Sở Giáo dục đào tạo Kỳ thi HSG Thành phố lớp 9 Hà Nội Năm học 2008 2009 Môn : Toán Ngày thi : 27 3 2009 Thời gian làm bài : 150 phút. Câu I ( 4 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có ( a 3 + 5a) là số nguyên chia hết cho 6. 2) Cho A = 2 3 10 10 10 10 10 2730 927309 27309 . 27309+ + + + . Tìm số d trong phép chia A cho 7. Câu II ( 4 điểm) 1) Chứng minh 1 1 4 x y x y + + với x>0 và y>0. Xảy ra đẳng thức khi nào? 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P, biết 2 2 2 35 2P ab a b ab = + + + với a>0 , b>0 và a+b4. Câu III ( 4điểm) Cho phơng trình x + m -1 = m 3 2 1x ( với x là ẩn số). 1) Giải phơng trình khi m=3. 2) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1. Câu IV ( 4 điểm) Cho đờng tròn (O;3) và điểm A cố định ( A khác O). Chứng minh : 1) Nếu HK là đờng kính của đờng tròn (O;3) thì AH 3 hoặc AK 3. 2) Tồn tại hình thang cân MNPQ nội tiếp đờng tròn (O;3) thoả mãn đồng thời hai điều kiện MA + NA + PA + QA >12 và MN + NP +PQ +QM <12. Câu V ( 4 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và C là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm M tuỳ ý trên cung BC ( M khác B). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM; H, I lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM ; K là giao điểm các đờng thẳng BM và HI. 1) Chứng minh các điểm A, H, K và N cùng nằm trên một đờng tròn. 2) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC ( M khác B) sao cho AK = 10 2 R . SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG LỚP 12 – Năm học 2017-2018 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Họ tên thí sinh ….………… Số báo danh ………… Câu (5.0 điểm) Cho hàm số: y  x 1 2( x  1) (C) Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng 4x + y = Cho hàm số y = x3 – 3(m+1)x – với m tham số Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm Câu (4.0 điểm)   x   x    y 1.Giải hệ phương trình sau :   x   y   y  x  x  ( x  R ) 2.Giải phương trình sau: x  x  1  Câu (3.0 điểm)Cho x  x 1 ( x  R ) x, y, z số thực dương thỏa mãn  x  y  z    xy  yz  zx  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x  y  z  x  y  z 3 Câu (3.0 điểm) un 1  3un  n  1, n  1, n  N u1  1.Tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định :  Tính u1 + u2+… + u2017 Câu (5.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm nằm tam giác ABC cho CD = CA M điểm   ACD  , N giao điểm MD đường cao AH tam giác ABC Chứng cạnh AB cho BDM minh DM = DN Cho tam giác ABC cân A có AB=AC=a, góc BAC = 1200 Điểm S thay đổi không gian nằm phía mặt phẳng (ABC) AS= a, góc SAB= 600 Gọi H hình chiếu S mặt phẳng (ABC) a) Chứng minh H thuộc đường thẳng cố định b) Chứng minh độ dài SH lớn hai mặt phẳng (SAB) (ABC) vuông góc với tính độ dài SC …………….Hết……………… Đáp án thi chọn HSG Toán 12 (2017-2018) Câu 1( 5.0 điểm): Câu 1 Nội dung x0  )  (C ) điểm cần tìm (x0  -1) 2( x0  1) Gọi  tiếp tuyến với (C) M ta có phương trình x 1 x 1  : y  f ' ( x0 )( x  x0 )  ( x  x0 )  y 2( x0  1) 2( x0  1)  x0  1 Điểm Gọi M( x0 ; x02  x0  x  x0  ;0) B =   oy  B(0; ) 2( x0  1) Khi  tạo với hai trục tọa độ  OAB có trọng tâm là:  x  x0  x02  x0   G(   ;  6( x0  1)   1.0đ Gọi A =   ox  A(  Do G  đường thẳng:4x + y =  4  4  x0  1 2 (vì A, B  O nên x02  x0   ) 1    x0    x0     x 1   x     2 1 Với x0    M ( ;  ) ; 2 1.2 1.0đ 3 với x0    M ( ; ) 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số trục Ox x  3x  x   m  1 x   (1)   3m (2) x ( x = không nghiệm phương trình (1) ) Xét hàm số f  x   x  3x  , x   \ 0 x 2x  ; f '(x)   x  1 x2 Bảng biến thiên:  1 x  f x 0.5đ 0.5đ f ' x   f ' x  1.0đ x  x0  x  x0   0 6( x0  1)2  + + 0.5đ     Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm  pt (2) có nghiệm Từ bảng biến thiên kết luận m  0.5đ Câu 2( 4.0 điểm): Câu ( 2.5đ) Nội dung Điểm Điều kiện : y  2; x  6  x  2 y2    x  2   x  2 y2  y 1  x  2   x  2 y2 Từ (2) :  y 1  y  x  x  0.5đ  y  1    x    y 1  x  2  Xét hàm số f (t )  t 1 t t  0   1 f '(t )     '    Chứng tỏ t  2t  t 0.5đ hàm số nghịch biến 2 Để f ( x   )  f  y  1 xảy : y    x   Thay vào (1) ta phương trình : 1   x   t  x   t  x     x  2 x       t  2t t   2t t    t 0.5đ 0  t  x    0  t  x   0  t  x      4  3 2 2 t  4t  46t  49   t  1  t  3t  49t  49   4t  t      t  +/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ (x;y)=(3;0) +/ Trường hợp : f (t )  t  3t  49t  49   f '(t )  3t  6t  49   t  1  52  0t  0;  Hàm số nghịch biến f(0)= -49