ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHPGS. TS Mỵ Vinh QuangNgày 11 tháng 10 năm 2004Mở ĐầuTrong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, Đại số tuyến tính là môn cơ bản, là môn thi bắtbuộc đối với mọi thí sinh thi vào sau đại học ngành toán - cụ thể là các chuyên ngành : PPGD,Đại số, Giải tích, Hình học.Các bài viết này nhằm cung cấp cho các bạn đọc một cách có hệ thống và chọn lọc các kiếnthức và kỹ năng cơ bản nhất của môn học Đại số tuyến tính với mục đích giúp những ngườidự thi các kỳ tuyển sinh sau đại học ngành toán có được sự chuẩn bị chủ động, tích cực nhất.Vì là các bài ôn tập với số tiết hạn chế nên các kiến thức trình bày sẽ được chọn lọc vàbám sát theo đề cương ôn tập vào sau đại học. Tuy nhiên, để dễ dàng hơn cho bạn đọc thứ tựcác vấn đề có thể thay đổi. Cũng chính bởi các lý do trên các bài viết này không thể thay thếmột giáo trình Đại số tuyến tính hoàn chỉnh. Bạn đọc quan tâm có thể tham khảo thêm mộtsố sách viết về Đại số tuyến tính, chẳng hạn :1. Nguyễn Viết Đông - Lê Thị Thiên Hương .Toán cao cấp Tập 2 - Nxb Giáo dục 19982. Jean - Marie Monier.Đại số 1 - Nxb Giáo dục 20003. Ngô Thúc LanhĐại số tuyến tính - Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp 19704. Bùi Tường Trí.Đại số tuyến tính.5. Mỵ Vinh QuangBài tập đại số tuyến tính.Bài 1: ĐỊNH THỨCĐể hiểu được phần này, người đọc cầnphải nắm được khái niệm về ma trận và các phéptoán trên ma trận (phép cộng, trừ, nhân hai ma trận). Các khái niệm trên khá đơn giản, ngườiđọc có thể dễ dàng tìm đọc trong các sách đã dẫn ở trên.1 1 Định nghĩa định thức1.1 Định thức cấp 2, 3• Cho A là ma trận vuông cấp 2 :A =a11a12a21a22định thức (cấp 2) của A là một số, ký hiệu det A (hoặc |A|) xác định như sau :det A =a11a12a21a22= a11a22− a12a21(1)• Cho A là ma trận vuông cấp 3 :A =a11a12a13a21a22a23a31a32a33định thức (cấp 3) của A là một số ký hiệu det A (hoặc |A|), xác định như sau : det A =a11a12a13a21a22a23a31a32a33= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33(2)Công thức khai triển ( 2 ) thường đuợc nhớ theo quy tắc Sarrus như sau :Ví dụ :−1 2 31 −2 1−1 0 4= [(−1)(−2).4 + 2.1.(−1) + 1.0.3] − [3.(−2).(−1) + 1.0.(−1) + 2.1.4] = −8Nếu ta ký hiệu Snlà tập hợp các phép thế bậc n thì các công thức ( 1 ) và ( 2 ) có thểviết lại như sau :det A =f ∈S2s(f)a1f(1)a2f(2)và det A =f ∈S3s(f)a1f(1)a2f(2)a3f(3)Từ đó gợi ý cho ta cách định nghĩa định thức cấp n như sau.2 1.2 Định thức cấp nCho A là ma trận vuông cấp n :A =a11a12· · · a1na21a22· · · a2n an1an2· · · annđịnh thức ( cấp n) của ma trận A là một số, ký hiệu det A (hoặc |A|), xác định như sau :det A =a11a12· · · a1na21a22· · · a2n an1an2· · · ann=f ∈Sns(f)a1f(1)a2f(2) .anf(n)(3)Chắc chắn là đối với một số bạn đọc, (nhất là bạn đọc không thạo về phép thế) định nghĩađịnh thức tương đối khó hình dung. Tuy nhiên, rất may là khi làm việc với định thức, (kể cảkhi tính định thức) định nghĩa trên hiếm khi được ĐOÀN VĂN TUẤN KHANH Thạc Sĩ Toán TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH HỌ VÀ TÊN:………………………………… LỚP:………………………………………… LƯU HÀNH NỘI BỘ Đại số tuyến tính - Chương 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính MụC LụC 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính 3 3.1 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1.2 Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Tọa độ vectơ và phép đổi cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.1 Tọa độ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.2 Đổicơsở 23 3.3.3 Hạng của hệ véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.4 Tổng và tổng trực tiếp các không gian con . . . . . . . . . 31 3.4 ánhxạtuyếntính . 36 3.4.1 Các khái niệm cơ bản về ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . 36 3.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4.3 Các phép toán giữa các ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . 48 3.4.4 Ma trận của phép biến đổi tuyến tính trong các cơ sở khác nhau 51 3.5 Trị riêng, véctơ riêng của phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . . 55 1 đại số Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng và sinh viên các tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật 2 Ch-ơng 3 Kh ô ng gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính 3.1 Kh ô ng gian tuyến tính 3.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính Định nghĩa 3.1.1 Cho V = và K là tr-ờng số thực hoặc phức, V đ-ợc gọi là không gian tuyến tính trên tr-ờng K nếu trên V xác định hai phép toán: a) Phép cộng là ánh xạ V ì V V ứng mỗi cặp (x, y) với một phần tử duy nhất trong V kí hiệu x + y V thỏa mãn x + y = y + x với x, y V (x + y)+z = x +(y + z) với x, y, z V Tồn tại 0 V : x + 0 = 0 + x = x với x V x V đều tồn tại (x) V :(x +(x)) = 0 b) Phép nhân một phần tử của K với một phần tử của V là một ánh xạ KìV V t-ơng ứng mỗi cặp (, x) với một phần tử duy nhất trong V kí hiệu x V (hoặc ã x) thỏa mãn () x = ( ã x) , K,x V ( + ) x = x + x , K,x V (x + y)=x + y K,x, y V 1 ã x = x x V , trong đó 1 là phần tử đơn vị của K. 3 4 Ch-ơng III. Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính Mỗi phần tử x V th-ờng đ-ợc gọi là một vectơ. Phần tử 0 V trong định nghĩa trên đ-ợc gọi là vectơ không, phần tử (x) V đ-ợc gọi là phần tử đối của x hay vectơ đối của vectơ x. Không gian tuyến tính trên K còn đ-ợc gọi là không gian véctơ trên tr-ờng K. Nếu K là tr-ờng số thực, V trên R đ-ợc gọi là không gian tuyến tính thực, nếu K là tr-ờng số phức, V trên C đ-ợc gọi là không gian tuyến tính phức. Ví dụ 3.1.1 1. Tập hợp các véctơ hình học trong không gian, kí hiệu V 3 với phép cộng các véctơ và nhân véctơ với một số thực nh- đã biết là không gian tuyến tính thực. Tập hợp các véctơ hình học trong mặt phẳng, kí hiệu V 2 cũng là không gian tuyến tính thực. 2. Tập hợp các số thực R trên R là không gian tuyến tính thực, tập các số phức C trên R cũng là không gian tuyến tính thực. Tập các số phức C trên C là Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 6: Ánh xạ tuyến tính Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh Email : dangvvinh@hcmut.edu.vn Website: www.tanbachkhoa.edu.vn; www2.hcmut.edu.vn/~dangvvinh Nội dung I – Định nghĩa và ví dụ. III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính I. Định nghĩa và ví dụ Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng. Định nghĩa ánh xạ : f X Y  , ! : ( ) x X y Y y f x      Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x) Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x    Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu , : ( ) y Y x X y f x      Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh. I. Định nghĩa và ví dụ Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnh của mọi phần tử thuộc X. Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ, bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,… Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ. I. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K. 2. ( , ) ( ) ( ) K v V f v f v         Ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ V, W : W f V  là một ánh xạ thỏa 1. 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) v v V f v v f v f v      I. Định nghĩa và ví dụ Chứng tỏ ánh xạ cho bởi 2 3 : R R f  2 1 2 1 3 1 3 3 ( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 ) x x x x x x x x x f x       Ví dụ là ánh xạ tuyến tính. 1 2 3 1 2 3 3 ( , , ); ( , , ) x x x x y y y y R     1 1 2 3 3 2 ( ) ( , , ) x y x y x f x y y f      3 3 3 1 1 1 3 2 2 1 3 2 ( ) ( , 3 ) 2 2 2 x y x x y x y x y x y f y           1 1 3 3 1 2 1 3 2 3 3 3 ( ) ( , 2 2 ) 2 2 ( , ) x x y y f x y x y y y x x          ( ) ( ) ( ) f x y f x f y    Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến tính. I. Định nghĩa và ví dụ Cho là ánh xạ tuyến tính. W V f  : Cho E ={e 1 , e 2 , …, e n } là tập sinh của V. Giả sử biết f(e 1 ), f(e 2 ), …, f(e n ). 1 1 2 2 n n x V x x e x e x e         1 1 2 2 ( ) ( ) n n f x f x e x e x e      1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x f x e f x e f x e      1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x x f e x f e x f e      Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một tập sinh của V. I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết 3 2 : f R R  (1,1,1) (1,2), f  (1,1,0) (2, 1), f   (1,0,1) ( 1,1); f   1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 1. Giả sử (3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)       3 1 5                     2, 3, 2         (3,1,5) ( (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)) f f        (3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) f f f f        (3,1,5) 2(2, 1) 3(1,2) 2( 1,1) f       ( 3,10)   I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết 3 2 : f R R  (1,1,1) (1,2), f  (1,1,0) (2, 1), f   (1,0,1) ( 1,1); f   1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 2. Giả sử 1 2 3 ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) x x x x        1 2 3 x x x                     1 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x                  1 2 3 ( ) ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) f x f x x x f f f         1 3 1 2 3 1 2 ( ) ( )(2, 1) ( )(1,2) ( )( 1,1) f x x x x x x x x           2 3 1 2 3 ( ) (2 , 2 3 ) f x x x x x x      Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một cơ sở của R 3 . Chọn cơ sở chính tắc I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz quanh trục 0z một góc 30 o ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục 0z. Tìm f(x). Đây là ánh xạ 3 3 : f R R  o y z x (0,0,1) (0,0,1) f  3 1 (1,0,0) ( , ,0) 2 2 f  1 3 (0,1,0) ( , ,0) 2 2 f   1 2 1 2 3 3 1 1 3 ( ) ( , , ) 2 2 2 2 f x x x x x x     [...]... Bài tập ñại số tuyến tính – dành cho hệ VB2 VLVH GV : ThS Trần Thị Tuấn Anh BÀI TẬP ðẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chương : MA TRẬN VÀ ðỊNH THỨC Bài Cho ma trận  2 0   A =  −1     −1 m    a b m ñể A suy biến −1 Khi m = , tìm A Tìm Bài Cho ma trận 1 0   A = 2 1   1 1   Tìm ma trận X cho AX = AT Bài  −2      −1       Cho ma trận A = −2 −1 −3 B =  −1       −3 m  −1     a Tìm m ñể A ma trận không suy biến T b Với m = , tìm tất ma trận X cho XA = B Bài  −2  0 1         Cho ma trận A = −2 −1 −1 B = 0 0      −3 m  1 0     a Biện luận hạng A theo m T b Với m = , tìm tất ma trận X cho XB = A Bài 0   3       Cho ma trận A =  11  B = 0 −1        4 0     T a) Tính D(A ), D = (2A) , D(AA ) b) Giải phương trình ma trận AX = B Bài Cho ma trận -1- Bài tập ñại số tuyến tính – dành cho hệ VB2 VLVH GV : ThS Trần Thị Tuấn Anh 1 2   A = 2 3   1 m 0   a) Tìm m ñể A suy biến b) Khi m = , tìm ma trận X cho AX = I với I ma trận ñơn vị cấp Chương : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài Cho hệ phương trình: 2x + 3y − z =  −3x − 2y + mz =  x − y + 2z = Tìm m ñể hệ có vô số nghiệm Tìm hệ nghiệm tổng quát trường hợp Bài Cho hệ phương trình  x − 2y + 3z =  2x + (m − 4) y + 7z =  −x + (m + 2) y + (m − 1) z =  a b Tìm m ñể hệ ñã cho có nghiệm Với m = , tìm hệ nghiệm hệ ñã cho Bài Cho hệ phương trình: 3x + 2y + 5z = 10  (m + 1) x + my + ( 2m + 1) z = 5m  (m − 1) x + (m − ) y + (m + 1) z = 2m a Với giá trị m hệ hệ Cramer b Xác ñịnh m ñể hệ vô nghiệm Bài 10 Cho hệ phương trình: x + 2y − z =  2x + 5y + (m − 1) z =  x + (m + ) y + mz = 2m + Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m Bài 11 Cho hệ phương trình: x − y + 2z =  x + (m + 1) y + (m + ) z = 2m +  2x + my + 5z = Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m -2- Bài tập ñại số tuyến tính – dành cho hệ VB2 VLVH GV : ThS Trần Thị Tuấn Anh Bài 12 Cho hệ phương trình: x − y + 2z =  x + (m + 1) y + (m + ) z = 2m +  2x + my + 5z = a) Khi m = , giải hệ phương trình phương pháp Cramer b) ðịnh m ñể hệ có vô số nghiệm tìm nghiệm tổng quát trường hợp ñó Bài 13  −3    Cho ma trận A =  −5     −6    a Tìm ma trận nghịch ñảo A b x − 3y + 2z =  Suy nghiệm hệ phương trình x − 5y + 7z = 12  2x − 6y + 5z = Chương : ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Bài 14 Trong mô hình Input-Output mở có ngành kinh tế, xét ma trận hệ số ñầu vào  0, 0,2 0,1    A =  0, 0,1 0,2     0,1 0,2 0,    Tìm sản lượng ba ngành kinh tế biết yêu cầu ngành kinh tế mở ñối với ba ngành kinh tế ( 400, 300,200 ) Bài 15 Trong mô hình Input-Output mở có ngành kinh tế, xét ma trận hệ số ñầu vào  0,1 0,2 0,    A =  0, 0,1 0,2     0, 0,2 0,1    a) Giải thích ý nghĩa hệ số a 21 = 0, b) Tìm sản lượng ba ngành kinh tế biết yêu cầu ngành kinh tế mở ñối với ba ngành kinh tế ( 200, 300, 400 ) Bài 16 Xét mô hình cân thị trường gồm ba loại hàng hóa, biết hàm cung hàm cầu chúng ñơn vị thời gian là: QS1 = 20P1 − 2P2 − P3 − 700 QD1 = −10P1 + P2 + 2P3 + 1700 QS2 = −3P1 + 15P2 − 2P3 − 300 QD2 = 3P1 − 13P2 + 3P3 + 1400 QS3 = −3P1 − 4P2 + 10P3 − 100 QD3 = 2P1 + 5P2 − 12P3 + 700 Tìm ñiểm cân thị trường Bài 17 -3- Bài tập ñại số tuyến tính – dành cho hệ VB2 VLVH GV : ThS Trần Thị Tuấn Anh Xét mô hình cân thị trường gồm ba loại hàng Biết hàm cung hàm cầu loại hàng hoá là: QS1 = 16 P1 − P2 − P3 − 120 Q D1 = −4 P1 + P2 + 3P3 + 240 Q S = −4 P1 + P2 − P3 − 90 Q D2 = P1 − P2 + P3 + 150 QS3 = −6 P1 − P2 + P3 − 130 Q D3 = P1 + P2 − 3P3 + 110 Tìm ñiểm cân thị trường Bài 18 Trong mô hình Input – Output mở Leontief có ba ngành kinh tế, xét ma trận hệ số ñầu vào 0,2 0,1 0, 3    A = 0, 0,2 0, 2    0,1 0, 0,1   a Nếu ñầu ngành kinh tế thứ hai 120 ñơn vị tiền tệ, ngành kinh tế thứ ngành kinh b tế thứ ba phải cung cấp cho ngành kinh tế thứ hai ñơn vị tiền tệ ? Tìm sản lượng ba ngành kinh tế biết yêu cầu ngành kinh tế mở ñối với ba ngành kinh Nội dung chương Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com http://lvluyen.wordpress.com/dstt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Nội dung chương Nội dung Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định nghĩa Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Ánh xạ 1.2 Ánh xạ tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f (x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f (x) Nghĩa ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f (x) Nghĩa ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x) Ví dụ • f : R → R xác định f (x) = x2 + 2x − ánh xạ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f (x) Nghĩa ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x) Ví dụ • f : R → R xác định f (x) = x2 + 2x − ánh xạ • g : R3 → R2 xác định g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) ánh xạ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f (x) Nghĩa ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x) Ví dụ • f : R → R xác định f (x) = x2 + 2x − ánh xạ • g : R3 → R2 xác định g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) ánh xạ m • h : Q → Z xác định h( ) = m không ánh xạ n Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa Định nghĩa Hai ánh xạ f g từ X vào Y gọi ∀x ∈ X, f (x) = g(x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính  Suy (B → B0 ) = (B0 → B)−1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)  −1 1  =  −1 −1 Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 28 / 86 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính  Suy (B → B0 ) = (B0 → B)−1  −1 1  =  −1 −1 Vậy [f ]B0 ,C0 = (C → C0 )−1 [f ]B,C (B → B0 )   −1 1 2 −3  −1  = 1 −1   −1 1  −1  = 1 −1 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 10 −5 −3 −2 Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 28 / 86 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính  Suy (B → B0 ) = (B0 → B)−1  −1 1  =  −1 −1 Vậy [f ]B0 ,C0 = (C → C0 )−1 [f ]B,C (B → B0 )   −1 1 2 −3  −1  = 1 −1   −1 1  −1  = 1 −1 = 10 −5 −3 −2 Suy f (x, y, z) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 28 / 86 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Mệnh đề Cho V, W hai không gian vectơ n chiều f ∈ L(V, W ) Khi f song ánh tồn sở A, B V W cho [f ]A,B khả nghịch Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 29 / 86 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Mệnh đề Cho V, W hai không gian vectơ n chiều f ∈ L(V, W ) Khi f song ánh tồn sở A, B V W cho [f ]A,B khả nghịch Hơn nữa, f −1 : W → V ánh xạ tuyến tính [f −1 ]B,A = [f ]−1 A,B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến