1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn nội dung bài dạy VD 1: Cho dãy số (u n ) với u n = 3+ (-1) n /n. Biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số: u 2 u 1 3,5 2 3 u 3 u 4 2,67 3,25 u 5 2,8 u 6 3,17 u 7 2,86 u 8 2)Nếu biểu diễn các số hạng trên trục số, khi n tăng thì khoảng cách từ u n đến 3 càng nhỏ, hay các điểm u n chụm lại xung quanh điểm 3. Kết luận: 1) Dãy số (u n ) nói trên có giới hạn bằng 3. 1)Khi n tăng thì giá trị của các số hạng u n xấp xỉ gần bằng 3. NX: 2) Dãy số (u n ) có giới hạn là 3 dãy số (u n -3) có giới hạn 0. lim u n = L R lim (u n - L) = 0 Khi đó dãy số (u n ) gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn nội dung bài dạy 1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn lim u n = L R lim (u n - L) = 0 Khi đó dãy số (u n ) gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. Muốn chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn là L R, ta chứng minh dãy số (u n L) có giới hạn 0 Nhận xét: Lim u n = L khoảng cách từ điểm u n đến điểm L trở lên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn. néi dung bµi d¹y 1) §N d·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n lim u n = L  R lim (u n - L) = 0 Khi ®ã d·y sè (u n ) gäi lµ d·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n.  Muèn chøng minh d·y sè (u n ) cã giíi h¹n lµ L  R, ta chøng minh d·y sè (u n L) cã – giíi h¹n 0. VD2: Cho d·y sè (u n ) víi u n = Chøng minh r»ng: lim u n = 2 2 1n n + VD4: Cho d·y sè (u n ) víi u n = . CMR lim u n = 3 ( 1) 3 2 1 n n − + + VD3: Cho d·y sè kh«ng ®æi (u n ) víi u n = c, (c lµ h»ng sè). CMR: lim u n = c. VD5: D·y sè (u n ), víi u n = (-1) n cã giíi h¹n hay kh«ng? nội dung bài dạy 1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn lim u n = L R lim (u n - L) = 0 Khi đó dãy số (u n ) gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn 2) Một số định lí: Giả sử lim u n = L, lim v n = M và c là một hằng số. Khi đó: Lim (u n +v n ) = L + M Lim (u n - v n ) = L - M Lim (u n .v n ) = L.M Lim (c.u n ) = cL Lim ( nếu M 0) n n u L v M = Giả sử lim u n = L. Khi đó: a) Lim | u n | = | L | và lim b) Nếu u n 0 n thì L 0 và lim 3 3 n u L= n u L= Định lý 2: Định lý 1: ýCác bước tìm giới hạn : 1) Chia cả tử và mẫu cho n có luỹ thừa cao nhất. 2) Sử dụng định lí về các phép toán giới hạn, đưa về giới hạn của một số dãy số có giới hạn 0 đã biết Các dãy số trên có dạng 1 1 0 * 1 1 0 , ; , ; . ; , . . 0 i j p p p p n q q q q p q a b R i j N a n a n a u p q N b n b n b a b + + + = + + + VD 7: Tìm lim 2 2 3 1 4 n n + + VD 8: Tìm lim 4 3 4 3 3 2 5 2 3 n n n n n + + + VD 9: Tìm lim 2 3 2 2 3 1 n n n + + = 3 = 1/2 = 0 ( 1) 3 2 1 n n + + ýNX: lim u n = p > q p q a b nếu p = q 0 nếu nội dung bài dạy 1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn lim u n = L R lim (u n - L) = 0 Khi đó dãy số (u n ) gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn 2) Một số định lí: ý Các bước làm: 1) Chia cả tử và mẫu cho n có luỹ thừa cao nhất. 2) Sử dụng định lí về các phép toán giới hạn, đưa về giới hạn của một số dãy số có giới hạn 0 đã biết. Cho dóy s (u n ), v i: 1 1 0 * 1 1 0 , ; , ; . ; , . . 0 i j p p p p n q q q q p q a b R i j N a n a n a u p q N b n b n b a b + + + = + + + Giả sử lim u n = L, lim v n = M và c là một hằng số. Khi đó: Lim (u n +v n ) = L + M Lim (u n - v n ) = L - M Lim (u n .v n ) = L.M Lim (c.u n ) = cL Lim ( nếu M 0) n n u L v M = Giả sử lim u n = L. Khi đó: a) Lim | u n | = | L | và lim b) Nếu u n 0 n thì L 0 và lim 3 3 n u L= n u L= Định lý 2: Định lý 1: Phiu hc tp ýNX: lim u n = p > q p q a b nếu p = q 0 nếu 2. Một số dãy số có giới hạn 0 đã biết: a) u n = 1/n d) /q/ < 1, lim q n = 0 3 1 1 ) ) n n b u c u n n = = n u 3 .Muốn chứng minh một dãy só có giới hạn 0: - Đưa về dãy có giới hạn 0 đã biết - Hoặc sử dụng định lí: Nếu với mọi n và lim v n = 0 thì lim u n = 0 n n u v 1.ĐN dãy số có giới hạn 0 lim (u n ) = 0 Mọi đều nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (dãy số (u n ) có giới hạn 0 khi n dần tới vô cực) 2. Mét sè d·y sè cã giíi h¹n 0 ®· biÕt: a) u n = 1/n b) u n = c) u n = d) /q/ < 1, lim q n = 0 Em cã nhËn xÐt g× vÒ c¸c ®iÓm u n khi n t¨ng? f®szgfzg®zxgxzg ☞ýZbý p > q p q a b      nÕu p = q 0 nÕu VD 6: T×m lim ( 1) 3 2 1 n n − + +