VẤN ĐỀ6. cực trị của hàm số TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA I. Định nghĩa: Gỉa sử hàm số ( ) f x xác định trên tập D ⊂ ¡ và 0 x D∈ . 1) 0 x được gọi là một điểm cực trị của ( ) f x nếu tồn tại một khoảng ( ) ;a b chứa điểm 0 x sao cho ( ) ;a b D⊂ và ( ) ( ) ( ) { } 0 0 , ; \f x f x x a b x< ∀ ∈ . Khi đó ( ) 0 f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số ( ) f x . 2) 0 x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số ( ) f x nếu tồn tại một khoảng ( ) ;a b chứa điểm 0 x sao cho ( ) ;a b D⊂ và ( ) ( ) ( ) { } 0 0 , ; \f x f x x a b x> ∀ ∈ . Khi đó, ( ) 0 f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ( ) f x . gọi chung là giá trị cực trị của hàm số II. Điều kiện để hàm số có cực trị 1) Điều kiện cần Gỉa sử hàm số ( ) f x đạt cực trị tại điểm 0 x . Khi đó,nếu ( ) f x có đạo hàm tại 0 x thì ( ) 0 ' 0f x = . 2) Điều kiện đủ Dấu hiệu 1. Gỉa sử hàm số ( ) f x liên tục trên ( ) ;a b chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên các khoảng ( ) 0 ;a x vaø ( ) 0 ;x b . Khi đó: • Nếu ( ) 'f x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm 0 x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x . • Nếu ( ) 'f x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm 0 x thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x . Dấu hiệu 2. giả sử ( ) f x có đạo hàm trên ( ) ;a b chứa điểm 0 x , ( ) 0 ' 0f x = và ( ) f x có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0 x . Khi đó: • Nếu ( ) 0 '' 0f x < thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x . • nếu ( ) 0 '' 0f x > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x . III. các phương pháp tìm cực trị của hàm số Phương pháp 1. • Tìm ( ) 'f x . • Tìm các điểm ( ) 1, 2, . i x i = mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. • lập bảng xét dấu ( ) 'f x . nếu ( ) 'f x đổi dấu khi x qua i x thì hàm số đạt cực trịtại i x . Phương pháp 2. • Tìm ( ) 'f x . • giải phương trình ( ) ' 0f x = tìm các nghiệm ( ) 1, 2, . i x i = . • Tính ( ) '' i f x . nếu ( ) '' 0 i f x < thì hàm số đạt cực đại tại điểm i x . nếu ( ) '' 0 i f x > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm i x . 58 A. Các ví dụ Ví dụ 1. với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 1) ( ) 3 2 2 3y m x x mx m= + + + + . 2) 2 2 2 2 1 x m x m y x + + = + giải 1) ( ) 3 2 2 3y m x x mx m= + + + + tập xác định: D= R đạo hàm: ( ) 2 ' 3 2 6y m x x m= + + + hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = hay ( ) ( ) 2 3 2 6 0g x m x x m= + + + = có hai nghiệm phân biệt: ( ) 2 0 ' 9 3 2 0 m m m + ≠   ⇔  ∆ = − + >   ( ) 2 2 3 2 3 0 m m m ≠ −   ⇔  − − + >   2 3 1 m m ≠ −  ⇔  − < <  vậy giá trị cần tìm là: 3 1m− < < và 2m ≠ − . 2) 2 2 2 2 1 x m x m y x + + = + tập xác định: D= R\{-1} đạo hàm: ( ) 2 2 2 2 ' 1 x x m y x + + = + hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = hay ( ) 2 2 2 0g x x x m= + + = có hai nghiệm phân biệt khác –1 ( ) 2 2 ' 1 0 1 1 0 m g m  ∆ = − >  ⇔  − = − + ≠   1 1 1 m m − < <  ⇔  ≠ ±  1 1m⇔ − < < vậy giá trị cần tìm là: 1 1m − < < . Ví dụ2. với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị 1) ( ) 3 2 3 2 3y m x mx= − − + . 2) 2 mx x m y x m + + = + giải 1) ( ) 3 2 3 2 3y m x mx= − − + tập xác định: D= R đạo hàm: ( ) 2 ' 3 3 4y m x mx= − − ( ) 2 ' 0 3 3 4 0y m x mx= ⇔ − − = (1) • xét 3m = : ' 0 12 0 0y x x= ⇔ − = ⇔ = 'y⇒ đổi dấu khi x đi qua 0 0x = 59 ⇒ Hàm số có cực trị 3m⇒ = không thuộc • xét 3m ≠ : Hamf số không có cực trị 'y⇔ khômg đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 2 3 0 ' 4 0 m m − ≠  ⇔  ∆ = ≤  3 0 m m ≠  ⇔  =  0m⇔ = vậy giá trị cần tìm là 0m = . 2) 2 mx x m y x m + + = + tập xác định: { } \D m= −¡ đạo hàm: ( ) 2 2 2 2 ' mx m x y x m + = + ' 0y = ⇔ ( ) 2 2 2 0g x mx m x= + = (1) ( ) x m≠ − Hàm số không có cực trị 'y⇔ không đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép • xét 0m = : ' 0,y x m= ∀ ≠ − 0m⇒ = thỏa • xét 0m ≠ : yêu cầu bài toán 4 ' 0m⇔ ∆ = ≤ : vô nghiệm 0m∀ ≠ vậy giá trị cần tìm là: 0m = . Ví dụ 3. Cho hàm số 2 1 x mx m y x − + = − . chứng minh với mọi mhàm số luôn luôn có cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi. GIẢI tập xác định: D= R/1 ĐẠO HÀM ( ) 2 2 2 ' 1 x x y x − = − 0 ' 0 2 4 x y m y x y m = ⇒ = −  = ⇔  = ⇒ = −  vậy ' 0y = luôn luôn có hai nghiệm phân biệt m ∀ ⇒ hàm số luôn có cực trị tọa độ các điểm cực trị ( ) ( ) 0; , 2; 4A m B m− − khoảng cách giữa hai điểm A, B là : ( ) ( ) 2 2 2 0 4 2 5AB m m= − + − + = = const (đpcm) Ví dụ4. Cho hàm số 2 1x mx y x m + + = + . định m để hàm số có cực trị tại 2x = . giải tập xác định: D= R\{-m} đạo hàm: ( ) 2 2 2 2 1 ' x mx m y x m + + − = + điều kiện cần 60 hàm số có cực đại tại 2x = ( ) ' 2 0y⇒ = ( ) 2 2 4 3 0 2 m m m + + ⇔ = + 2 4 3 0 2 m m m  + + = ⇔  ≠ −  1 3 m m = −  ⇔  = −  • điều kiện đủ + với 1m = − : ( ) 2 2 0 2 ' 0 2 1 x x x y x x =  − = = ⇔  = −  bảng biến thiên x −∞ 0 1 2 +∞ 'y + 0 - - 0 + cđ +∞ +∞ y −∞ −∞ CT từ bảng biến thiên ta thấy hàn số đạt cực tiểu tại 2x = 1m⇒ = − không thỏa + với 3m = − : ( ) 2 2 2 6 8 ' 0 4 3 x x x y x x =  − + = = ⇔  = −  bảng biến thiên x −∞ 2 3 4 +∞ 'y + 0 - - 0 + CĐ +∞ +∞ y −∞ −∞ CT từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại 2x = 3m ⇒ = − thỏa yêu cầu bài toán. vậy giá trị cần tìm là: 3m = − . Cách khác Ta có 1 y x x m = + + tập xác định: D= R\ {-m} ( ) 2 1 ' 1y x m = − + ( ) 3 2 'y x m = + Hàm số đạt cực đại tại 2x = ( ) ( ) ' 2 0 '' 2 0 y y =  ⇔  <   61 ( ) ( ) 2 3 1 1 0 2 2 0 2 m m  − =  +  ⇔   <  +  2 4 3 0 2 2 m m m m  + + =  ⇔ ≠ −   < −  1 3 2 m m m = − ∨ = −  ⇔  < −  3m ⇔ = − vậy giá trị cần tìm là: 3m = − . Ví dụ 5. Cho hàm số 2 ax bx ab y ax b + + = + . Tìm các giá trị của a, b sao cho hàm số đạt cực trị tại 0x = và 4x = . giải Hàm số xác định 0ax b+ ≠ . ( ) 2 2 2 2 2 2 ' a x abx b a b y ax b + + − = + • điều kiện cần:hàm số đạt cực trị tại 0x = và 4x = ( ) ( ) ' 0 0 ' 4 0 y y =  ⇒  =   ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 16 8 0 4 b a b b a ab b a b a b  − =   ⇔  + + −  =  +  2 2 2 2 2 0 0 16 8 0 4 0 b a b b a ab b a b a b  − =  ≠  ⇔  + + − =   + ≠  ( ) 2 2 2 0 8 2 0 4 0 b a a a a a  = >  ⇔ + =   + ≠  2 4 a b = −  ⇔  =  • điều kiện đủ với 2, 4a b= − = , ta có: ( ) 2 2 0 4 ' 0 4 2 x x x y x x =  − = = ⇔  = − +  bảng biến thiên: x −∞ 0 2 4 +∞ 'y + 0 - - 0 + cđ +∞ +∞ y −∞ −∞ CT từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại 0x = và cực tiểu tại 4x = vậy giá trị cần tìm là: 2, 4a b= − = . 62 Ví dụ6. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 2 4y x m x m m x= − + + − + + . Xác định m để đồ thị của hàm số có hai hai điểm cực đại và cực tiểu nằm vềhai phía của trục tung. ) giải tập xác định D= R đạo hàm: ( ) 2 2 ' 3 2 2 1 3 2y x m x m m= − + + − + hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung ' 0y⇔ = hay ( ) ( ) 2 2 3 2 2 1 3 2 0g x x m x m m= − + + − + = có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa 1 2 0x x< < ( ) 3. 0 0g⇔ < 2 3 2 0m m⇔ − + < 1 2m ⇔ < < vậy giá trị cần tìm là: 1 2m< < . Ví dụ7. Cho hàm số 3 2 2 12 13y x ax x= + − − (a là tham số). với những giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đểu trục tung giải tập xác định: D= R đạo hàm: ( ) 2 2 ' 6 2 12 2 3 6y x ax x ax= + − = + − hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều trục tung ' 0y⇔ = hay ( ) 2 3 6 0g x x ax= + − = có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa 1 2 0x x+ = 2 1 2 72 0, 0 3 a a a x x  ∆ = + > ∀  ⇔  + = − =   0a⇔ = vậy giá trị cần tìm là: 0a = . Ví dụ8. Cho hàm số 3 2 1 1 3 2 y x x mx= + + . định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ x m> . giải tập xác định: D= R đạo hàm: 2 'y x x m= + + yêu cầu bài toán ' 0y⇔ = hay ( ) 2 0g x x x m= + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa 1 2 m x x< < ( ) 2 1 4 0 1. 2 0 1 2 2 m g m m m S m   ∆ = − >   ⇔ = + >    = − >   1 4 2 0 1 2 m m m m  <   ⇔ < − ∨ >    < −  2m⇔ < − vậy giá trị cần tìm là: 2m < − . Ví dụ. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 3 1 3 7 1 1y x m x m m x m= − + + − + − + − . định m để hàm số đạt cực tiểu tại một diểm có hoành độ nhỏ hơn một 63 gii tp xỏc nh: D =R o hm: ( ) ( ) 2 2 ' 3 6 1 3 7 1y x m x m m= + + + yờu cu bi toỏn ' 0y = hay ( ) ( ) ( ) 2 2 3 6 1 3 7 1 0g x x m x m m= + + + = cú hai nghim phõn bit 1 2 ,x x tha ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 x x x x < < < ( ) ( ) 1 3. 1 0g < ( ) 2 3 3 4 0m m + < 4 1 3 m < < (a) ( ) ( ) ' 0 2 3. 1 0 1 2 g S > < ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 1 3 3 7 1 0 3 3 4 0 1 1 m m m m m m + + > + + < 2 3 12 0 3 4 0 0 m m m m + > + < 4 4 1 3 0 m m m m < < 4 3 m (b) kt hp (a) vaứ (b) ta cú giỏ tr cn tỡm l: 1m < . Vớ duù 10. Cho hm s ( ) 3 2 3 2y x x C= + . Hóy xỏc nh tt c cỏc giỏ tr ca a im cc i v cc tiu ca th (C) nm v hai phớa khỏc nhau ca ng trũn (phớa trong v phớa ngoi): 2 2 2 2 4 5 1 0x y ax ay a+ + = . ( gii tp xỏc nh: D= R o hm: 2 ' 3 6y x x= 0 2 ' 0 2 2 x y y x y = = = = = th hm s cú hai im cc tr ( ) ( ) 0;2 , 2; 2A B ( ) 2 2 2 : 2 4 5 1 0 a C x y ax ay a+ + = Hai im A, B nm v hai phhớa ca ng trũn ( ) a C ( ) ( ) / / . 0 a a A C B C P P < ( ) ( ) 2 2 5 8 3 5 4 7 0a a a a + + + < 2 5 8 3 0a a + < (do 2 5 4 7 0,a a a+ + > ) 3 1 5 a < < Cỏch khỏc Phng trỡnh ng trũn ( ) a C c vit li ( ) ( ) 2 2 2 1x a y a + = 64 ( ) a C có tâm ( ) ;2I a a và bán kính 1R = Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2IB a a= − + + 2 5 4 8a a= + + 2 2 36 6 5 1 5 5 5 a R   = + + ≥ > =  ÷   ⇒ điểm B nằm ngoài ( ) a C Do đó điểm A nằm phía trong đường tròn ( ) a C 1IA ⇔ < ( ) 2 2 2 2 1a a⇔ + − < 2 5 8 3 0a a⇔ − + < 3 1 5 a⇔ < < . Ví duï 11. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 3 3 y mx m x m x= − − + − + . với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu 1 2 ,x x thỏa 1 2 2 1x x+ = . giải tập xác định : D= R đạo hàm: ( ) ( ) 2 ' 2 1 3 2y mx m x m= − − + − hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = hay ( ) ( ) 2 2 1 3 2 0mx m x m− − + − = có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x ( ) ( ) 2 0 ' 1 3 2 0 m m m m ≠   ⇔  ∆ = − − − >   2 0 2 4 1 0 m m m ≠  ⇔  − + + >  0 2 6 2 6 2 2 m m ≠   ⇔  − + < <   (*) Theo định lí Vi-eùt và theo đề bài, ta có ( ) 1 2 2 1m x x m − + = (1) ( ) 1 2 3 2 . m x x m − = (2) 1 2 2 1x x+ = (3) từ (1) và (3), ta có thế vào (2), ta được ( ) 3 2 3 4 2 m m m m m m − − −    =       2 3 8 4 0m m⇔ − + = (do 0m ≠ ) 2 3 2 m m  =  ⇔  =   (thỏa (*)) vậy giá trị cần tìm là: 2 2 3 m m= ∨ = . 65 Ví dụ 12. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m= − + + + + − + . Tìm m để đò thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đó ) giải tập xác định : D= R đạo hàm: ( ) ( ) 2 2 ' 3 6 1 2 7 2y x m x m m= − + + + + ( ) ( ) 2 2 ' 0 3 6 1 2 7 2 0y x m x m m= ⇔ − + + + + = (1)  hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = có hai nghiệm phân biệt ( ) ( ) 2 2 ' 9 1 6 7 2 0m m m⇔ ∆ = + − + + > ( ) 2 3 8 1 0m m⇔ − − > 4 17 4 17m m⇔ < − ∨ > + lấy y chia cho y ’ ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 2 1 . ' 8 1 5 3 2 3 3 3 y x m y m m x m m m= − − − − − + + + + gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ;A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 1 2 ,x x là nghiệm của (1) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 . ' 8 1 5 3 2 3 3 3 ' 0 y x m y x m m x m m m y x  = − − − − − + + + +    =  ( ) ( ) 2 3 2 1 1 2 2 8 1 5 3 2 3 3 y m m x m m m⇒ = − − − + + + + Tương tự ta cũng có ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 8 1 5 3 2 3 3 y m m x m m m= − − − + + + + vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là: ( ) ( ) 2 3 2 2 2 8 1 5 3 2 3 3 y m m x m m m= − − − + + + + . Ví dụ13. Cho hàm số ( ) 3 2 6 3 2 6y x x m x m= − + + − − . định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu. giải tập xác định: D= R đạo hàm: ( ) 2 ' 3 12 3 2y x x m= − + + ( ) 2 ' 0 3 12 3 2 0y x x m= ⇔ − + + = (1)  hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = có hai nghiệm phân biệt ( ) ' 36 9 2 0m⇔ ∆ = − + > 2 0m ⇔ − > 2m ⇔ < (*) lấy y chia cho y’, ta có: ( ) ( ) 1 2 . ' 2 2 2 3 y x y m x m= − + − + − gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ;A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 1 2 ,x x là nghiệm của (1) Theo định lí Vi-eùt, ta có 66 1 2 1 2 4, 2x x x x m+ = = + Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 . ' 2 2 2 3 ' 0 y x y x m x m y x  = − + − + −    =  ( ) 1 1 2 2 2y m x m⇒ = − + − Tưng tự ta cũng có : ( ) 2 2 2 2 2y m x m= − + − Yêu cầu bài toán 1 2 . 0y y⇔ > ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 0m x m m x m⇔ − + − − + − >        ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 0m x x⇔ − + + > ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 4 2 1 0m x x x x⇔ − + + + >    ( ) ( ) 2 2 4 2 2.4 1 0m m⇔ − + + + >    ( ) ( ) 2 2 4 17 0m m⇔ − + > 17 4 2 m m  > −  ⇔   ≠  So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: 17 2 4 m− < < . Ví dụ14. Cho hàm số 3 2 2 3y x x m x m= − + + . Tìm tất cả các giá trị của thamsố m để hàm số có cực đại, có cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5 2 2 y x= − . giải tập xác định: D= R đạo hàm: 2 2 ' 3 6y x x m= − + 2 2 ' 0 3 6 0y x x m= ⇔ − + = (1)  hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = có hai nghiệm phân biệt 2 ' 9 3 0m⇔ ∆ = − > 3 3m⇔ − < < gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ;A x y B x y là các điểm cực trị của hàm số và I là trung điểm của đoạn AB Do 1 2 ,x x là nghiệm của (1) nên theo định lí lí Vi-eùt, ta có: 1 2 2x x+ = , 2 1 2 . 3 m x x = Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5 : 2 2 y x∆ = − AB I ⊥ ∆  ⇔  ∈∆  đường thẳng ∆ và AB có hệ số góc lần lượt là: 1 1 2 k = ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 3x x x x m x x y y k x x x x − − − + − − = = − − ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 3x x x x x x m= + − − + + 67 [...]... đại và cực ti u trong khoảng ( 0; 2 ) Đáp số : m ∈ ∅ 2 − x + mx − m − 1 Bài 10 1) Cho hàm số y = x−2 a) định m để hàm số có cực đại và cực ti u trên đoạn [ −1;5] Đáp số : −4 ≤ m < 5 x1 , x2 sao cho x1 y1 + x2 y2 < x1 + x2 , với b) định m để hàm số có cực đại và cực ti u tại y1 = y ( x1 ) và y2 = y ( x2 ) Đáp số : m < 5 2 x + mx + 2 − m 2) Cho hám số y = định m để đồ thị hàm số đạt cực ti u tại... để hàm số có điểm cực đại, cực ti u nằm về hai phía của trục tung Đáp số : −3 < m < 1 2 2 x + 2x + m + 2 2) Cho hàm số y = x +1 a) chứng minh rằng hàm số ln ln có cực đại và cực ti u với mọi m , đồng thời các điểm cực đại và cực ti u nằm về hai phía với trục hồnh 2) Cho hàm số y = ( ) ( ) 82 2 Đáp số : y1 y2 = −4 ( m + 1) < 0, ∀m b) Tìm m để điểm cực đại và điểm cực ti u của đồ thị hàm số cách đều... hàm số có cực đại và cực ti u Chứng minh rằng khi đó đường thẳng qua điểm cực đại ,cực ti u ln đi qua một điểm cố định 2 1  1  Đáp số : m < 0 ∨ m > 1; y = − ( m − 1) x + ( 10 − m ) , A  − ;3  3 3  2  83 1 3 2 4) Cho hàm số y = x − mx − x + m + 1 chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho 3 ln ln có cực đại ,cực ti u Hãy xác định m để khoảng cách giữa các điểm cực đại ,cực ti u nhỏ nhất Đáp số :... m = 1 2 x 2 + ( m + 2 ) x + 3m + 2 Ví dụ 25 Cho hám số y = x +1 1) Tìm m để hàm số có cực đại và cực ti u 74 2 2 2) giả sử y có giá trị cực đại và cực ti u là yCĐ , yCT chứng minh: yCĐ + yCT > 1 2 giải 1) tập xác định: D = R\{-1} x 2 + 2 x − 2m y'= đạo hàm: 2 ( x + 1) 2 hàm số có cực đại và cực ti u ⇔ y ' = 0 hay g ( x ) = x + 2 x − 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác -1 ∆ ' > 0  2m +... đạt cực trị tạu x = 3 và có ti m x−2 cận xiên là y = x − 1 Đáp số : a = −3, b = 3 2 ax + bx + c 3) Cho hàm số y = Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị bằng 1 tại x = 1 và x−2 1− x đường ti m cận xiên của đồ thị vng góc với đường thẳng y = 2 Đáp số: a = 2, b = −3, c = 0 3 2 Bài 4 1) Cho hàm số y = 4 x − mx − 3 x + m chứng minh rằng với mọi m hàm số ln ln có cực đại , cực ti u đồng thời chứng minh rằng... y = Tìm m để hàm số có cực đại và cực ti u thỏa mãn x−m điều kiện: yCĐ − yCT > 8 Đáp số : m < 1− 5 1+ 5 ∨m> 2 2 x 2 − mx + 5 − m với giá trị nào của tham số m thì hàm số x−m có cực đại và cực ti u đồng thời các giá trị cực trị cùng dấu Đáp số : m < −2 − 2 6 ∨ −2 + 2 6 < m < 5 Bài 7 1) Cho hàm số y = mx 2 + 3mx + 2m + 1 định m để hàm số có cực đại và cực ti u x −1 đồng thời hai điểm cực trị của... Vậy: m = 0 thỏa u cầu bài tốn Ví dụ 15 Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 Tìm m để hàm số có cực đại và cực ti u, đồng thời các điểm cực đại và cực ti u lập thành một tam giác đều () giải tập xác định: D= R đạo hàm: y ' = 4 x 3 − 4mx x = 0 y'= 0 ⇔  2  x = m ( *) Hàm số có cực đại và cực ti u ⇔ y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các điểm này ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân... của hàm số có cực 2 2 ti u mà khơng có cực đại ) giải tập xác định: D= R đạo hàm: y ' = 2 x 3 − 2mx x = 0 y'= 0 ⇔  2  x = m ( *) Hàm số có cực ti u mà khơng có cực đại ⇔ y ' = 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó ⇔ phương trình (*) vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0 ⇔ m ≤ 0 vậy giá trị cần tìm là: m ≤ 0 x 2 + mx + 2 Tìm m để điểm cực ti u của hàm số nằm x... + 1) x + 3m + 2 Ví dụ 20 Cho hàm số y = với giá trị nào của m thì hàm số đã x −1 cho có cực đại và cực ti u đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực ti u cùng dấu () giải 2m + 2 Ta có: y = x − m + x −1 tập xác định: D= R\{1} x 2 − 2 x − 2m − 1 y'= đạo hàm: 2 ( x − 1) 2 hàm số có cực đại và cực ti u ⇔ y ' = 0 hay g ( x ) = x − 2 x − 2m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 ∆ ' > 0  2m +... 3 ln ln có cực đại ,cực ti u Hãy xác định m để khoảng cách giữa các điểm cực đại ,cực ti u nhỏ nhất Đáp số : m = 0 Bài 16 xác định tham số k để hàm số sau có cực ti u : y = −2 x + k x 2 + 1 Đáp số : k > 2 Ngun v¨n kh«i_12a4-thpt a duy ti n Cã j× h·y truy cËp website:vip12a4.hnsv.com 84 . thì hàm số đạt cực ti u tại điểm i x . 58 A. Các ví dụ Ví dụ 1. với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực ti u 1) ( ) 3 2 2 3y. cực ti u nằm vềhai phía của trục tung. ) giải tập xác định D= R đạo hàm: ( ) 2 2 ' 3 2 2 1 3 2y x m x m m= − + + − + hàm số có cực đại và cực ti u