P GDTP Thái Nguyên Trờng THCS Chu Văn An Đề thi học sinh giỏi cấp trờng Năm học 2008 2009 Môn: Toán Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1: a) Chứng tỏ 5122935 là số nguyên. b) Cho ( ) ( ) 333 22 =++++ yyxx . Tính giá trị của biểu thức: M = x + y Câu 2: Giải phơng trình: a) 1123234 =+++ xxx b) 213 =++ xx Câu 3: Giả sử x; y là những số không âm thoả mãn: 1 22 =+ yx a) Chứng minh rằng: 21 + yx b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: yxP 2121 +++= Câu 4: Cho tam giác ABC, đờng phân giác AD. Biết AB = c; AC = b ; Góc A bằng 2 ( < 45 0 ). Chứng minh rằng AD = cb bc + cos2 . Câu 5: Cho tam giác nhọn ABC. Góc A bằng 30 0 . Hai đờng cao BH và CK. Chứng minh rằng: S AHK = 3S BCHK G/ V Tổ toán lý trờng THCS Chu văn An Nguyễn Thị Nga Đáp án Câu 1: 2điểm, mỗi ý 1 điểm a) 15122935 = là số nguyên b) . ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 006:21 23333 33333 13333 33333 333 22 2222 22 2222 22 =+=++ +=++ +=+++++ +=++ +=+++++ =++++ yxyx yyxx yyyyyyxx xxyy xxyyxxxxoC yyxx Câu 2: 2điểm, mỗi ý 1 điểm Giải phơng trình: a) 1123234 =+++ xxx Điều kiện 2 3 3 x ( ) ( ) 1012323 02323411 22 ==++ =+ xxx xxx b) Điều kiện 1 x ( ) ( ) ( ) { 1 01;0321)3( 11)3( 41)3(213 213 032 01 2 2 = +=+ =+ =++++ =++ =+ x xxxxx xxx xxxx xx xx x Câu 3: 2điểm, mỗi ý 1 điểm Giả sử x; y là những số không âm thoả mãn: 1 22 =+ yx a) Từ ( ) ( ) 222 22 2 +=++ yxyxyx dấu bằng đạt đợc khi và chỉ khi 2 1 yx = Lại có . ( ) ( ) 11212 22 2 ++=++=+ yxxyxyyxyx Vậy: 21 + yx b)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: yxP 2121 +++= ( ) ( ) ( ) ( ) 2122141421212 22 2 ++++= +++ PyxyxP Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 1 2121 2 1 == +=+ == yx yx yx Khi đó P đạt giá trị lớn nhất bằng 212 + Mặt khác, do 0 xy và 1 + yx dấu băng đạt đợc khi và chỉ khi x = 0, y =1 hoặc y =0, x= 1. Nên có ( ) ( ) ( ) 2 2 13324421222 +=+++++++= xyyxyxP Hay 13 + P , suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 13 + , khi và chỉ khi [ 1y 0, x 1 x0,y == == Câu 4: 2điểm Gọi diện tích các tam giác lần lợt là S1, S2, S Ta có sin. 2 1 1 cADS = ; sin. 2 1 2 bADS = ( ) cbADbADcADSSS +=+=+= sin. 2 1 sin. 2 1 sin. 2 1 21 mặt khác 2sin. 2 1 cbS = . Suy ra ( ) ( ) ( ) cb bc cb bc cb bc AD + = + = + = cos2 sin cossin2 sin 2sin Câu 5: 2điểm BCHKAHK ABC AHK SS S S AC AK HKAABC 3 4 3 )30(cos 20 2 = === K H C B A CB A bc D S2S1 . Văn An Đề thi học sinh giỏi cấp trờng Năm học 2008 20 09 Môn: Toán Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1: a) Chứng tỏ 512 293 5 là số nguyên trờng THCS Chu văn An Nguyễn Thị Nga Đáp án Câu 1: 2điểm, mỗi ý 1 điểm a) 1512 293 5 = là số nguyên b) . ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (