CHƯƠNG 1: TẬP HỢP- MỆNH ĐỀ Dạng 1: Mệnh đề Mệnh đề câu khẳng định có tính sai Mệnh đề phủ định: phủ định P P ( P sai P đúng, P P sai) Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q (nếu P Q, P nên Q) Mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề đảo P ⇒ Q Mệnh đề tương đương P ⇔ Q Mệnh đề P ⇔ Q P Q sai Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Trong câu sau, câu mệnh đề cho biết tính sai: a) Hà Nội thủ đô nước Việt Nam b) Về nhà, em không làm tập sao? c) Mời e lên bảng! d) số lẻ e) Hôm lớp có học Toán không? f) Lập phương số thực luôn dương g) + x = h) + = i) + x < j) số vô tỉ Mệnh đề: a (Đ) ; d (S); f (S);g (Đ); h(S); i; j (Đ) Ví dụ 2: Viết mệnh đề sau dùng kí hiệu ∀, ∃ , cho biết tính sai phủ định mệnh đề (phủ định: Với tồn tại; khác; ≥  x 25  h) H = { z ∈ ¢ : z ≤ 3} g) G =  x ∈ ¢ : i) I = { x ∈ ¥ :14 − x > 0} } l) L = { x ∈ ¤ : x − x + = 0} { 2 m) M = x ∈ ¥ : ( x − x ) ( x + x − = ) n) N = { x : x = 4k , k ∈ ¢ , −4 ≤ x < 12} o) O = { x : x = 2n − 1, n ∈ ¥ , x < 10} p) P = { 3k − 1: k ∈ ¢, −5 ≤ k ≤ 3} q) { ( x + 1) ( x − 2) : x ∈ ¡ , ( x − 1) ( x − x − 3) = 0} r) R = { x ∈ ¢ : ( x − ) ( x − x − 3) = 0} Q= 2 a) Lần lượt thay n=0;1;2;3;… vào n ( n + ) ≤ 30 ta được: A = { 0;1; 2;3; 4} b) Ta có −3 < x + ≤ 12 ⇔ −9 < x ≤ ⇔ −3 < x ≤ Vậy B = { −2; −1;0;1; 2}  x = −2  x=2   x −4 =0 2 ⇔  x = −1 c) ( x − ) ( x − x − = ) ⇔  2 x − 3x − =  x=5  Chỉ có ∈ ¥ nên C = { 2} Ví dụ 2: Xác định tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng: a) A = { 2; 4;6;8;10;12} b) B = { 1;3;9; 27} c) C = { −2; −1;0;1; 2} e) E = { 0; 2;6;12;30; 42} 1 1 1  ; ;   12 20 30  g) A =  ; ; } d) D = { 0;1; 4;9;16; 25;36} f) F = { 0;3;8;15; 24;35; 48} 2  ; ;   15 24 35  h) B =  ; ;   : n ∈ ¥ ,1 ≤ n ≤ 5  n ( n + 1)  Hướng dẫn: g) A =   n  : n ∈ ¥ , ≤ n ≤ 6  n −1  h) A =  Dạng 3: Các phép toán: hợp, giao, hiệu, phần bù Giao: A ∩ B = { x | x ∈ A x ∈ B} (Lấy phần chung) Hợp: A ∪ B = { x | x ∈ A hoac x ∈ B} (Gom lại hết) Hiệu: A \ B = { x | x ∈ A x ∉ B} (Chỉ lấy phần tử thuộc A, bỏ phần tử thuộc B) Nếu B ⊂ A A \ B gọi phần bù B A, kí hiệu C A B + Để xác định giao, hợp hai tập hợp ta làm sau: Vẽ trục số, biểu diễn số từ bé đến lớn hai tập hợp, biểu diễn hai tập hợp trục số (phần không thuộc tập hợp ta gạch bỏ) Giao hai tập hợp phần không gạch bỏ Hợp hai tập hợp phần gạch bỏ lần phần không gạch bỏ + Để xác định hiệu A B ta làm sau: Vẽ trục số, biểu diễn tập A trục số, biểu diễn tập B trục số không gạch bỏ phần bên ngoài, gạch bỏ tập B, phần lại (không gạch bỏ) A \ B Khi kết luận A \ B ý tập B, tập B dáu ngoặc nhọn ta chuyển sang dấu ngoặc tròn ngược lại Ví dụ 1: Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A biết: a) A = ( −2;7 ] , B = ( 0;10] { } 2 b) A = { x ∈ ¢ : −6 ≤ x + ≤ 1} ; B = x ∈ ¡ : ( x + x ) ( x + x + 12 ) = c) A = { x ∈ ¥ : x ≤ 4} ; B = { x ∈ ¢ : −3 < x ≤ 5} d) A = ( 2;7 ] ; B = [ 4; +∞ ) e) A = ( −2;7 ) ; B = [ 1;3] f) A = ( −3;7 ] ; B = [ −3;7 ) g) A = ( −3;7 ) ; B = [ −3;7 ] h) A = ( −∞;3] ; B = [ 3;9 ) i) A = ( −12;5 ) ; B = [ 5;8] j) A = ( −3, ) ∪ [ 8;14 ) ; B = [ 4;10] k) A = ( −2;7 ) ∪ [ 9;17 ) ; B = [ 5;8 ) ∪ ( 10; +∞ ) { } 2 l) A = { x ∈ ¢ : −6 ≤ x + ≤ 1} ; B = x ∈ ¡ : ( x + x ) ( x + x + 12 ) = Ví dụ 2: Thu gọn hệ điều kiện sau:  −1 < x ≤  a)   x ≤  x ≥    x≤0 b)  0 < x < x≠2  −3 < x ≤  c)   x ∈ ( −∞; +∞ ) x≠3  d)  KT15: Câu 1: Liệt kê phần tử tập hợp sau: A = { x ∈ ¢ : x + 2012 x − 2013 = 0} Câu 2: Cho A = [ −3;6 ) ; B = ( 4;9] Xác định A ∩ B, A ∪ B, A \ B CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT - BẬC HAI Dạng 1: Tập xác định (Miền xác định) hàm số Với A, B đa thức A xác định ⇔ B ≠ B y = B xác định ⇔ B ≥ A y= xác định ⇔ B > B A ≥ A xác định ⇔  y= B B ≠ y= Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau: − 3x −2 x + x x − 16 b) y = x − 12 a) y = − 2x c) y = −2 x + x − − 2x − 2x + d) y = x2 − 5x − 3x + e) y = 7x f) y = −3 x + 2 − 3x g) y = x +1 7x h) y = −3 x + 22 x + 25 7x i) y = −3 x + x − x − ( )( ) j) y = 10 − x − 2x x − 5x + x x−2 l) y = x+9 k) y = 3x − −3 x + n) y = + x − − x m) y = ( o) y = x + + − x 25 − x + x 25 + x − x + 81 3x q) y = x + x − x + x ( )( ) p) y = 2x + + −3 x − 15 −x − 16 s) y = ( 3x − 15) 3x − 12 r) y = t) y = x+6 ( x + 16 ) x + u) y = −3 x + 15 − x + 2 − x x − 100 15 − x + 15 + x x − 25 5x + x +1 w) y = 3x + v) y = x) y = 5x + x +2− x Dạng 2: Tính đồng biến, nghịch biến Các bước xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số tập K ⊂ ¡ : Bước 1: ∀x1 , x2 ∈ K ⊂ ¡ , lập biểu thức A = Bước 2: Rút gọn, xét dấu A Nếu A > : hàm số đồng biến K Nếu A < : hàm số nghich biến K ) f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghich biến y = f ( x ) = x + x − ( −1; +∞ ) ∀x1 , x2 ∈ ( −1; +∞ ) , x1 ≠ x2 , ta có: f ( x2 ) − f ( x1 ) = ( x22 + x2 − ) − ( x12 + x1 − ) = ( x22 − x12 ) + ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 ) ( x2 + x1 + ) A= f ( x2 ) − f ( x1 ) = x2 + x1 + x2 − x1  x1 > −1  x1 + > ⇒ ⇒ x1 + x2 + >  x2 > −1  x2 + > Vì x1 , x2 ∈ ( −1; +∞ ) ⇒  Do A > nên hàm số đồng biến ( −1; +∞ ) Ví dụ 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) = ∀x1 , x2 ∈ ( 3; +∞ ) , x1 ≠ x2 ta có: f ( x2 ) − f ( x1 ) = ( x2 + ) ( x1 − 3) − ( x1 + ) ( x2 − 3) ( x2 − 3) ( x1 − 3) = 2x + ( 3; +∞ ) x−3 −8 ( x2 − x1 ) ( x2 − 3) ( x1 − 3) −8 Suy A = x − x − ( )( )  x1 > ⇒ ( x2 − 3) ( x1 − ) >  x2 > Vì x1 , x2 ∈ ( 3; +∞ ) ⇒  Do A < nên suy hàm số nghịch biến ( 3; +∞ ) Ví dụ 3: Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số R: a) y = −4 x + b) y = 3x − c) y = −8 x + Ví dụ 4: Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số khảng tương ứng: 2x + a) y = −2 x − ( 0; +∞ ) e) y = ( 6; +∞ ) x ( −∞;7 ) x−7 1  c) y = x − x +  −∞; ÷ 2  5+ x d) y = ( −∞;3) 3x − b) y = x−6 − 3x f) y = ( −∞;1) − 9x + 3x g) y = ( −5; +∞ ) x + 15 Dạng 3: Tính chẵn lẻ hàm số Các bước xét tính chẵn lẻ hàm số Bước 1: Tìm miền xác định D Kiểm tra xem D có đối xứng hay không Nếu D không đối xứng kết luận hàm số không chẵn, không lẻ Nếu D đối xứng chuyển sang bước Bước 2: ∀x ∈ D , tính f ( − x ) so sánh với f ( x ) Nếu f ( − x ) = f ( x ) : hàm số chẵn Nếu f ( − x ) = − f ( x ) : hàm số lẻ Hàm số không chẵn không lẻ nếu: TH1: D không đối xứng  f ( − x0 ) ≠ f ( x0 ) ( *)  f ( − x0 ) ≠ − f ( x0 ) TH2: Miền xác định D đối xứng ∃x0 ∈ D :  Nếu gặp trường hợp cần lấy x0 thỏa (*) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a) y = f ( x ) = x + 26 b) y = f ( x ) = + x − − x 4+ x 4− x d) y = f ( x ) = x + x − a) MXĐ D = ¡ (đối xứng) 2 ∀x ∈ D ta có f ( − x ) = ( − x ) + 26 = x + 36 = f ( x ) c) y = f ( x ) = Vậy hs cho hàm số chẵn b) MXĐ D = [ −4; 4] (đối xứng) ∀x ∈ D ta có f ( − x ) = + ( − x ) − − ( − x ) = − x − + x = − ( Vậy hs cho làm hàm lẻ c) MXĐ D = [ −4; ) (không đối xứng) Vậy hs cho không chẵn không lẻ d) MXĐ D = ¡ (đối xứng) Với x0 = , ta có: f ( x0 ) = f ( 1) = f ( − x0 ) = f ( −1) = −13 − f ( x0 ) = −3  f ( − x0 ) ≠ f ( x0 ) Vậy hs không chẵn, không lẻ  f ( − x0 ) ≠ − f ( x0 ) Do đó:  Ví dụ 2: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = −3x + b) y = x − 3x + c) y = x ( − 3x ) −2 x + x + x 4x e) y = 2+ x d) y = f) y = + x − − x Dạng 4: Các toán liên quan đến hàm số y = ax + b ( a ≠ ) + Hàm số y = ax + b ( a ≠ ) : MXĐ: D = ¡ Sự biến thiên: a>0 hàm số tăng; a