µ 1 C , hai góc này cùng bằng µ 1 E *) Ta đã biết : Nếu hai cát tuyến AB và CD của một đường tròncắt nhau thì MA.MB = MC.MD Đảo lại, ta cũng chứng minh được: Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M và MA.MB = MC.MD thì bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Nhận xét này rất có ích để chứng minh một tứ giác nội tiếp. Giáo viên :Trần Thị Mai Thảo Trường THCS Trần Cao Vân 1 Chủ đề :Tứ giác nội tiếp Bài tập2: Cho hình thang ABCD có µ A = µ D = 90 0 . Gọi E là trung điểm AD. Kẻ AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE. Chứng minh rằng BHCI là tứ giác nội tiếp. Giải (hình 3.24) Tam giác AEB vuông tại A, đường cao AH nên EH.EB = EA 2 (1) Tam giác DEC vuông tại D, đường cao DI nên EI.EC = ED 2 (2) Ta lại có EA = ED nên từ (1) và (2) suy ra EH.EB = EI.EC Từ hệ thức này, ta chứng minh được BHIC là tứ giác nội tiếp như sau: Xét ∆EHI và ∆ECB ta có: µ E chung EH EC = EI EB (Vì EH. EB = EI . EC) Do đó ∆EHI ~ ∆ECB (c.g.c), suy ra ¶ 1 H = µ 1 C . Tứ giác BHIC có µ C bằng góc ngoài ¶ 1 H nên là tứ giác nội tiếp. Trong một số bài toán, ta cần chứng minh nhiều điểm, chẳn hạn năm điểm thuộc cùng một đường tròn. Thường có hai cách sau: Chứng minh tồn tại một điểm cách đều năm điểm nói trên Chứng minh bốnđiểm cùng thuộc một đường tròn, rồi chứng minh điểm thứ năm cùng thuộc đường tròn đi qua bốn điểm đó . Bài tập.3: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD.Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, gọi N là điểm đối xứng với D qua AC.Gọi F, E theo thứ tự là giao điểm qua MN với AB, AC. Chứng minh rằng: Năm điểm A, F, D, C, N thuộc cùng một đường tròn Các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy. Giải (hình 3.25) Vì D đối xứng với N qua AC nên · ADC = · ANC .Ta lại có · ADC = 90 0 nên · ANC = 90 0 Tứ giác ADCN có · ADC + · ANC = 2.90 0 = 180 0 nên nó là tứ giác nội tiếp. D đối xứng với M qua AB nên ¶ 1 D = ¶ 1 M . do tính đối xứng nên AM = AD, AN = AD, suy ra AM = AN, do đó ¶ 1 M = ¶ 1 N .Suy ra ¶ 1 D = ¶ 1 N nên nó là tứ giác nội tiếp. Xét đường tròn đi qua năm điểm A, F, D, C, N ta có · AFC = · ADC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung). · ADC = 90 0 nên · AFC = 90 0 Như vậy CF ⊥ AB. Tương tự BE ⊥ AC. Ta có AD, BE, CF là các đường cao của ∆ABC nên chúng đồng qui Lưu ý: Nhờ chứng minh bốn điểm A, F, D, C thuộc cùng một đường tròn, ta chứng minh được CF ⊥ AB, BE ⊥ AC.Tứ giác nội tiếp đã giúp ta tìm ra các đường thẳng vuông góc. Ta sẽ khai thác thêm ví dụ 4. trong ví dụ dưới đây. Bài tập4: Cho hình thang ABCD có µ A = µ D = 90 0 . Gọi E là trung điểm của AD, đường cao AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE. Gọi K là giao điểm của AH Chứng minh rằng EK vuông góc với BC. Giải (hình 3.26) Gọi F là giao điểm của EK và BC, ta sẽ chứng minh CIKF là tứ giác nội tiếp Giáo viên :Trần Thị Mai Thảo Trường THCS Trần Cao Vân 2 Chủ đề :Tứ giác nội tiếp Ở ví dụ 4.2, ta đã chứng minh BHIC là tứ giác nội tiếp và · EHI = · BCI (1) Ta lại có EHKI là tứ giác nội tiếp (vì µ H + I $ = 90 0 + 90 0 = 180 0 ), nên · EHI = · EKI (2) Từ (1) và (2) suy ra · BCI = · EKI . Tứ giác CIKF có góc C bằng góc ngoài · EKI nên là tứ giác nội tiếp, suy ra · CKI + · CFK = 108 0 . Ta đã có · CKI = 90 0 nên · CFK = 90 0 . Vậy EK ⊥ BC. Bài tập.5: Tứ giác ABCD có µ B = 70 0 , µ D = 110 0 . Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng AB, AC, BC. Chứng minh rằng 3 điểm H, K, I thẳng hàng Giải (hình 3.27) Ta sẽ chứng minh · DHI + · DIK = 180 0 Tứ giác AHDI có · AHD + · AID = 90 0 + 90 0 = 180 0 nên là tứ giác nội tiếp, suy ra · DHI = · DAH (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung ) Tứ giác DIKC có · DIC = · DKC = 90 0 nên là tứ giác nội tiếp, suy ra · DIK = 108 0 - · DCK Suy ra · DIH + · DIK = · DAH + 180 0 - · DCK (1) Tứ giác ABCD có µ B + µ D = 70 0 + 110 0 = 180 0 nên là tứ giác nội tiếp, suy ra · DCK = · DAH Từ (1) và (2) suy ra · DIH + · DIK = 180 0 , do đó ba điểm H, I, K thẳng hàng Lưu ý: Tổng quát, ta chứng minh được: Chân các đường vuông góc kẻ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác đến ba cạnh của tam giác ấy nằm trên một đường thẳng . Đường thẳng nàygọi là đường thẳng Xim-xơn của tam giác (robert Símon, 1687 – 1768, nhà toán học Xcốt-len). : Bài tập6Cho đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm trên tiếp tuyến xBy. AM cắt đường tròn tại C. D ∈ BM, AD cắt đường tròn tại I. Chứng minh tứ giác CIMD nội tiếp đường tròn. Phương pháp : Vận dụng tính chất tổng hai góc đối bằng 180 0 . Gợi ý: ∗ Nối CI và BC. ∗ · BCI = · IAB (góc nội tiếp chắn cùng ¶ BI ∗ Chứng minh được · MCI = · IDB . ∗ Vậy tứ giác CIDM nội tiếp được đường tròn . Bài tập7: Cho ∆ ABC vuông góc tại A, có AB = 5cm, AC = 5 3 . Đường cao AH (H∈ BC).Đường tròn tâm (H), bán kính HA cắt AB tại D và AC tại E. Chứng minh tứ giác CEBD nội tiếp được đường tròn. Giáo viên :Trần Thị Mai Thảo Trường THCS Trần Cao Vân 3 Chủ đề :Tứ giác nội tiếp Phương pháp : Vận dụng tính chất góc nội tiếp bằng nhau chắn cùng một cung Gợi ý: ∗ Tính BC = 10cm => ∆ vuông ABC là nửa tam giác đều và · ABC = 60 0 , · ACB = 30 0 ∗ Chứng minh 3 điểm D, H, E thẳng hàng. ∗ Xét ∆ vuông ADE có DH = HE và · AEH = 60 0 => · ADE = 30 0 Do đó · ADE = · ACB = 30 0 cũng có cạnh đối BE không đổi (E ∈ AC, B ∈ AD). ∗ Vậy tứ giác CEBD nội tiếp đường tròn Bài tập 8: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B vẽ Ax ⊥ AB và By ⊥ AB.Vẽ tiếp tuyến x ’ My ’ (M là tiếp điểm) cắt Ax tại C và By tại D. OC cắt AM tại I và OD cắt BM tại K. Chứng minh tứ giác CIKD nội tiếp được đường tròn . Phương pháp : Vận dụng tính chất góc ngoài bằng góc đối trong . Gợi ý: ∗ Chứng minh tứ giác MIOK là hình chữ nhật. ∗ Do đó MIOK nội tiếp đường tròn và ¶ 1 M = µ 1 I (cùng chắn » OK ) => µ 1 I = ¶ 1 D mà ¶ 1 M = ¶ 1 D (góc có cạnh tương ứng ⊥) ∗ Có góc µ 1 I ngoài = góc ¶ 1 D đối trong ∗ Suy ra : Tứ giác MIKD nội tiếp được đường tròn. Bài tập 9: Cho hai đường tròn (O) đường kính AB, vẽ bán kính OC ⊥ AB. Từ B vẽ tiếp tuyến Bx. Gọi M là trung điểm OC, AM kéo dài cắt đường tròn tại E và Bx tại I. Tiếp tuyến vẽ từ E cắt Bx tại D. Chứng minh tứ giác MODE nội tiếp được đường tròn Phương pháp : Vận dụng tính chất bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm cố định. Gợi ý: ∗ Chứng minh MD // OB => · DMO = 90 0 ∗ Gọi O ’ là trung điểm OD. ∗ Nối O ’ M và O ’ E. ∗ Xét hai tam giác vuông MOD và EOD có : O ’ M = OO ’ = O ’ D (tính chất trung tuyến của tam giác vuông ) và O ’ E = OO ’ = O ’ D (tính chất trung tuyến của tam giác vuông) ∗ Suy ra O ’ M = O ’ E = O ’ D = OO ’ . ∗ Vậy tứ giác MODE nội tiếp được đường tròn. Chú ý: Hoặc có thể chứng minh tứ giác MODE là hình thang cân thì nội tiếp đựợc. Giáo viên :Trần Thị Mai Thảo Trường THCS Trần Cao Vân 4 . một đường tròn qua bốn đỉnh của một tứ giác. Trong trường hợp bốn đỉnh của cùng một tứ giác thuộc cùng một đường tròn, tứ giác đó đượcgọi là tứ giác nội tiếp. . nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn và tứ giác nội tiếp đường tròn -Vận dụng thành thạo 4phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp -Có khả năng trình bày